Teoría sobre la morfología de Atlas (uno de los satélites de Saturno) (página 2)

2 4 3 4 3 2 3 2 Para acotar la ecuación (1) necesitamos los valores de las densidades de Saturno y Atlas: ?M será la densidad de Saturno que se calcula sabiendo que Saturno es un esferoide de revolución de semiejes ecuatorial y polar 120.536 y 108.728 km respectivamente. Con estos datos y sabiendo que la masa de Saturno es 5,688·1026 kg la densidad resulta ser: ? Saturno = mSaturno p ·rpolar ·recuatorial = 687,68 kg / m 3 Por su parte, ?m será la densidad de Atlas que corresponde a un elipsoide de semiejes 18,5 × 17,2 × 13,5 km (que llamamos a, b y c respectivamente) y tomamos por variable la masa de Atlas. El resultado es: ? Atlas = m Atlas p ·a·b·c = 5,557·10 -14 ·m Atlas kg / m 3 Por último el radio medio de Saturno se calcula como la media geométrica de los semiejes2 en las tres coordenadas espaciales. Siendo Saturno un esferoide, su ecuación es:

rmedio = 3 rpolar ·recuatorial = 58.231,99 km

Sustituyendo estos valores en la ecuación (1) nos queda: d ˜ d 1,34693·10+13 m Atlas (2) Se toma la media geométrica pues nuestro objetivo es calcular la esfera cuyo volumen sea igual a Saturno siendo este un esferoide.

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Realizaremos pues una table con tres columnas, una para los valores de la masa de Atlas comprendidos en el intervalo 2·1015 kg = mAtlas = 9·1015 kg y las otras dos correspondientes a los dos valores del parámetro d. Masa Atlas (kg)

2,00·10+15 2,50·10+15 3,00·10+15 3,50·10+15 4,00·10+15 4,50·10+15 5,00·10+15 5,50·10+15 6,00·10+15 6,50·10+15 7,00·10+15 7,50·10+15 8,00·10+15 8,50·10+15 9,00·10+15 L. Roche Rígido (d=1,26) (km)

134.701,44 125.045,74 117.672,55 111.778,83 106.912,60 102.796,44 99.248,87 96.145,29 93.396,76 90.937,80 88.718,92 86.701,87 84.856,59 83.159,00 81.589,59 L. Roche Deformable (d=2,423) (km)

259.033,01 240.464,94 226.286,18 214.952,46 205.594,63 197.679,18 190.857,15 184.888,92 179.603,46 174.874,84 170.607,88 166.729,08 163.180,57 159.916,08 156.898,07 Tabla 1. Valores del Límite de Roche para Atlas como un cuerpo rígido o deformable, en función de la masa.

Siendo el radio orbital de Atlas es 137.670 km es fácil calcular el valor exacto de la masa por encima del cual el satélite está fuera del Límite de Roche tanto en el caso sólido como en el caso deformable. Sustituyendo en la ecuación (2) d por el radio orbital y despejando la masa mAtlas se obtiene:

mAtlas(rigido; d = 1,26) > 1,8734·1015 kg

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Si por el contrario, supusiéramos que Atlas se comporta como un cuerpo deformable el límite se calcularía igual pero aplicando la constante d = 2,423. El resultado sería:

mAtlas(deformable; d = 2,423) > 1,3322·1016 kg

Es interesante observar que, por un lado, la masa propuesta por el JPL.NASA para Atlas solo sería posible si Atlas fuera un cuerpo sólido con fuerzas de cohesión más fuertes que sus fuerzas gravitatorias.

Por otra parte, Atlas no se puede tomar como un satélite totalmente deformable puesto su Límite de Roche para un cuerpo deformable se sitúa muy por encima de los valores que estamos manejando.

Propuesta sobre la naturaleza de Atlas.

Con los datos obtenidos, Atlas no puede ser un satélite deformable, pero vistas sus imágenes (sin cráteres y con simetría en el eje de rotación) tampoco puede tratarse de un satélite rígido como Pandora, Thebe o Phobos.

En consecuencia, la única opción que hace compatible las observaciones y los cálculos de los Límites de Roche es que Atlas sea un objeto en parte sólido y en parte deformable tal como un núcleo rocoso recubierto de una capa de polvo. Al ser el núcleo rígido la deformación del satélite no es completa como si fuera todo él deformable.

Las ecuaciones del Límite de Roche tal como están expresadas en la ecuación (1) tienen la forma: d ˜ d ·R· 3 2 ? M ? m Donde d toma los valores 1,26 ó 2,423.

Sin embargo, puesto que los campos gravitatorios son aditivos, si planteamos Atlas como un objeto formado por una proporción rígida y otra deformable, para su análisis

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3 • • podremos descomponerlo en estas dos partes. El límite de Roche en este caso se puede estimar, en primera aproximación, de la forma: d ˜ (1,26· p Atlas (rigid) + 2,423(1 – p Atlas (rigid))) 1,3469·1013 m Atlas (3) Siendo p Atlas(rigid) la proporción de masa rígida que tiene el satélite (en tanto por uno). Es decir, si la masa total del satélite (mAtlas(total)) se descompone en una parte de masa sólida (mAtlas(rigid)) y otra de masa deformable (mAtlas(deformable)) cumpliéndose la relación: mAtlas(total) = mAtlas(rigid) + mAtlas(deformable) entonces p Atlas (rigid) = m Atlas (rigid) m Atlas (total) Supongamos que la forma de elipsoide de Atlas es debida a que se encuentra muy cerca de su Límite de Roche (d ˜ 137.670 km) según su proporción de masa rígida y deformable. En este caso podemos calcular la proporción de las masas que lo componen. Aplicando la ecuación (3) y despejando de la expresión la proporción de masa rígida se obtiene:

p Atlas (rigid) = 2,066 – 8,7136·10 -6 ·3 m Atlas

Esta relación nos permite hacer nuevamente una tabla que nos indica, si Atlas se encuentra cerca de su Límite de Roche cual debe ser su proporción de masa rígida (tabla 2).

Así, por ejemplo, para el valor de la masa de Atlas obtenido en el estudio de Spitale y que corresponde a 6,6·1015 kg las proporciones de masa rígida y masa deformable son:

mrigid > 43,15 %

mdeformable < 56,85 %

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Masa Atlas(kg) 2,00·10+15 2,50·10+15 3,00·10+15 3,50·10+15 4,00·10+15 4,50·10+15 5,00·10+15 5,50·10+15 6,00·10+15 6,50·10+15 7,00·10+15 7,50·10+15 8,00·10+15 8,50·10+15 9,00·10+15 Proporción masa rígida (%) 96,82 88,34 80,93 74,30 68,28 62,74 57,60 52,79 48,26 43,98 39,92 36,04 32,33 28,77 25,35 Tabla 2. Relación entre la masa de Atlas y su proporción de masa rígida para asegurar la estabilidad gravitatoria.

Características físicas de Atlas.

Por el análisis de las fotografías y los cálculos realizados hemos llegado a la conclusión de que Atlas es un objeto formado por dos tipos de material: uno rígido y otro deformable. Puesto que las condición de estabilidad gravitatoria para un objeto así sería la de un núcleo central de roca rodeado de una nube de polvo en forma de duna, este modelo bien puede ser bautizado como “duna voladora”.

Este modelo nos permite identificar la masa rígida calculada hasta ahora, con la masa del núcleo de roca, mientras que la masa deformable corresponde a la masa de la duna. Esta es la notación que usaremos desde aquí (ver figura 1).

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• • Figura 1. Modelo gráfico del plano polar de Atlas según el modelo “duna volandora” De cara a poder analizar el campo gravitatorio de Atlas y si este modelo coincide con las imágenes obtenidas por la sonda Cassini es necesario determinar la densidad de las dos partes de Atlas. Para ello tomaremos unas hipótesis de plausibilidad: La masa de Atlas es la masa calculada por el estudio de Spitale y que corresponde a 6,6·1015 kg, Por las imágenes de Atlas, el satélite se debe encontrar muy cerca de el límite de Roche. Por este motivo y teniendo en cuenta la anterior masa podemos determinar que la masa de la roca (mrock) corresponde al 43,15 % de la masa total, mientras que la masa de la duna (mdune) sería el 56,85 %. – 13 –

• • • • 2 4 3 • • • El núcleo de roca corresponde a un esferoide, uno de cuyos semiejes es c = 13.500 m (el semieje menor de Atlas) y sus otros dos semiejes tiene valores similares entre sí. Ello es debido a que en las fotografías de Atlas, en los polos, se ve la rugosidad rocosa. Además, tal como veremos, la velocidad angular de Atlas ha desplazado la duna hacia el ecuador, despejando así los polos. Que los polos ecuatoriales de la roca sean iguales se puede suponer por el rozamiento al que se ve sometida la roca.

La densidad del núcleo de roca es análoga a la de cualquier satélite rocoso de similares dimensiones. En nuestro estudio hemos considerado una densidad igual al satélite Phobos. Es decir 1.900 kg/m3

Con estas suposiciones podemos estimar que la masa de la roca y la duna son:

mrock = 0,4315 · 6,6·1015 kg = 2,848·1015 kg mdunee = 6,6·1015 kg – 2,848·1015 kg = 3,752·1015 kg

Como hemos estimado la densidad de la roca (?rock) en 1.900 kg/m3, su volumen será: Volumerock = mrock ? rock = 1,499·1012 m 3 Este volumen debe corresponder a un esferoide de semieje polar igual a c = 13.500 m (semieje polar de Atlas) y un radio ecuatorial (rrock;eq) que calculamos:

p ·13.500·rrock ;eq = 1,499·1012 ? rrock ;eq = 5.148m

Es decir, con las suposiciones que hemos hecho, el núcleo de roca tiene las cualidades:

Masa: mrock = 2,848·1015 kg Semiejes = 13.500 × 5.148 × 5.148 m Densidad = 1.900 kg/m3

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4 3 • • • Con estos datos el volumen de la duna será: Volumedune = Volume Atlas – Volumerock = p ·a·b·c – 1,499·1012 m 3 = 1,649·1013 m 3 A este volumen le corresponde una masa de mdune = 3,752·1015 kg. Por tanto la densidad de la duna (?dune) es: ? dune = mdune Volumedune = 227,5kg / m 3 En consecuencia la duna de polvo tendrá como características físicas:

Masa: mdune = 3,752·1015 kg Volumen: Volumedune = 1,649·1013 m3 Densidad = 227,5 kg/m3

Campo gravitatorio de Atlas.

Con estas características físicas, el campo gravitatorio de Atlas, dentro y fuera del satélite consta de varias ecuaciones que se describen por tramos. Ello es debido a que las distintas partes de las que consta el satélite tienen distintas densidades, así como cada parte tiene forma irregular que nosotros estimaremos como elipsoides con los semiejes distintos (ver figura 2).

El caso general contemplaría cinco zonas desde el centro de masas hasta el espacio más allá del semieje mayor. En la dirección de la recta que pasa por el centro de masas y Saturno, la intensidad de campo gravitatorio tiene la forma que se ve en la gráfica 1.

En nuestro modelo solo estamos interesados en conocer el campo gravitatorio sobre la superficie y nos vamos a ceñir al plano que pasa por los polos y Saturno. En estas condiciones tenemos dos zonas según la distancia (r) al centro de masas:

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• • Dune II: c = r = b Dune III: b = r = a Figura 2. División de las zonas de Atlas según el modelo “duna voladora” Gráfica 1. Intensidad de campo gravitatorio en Atlas. Las masas de cada parte de la duna, correspondiente al corte del elipsoide de semiejes a, b y c con la esfera de radio r tienen una dependencia de la forma: – 16 –

r r 2 2 mrock k 2 ·x r r 2 2 r r r 3 mII = k1 ·x 2 para c < r < b y mIII = k 2 ·x para b < r < a

Donde k1 y k2 son dos funciones levemente variantes en x, que dependen directamente de la densidad de la duna y de los semiejes.

Conviene recordar que hemos realizado esta aproximación ya que al final de los cálculos en las ecuaciones de superficie deberemos reajustar estos valores3.

La intensidad gravitatoria en ambas zonas y sobre la superficie las podemos estimar de la forma: m k ·x 2 g DuneII = -G rock – G· 1 2 + G k1 ·rrock ;eq r 2 g DuneIII = -G 2 – G 2 + G k1 ·rrock ;eq r 2 El último sumando de las dos expresiones anteriores se añade para contrarrestar que en el volumen del núcleo de roca no tengamos duna. Podemos escribir de forma más simplificada las anteriores expresiones definiendo el concepto de masa efectiva del núcleo (mn) de la forma:

mn = mrock – k1 ·rrock ;eq

Quedando las anteriores expresiones en la forma: g DuneII = -G mn r 2 k ·x 2 – G· 1 2 g DuneIII m k ·x = -G 2n – G· 2 2 Esta aproximación se basa en un modelo de paralelepípedo. Para el caso de un modelo de elipsoide de revolución tendríamos factores de la forma (a2 – x2 )3/2 que complicarían el modelo.

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r • r • r • Análisis matemático del modelo de “duna voladora” para Atlas. 1.- Análisis de las fuerzas. En un modelo de Atlas formado por una roca central y una duna de polvo circundante, el análisis de las fuerzas en un punto de la superficie de la duna sería como en la figura 3. Figura 3. Análisis de fuerzas en Atlas según el modelo “duna voladora” Siendo: Fg es la fuerza gravitatoria de Atlas. Frot es la fuerza centrípeta por la rotación de Atlas. Ftras corresponde a la fuerza centrípeta por la traslación de Atlas. – 18 –

r • r • r r ? m + k ·x 2 ? dm ? r ( x, y) r r ? m + k ·x ? dm ? r r ? r r 2 r r 2 m ?Fs es la diferencia de atracción gravitatoria que ejerce Saturno entre este punto y el centro de masa. Es conocida como fuerza de marea gravitatoria.

Fr es la reacción de la superficie debida a la presión, rozamiento, tensión superficial de la duna (fuerzas intermoleculares, campos magnéticos,…), etc.

– La fuerza de gravedad de Atlas Fg , tal como veíamos en el apartado anterior, aplicada sobre la superficie, tiene dos partes:

Fg ; DuneII = -G? n 2 1 ? ? ? Fg ; DuneIII = -G? n 2 2 ? ( x, y) – Las dos fuerzas centrípetas: una de rotación y otra de traslación. Sus ecuaciones deberían ser:

Frot = dm·w12 ·( x,0) Ftras = -dm·w2 ·( R – x,0)

Según los datos del JPL.NASA el satélite Atlas rota de forma síncrona con su traslación. Ello quiere decir que sus velocidades angulares para rotación y traslación son iguales. Es decir, se cumple la relación w1 = w2 a la cual llamaremos simplemente w.

Sustituyendo y sumando resulta: Ftras + Frot = -dm·w2 ·R·(1,0)

Por otra parte, la excentricidad de la órbita de Atlas es prácticamente cero lo cual indica que en centro de masa se verifica la identidad ente la intensidad gravitatoria de Saturno y la aceleración centrípeta: w 2 ·R = G mSaturno R ? w = G Saturno R 3 – 19 –

r r m R 2 r m m ( R – x) R 2 r Con lo cual: Ftras + Frot = -dm·G saturno ·(1,0) – La fuerza de marea se analiza partiendo de la idea de que todo el satélite está inmerso en el campo gravitatorio de Saturno. De esta forma, si el campo gravitatorio fuera constante en todo el satélite, cualquier punto del satélite se vería igualmente afectado por la gravedad y en las interacciones mutuas entre las partes del satélite la gravedad de Saturno se cancelaría. Sin embargo, Atlas está lo suficientemente cerca de Saturno como para que las diferencias de intensidad gravitatoria que Saturno ejerce sobre un punto cualquiera y la que ejerce sobre el centro de masas sean apreciables. Esta diferencia es la que ejerce fuerza gravitatoria sobre el satélite para deformarlo. La fuerza de marea queda: ?Fs = G Saturn 2 dm(1,0) – G Saturn dm(1,0) – La fuerza de reacción de la superficie es difícil de analizar en detalle, pues implica muchas fuerzas que en conjunto generan una tensión superficial. Sin embargo, de esta fuerza nos interesa solo el hecho de que es perpendicular a la superficie y por tanto se puede escribir de la forma: Fr = Fr (sin a , cos a ) El interés de esta forma de expresar la fuerza de reacción es que “tan a“ es la menos pendiente de la superficie. Si la superficie de Atlas corta al plano de los semiejes a y c en la curva de ecuación y = f(x) entonces y’= – tan a . Esto nos ayudará a encontrar la ecuación de la superficie. – 20 –

? ? mn – k1 ·x 2 ? m (R – x ) r ? ? ? 2 ? ?· y·dm ? ? mn – k1 ·x ? r 3 ? ? ? (R – x ) r ? ? ? ? ?? (4) ? 1 2 2 1 2 Ecuaciones de superficie.

El estado de equilibrio de la superficie de la duna se produce cuando la suma de las fuerzas es igual a cero. Es decir:

? x – axes : Fr sin a = G? 3 ?·x·dm – G Saturn 2 dm Dune II ? ? y – axes : Fr cos a = G? ?

? ? mn – k 2 ·x ? m ? x – axes : Fr sin a = G? 3 ?·x·dm – G Saturn 2 dm Dune III ? ? y – axes : Fr cos a = G? mn – k 2 ·x ?· y·dm ? ? r 3 ?

Estas son las ecuaciones paramétricas de una función y = f(x) definida en las dos zonas. Dividiendo las dos ecuaciones de cada zona entre si y recordando que y’= – tan a llegamos a las dos ecuaciones diferenciales: Dune II : – y· y' = x – mSaturn ·r 3 (R – x )2 (mn – k1 ·x 2 ) Dune III : – y· y' = x – mSaturn ·r 3 (R – x )2 (mn – k 2 ·x ) Estas últimas ecuaciones se pueden integrar de la forma: – y· y' = x – mSaturn ·r 3 (R – x )2 h( x) ? – y· y'- x = – mSaturn ·r 3 (R – x )2 h( x) – y·dy – x·dx = – mSaturn ·r 3 (R – x )2 h( x) ·dx ? ·d ( x 2 + y 2 ) = 2 mSaturn ·r 3 (R – x )2 h( x) ·dx ? ·d (r 2 ) = mSaturn ·r 3 (R – x ) h( x) dr ·dx ? ? r 2 = ? mSaturn (R – x ) h( x) 1 ·dx ? – r + K = ? mSaturn (R – x )2 h( x) ·dx – 21 –

2 2 2 2 2 n 3 2 ) ) ) 2 2 2 2 ? R ? B C 2 ·ln? ? + K ? ? Siendo K la constante de integración respecto de la variable r. La función h(x) correspondería a:

Dune II : hDuneII ( x) = mn – k1 x 2 Dune III : hDuneIII ( x) = mn – k 2 x

Para encontrar las soluciones debemos resolver las integrales: dx ? (R – x ) ·(mn – k1 ·x ) = ? A1 x + B1 (R – x ) dx + ? C1 x + D1 mn – k1 ·x 2 dx dx ? (R – x ) ·(m – k 2 ·x ) = ? A2 x + B2 (R – x ) dx + ? C 2 mn – k 2 ·x dx Siendo las constantes: A1 = – 2 k1 R – 3Rmn B1 = mn – 3k1 R 2 k1 R 2 (k1 R 2 – 3mn C1 = k1 R(k1 R 2 – 3mn – 2k1 D1 = R (k1 R 2 – 3mn mn – R A2 = k 2 (k 2 R – mn ) B2 = 2k 2 R – mn (k 2 R – mn ) C2 = – k 2 (k 2 R – mn )2 Cada integral por separado queda: Ax + B ? (R – x ) dx = A? ? R – x + ln(R – x) ? + ? R – x + K Cx + D ? mn – k ·x 2 dx = ln(mn – kx 2 )+ k ·D k ? mn + x· k ? 2 mn ? mn – x· k ? C C ? mn – k ·x dx = – k ln(mn – kx) + K

El resultado de sustituir todas estas expresiones en las ecuaciones (4) conduce a las soluciones exactas.

Una forma de simplificar las soluciones es recordando que R >> x. En este caso, volviendo a (4) podemos hacer (R – x) ˜ R con lo que nos queda:

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m ? ? h( x) = ? ? ? = ln 2 2 – 1 r 2R 2 2 2 2 ) 2 2 2 K1 = + K ˜ Saturn R 2 m dx ? DuneII : Saturn ? ? DuneIII : mSaturn R dx mSaturn mn – x k mn – k1 ·x 2 R · mn mn + x k dx mSaturn ? mn – k 2 ·x = – k 2 ·R 2 ln mn – k 2 ·x Dado que Dune II está definida entre 0 < x < aproximar b 2 – c 2 = 10,657 m, podemos ln mn – x k mn + x k ˜ – k mn ·x En resumen, las relaciones buscadas son: DuneII : x + y = (m 4 R 4 ·mn Saturn ·x· k1 + K1 DuneIII : x 2 + y 2 = k 2 ·R 4 mSaturn ·ln 2 mn – k 2 ·x + K 2 Condiciones de contorno

Las condiciones de contorno para estas ecuaciones son dos:

1. Para y’ = 0 se verifica que, en Dune II, para la variable y hay dos soluciones cuya diferencia es igual a 2c. Por tanto: R mn ·3 4R·mSaturn · k1 c – mSaturn ·c· k1 ˜ -mSaturn ·c· k1 Por tanto Dune II queda

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2 2 2 ) 2 a x ? x ? 2 · · • DuneII : x + y = (m 4R 4 ·mn Saturn ·( x – c)· k1 Es notable observar que, para x = c esta función no está definida y que si x > c el valor del radio de curvatura al cuadrado es negativo. Evidentemente este hecho se debe a que el perfil de Duna II es muy próximo al de una esfera de radio c.

2. Para y = 0 se verifica que, en Dune III, para la variable x hay dos soluciones cuya diferencia es igual a 2a.

Esta solución está cerca de x = a. Recordando que k2·a es la masa de la duna y su valor es del mismo orden de magnitud que mn podemos aproximar:

ln mn – k 2 x ˜ ln(mn ) –

sustituyendo la condición 2 y la aproximación en Dune III queda: x 2 = m 2 Saturn k 22 ·R 4 2 ·? ln mn – ? + K 2 ? a ? que conduce a la ecuación cuadrática: P( x) = x 4 – [2a·ln mn ] x 3 + [a 2 ·ln 2 mn ] x 2 + a 2 (K 2 – k 2 R 4 ) mSaturn Para P(x) = 0.

Los máximos, mínimos y puntos de inflexión de P(x) se encuentran en:

Mínimo: x = 0 • Punto de inflexión: x ˜ 1 5 a·ln mn – 24 –

• 0 2 · 2 • Máximo: x = 1 2 a·ln mn • Punto de inflexión: x ˜ 4 5 a·ln mn Mínimo: x = a·ln mn

Puesto que para todos estos valores P(x) tiene el mismo signo, la única opción para tener dos raíces reales es que el término independiente de P(x) sea negativo. Mediante cálculo numérico se obtiene que las dos raíces de P(x) toman una distancia 2·a para el valor

K2 ˜ –1,39·1065 kg·m3.

Para este valor las raíces están en: x1 ˜ –18.000 m y x2 ˜ 19.000 m (ver gráfica 2). -40.000 -30.000 -20.000 -10.000 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 Gráfica 2. P(x) para K2 ˜ –1,39·1065 kg·m3.

Análisis de la familia de ecuaciones

La familia de ecuaciones que hemos obtenido tiene la forma: (x 2 + y 2 ) (A·x + B ) = K 2 Para analizar estas ecuaciones las descompondremos de la siguiente forma:

Dune : (x 2 + y 2 )· f ( x) = K 2 f ( x) = (A·x + B )

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Es decir, si f(x) es constante la ecuación Dune se reduce a una circunferencia. Pero siendo f(x) una parábola, conforme aumenta el valor del parámetro A más se deformará la circunferencia. La relación entre la circunferencia de radio K y la parábola f(x) será la que determinará la forma y estabilidad gravitatoria de Dune. Vamos a representar un caso simple para entender el significado físico de esta relación. Para ello, comentaremos las gráficas para valores sencillos de K, A y B. Concretamente tomaremos los valores de K = 6 y A = 1 y variaremos los valores de B. a) Cuando el valor del parámetro B es mayor que K, la parábola f(x) se sitúa fuera de la circunferencia. Puesto que la zona de estabilidad gravitatoria está dentro de la circunferencia de radio K, la ecuación Dune se aproxima a una circunferencia (ver gráfica 3) circum f(x) DUNE Gráfica 3. Parámetros K = 6, A = 1 y B = 7. Debemos observar que donde la parábola f(x) tiene valores pequeños se produce un punto asintótico en la ecuación de Dune. b) Si el parámetro B es menor que K el mínimo de la parábola se sitúa dentro del círculo de radio K, deformando la zona de estabilidad gravitatoria y transformándola en un ovoide (ver gráfica 4). – 26 –

circum f(x) DUNE Gráfica 4. Parámetros K = 6, A = 1 y B = 5. Observamos también que la parte asintótica de la ecuación Dune se aproxima a la zona de estabilidad gravitatoria. circum f(x) DUNE Gráfica 5. Parámetros K = 6, A = 1 y B = 4,9. c) Para un valor concreto, que en nuestro caso está próximo a B = 4,9 la zona de estabilidad gravitatoria y la zona asintótica se tocan en un punto que coincide con la intersección de la circunferencia de radio K y la parábola f(x) (ver gráfica 5). – 27 –

rrock c 2 2 2 2 2 2 · · d) Una vez superado el valor crítico de B, la zona de estabilidad gravitatoria y la asintótica se solapan de forma tal que la materia del satélite se empieza a perder, o de forma más general, puede haber intercambio de materia entre la zona asintótica y la de estabilidad gavitatoria. Este mecanismo coincide con el del límite de Roche. circum f(x) DUNE Gráfica 5. Parámetros K = 6, A = 1 y B = 4,8. Esta relación de parámetros nos indica que existe una estrecha relación entre un satélite formado por polvo y un anillo que se forme a partir de material intercambiado con el satélite debido a los efectos de su cercanía al límite de Roche. En el caso concreto del satélite Atlas su estrecha relación con el pequeño anillo R/2004 S 1 se puede explicar mediante este mecanismo. Representación gráfica de Atlas. Las ecuaciones que hemos obtenido para el modelo “duna voladora” de Atlas son las siguientes: x 2 y 2 Rock – nucleus : 2 + 2 = 1 DuneII : (x 2 + y 2 ) (mSaturn ·(x – c )· k1 ) = 4R 4 ·mn DuneIII : (x + y )(mSaturn ·ln 2 mn – k 2 ·x + K 2 ) = k 2 ·R 4 – 28 –

Los parámetros rrock, mn, k1 , k2 y K2 los conocemos solo a partir de suposiciones. Sin embargo, un ajuste adecuado de estos parámetros conduce a una representación grafica del siguiente tipo: Figura 4. Representación gráfica de Atlas según el modelo “duna voladora” Que podemos comparar con las imágenes tomadas por la sonda Cassini: Imagen 8. Atlas visto en una ampliación de la fotografía del 8 de junio de 2005.(Credit: NASA, JPL, SSI) – 29 –

• • • • • • • Conclusiones. El análisis del límite de Roche demuestra que nos es posible que Atlas sea un satélite totalmente deformable. Sin embargo, las imágenes que nos muestran una simetría polar indican que no se trata de un objeto totalmente rígido. La atípica forma de Atlas, el satélite de Saturno, puede ser explicada mediante un modelo que combina un núcleo de roca y una duna de polvo que se mueve en su zona ecuatorial. Una determinación exacta de su masa, composición y demás parámetros nos permitirían obtener una representación exacta de su forma mediante modelos informáticos. Por nuestras estimaciones Atlas tiene una masa ligeramente superior a 2,76049·10+15 kg y su composición es aproximadamente mrigid ~ 43,15 % y mdeformable ~ 56,85 %, de forma tal que se sitúa casi en el límite de Roche. La rotación (síncrona) de Atlas y las fuerzas de marea de Saturno han desplazado la nube de polvo hacia el ecuador formando una duna densa y desnudando los polos, en los cuales se puede ver las irregularidades del núcleo de roca. Puesto que Atlas se ve perturbado por los campos gravitatorios de otros objetos del sistema de Saturno, la duna debe tener un ligero movimiento ondulatorio en su superficie. Matemáticamente se observa una relación entre un satélite que contenga una duna de polvo y la presencia de un pequeño anillo con el que intercambia materia, tal como puede ser el caso de Atlas y el pequeño anillo R/2004 S 1. Si la sonda Cassini, transcurrido un período de tiempo, volviera a tomar imágenes de Atlas desde un plano polar, con tanta resolución como las del 12 de junio de 2007, se podrían comparar con las primeras para comprobar si existen diferencias significativas. – 30 –

Agradecimientos. El modelo aquí presentado surgió como consecuencia de las distintas opiniones expresadas en un foro de astronomía de la página web: www.sondasespaciales.com. En primer lugar quiero agradecer a Pedro León (nick: Pedro) haber creado este magnífico lugar de intercambio de información e ideas sobre Astronomía. En segundo lugar quisiera agradecer la ayuda de Adolfo Reig García-San Pedro (nick: Adonis). A él se debe el primer borrador en el que se hacía el análisis de las fuerzas sobre la superficie de Atlas. Algunas partes de mi análisis se basan en matizar y completar ese borrador. Como dijera en una ocasión Newton: “Si pude ver un poco más lejos fue porque me subí a hombros de gigantes”. Los foros de Internet son una excelente forma de implementar la técnica de “brainstorming” que tan buenos resultados ofrece en las empresas para resolver problemas complejos. Por ello quiero agradecer a todos y cada uno de los que estuvieron allí, en el hilo Atlas, sin duda un nuevo misterio, primero sus ideas y después su ayuda, apoyo y ánimo para que este modelo llegara a concretarse en el presente artículo. Gracias a: Manuel Marqués López (nick: nimbar), David Mayo Turrado (nick: Mayo), Luis Gascón (nick: Toulouse), Pedro León (nick: Pedro), Adolfo Reig García-San Pedro (nick:Adonis), Javier Baena (nick: urheimait), a nick: neotrantoriano (quien primero nos puso sobre la pista de la “duna voladora”), David Vilches (nick: tucker), nick: Manu, Aitor Conde (nick: Bultza) que fue el primero en animarme a escribir un informe sobre las ideas que se estaban barajando acerca de Atlas, José Andrés Pérez (nick: zeroauriga), Augusto Bibolotti (nick: Eliolari), José María Ruiz Moreno (nick: Spiri), José Sánchez (nick: Rick Dekkard) y Sergio Álvarez Sanchís (nick: sergiotas). Gracias a todos. – 31 –

Referencias. [1] IAUC 3539: 1980 S 28 1980. url: http://cfa-www.harvard.edu/iauc/03500/03539.html [2] IAUC 3872: Satellites of Jupiter and Saturn 1983. url: http://cfa-www.harvard.edu/iauc/03800/03872.html [3] JPL-NASA. Cassini – Huygens. Multimedia – Images – Raw Images – Results. url: http://saturn.jpl.nasa.gov/multimedia/images/raw/raw-images- details.cfm?feiImageID=78235 [4] Édouard Roche: La figure d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné, Acad. des sciences de Montpellier, Vol. 1 (1847–50) p. 243 [5] Spitale, J. N.; et al. (2006). "The orbits of Saturn's small satellites derived from combined historic and Cassini imaging observations". The Astronomical Journal 132: 692. url: http://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph- bib_query?bibcode=2006AJ….132..692S&db_key=AST&data_type=HTML&format=&high =444b66a47d06040 [6] JPL-NASA. Cassini – Huygens. Multimedia – Images – Raw Images – Results. url: http://saturn.jpl.nasa.gov/multimedia/images/raw/raw-images- list.cfm?StartRow=17&cacheQ=1&browseLatest=0&storedQ=1446000 [7] JPL-NASA. Saturn: Moons: Atlas: Facts & Figures. url:http://sse.jpl.nasa.gov/planets/profile.cfm?Object=Sat_Atlas&Display=Facts&System=M etric [8] JPL-NASA. Cassini – Huygens .Moons – Atlas url: http://saturn.jpl.nasa.gov/science/moons/moonDetails.cfm?pageID=3 [9] NSSDC – GSFC – NASA. Saturnian Satellite Fact Sheet. url: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/saturniansatfact.html Bibliografía. [10] Ordaz E. Theory about Atlas morphology (Saturn moon). (2007) ArXiv. url: http://xxx.lanl.gov/PS_cache/arxiv/pdf/0708/0708.1678v1.pdf [11] Bradley C, Ostlie D. An Introduction to Modern Astrophysics. Weber State University. (1996) [12] Alonso M, Finn ED. Fundamental university physics, volume I, Mechanic. Addison- Wesley (1967) [13] Landau LD, Lifshitz EM. Classical fields Theory. Pergamon (1967) [14] Roche limit. Wikimedia Commons. url: http://en.wikipedia.org/wiki/Roche_limit [15] Satélite pastor. Wikimedia Commons. url: http://es.wikipedia.org/wiki/Sat%C3%A9lite_pastor [16] Spiegel MR, Lou J, Abellanas L. Mathematical handbookof formulas and tables. Mc Graw Hill (2000) – 32 –