La Integral: Un Enfoque Computacional

3. Perspectiva general de la integración
4. Cálculo de área de regiones planas mediante integrales
5. Volúmenes de sólidos
6. Crecimiento y decaimiento exponencial
7. Sucesiones
8. Límite de sucesión
9. Series infinitas
10. Aplicaciones del cálculo integral en computación matemática
11. Método de las arandelas
12. Método de los cascarones
13. Tema de aplicación
14. Bibliografía

1. INTRODUCCIÓN.

En el siguiente trabajo se presenta una perspectiva acerca de lo que es el Cálculo Integral así como diversos procedimientos involucrados para lograr resolver problemas dentro de ésta área, además, se dan algunos aspectos sobre el uso de esta disciplina en las ciencias de la computación y su relación con ella.

Esperamos que este trabajo sirva de ayuda o apoyo para estudiantes que están próximos a ingresar en una carrera de este tipo o que ya estén en una de ellas. Todos los comentarios o criticas sobre la elaboración de este documento son bienvenidas al correo que se presenta en la parte superior las cuales serán contestadas lo más pronto posible.

2. PERSPECTIVA GENERAL DE LA INTEGRACIÓN

La integración es el procedimiento por el cual se puede determinar el área limitada por la curva de ecuación y = f(x) el eje X y las rectas x = a y x = b.

Para encontrar dicha área inscribimos bajo la curva dada un número determinado de rectángulos, la suma del área de cada rectángulo es una aproximación del área bajo la curva, y conforme el número de rectángulos tiende a infinito nos aproximamos más al área exacta de la región. Se volvería muy complicado inscribir demasiados rectángulos y calcular el área de cada uno y después sumarla, por ello surge el procedimiento de la integral conforme al siguiente límite:

 Lo cual podemos expresar de la forma:

a la cual llamamos integral de f de a a b , ésta representa un número y ése número es el área de la región acotada entre la curva y las rectas mencionadas con anterioridad.

Los métodos de integración son procedimientos que nos permiten calcular este valor de manera más sencilla. Cuando este valor existe para la función, se dice que la función es integrable, de lo contrario es una función no integrable.

Teorema: Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces es integrable de a a b.

2.1. Propiedades de la integral:

Si f y g son funciones integrables en el intervalo [a, b] y k una constante, entonces f + g y kf son integrables en el mismo intervalo, y además se cumple:

Una integral que tiene límites de integración (a, b) se llama integral definida, de lo contrario se nombra indefinida.

Algunas de las integrales trigonométricas más conocidas son:

2.2. Método de integración por sustitución simple:

Sea f(x) diferenciable, entonces la diferencial de f(x) = f’(x)dx. Éste método se basa en realizar cambios de variable en el integrando, de tal forma que transforme la integral original en otra equivalente y más simple de integrar, ya sea por la tabla de integral anterior o por algún otro método.

Por otra parte, sabemos que para una función f integrable en el intervalo [a, b] su integral:

es un número y es posible definir una función mediante una integral definida, para esto hacemos lo siguiente:

Definimos:

de lo cual se desprende:

2.3. Método de integración por partes:

Si la integración por sustitución simple falla o se complica, es posible utilizar una doble sustitución conocida como integración por partes. Éste método tiene como base la integración de la igualdad de la derivada del producto de dos funciones:

La integral de VdU debe ser sencilla, y algunas veces puede repetirse el método de integración por partes varias veces hasta conseguir el resultado final.

2.4. Integración trigonométrica:

Para resolver integrales que involucran a funciones trigonométricas debemos hacer un uso adecuado de otros métodos, ya sea utilizando la tabla de integrales básicas o integración por partes y al mismo tiempo nos será muy útil conocer algunas identidades trigonométricas que pueden sustituirse en la función original para hacer la integración más fácil:

1. IDENTIDADES DE RECÍPROCOS:

1. Sen  Cosec 
2. Cos  Sec 
3. Tg Cotg 

1. DE COCIENTES O DIVISIÓN

1. Tg  Sen a / Cos 
2. Ctg  Cos a / Sen 

1. DE CUADRADOS (PITAGÓRICAS)

1. Sen2+ Cos2  
2. Sec2 + Tg2 
3. Cosec2 + Ctg2 

1. DE ÁNGULO MEDIO

1. Sen2  – Cos(2) / 2
2. Cos2  + Cos (2) / 2

Con estas identidades podemos transformas integrales trigonométricas complejas a algunas más sencillas.

2.5. Método de sustitución trigonométrica:

Cuando aparecen radicales en un integrando generalmente son problemáticos y por lo común tratamos de librarnos de ellos. Así, con una sustitución apropiada que racionalice la expresión nos permitirá simplificar.

Consideramos integrandos de la siguiente forma:

En donde para cada uno de ellos se sugieren las siguientes sustituciones:

1. x = b/a  Tg()
2. x = b/a  Sec()
3. x= b/a  Sen()

2.6. Fracciones parciales:

Éste método de integración comprende la integración de fracciones racionales, es decir, funciones cuyo numerador y denominador son funciones polinomiales: P(x) / Q(x). Se estudian aquellos casos en los cuales el grado del numerador es menor que el de el denominador. La idea es tratar de descomponer esta fracción en la suma de fracciones más simples denominada fracciones parciales.

Nos interesan también en nuestro estudio fracciones que al ser factorizadas, los factores que aparecen sean lineales o cuadráticos los cuales pueden o no repetirse.

De ésta forma el método de integración por descomposición de fracciones parciales lo estudiamos en dos apartados: Factores lineales y factores cuadráticos.

Procedimiento:

Para descomponer una función racional en fracciones parciales procedemos como sigue:

1. Si la función es impropia, esto es, si el grado de P(x) es mayor o igual al de Q(x) se realiza primero la división para expresarla en términos de fracciones propias.
2. Se factoriza Q(x) en producto de factores cuadráticos irreducibles con coeficientes reales. Factores esperados: ax + b y ax2 + bx + c
3. Por cada factor de la forma (ax + b)k se espera que la descomposición tenga la forma: A1/(ax + b) + A2/(ax + b)2 + … + Ak/(ax + b)k.
4. Por cada factor de la forma (ax + bx + c)m se espera que la descomposición tenga la forma en términos de: B1x + C1 / (ax2 + bx + c) + B2x + C2 / (ax2 + bx + c)2 + … + Bmx + Cm / (ax2 + bx + c)m.
5. Sustituya una función racional por la suma de las fracciones parciales.
6. Encuentra el valor de los coeficientes.
7. Calcule las integrales.

3. CÁLCULO DE ÁREA DE REGIONES PLANAS MEDIANTE INTEGRALES.

Para Calcular el área de una región R acotada por las gráficas y = f(x), x = a, x = b y y = 0 donde R esta por debajo de y = f(x) entre x = a y x = b su área esta dada por:

es decir, esto es para regiones por arriba del eje X, ahora, para regiones debajo del eje X, tenemos lo siguiente: El área es un número no negativo, si la gráfica y = f(x) esta por debajo del eje X, entonces:

es negativo y por tanto no puede ser un área, sin embargo, sólo es el negativo del área de la región R, entonces el área queda de la siguiente forma:

Para una región que contempla un área por debajo del eje X y al mismo tiempo por arriba, tenemos:

Una manera útil de pensar:

Cuando se consideran integrales muy complicadas, hay una manera muy útil para pensar siguiendo éstos pasos:

1. Bosqueje la gráfica.
2. Córtela en pedazos delgados (Tiras) y marque una pieza representativa.
3. Aproxime el área de esa pieza como si fuera un rectángulo.
4. Sume las aproximaciones a las áreas de las piezas.
5. Tome el límite cuando el ancho de las piezas se aproxima a cero, obteniendo así una integral definida.

3.1. Una región entre dos curvas:

Primero consideremos lo siguiente:

• Curvas: y = f(x) y y = g(x).
• g(x) < f(x) en a < x < b.

En la figura notamos que f(x) – g(x) da la altura perfecta de un rectángulo representativo, aunque g(x) esta debajo de X:

4. VOLÚMENES DE SÓLIDOS.

Podemos usar la integral definida entre otras cosas para el cálculo de volúmenes de sólidos al seccionar éstos y siempre y cuando el volumen de cada pedazo sea fácil de obtener.

Ya que una figura de alguno de estos tipos:

Se calcula como: V = Área de la base  altura, entonces el volumen de un fragmento de cilindro o de cualquier figura regular se obtiene como:

Ai xi

Por lo tanto, cualquier figura al ser seccionada se determina mediante:

Tomando el límite se tiene que:

5. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIAL:

Una de las aplicaciones de la integral se refiere al crecimiento y decaimiento exponencial. El crecimiento o disminución de algún dato se puede expresar de forma matemática con las funciones ln(x) y ex y usar la integración y derivación para encontrar una fórmula que nos permita hacer el cálculo de alguna cantidad que crece en un tiempo determinado, encontrar ese tiempo o bien , la contante de crecimiento o decaimiento a la cual está sujeta cierta cantidad inicial. Sabemos que si tenemos una función y = f(t) puede haber un desplazamiento y respecto a un cambio de tiempo t, por tanto:

y = kyt

Si despejamos obtenemos y /t = ky y en su forma de límite, esto representa la ecuación diferencial:

dy / dt = ky,

Aquí, k representa una constante de crecimiento o decaimiento:

Si k > 0, entonces se denomina crecimiento exponencial.

Si k < 0, entonces se denomina decaimiento exponencial.

Para resolver la última ecuación dada, despejamos t y "y" tenemos: dy / y = kdt, integrando de ambos lados tenemos:

6. SUCESIONES.

En lenguaje llano podemos decir que una sucesión es un arreglo ordenado de números reales, uno para cada natural existente y formalmente hablando es una función definida de la siguiente forma:

f: IN à IR

Las sucesiones las denotamos de la siguiente forma: f(n) = an, o bien de la forma: {an} nIN.

Siendo funciones, entonces podemos hablar de las siguientes operaciones:

• {an} + {bn} = {an + bn};
• {an}  {bn} = {an  bn}:
• {an} / {bn} = {an / bn} con bn !=0.

Las formas para representar sucesiones son: explícita y recursiva. Por ejemplo, una forma explícita es: {2/n}nIN è an=2/n. Una forma recursiva es: a1 = 3, a2 = 5 … an = 2an-1+1.

• Se dice que una sucesión es creciente si an+1 > an " neIN.
• Se dice que una sucesión es decreciente si an+1 < an " neIN.

Cuando hay la posibilidad de igualdad se agrega el prefijo "monótono".

Se dice que una sucesión está acotada si: keIR | an < k " neIN. è k es una cota superior, o bien, si: keIR | an > k " neIN è k es cota inferior.

7. LÍMITE DE SUCESIÓN.

Definición: La sucesión {an} converge a L y escribimos:

si para cada número positivo e hay un número positivo correspondiente N talque:

n > N è | an – L | < e

Si no hay un número finito L al que converja una sucesión, se dice que esta diverge o que es divergente. Los límites de sucesión válidos son:

Sean {an} y {bn} sucesiones convergentes y k una constante, entonces:

Teorema: Si {an} es no decreciente y acotada superiormente, entonces an converge. Un enunciado análogo es: Si {an} es no creciente y acotada inferiormente, entonces an converge.

Subsucesión: Es una sucesión que se forma con algunos de los términos de una sucesión dada, por ejemplo: Sea una sucesión {n}, entonces con ella podemos formar las subsucesiones {2n} o bien {2n-1}, etcétera.

8. SERIES INFINITAS.

Sea {an} nIN y {Sn} nIN talque:

S1 = a1;

S2 = a1 + a2;

S3 = a1 + a2 + a3;

.Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

Entonces a {Sn} se le llama serie infinita y la denotamos por:

Además, se dice que {an} es sumable si la sucesión {Sn} converge y el límite de {Sn} es la sumatoria.

8.1. Convergencia:

Convergencia de:

Para determinare la convergencia de una serie infinita utilizamos los siguientes criterios:

1. 

2. Criterio de Cauchy: La sucesión {an} es sumable si y sólo si:

   

3. Criterio del resto:

   

4. Criterio de acotación: Una serie no negativa es no convergente si y sólo si el conjunto de sumas parciales es acotado.

   

   Prueba o criterio del cociente: Supóngase que an " neIN y que

5. Criterio de comparación: Supóngase que 0 < an < bn " neIN, entonces:
6. Criterio de la Integral: Supongamos que f es positiva y decreciente en [1, ) y que f(n) = an, entonces:

8.1.1. Convergencia Absoluta:

La serie:

se dice absolutamente convergente si la serie:

Teorema: Toda serie absolutamente convergente es convergente. Además, una serie es absolutamente convergente si y solo si, la serie formada con sus términos negativos y la serie formada con sus términos positivos son ambas convergentes.

8.2. Linealidad de las series convergentes:

9. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN COMPUTACIÓN MATEMÁTICA.

Sabemos ahora que el cálculo integral tiene diversas aplicaciones no solo en el campo de las matemáticas, sino además en otras ciencias que no precisamente son ciencias exactas.

Entre las aplicaciones más conocidas tenemos la obtención de áreas delimitadas por curvas de cualquier forma, así mismo la obtención del volumen de sólidos de revolución.

El trabajo de los computólogos en el área de las matemáticas se ha extendido hacia casi cualquier área de conocimiento, actualmente la mayoría de las micro, pequeñas y medianas empresas basan todos sus movimientos con la ayuda de computadoras, y ahí se centra la actividad principal de los Ingenieros y Licenciados en Ciencias de la Computación.

Éstas actividades de las cuales hablamos que debe desarrollar un computólogo son entre otras las que se refieren a los siguientes puntos:

1. Generación de Software.
2. Creación de sistemas que coadyuven al mejoramiento de la comunicación entre empresas e instituciones.
3. Comunicación y transmisión de información.
4. Generación de Hardware que haga cada vez más eficiente
5. Investigación y desarrollo de los mecanismos computacionales que existen actualmente .

Estamos de acuerdo en que el mundo actual sería un caos sin la ayuda de las computadoras, artilugios que hacen que la información requerida por una empresa llegue en cuestión de segundos a su destinatario, pero todo esto tampoco se podría llevar a cabo sin la ayuda de lo que son precisamente las Ciencias de la Computación, entre ellas, el Cálculo, y en esta ocasión nos referimos especialmente al Cálculo Integral.

Una de las aplicaciones menos conocidas del entorno de la Computación es la creación de software para la generación de otros aparatos que facilitan la tarea de otras personas no dedicadas al área de las matemáticas; por ejemplo, que haría un físico-matemático si no contara con un software que tenga como tarea primordial el cálculo de funciones matemáticas, o la graficación de éstas mismas, la labor de este tipo de científicos se volvería muy tediosa, es por ello que en la actualidad se genera software como el de Mathemática, Derive, Maple y Theorist, los cuales pueden crear hermosas figuras de objetos matemáticos, y además realizar muchos tipos de cálculos incluyendo integración simbólica.

Entre otras aplicaciones del Cálculo se encuentras las presentadas a continuación, que se refieren no solamente a la Computación matemática:

9.1. NEGOCIOS.

Costos de transporte:

Una compañía de autobuses está dispuesta a alquilar sus vehículos solo ha grupos de 35 o más personas. Si un grupo consta de 35 personas, cada una paga US$60. En grupos mayores, la tarifa de todas las personas se reduce en 50 centavos por cada persona adicional. Exprese los ingresos de la compañía de autobuses como una función del tamaño del grupo, elabore la gráfica y estime que tamaño del grupo maximizará los ingresos.

Costos de construcción:

Una caja cerrada, de base cuadrada, tiene un volumen de 250 m³. El material de las partes superior e inferior de la caja cuesta US $2 por m² y el de los lados, US $1 por m². Exprese el volumen de la caja como una función de la longitud de su base.

9.2. VOLUMEN:

A partir de una pieza cuadrada de cartón de 18 por 18 pulg ², quitando un pequeño cuadrado de cada esquina y plegando las alas para formar los lados, construirá una caja abierta. Exprese el volumen de la caja resultante como una función de longitud x de un lado de los lados eliminados. Elabore la gráfica y calcule el valor de x para el cual el volumen de la caja resultante es el máximo.

9.3. ECONOMÍA:

Distribución de fondos:

Un fabricante planea vender un nuevo producto al precio de US $150 por unidad y estima que si gastan x miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en promoción, los consumidores compraran aproximadamente (320y / y + 2)+(160x / x + 4) unidades del producto. Si los costos de fabricación de este producto son US $50 por unidad, ¿cuánto debería gastar el fabricante en desarrollo y cuanto en promoción para generar la mayor utilidad posible en la venta de este producto? [nota: Utilidad =(N º de unidades) (precio por unidad – costo por unidad) – cantidad total gastada en desarrollo y promoción]

Ventas al por menor:

Una lechería produce leche entera y leche descremada en cantidades x e y galones, respectivamente. Suponga que el precio de la leche entera es p(x)=000-x, y el de la leche descremada es q(y)=100-y. Suponga que C(x, y) = x² + xy + y² es la función de costos conjuntos de los productos. ¿Cuales deberían ser x e y para maximizar las utilidades?

9.4. CIENCIAS SOCIALES:

Agotamiento de reservas:

Cierto gas raro usado en procesos industriales tenía reservas conocidas de 3 exp 11 m³ en 1990. En 1991, se consumía 1.7 exp 9 m³ del gas con un incremento anual del 7.3% ¿cuando se agotarán las reservas conocidas del gas?

Valor presente:

Una inversión garantiza pagos anuales de US $1.000 a perpetuidad; empezando de inmediato con los pagos. Halle el valor presente de esta inversión si la taza de interés anual predominante permanece fija al 12% capitalizado continuamente. (sugerencias: El valor presente de la inversión es la suma de los valores presentes de los pagos individuales.)

Control de calidad:

Tres inspectores se turnan para revisar componentes electrónicos a medida que salen de una línea de ensamblaje. Si el 10% de todos los componentes producidos en la línea de ensamblaje son defectuosos, halle la probabilidad de que el inspector que prueba el primer componente sea el mismo que encuentra el primer componente defectuoso.

10. MÉTODO DE LAS ARANDELAS

Cuando tenemos dos curvas, y la región que se forma entre ellas se hace girar, formando un sólido de revolución, es posible que se genere un agujero en el centro, éstos discos se conocen con el nombre de arandelas, en este caso para calcular el volumen de dicho sólido se calcula el radio del círculo que se engendra en el centro y además el del disco total, esta será la base de nuestro cilindro, por lo cual para poder calcular su área, necesitaremos el área de la base, que se obtiene restándole al radio mayor el radio menor, el resultado lo multiplicamos por ¶ y después por la altura, observe la figura que viene a continuación:

Figura 1

EJEMPLO 1: Encontrar el volumen del sólido generado al hacer girar la región acotada por las parábolas y=x2 y y2=8x en torno al eje X.

SOLUCIÓN: Para Dar solución al problema presente veamos la siguiente gráfica, en ella observamos que r1=x2 y r2= y que los interceptos entre las curvas son el origen (0,0) y (2,4), por tanto el volumen del sólidos que buscamos se encuentra entre la región [0,2], sustituyendo en la fórmula dada en la Figura 1 tenemos lo siguiente:

Figura 2

EJEMPLO 2: La región semicircular acotada por la curva x = (4 – y2 )1/2 y el eje y se hace girar alrededor de la recta x = -1, formular la integral que representa su volumen.

SOLUCIÓN: El radio exterior de la arandela es 1 + (4 – y2)1/2 y el radio interior es 1, haciendo las sustituciones requeridas tenemos lo siguiente:

Figura 3

11. MÉTODO DE LOS CASCARONES.

Considere una región del tipo que se muestra en la Figura 4. Si la rebanamos de manera vertical y la hacemos girar en torno al eje y, generará un sólido de revolución , y cada rebanada generará una pieza que es aproximadamente un cascarón cilíndrico. Para obtener el volumen de este sólido, calculamos el volumen V de un cascarón representativo, sumamos y tomamos el límite cuando el grosor de los cascarones tiende a cero y de ahí obtenemos una integral:

Figura 4.

EJEMPLO 1: La región acotada por y = 1 / x1/2 , el eje x, x = 1 y x = 4se hace girar entorno al eje y. Encontrar el volumen del sólido resultante.

Solución: Con base en la Figura 4 vemos que el volumen del cascarón que se genera es:

V = 2x f(x) x

esto para f(x) = 1 / x1/2, tenemos: V = 21 / x1/2x x, entonces el volumen se encuentra por medio de integración:

EJEMPLO 2: La región acotada por la recta y = (r / h)x, el eje x y x = h se hace girar en torno al eje x, y por ello se genera un cono (suponer que r>0, h>0 ), encontrar su volumen por medio del método de los cascarones.

Solución: Siguiendo los pasos sugeridos por la Figura 5 tenemos que el volumen es:

Para ver el gráfico seleccione la opción "Bajar trabajo" del menú superior

Figura 5.

12. TEMA DE APLICACIÓN

Aplicación a resortes (Trabajo): De acuerdo con la ley de Hooke en física la fuerza F(x) necesaria para mantener un resorte estirado (o comprimido) x unidades alargado (o acortado) de su longitud natural está dada por F(x) = kx.

Aquí la contante k, es la constante del resorte y es positiva y depende del resorte particular bajo consideración, entre más rígido sea el resorte mayor será el valor de k.

EJEMPLO 1: Si la longitud natural de un resorte es 0.2 metros y si es necesaria una fuerza de 12 newtons para mantenerlo estirado 0.04 metros, encuentre el trabajo hecho al estirar el resorte de su longitud natural a una longitud de 0.3 metros.

Solución: Por la ley de Hook antes mencionada, la fuerza requerida para mantener el resorte estirado x pulgadas está dada por F(x)= kx. Para evaluar la constante del resorte, k, para este resorte en particular, observamos que F(0.04) = 12, por lo que k · 0.04 = 12 o bien, k = 300, de modo que: F(x) = 300x.

Note que cuando el resorte tiene su longitud natural de 0.2 metros, x = 0, cuando tiene una longitud de 0.3 metros, x = 0.1, por tanto, el trabajo hecho al estirar el resorte esta dado por:

Aplicación a bombeo de un líquido: Para bombear agua de un tanque se requiere trabajo, para conocer esa cantidad de trabajo debemos tomar en cuenta los mismos principios básicos que tomamos con integración.

EJEMPLO 2: Encontrar el trabajo realizado al bombear agua hasta el borde superior de u depósito, que es de 50 pies de largo y tiene extremos semicirculares de radio = 10 pies, si el depósito está lleno hasta una profundidad de 7 pies (vea la figura).

Solución: Colocamos un extremo del tanque en un sistema de coordenadas, como se muestra en la última figura. Una rebanada horizontal representativa se muestra en ambas figuras de éste ejemplo; esta rebanada es aproximadamente una caja delgada , de modo que calculamos su volumen multiplicando su largo, ancho y grosor, su peso es su densidad, P = 62.4, por su volumen. Finalmente, notamos que la rebanada debe elevarse una distancia de –y (el signo menos es porque en la figura y es negativa).

13. BIBLIOGRAFÍA

1. Purcell Edwin J., Varberg Dale, Rigdon Steven E., (2001) Cálculo, Prentice Hall.
2. Microsoft Encarta Edición 2001.
3. (2002) Matemáticas VI, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla.

Luis Antonio Fernández Aldana

Estudiante del 3er. Cuatrimestre de Ingeniería en Ciencias de la Computación.

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla.

Facultad de Ciencias de la Computación.

11 / Diciembre / 2003.