Introducción al álgebra

1) RESEÑA HISTÓRICA DEL ÁLGEBRA

La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales y cuadráticas, así como ecuaciones indeterminadas como con varias incógnitas. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se la llamó "ciencia de reducción y equilibrio". (La palabra árabe al-yabr que significa "reducción", es el origen de la palabra álgebra). A los árabes se debe el desarrollo del Álgebra (siglo IX). Al-Juarismi, el más grande matemático musulmán, escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra "Kitab al-muhtasar fi hisad al-gabr wa-al-muqabala", de donde deriva el nombre de esta ciencia. Al-gabr significa ecuación o restauración; al-muqabala son los términos que hay que agregar o quitar para que la igualdad no se altere. Por esto, en rigor, el Álgebra no es más que una teoría de las ecuaciones.(Baldor A., 1992).

En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. La traducción al latín del Álgebra de Al-Jwarizmi fue publicada en el siglo XII.

Un avance importante en el Álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de Álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a la Matemática fue el descubrimiento de la Geometría Analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro de Geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. (Biblioteca de Consulta Microsoft Encarta 2004)

En la actualidad los conocimientos del Álgebra han encontrado aplicaciones en todas las ramas de la Matemática y en muchas otras ciencias llegando a ser empleados hasta para investigaciones sobre las leyes del pensamiento

2) NOMENCLATURA ALGEBRAICA

Expresión Algebraica.- Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas, así por ejemplo: a, 2x, a(b+c), 2x+y, x2-5x

Término.- Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el sigigno + o -, así por ejemplo:3a2, xy, -2abc2, -xyz

Elementos de un término.-Son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado, así por ejemplo:

En el caso de 3a2 el signo es positivo (cuando un término no va precedido de ningún signo es positivo), el coeficiente es 3, la parte literal es a2 y el grado es 2 (segundo grado).

En el caso de -ab2c3 el signo es negativo, el coeficiente es 1 (cuando un término no va precedido de ningún coeficiente, el coeficiente es la unidad), la parte literal es ab2c3 y el grado de primer grado con relación a la letra a porque el exponente de este factor es l, de segundo grado con relación a la letra b, y de tercer grado con relación a la letra c.

Nota: Para obtener el grado absoluto de un término se suma los exponentes de sus factores literales. En el caso de -2xy2z3 el grado absoluto de sexto grado porque la suma de los exponentes de sus factores es 1+2+3=6

Clases de términos

– Término entero.- El que no tiene denominador literal, así por ejemplo 7xy2z3.

– Término fraccionario.- El que tiene denominador literal, así por ejemplo

– Término racional.- El que no tiene radical, como los ejemplos anteriores

– Término irracional.- El que tiene radical. Ejemplo

– Términos homogéneos.- Los que tienen el mismo grado absoluto, así por ejemplo 2ab2c4 y 5x2y2z3 son homogéneos porque ambos son de séptimo grado absoluto

– Términos heterogéneos.- Los que no tienen el mismo grado absoluto

3) CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Monomio.- Es una expresión algebraica que consta de un solo término, así por ejemplo: 7a

Binomio.- Es una expresión algebraica que consta de dos términos, así por ejemplo: 3a2 – 2a

Trinomio.- Es una expresión algebraica que consta de tres términos, así por ejemplo: a 3 + b – c2

Cuatrinomio.- Es una expresión algebraica que consta de cuatro términos, así por ejemplo: x 3 + 4×2 + 2x +1

Nota: En general la expresión algebraica que consta de más de un término (binomio, trinomio, cuatrinomio,…) se llama Polinomio

El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra

El grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado. Ejemplo: El polinomio a5 -2a4 + a3 – 3a2 +a es de quinto grado.

El grado con relación a una letra de un polinomio es el mayor exponente de dicha letra. Ejemplo: El polinomio a5 + a 2b3 – a 6b2 es de sexto grado con relación a la letra a y de tercer grado con relación a la letra b.

Un polinomio puede estar ordenado con relación a una letra, llamada letra ordenatriz, en orden descendente o en orden ascendente. Así por ejemplo: El polinomio x5 + 5x4y – 2x3y2 + 4x4y3 + x5y4- y5 + 3 está ordenado en forma descendente respecto a la letra ordenatriz x y en orden ascendente respecto de la letra ordenatriz y. El término de un polinomio que no tiene parte literal se llama término independiente (el número 3 del ejemplo) y al ordenar un polinomio se lo ubica siempre al final.

4) REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen letras iguales con exponentes iguales. Así por ejemplo:

3a con a ; 8b con 7b; 3a2b3 con 2 a2b3; an+m con 3an+m

La reducción de términos semejantes es una operación a través de la cual se convierte en la menor cantidad de términos dos o más términos semejantes. Para la que se sigue los pasos:

–Se realiza todas las operaciones previas en el caso de existir (eliminación de signos de agrupación, aplicación de las diferentes propiedades de los números,..)

–Se suman todos los coeficientes positivos y todos los coeficientes negativos conservando el signo y la parte literal correspondiente.

–A los dos resultados obtenidos anteriormente se aplica las leyes de la suma y resta (signos iguales se suma y se conserva el signo de los sumandos, y signos diferentes se resta y se conserva el signo del número de mayor valor absoluto).

Ejemplos Ilustrativos

Reducir los siguientes polinomios:

1) 7a- 3a + 4a

Solución:

2) 7am – 3am + 4am – 2am

Solución:

3)

Solución:

4)

Solución:

5)

Solución:

5) SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

La suma y resta de polinomios no es otra cosa que la reducción de términos semejantes, para lo cual se sigue los siguientes pasos:

– Se ordena los polinomios en forma descendente o decreciente.

– Se cambia el signo en los términos del polinomio que se va a restar.

– Se escribe los monomios semejantes, uno debajo de otro.

– Si falta algún monomio en una de las columnas, se coloca un monomio semejante con coeficiente cero o se deja el espacio libre.

– Se suma algebraicamente los polinomios.

Ejemplos Ilustrativos

1) De la suma de x3-x2-x-4 con 7×2+8×3-x+5 restar 6x-2×3+x2-1

Solución:

a) Ordenando los polinomios, escribiendo los monomios semejantes uno debajo del otro y cambiando los signos en el tercer polinomio se obtiene:

b) Finalmente sumando algebraicamente los polinomios:

2) Restar 7+2a4 de la suma de 3-4a4+2a2-3a3 con 4a2-7a-3a4-5a3

Solución:

a) Ordenando los polinomios, escribiendo los monomios semejantes uno debajo del otro, cambiando los signos en el primer polinomio y dejando los espacios en los monomios faltantes se obtiene:

b) Finalmente sumando algebraicamente los polinomios:

3) De la suma de con restar

Solución:

a) Realizando los pasos de los ejemplos anteriores se obtiene:

b) Cálculo del monomio resultante en la primera columna:

c) Cálculo del monomio resultante en la segunda columna:

d) Cálculo del monomio resultante en la tercera columna:

e) Cálculo del monomio resultante en la cuarta columna:

f) Solución final:

4) Calcular los monomios que faltan para obtener la respuesta indicada

Solución:

a) Cálculo del monomio faltante en la primera columna:

Se obtiene restando los monomios sumandos (5a4 y 3a4) de la respuesta indicada (10a4), así: 10a4 -3a4- 5a4 = 2a4

b) Cálculo del monomio faltante en la segunda columna:

Se obtiene realizando el procedimiento anterior:

-2a3 -2a3- 4a3 = -8a3

c) Cálculo del monomio faltante en la tercera columna:

2a2 +5a2- 4a2 = 3a2

d) Cálculo del monomio faltante en la cuarta columna:

-4a -6a + 3a = -7a

e) Cálculo del monomio o término independiente faltante en la quinta columna:

-9 + 5 -3 = -7

f) Escribiendo los monomios calculados:

5) Calcular el polinomio que sumado con y da como respuesta

Solución:

Se obtiene restando los polinomios sumandos de la respuesta indicada

6) Calcular el perímetro de la siguiente figura en forma algebraica, y en forma numérica para a =

Solución:

a) Forma algebraica: Se obtiene sumando los polinomios:

b) Forma numérica: Se sustituye a = en el perímetro calculado en forma algebraica:

Perímetro = P

P = unidades

6) MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA

La multiplicación algebraica es una operación a través de la cual a partir de dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador se halla una tercera cantidad, llamada producto.

El multiplicando y multiplicador se llaman factores del producto.

La Multiplicación se fundamenta en la propiedad distributiva y propiedades de los exponentes de potencias de igual base

6.1) Multiplicación de un Monomio por un Polinomio

Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio

Ejemplos Ilustrativos

Multiplicar:

1)

Solución:

2)

Solución:

3)

Solución:

4)

Solución:

5)

Solución:

6) Calcular el perímetro y el área del siguiente rectángulo en forma algebraica, y en forma numérica para x = 2

Solución:

a) Cálculo del perímetro

b) Cálculo del área

6.2) Multiplicación de Polinomios por Polinomios

Se multiplica cada término del multiplicando por todos y cada uno de los términos del multiplicador.

Ejemplos Ilustrativos

Multiplicar:

1) por

Solución: Se escribe los polinomios ordenados dejando libre el espacio del término que no existe

Solución:

Solución:

4) Calcular el perímetro y el área del siguiente rectángulo en forma algebraica, y en forma numérica para x = 2

Solución:

a) Cálculo del perímetro

b) Cálculo del área

7) DIVISIÓN ALGEBRAICA

La división algebraica es una operación inversa a la multiplicación a través de la cual a partir de dos cantidades llamadas dividendo y divisor se halla una tercera cantidad, llamada cociente.

La división se fundamenta en la propiedad distributiva y propiedades de los exponentes de potencias de igual base

7.1) División de Polinomios por Monomios

Se divide cada uno de los términos del polinomio (dividendo) por el monomio (divisor)

Ejemplos Ilustrativos

Dividir:

1) entre 2xy

Solución: Antes de comenzar a dividir, el polinomio debe estar ordenado en forma decreciente

2) entre

Solución:

Solución:

7.2) División entre Polinomios

Para dividir un polinomio por otro polinomio, se sugiere el siguiente procedimiento:

– Ordenar los polinomios en forma decreciente.

-Cuando el polinomio dividendo no es completo se reemplazan los correspondientes términos faltantes con variables que tengan coeficientes cero o se deja los espacios, tanto en el dividendo como en el divisor.

– Dividir el primer término del dividendo para el primer término del divisor.

– Cuando los coeficientes del dividendo no son divisibles por los coeficientes del divisor, los cocientes respectivos se escriben en forma fraccionaria

– El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto (con signos opuestos) se resta de los términos semejantes del dividendo, obteniendo así el primer resto parcial.

– El primer término del resto parcial se divide por el primer término del divisor y se obtiene el segundo término del cociente.

– El proceso se repite hasta que el residuo sea cero o de menor grado que el divisor.

Ejemplos Ilustrativos

Dividir:

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

SUÁREZ I., Mario O., (2004), Hacia un Interaprendizaje Holístico de Álgebra y Geometría,

Editorial Gráficas Planeta, Ibarra, Ecuador.

Autor:

Mario Orlando Suárez Ibujes