La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes. Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional. Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad. También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones. En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco
“ Geometría 1º 5 puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos. Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal.
“ PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Quién colocó la piedra angular de la geometría científica?
Rpta.______________________
2. ¿Cómo contribuyó Euclides, en el avance de la geometría?
Rpta.______________________
3. El libro de Euclides se denominó:
Rpta.______________________ los 4. ¿Quiénes introdujeron problemas de construcción? Rpta.______________________
5. ¿Quienes estudiaron a las curvas conocidas como “cónicas”?
Rpta._______________________
6. ¿En qué contribuyó Arquímedes?
Rpta.______________________ la 7. ¿Quiénes desarrollaron geometría no Euclídea?
Rpta.______________________ el concepto de 8. ¿Cuál es geometría? Rpta.______________________
Geometría 1º 9. Diga cuáles son los otros campos de la geometría
Rpta.___________________
10. ¿En qué época la geometría tuvo un letargo en su avance?
Rpta. ___________________
11. ¿Cuáles son los tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega? Rpta.____________________ 12. ¿Quienes impulsaron los modernos avances de la geometría?
Rpta. ___________________
13. ¿Qué es la geometría demostrativa?
Rpta.___________________ 14. ¿Qué matemático, escribió el “Discurso del Método”?
Rpta.____________________ 15. ¿En qué se interesaban los primeros geómetras? Rpta._____________________
6
“ Geometría 1º 7 PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Parte de la matemática que se ocupa de las propiedades en su forma más elemental B) Geometría D) Física A) Astronomía C) Topología E) Química 2. Uno de los campos de la geometría es: B) Geografía D) Astronomía A) Topología C) Meteorología E) Geología 3. Colocó la piedra angular de la geometría científica A) Euclides C) Arquímedes B) Apolonio D) Pitágoras E) Descartes
4. La geometría demostrativa de los griegos se ocupaba de: A) Planos y Rectas B) Ángulos C) Puntos y Rectas D) Curvas E) Polígonos y círculos 5. Escribió el libro “Los Elementos” A) Pitágoras C) Descartes B) Euclides D) Gauss E) Arquímedes
6. ¿Quiénes introdujeron los problemas de construcción?
A) Los Persas B) Los Egipcios C) Los Griegos D) Los Babilonios E) Los Romanos 7. En que año se demostró la cuadratura del círculo A) 1772 C) 1552 B) 1662 D) 1882 E) 2003
8. Estudió a las “Cónicas” A) B) C) Nikolai Lobacheski Arthur Cayley Apolonio de Perga D) E) Arquímedes Euclides 9. ¿Quién publicó el libro “El Discurso del Método”? A) B) C) D) E) Pitágoras René Descartes Apolonio de Perga Euclides Fiedrich Gauss 10. ¿Quién desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones? A) B) C) D) E) Arthur Cayley János Bolyai Euclides Gauss Arquímedes
“ Geometría 1º 8 ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA – SEGMENTOS
ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA
El Plano Imagina una hoja de papel que se extiende indefinidamente en todas sus direcciones. Esto te dará una idea de Plano. El plano no tiene límite y solamente podemos representar una parte de él. La recta es una línea que se extiende indefinidamente en ambos sentidos. Se designa a veces por dos letras mayúsculas o por una sola letra (mayúscula o minúscula). La recta es un sub conjunto de plano, esto quiere decir que el plano contiene infinitas rectas. Notación:
: Se lee “recta AB” : Se lee “recta L” : Se lee recta “m” El Punto En el plano P se han trazado las rectas m y n las cuales se cortan en el punto “A”, o sea la intersección de las dos rectas en el punto “A”. Luego:
“ 9 Semirrecta . . El punto A divide a la recta en dos partes, cada parte recibe el nombre de semirrecta. Rayo
: Rayo de Origen “O” y que pasa por “B” : Rayo de Origen “O” y que pasa por “A”
A la unión de una semirrecta con un punto frontera se llama rayo. El punto donde se inicia el rayo se llama origen. Segmento
: Se lee “Segmento AB” : Se lee “Segmento BA”
La parte de una recta comprendida entre dos puntos, incluyendo a dichos puntos se llama segmento. Un segmento se denota por letras mayúsculas que corresponden a sus extremos, con una rayita superior. El segmento se diferencia de la recta, el rayo y la semirrecta, por tener longitud.
SEGMENTOS Medición o Comparación de Segmentos La longitud de un segmento es la distancia que hay entre los dos puntos de cada uno de sus extremos.
Ejemplo: Al medir el segmento con una regla graduada en centímetros comprobamos que su medida es de 4 cm. Operaciones con Segmentos Las operaciones se realizan con los números que indican las longitudes.
Geometría 1º
“ Geometría 1º 10 Ejemplo:
Con respecto a la figura que se muestra, realizar las operaciones siguientes: 1) AM + MN – NB
Rpta. _ _ _ _ _ _
2) 2AM + 3MN 4) 2AM . NB MN NB
Rpta. _ _ _ _ _ _ 5) NB2 – AM2 Rpta. _ _ _ _ _ _ Rpta. _ _ _ _ _ _
3) AM . MN + MN . NB
Rpta. _ _ _ _ _ _
PROBLEMAS PARA LA CLASE
NIVEL I
1. En una recta se toman los puntos consecutivos P, Q y R, PR =20; QR = 4. Hallar PQ
Rpta.
2. Si: M y N son puntos medios de ó . Hallar: AB Rpta.
3. Si: AC + AB = 32 Hallar BC Rpta.
“ Geometría 1º 11 4. Hallar BC, si AC = 9; BD = 11, AD = 15
Rpta.
5. Si: 2AB = 3BC = 7CD = 84, Hallar AC
Rpta. NIVEL II 6. Si: B y C son puntos medios de y . Hallar AD Rpta.
7. Si: AB = CD = 18; BC = DE = 16. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de y Rpta.
8. Si: AC + BD = 36. Hallar AD Rpta. 9. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C tal que AB – BC = 6 y AB + BC = 10 Hallar AB
Rpta.
NIVEL III
10. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C, siendo AC = 12. Calcule la longitud del segmento cuyos extremos son los puntos medios de y respectivamente Rpta. 11. En una recta se ubican los puntos A, B, C y D tal que CD 2 BC AB 3 , siendo AD = 12. Calcule BC.
Rpta. 12. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C tal que AB = 2BC y AC = 6. Calcule: BC
Rpta. y AC – 13. Si: M es punto medio de CE = 32. Hallar MC Rpta.
“ Geometría 1º 12 14. Si: AB = 10, BC = 18. Hallar BM, siendo M punto de
Rpta. y AB + 15. Si M es punto medio de AC = 38.
Hallar AM
Rpta PROBLEMAS PARA LA CASA
1. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C; AC = 30, BC = 12. Hallar AB A) 16 B) 15 C) 14 D) 18 E) 20 2. Si P y Q son puntos medios de y . Hallar MR C) 24 A) 12 D) 26 B) 20 E) 28 3. Si: PR + PQ = 64. Hallar QR A) 14 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20 4. Hallar QR, si. PR = 18; QS = 22, PS = 30 A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 5. Si: 3PQ = 4QR = 5RS = 60. Hallar PS A) 41 B) 43 C) 47 D) 48 E) 60 6. Si: M y N son puntos medios de y Hallar PQ A) 24 B) 36 C) 48 D) 46 E) 50
“ Geometría 1º 13 7. Si: PQ = RS = 14; QR = ST = 12. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de y ST. A) 34 B) 36 C) 39 D) 38 E) 37 8. Si: N es punto medio de PR y PQ – QR = 48. Hallar NQ A) 15 B) 28 C) 29 D) 34 E) 17 9. Si M es punto medio de Ln y KL + Kn = 40. Hallar KM A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 10. Si N es punto medio de QR y además PQ + PR = 30. Hallar PN A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 40 NADA HAY TAN CONTAGIOSO COMO EL OPTIMISMO. VIVIR CON UN AMIGO OPTIMISTA ES ENCONTRAR LA CLAVE DE LA FELICIDAD. EL LLANTO DE LOS OTROS SUELE HACERNOS LLORAR; PERO LA RISA DE LOS OTROS, INVARIABLEMENTE, NOS HARÁ IRREMISIBLEMENTE, REÍR. AMADO NERVO
“ Geometría 1º 14 ¿SABÍAS QUÉ…
EN LA CARRERA PROFESIONAL
DE
ADMINISTRACIÓN El Licenciado en Administración, organiza, promueve y desarrolla empresas e instituciones que ofrecen bienes o servicios a los diferentes mercados, hace uso de métodos e instrumentos científicos y tecnológicos para optimizar el potencial humano, los recursos materiales, tecnológicos, económicos, y financieros de las organizaciones para mejorar la calidad, competitividad, eficacia y eficiencia. Gerencia, asesora y presta consultoría a organizaciones. Realiza investigaciones administrativas, formula y administra proyectos de inversión.
“ Geometría 1º 15 Cuenta la historia que Thales de Mileto, el gran matemático griego, en uno de sus viajes se dirigió a Egipto, donde quedó maravillado del esplendor y grandeza de las pirámides y lejos de medir la altura de una de ellas optó por un mejor camino, el cálculo, gracias a la sombra que proyectaba esta gigantesca construcción, la ayuda de un bastón que portaba y los conocimientos de geometría que tenía, pudo lograr su ansiado objetivo.
“ Geometría 1º 16 ÁNGULOS Observa como en cada momento las manecillas del reloj forman un ángulo.
DEFINICIÓN Ángulo es la unión de dos rayos que tienen un origen común.
ELEMENTOS – Lados: Son los rayos y – Vértice: Es el origen común “B”
Notación: En general los ángulos se designan con tres letras mayúsculas; la letra central corresponde al vértice. Algunas veces, cuando no hay lugar a confusión un ángulo se nombra con la letra del vértice.
ABC, ABC El símbolo se lee “ángulo”
“ Geometría 1º 17 MEDIDA DE UN ÁNGULO
Los ángulos se miden en grados sexagesimales. Para encontrar la medida de un ángulo se utiliza un instrumento llamado transportador. Cuando no se conoce la medida, se representa mediante una letra griega en la abertura.
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Es el rayo que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos ángulos congruentes. divide al ?A0B en dos ángulos. A0P y P0B que son congruentes por tener la misma medida “ ” luego. es bisectriz de ?A0B
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA
1.-Ángulo Nulo
Cuando sus dos lados coinciden midiendo de esta manera 0º. . mA0B = 0º . 2.-Ángulo Agudo Es el ángulo cuya medida es menor que 90º y mayor que 0º. . 0º < m?A0B < 90º .
“ Geometría 1º 18 3._Ángulo Recto Es el ángulo cuya medida es igual a 90º. . m?A0B = 90º . 4.-Ángulo Obtuso Es el ángulo cuya medida es menor que 180º pero mayor que 90º. . 90 < m?A0B < 180º . 5.-Ángulo Llano Es aquel cuya medida es 180º. (sus lados se encuentran extendidos en direcciones opuestas) . m?A0B = 180º .
6.-Ángulo de una Vuelta Es el ángulo cuya medida es 360º
. m?A0B = 360º .
Geometría 1º 19 “
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN
Ángulos Consecutivos
Son los que tienen lados en común y el mismo vértice Ángulo Opuestos por el Vértice
Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y sus lados son opuestos (tienen la misma medida) CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN LA COMPARACIÓN DE SUS MEDIDAS
Ángulos Complementarios Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90º.
“ Geometría 1º 20 . + = 90º . Ángulos Suplementarios Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180º . + = 180º . TEOREMAS FUNDAMENTALES
Teorema I La suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados alrededor de un mismo vértice y a un mismo lado de una recta es 180º . + + + = 180º . Teorema II La suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto en un plano es 360º.
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