Geometría (página 3)

“ 21 . + + + + = 360º . PROBLEMAS PARA LA CLASE NIVEL I 1. En la figura, hallar “ ” Rpta.

2. Hallar “x” Rpta.

Geometría 1º 3. Se tiene los ángulos consecutivos A0B , B0C y C0D, m?A0C = 60º y m?BOD = 40º, m? B0D = 80º. Hallar m? B0C.

Rpta.

4. En la figura, hallar “ ”

Rpta. 5. En lafiguramostrada,hallar“ ” Rpta.

“ Geometría 1º NIVEL II

6. En la figura mostrada: = 3x – 10º = 2x + 5º Hallar el complemento de “ ” Rpta.

7. En la figura mostrada es bisectriz del ángulo A0B es bisectriz del ángulo B0C m?A0C = 72º. Hallar m?x0y

Rpta. 8. En la figura, hallar el valor de “ ” = x + 5º = x + 20º = 4x + 10º = 100º – x Rpta.

9. En la figura, m?A0D = 90º. Hallar el valor de “x” Rpta.

NIVEL III

10. Hallar el suplemento del complemento de 20º Rpta.

11. Hallar el complemento de un ángulo que mide el doble de 16º. Rpta.

12. Hallar el suplemento de la mitad de un ángulo que mide 66º. Rpta. es igual a 4 ; 13. El suplemento de hallar “ ” Rpta. 14. El complemento de “ ” más el suplemento de “ ” es igual a 170º. Hallar “ ” Rpta.

22

“ Geometría 1º 23 Por ejemplo :

Convertir : a) 60' 2 22º 1 º 2 22º 45 º 2 22º30' 45 º 2 22º 30' 45 º 2 b) 60' 4 4º 1º 4 4º 17 º 4 4º 15' 4º15' 17 º 4 = 5º4'48'' 127 º 25 15. Si el suplemento de “x” es igual a “2x” Hallar “x” Rpta.

Sabias que : ? 1º ? 1’ ? 1º > 60’ > 60’’ > 3600’’ 60’ 2(60’) 12’

“ Geometría 1º 24 16. Calcular : 27 º 2 17. Calcular

18. Calcular 35 º 2

125º 4 19. Calcular 127 º 8 20. Calcular 85 º 4 21. Indicar verdadero ó falso según corresponda: a. El ángulo tiene dos lados ( ) b. El ángulo tiene dos bisectrices ( ) c. El ángulo esta formado por dos semirrectas. ( ) d. Todos los ángulos están medidos en grados sexagesimales ( ) e. El ángulo agudo es mayor que 90º ( )

22. Indicar verdadero ó falso según el ángulo. a.

b. La unidad del ángulo es el grado sexagesimal (1º) ( ) El minuto sexagesimal es (1’) ( ) c. El segundo sexagesimal es (1’’) ( ) d.

e. Un grado (1º) ; equivale a 60 minutos sexagesimales (60’’) ( )

Un minuto (1’) equivale a 60 segundos sexagesimales (60’’) ( ) 23. Indicar verdadero o falso, según corresponda: a. El ángulo agudo es menor que 90º; b.

c. pero mayor que 0º ( ) El ángulo obtuso es mayor que 90º; ( ) pero menor que 180º El ángulo recto mide 180º ( ) d. El ángulo llano mide 90º ( ) e. El ángulo de revolución ó de una vuelta mide 360º ( ) 24. Relacionar las alternativas:

a) Ángulo Agudo

b) Ángulo Obtuso

c) Ángulo Recto

d) Ángulo de una vuelta siguientes

( ) 180º ( ) 27º ( ) 360º ( ) 90º e) Ángulo Llano ( ) 150º

Geometría 1º 25 “

25. Calcular : CCC(23º)

26. Calcular : SSSSS(142º)

PROBLEMAS PARA LA CASA

NIVEL I 1. En la figura, hallar “ ” C) 10º A) 12º D) 15º B) 20º E) 16º 2. Hallar “x” C) 100º A) 90º D) 110º B) 80º E) 120º 3. Se tienen los ángulos consecutivos A0B , B0C y C0D.m?A0C = 50º, m?B0D = 30º. y m?A0D = 70º C) 15º Hallar m A) 5º D) 20º B0C B) 10º E) 25º 4. En la figura, hallar “ ” C) 90º A) 70º D) 100º B) 80º E) 60º

“ Geometría 1º 26 5. En la figura, m A0D = 100º. Hallar el valor de “x” C) 10º A) 15º D) 15º B) 12º E) 16º NIVEL II

6. En la figura que se muestra, hallar “x” A) 10º B) 15º C) 20º D) 25º E) 30º 7. En la figura mostrada = 4x – 15º ; =x – 5 C) 32º A) 52º D) 22º B) 42º E) 12º 8. Hallar el complemento del complemento del complemento de 50º C) 60º A) 40º D) 80º B) 50º E) 30º 9. El suplemento de un ángulo es 5 y el complemento del mismo ángulo es . ¿Cuál es ese ángulo? B) 22º30' D) 23º30' A) 20º C) 23º E) 24º 10. Hallar el suplemento del complemento de 40º C) 140º A) 120º D) 110º B) 130º E) 90º NIVEL III 11. Calcular “ ” en grados y minutos. º= 37 º 4 12. Calcular “ ” en grados y minutos.

105º º= 8

“ Geometría 1º 27

“ Geometría 1º 28 TRIÁNGULOS I – PROPIEDADES BASICAS

CONCEPTO

Es un polígono que tiene tres lados

CLASIFICACIÓN Según la Medida de sus Lados Según la Medida de sus Ángulos PROPIEDADES BÁSICAS

1. La suma de los ángulos interiores en un triángulo es 180º. . + + = 180º .

Geometría 1º 29 “

2. Un ángulo exterior cualquiera es siempre igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él. . = + . PROBLEMAS PARA LA CLASE NIVEL I

1. Hallar en: Rpta. 2. Hallar “x”: Rpta.

3. Hallar : Rpta. 4. Calcular “x” Rpta.

5. Hallar “x” su BD es bisectriz

“ Geometría 1º 30 7. Hallar “x” Rpta.

8. Hallar “x” en Rpta. 9. En la figura, hallar “x” Rpta.

10. Determinar “x”

Rpta. NIVEL III

11. Calcular “x”, si AB = BC = CD Rpta.

12. Determinar “x”. Si AB = BC, BP = BQ Rpta. 50 °

Rpta. NIVEL II

6. Del gráfico calcular “x”

x x 30 °

“ Geometría 1º 31 13. Hallar “ ”

Rpta.

14. Hallar la suma de los ángulos A, B , C , D y E . 15. Hallar “ ” en:

Rpta. Rpta.

“ Geometría 1º 32 PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Hallar “ ” en: C) 14º A) 12º D) 15º B) 13º E) 16º 2. Hallar “x” en: C) 30º A) 10º D) 40º B) 20º E) 50º 3. Hallar en: C) 20º A) 10º D) 40º B) 30º E) 5º 4. Hallar “ ” si: QS es una

bisectriz C) 38º A) 30º D) 25º B) 40º E) 20º 5. Hallar “x” en: A) 70º B) 80º C) 90º D) 60º E) 100º

“ Geometría 1º 33 6. Hallar “x” en: C) 30º A) 10º D) 40º B) 20º E) 50º 7. Hallar “x” en: C) 11º A) 15º D) 10º B) 12º E) 14º 8. En la figura, hallar “x” A) 30º B) 40º C) 50º D) 60º E) 70º 9. En la figura, hallar “x” C) 30º A) 15º D) 60º B) 50º E) 40º 10. Hallar el valor de “x” C) 40º A) 10º D) 20º B) 30º E) 60º

“ 34 Bernhard Riemann ( 1826 – 1866), matemático alemán

que elaboró un sistema de Geometría que contribuyó al

desarrollo de la Física teórica moderna.

Nació en Breselenz y estudió en las universidades de

Gotinga y Berlín. Su tesis doctoral Foundations for

a

General Theory of Functions of a Complex Variable (Fundamentos

para una teoría general de funciones de variables complejas),

presentaba en 1851, ontituyó una extraordinaria aportación a

la teoría de funciones. Desde 1857 hasta su muerte fue

profesor de matemáticas en la Universidda de Gotinga.

La importancia de la Geometría de Riemann radica en el

uso y extensión de la Geometría Euclídea y de la Geometría

de superficies, que conduce a muchas Geometrías

diferenciales generalizadas. El efecto más importante

de estas investigaciones fue que logró una aplicación

geométrica para algunas abstracciones del análisis

de tensores, que conducía a algunos de los conceptos que

utilizó más tarde Albert Einstein al desarrollar su teoría

de la relatividad. La Geometría de Riemann también

es necesaria para tratar la electricidad y el magnetismo en

la estructura de la relatividad general.

Geometría 1º

“ Geometría 1º 35 ¿SABÍAS QUÉ… EN LA CARRERA PROFESIONAL DE

INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA El ingeniero de sistemas tiene como función principal

elaborar soluciones sobre la base de elementos tecnológicos

(hardware, software y de comunicación); estas soluciones pueden corresponder a construcción, adaptación y/o implantación de dichos elementos integrados para satisfacer las

necesidades de las empresas, en todos sus niveles de gestión

(operativa, táctica y estratégica).

“ Geometría 1º 36 ÍNDICE

II

BIMESTRE CAPÍTULO V.

VI. TRIÁNGULOS II: LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES……………………………………..37

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS ……….51 VII. CUADRILÁTEROS I – PROPIEDADES BÁSICAS …………………..59

MISELANEA I ………………………………….74

MISELANEA II………………………………….77

REFORZAMIENTO DE ANGULOS …………79

“ 37 TRIANGULO II: LINEAS Y PUNTOS NOTABLES

ALTURA Segmento que sale de un vértice y corta en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación. Ortocentro (H) Es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. H: Ortocentro. PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO ORTOCENTRO. ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO. ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO. SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL VÉRTICE DEL ÁNGULO RECTO.

MEDIANA Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a dicho vértice. Baricentro (G) Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un triángulo. G: Baricentro

Geometría 1º

“ Geometría 1º 38 ??? AG CG 2GN 2GS ? TEOREMA? BG 2GM PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO BARICENTRO. DIVIDE A CADA MEDIANA EN RELACIÓN COMO 1 ES A2. EL BARICENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR. ES LLAMADO TAMBIÉN GRAVICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD DE LA REGIÓN TRIANGULAR.

BISECTRIZ Segmento que divide a un ángulo interior o exterior en dos ángulos de igual medida. Incentro (I) Es el punto donde se intersectan las tres bisectrices interiores de un triángulo, es el centro de la circunferencia inscrita PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO INCENTRO. EL INCENTRO EQUIDISTA E LOS LADOS DEL TRIÁNGULO. EL INCENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR DEL TRIÁNGULO.

Excentro (E) Es el punto donde se intersectan dos bisectrices exteriores con una bisectriz interior en un triángulo, es el centro de la circunferencia exinscrita

“ Geometría 1º 39 E: Encentro relativo de

PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE TRES EXCENTROS. LOS EXCENTROS SON SIEMPRE PUNTOS EXTERIORES AL TRIÁNGULO.

MEDIATRIZ Es una recta que pasa por el punto medio de un lado cortándolo en forma perpendicular. : Mediatriz de

Circuncentro (O)

Es el punto donde se corta las tres mediatices de un triángulo. C: Circuncentro, es el centro de la circunferencia circunscrita

“ Geometría 1º 40 PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO CIRCUNCENTRO. EL CIRCUNCENTRO EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO. ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO. ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO. SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL PUNTO MEDIO DE LA HIPOTENUSA. Propiedad: Si: “0” es circuncentro . x=2 . CEVIANA Segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación.

Geometría 1º 41 “

Cevacentro (C) Es el punto donde se intersectan tres cevianas de un triángulo. PARA RECORDAR: TODO TRIÁNGULO TIENE INFINITOS CEVACENTROS.

OBSERVACIONES: – PARA UBICAR UN PUNTO NOTABLE SÓLO ES NECESARIO TRAZAR – DOS LÍNEAS NOTABLES DE LA MISMA ESPECIE. EN TODOS LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES SI SE TRAZA UNA DE LAS CUATRO PRIMERAS LÍNEAS NOTABLES HACIA LA BASE; DICHA LÍNEA CUMPLE LAS MISMAS FUNCIONES QUE LAS OTRAS. – EN TODO TRIÁNGULO EQUILÁTERO EL ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y CIRCUNCENTRO COINCIDEN. – EN TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES, EL ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y EL EXCENTRO RELATIVO A LA BASE, SE ENCUENTRAN ALINEADOS EN LA MEDIATRIZ DE LA BASE.

“ Geometría 1º 42 1. PROPIEDADES CON LÍNEAS NOTABLES

Ángulo formado por dos bisectrices interiores. a 2 90 . x . 2. Ángulo formado por dos bisectrices exteriores. a 2 90 . x . 3. Ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior. a 2 . x . 4. a 2 45 . x .

“ Geometría 1º 43 5. a b 2 . x . 6. a b 2 . x . 7. 2 . x .

“ Geometría 1º 44 PROBLEMAS PARA LA CLASE NIVEL I

1. Hallar “x” si BM es bisectriz Rpta. 2. Hallar “a” Rpta. 3. Hallar “x” 4. Hallar “x” si AMes bisectriz Rpta. 5. Hallar “x”: Rpta. A interior del B C 30 º ABC

M 130 º x a-1

5 3 x 3 3

60º

.

Rpta.

“ 45 NIVEL II

6. Hallar el valor de “x” en Rpta. 7. Hallar el valor de “x” en Rpta. 8. Hallar el valor de “x” Rpta.

Geometría 1º 9. Hallar el valor de “x” en Rpta. 10. Hallar el valor de “x” en Rpta.

“ Geometría 1º 46 NIVEL III

11. Hallar el valor de “x” Rpta.

12. Hallar el valor de “x” Rpta. 13. Hallar de “x” en

14. Hallar “x” Rpta.

15. Hallar “x”, si BH es bisectriz Rpta. Rpta

“ Geometría 1º 47 PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Hallar “x” C) 30º A) 10º D) 40º B) 20º E) 50º 2. Hallar “x” en C) 20º A) 40º D) 10º B) 30º E) 15º 3. Hallar “x”, si BF es bisectriz C) 17º A) 10º D) 20º B) 15º E) 30º 4. Hallar “x” si BM es bisectriz A) 30º B) 35º C) 36º D) 40º E) 20º 5. Hallar AM si BM es mediana C) 3 A) 1 D) 4 B) 2 E) 5 6. Hallar el valor de “x” si G es el baricentro

“ Geometría 1º 48 C) 3 A) 1 D) 4 B) 2 E) 5 7. Hallar “x” en la siguiente figura A) 30º B) 40º C) 60º D) 70º E) 45º 8. Hallar el valor de “x” en A) 60º B) 90º C) 120º D) 140º E) N.A. 9. Hallar “x” C) 100º A) 80º D) 110º B) 90º E) 120º 10. Hallar “x” C) 90º A) 30º D) 70º B) 60º E) 120º

“ Geometría 1º 49 Sin duda Pitágoras es el matemático más conocido del

gran público. Todo el mundo recuerda su famoso teorema.

Pero las Matemáticas le deben a Pitágoras y a los pitagóricos mucho

más. Ellos son los que pusieron las primeras piedras científicas no solo

de la Geometría sino también de la Aritmética, de la Astronomía y de la

Música.

“ Geometría 1º 50 SABÍAS QUÉ… LA CARRERA PROFESIONAL DE ODONTOLOGÍA El odontólogo trata las afecciones y enfermedades buco– dentales y conexas. Desarrolla acciones de carácter integral, de diagnóstico, prevención, promoción, tratamiento, recuperación, rehabilitación y administración de salud del sistema estomatognático, tanto a nivel individual como de la comunidad.

Ámbito de Trabajo: Sector salud, servicios de sanidad, hospitales militares – policiales, clínicas, policlínicos, servicios odontológicos, centros educativos, seguros, empresas industriales, consultorios particulares e instituciones odontológicas.

“ Geometría 1º 51 CONGRUENCIA DE TRIANGULOS DEFINICIÓN Dos triángulos son congruentes, si tienen sus tres lados congruentes y sus tres ángulos congruentes respectivamente. OBSERVACIÓN: EN UN PROBLEMA ABC = PQR

DADO SE PODRÁ AFIRMAR QUE DOS TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES SI TIENEN COMO MÍNIMO TRES ELEMENTOS IGUALES, DE LOS CUALES UNO DE ELLOS DEBE SER UN LADO.

CASOS DE CONGRUENCIA EN TRIÁNGULOS

1. Caso (L.A.L.) 2. Caso (A.L.A.)

“ Geometría 1º 52 3. CASO (L.L.L.) 4. Caso (L.L.A.) : Opuesto al mayor lado

PROPIEDADES EN CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

1. De la Bisectriz Todo punto situado en la bisectriz siempre equidista de los lados del ángulo. . PA PB 0A 0B . 2. De la Mediatriz Todo punto situado en la mediatriz e un segmento, siempre equidista de los extremos de dicho segmento.

. PA = PB .

3. De la Base Media de un Triángulo El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado y mide la mitad de lo que mide el tercer lado.

“ Geometría 1º 53 Si: // Si: M y N son puntos medios . BN = NC . AC 2 . MN . 4. De la Mediana Relativa a la Hipotenusa La mediana relativa a la hipotenusa siempre mide la mitad de lo que mide la hipotenusa. AC 2 . BM .

“ Geometría 1º 54 PROBLEMAS PARA LA CLASE NIVEL I

1. Hallar “a + b” en

Rpta.

2. Hallar el valor del ángulo” ” en

Rpta. 3. Hallar “x” en Rpta.

4. Hallar el valor de “x” Rpta. 5. Hallar el valor de “x” en

Rpta.

NIVEL II

6. Hallar el valor de “x” en Rpta.

7. Hallar el valor del ángulo “x” Rpta. x 40 39 25 39 25 40 74 37 º 69 50 º 30 º x

“ 55 8. Calcular “x” Rpta.

10. Hallar el valor de “x” en Rpta.

NIVEL III

11. Hallar el valor de “ ” en: Rpta.

Geometría 1º 12. Hallar el valor de “x” en Rpta. 13. Hallar el valor de “x” en Rpta. a a b 40 60 x b

Rpta.

9. Hallar el valor de “x” en 2 x 7 Rpta.

14. Hallar el valor de “x” en

x 80

40

Rpta.

15. Hallar el valor de “x”

8 8 5 5 20 x x 70

“ Geometría 1º 56 1. Hallar “P + Q” en: C) 34 A) 24 D) 44 B) 14 E) 54 2. Hallar “x” en: C) 50º A) 30º D) 35º B) 60º E) 40º 3. Hallar el valor de “x + y” en A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 PROBLEMAS PARA LA CASA

4. Hallar el valor de “x” en C) 8 A) 6 D) 9 B) 7 E) 10 5. Hallar el valor del ángulo “x” en C) 80º A) 50º D) 70º B) 30º E) 90º 6. Hallar el valor de “x” en A) 20º B) 160º C) 80º D) 60º E) NA 20 x

“ Geometría 1º 57 7. Hallar el valor de “x” en C) 30 A) 20 D) 40 B) 10 E) 15 8. Hallar el valor de “x” en C) 14 A) 12 D) 15 B) 13 E) 16 9. Hallar el valor del ángulo “x” en C) 13 A) 11 D) 14 B) 12 E) 15 10. Hallar el valor de “x” en C) 15º A) 10º D) 13º B) 20º E) NA 6 5 a b 7 5 a b

“ Geometría 1º 58 Euclides en el libro más famoso de la Historia de las Matemáticas recoge gran parte de los conocimientos Pitagóricos sobre los números y define los números primos y compuestos de forma geométrica: un número entero es compuesto cuando tiene divisores distintos de él mismo y de la unidad, es decir cuando se puede dibujar como un rectángulo numérico.

“ Geometría 1º 59 CUADRILÁTEROS

DEFINICION.-

Es aquel polígono que tiene 4 lados, teniendo dos a dos un extremo común. A B C D B1 B4 B3 1 2 B2

3 4 ELEMENTOS.- 1)

2)

3) LADOS AB, BC, CD y DA

Son los segmentos rectilíneos que lo limitan. Los lados que no tiene vértice común recibe el nombre de lados opuestos.

Ejm: AB y CD , son lados opuestos como BC y DA .

VERTICES: (A, B, C y D)

Son las intersecciones de dos lados consecutivos. En todo cuadrilátero, el número de lados es igual al número de vértices.

ÁNGULOS INTERIORES ( 1, 2, 3 y 4)

Son los ángulos que se forman por dos lados consecutivos, la suma de s interiores en un cuadrilátero es = 360°. Se cumple que:

1 + 2 + 3 + 4 = 360°

“ Geometría 1º 60 4)

5) ÁNGULOS EXTERIORES (B1, B2, B3 y B4) Son los ángulos formados en un vértice por un lado y la prolongación del lado consecutivo. Los ángulos exteriores son adyacentes a los interiores. La suma de sus ángulos exteriores en un cuadrilátero es igual a 360°

B1 + B2 + B3 + B4 = 360°

DIAGONALES AC y BD

Son los segmentos de recta que unen dos vértices no consecutivos. A D CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS

Por la forma de su contorno

Convexos.- Son aquellos cuadriláteros en los que cualquier recta secante, determina 2 puntos de corte.

B

C 1 2 Cóncava.- Son aquellos cuadriláteros en los que existe al menos una secante que determina más de dos puntos de corte. 1 4 3 2

“ Geometría 1º 61 A C m m CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS

De acuerdo al paralelismo de sus lados los cuadriláteros se dividen en: Trapezoide, Trapecio y Paralelogramo.

A. Trapezoides.- Son aquellos cuadriláteros que no tienen lados opuestos, ningún lado paralelo al otro paralelo.

a. Simétrico.- Es aquel en el que una de sus diagonales es mediatriz de la otra. B Propiedades: Línea de Simetría ˆ BDC ˆ ADB ˆ ˆ CD BC; AD DBC AB ABD a L : mediatriz de BD

D L

b. Asimétrico: Es aquel que no tiene ninguna simetría. También llamado trapezoide irregular. b c d

B. Trapecios.- Es el cuadrilátero que solo tiene dos lados paralelos denominados bases. B C H l m N

m

D M

l

A BASES: BC ; AD BC // MN // AD

// “ Geometría 1º 62 B b B A D C MN: Mediana del trapecio. Es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. Se le conoce también como “base media”. CH: Altura del trapecio. Es la distancia entre sus dos bases. CLASIFICACIÓN DE LOS TRAPECIOS

a. Escaleno.- Es aquel que tiene sus lados no paralelos desiguales. a b b. Isósceles.- Es aquel que tiene sus lados no paralelo iguales. Se cumple D ˆ B ; C ˆ ˆ A ˆ AD BC BD AC

Las diagonales – Los ángulos opuestos son suplementarios + = 180°

“ Geometría 1º 63 c. Rectángulo.- Es aquel trapecio donde uno sus lados no paralelos es perpendicular a sus bases. B A D C PROPIEDADES DEL TRAPECIO

a m

b

a

n b

C. PARALELOGRAMOS.- Son aquellos cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos y congruentes. Se cumple que los ángulos opuestos son de igual medida y dos ángulos consecutivos siempre suplementarios. Además sus diagonales se bisecan mutuamente. Se cumple: AB // DC y AD // BC AD BC ; AB CD OD OC y BO AO CH: altura + = 180° b a 2

b a 2 m

n 0 A B C D H m n m n

Geometría 1º 64 – “

Los ángulos opuestos son iguales y los ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios. C ˆ D ; A ˆ ˆ B ˆ ˆ ˆ 180 180 B D ˆ A C ˆ a. Romboide.- Es el paralelogramo propiamente dicho. A B C D H a b b F a b. (BH ; BF: Alturas)

Rectángulo.- Es el paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos iguales y rectos (equiángulo) y sus lados opuestos iguales dos a dos. Llamado también, cuadrilongo. A B C D Se cumple: CD BD ; AB AC 90 D ˆ C ˆ B ˆ A ˆ – Las diagonales son iguales: BC AD

Geometría 1º 65 a a a a B D CB CD AB AD B A = 45° CA AB BD DC c. “

Rombo.- Es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y sus ángulos opuestos dos a dos. Es un paralelogramo equilátero. A –

d. C Las diagonales son perpendiculares entre si y bisectriz de sus ángulos.

Cuadrado.- Es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y sus cuatro ángulos iguales y rectos (es un paralelogramo equiángulo y equilátero) – BC C D

Sus diagonales son iguales. AD

Geometría 1º 66 “

PROPIEDADES GENERALES

1. Ángulo formado por 2 bisectrices.

C

B

x°

D A 2. ángulo formado por dos bisectrices interiores no consecutivos. C

B D x°

A

3. cuadrilátero cóncavo. A C B D

x 2 x 2 x x ˆ

“ Geometría 1º 67 4. a b x 5. b a y x a b 2 x b a 2 x 2 a b y

“ Geometría 1º 68 PROBLEMAS PARA LA CLASE NIVEL I

01)Del gráfico. Calcular “x” según corresponda. Rpta.:

02)Hallar la base menor de un trapecio, sabiendo la diferencia de la mediana y el segmento que une los puntos medios de sus diagonales es 40.

Rpta.: 03)Calcular “x” Rpta.: Rpta. 150º Rpta.: 07)Calcular “x”.

x x 130 º 120 x 80 40 153 120 x 12

Rpta.: 45 04)Hallar “x”

5x 8x 4x 3x 05)Calcular “x”.

2x x x

Rpta.:

NIVEL II

06)Calcular “x” 80º 120 º x x

“ :

08)ABCD: es un cuadrado APD y CQD son triángulo equiláteros. Calcular “x”. A B C D x P Q D A Rpta.:

09)Calcular EF, si ED = 4, CD = 7 y AD = 17 (CF = FB). B F C E 45°

Rpta.: NIVEL III 10)Hallar la base menor de un trapecio si la diferencia en la mediana y el segmento que une de las los puntos medios diagonales es igual a 10. Rpta.:

11)Calcular la relación entre las medidas de las bases de un trapecio en la cual se cumple que las diagonales trisecan a la mediana.

Rpta.:

Geometría 1º 12)En un trapecio, la mediana mide 15 y el segmento que une los puntos medios de las diagonales mide 7. Calcular la medida de la base mayor. Rpta.: 13)Las bases de un trapecio isósceles son proporcionales a los números 5 y 7. Si la suma de los lados no paralelos es 14 y su perímetro es 38. Calcular la longitud de la mediana.

Rpta.: 14)Si AD = 7 y CE = 5. Calcular NK, sabiendo además que BN es mediana y BN = MN. N A D C B E M K ˆ ˆ Rpta.:

15)En un trapecio ABCD (BC : base menor) la medida del ángulo A = 60° y la medida del ángulo D = 60º. Si BC = 4 y CD = 6. Calcular la mediana del trapecio. Rpta.

69

“ Geometría 1º 70 01)Las bases y la PROBLEMAS PARA LA CASA

mediana de un 66. Hallar la trapecio suman mediana. b) 22 d) 44 a) 11 c) 33 e) 45 02)En un cuadrilátero ABCD los lados AB, BC y CD tienen igual medida. Si la medida del ángulo ˆ B C ˆ 70 y la medida del ángulo 60 . Calcular la medida del ˆ ángulo A . a) 60 c) 85 b) 75 d) 80 ˆ ˆ e) 100

03)En un trapecio isósceles ABCD (BC //AD ) la medida del ángulo A =la medida del ángulo D = 60°. Calcular la medida del segmento que une los puntos medios de las diagonales AC y BD , si AB = 6. a) 3 b) 4 c) 5 d) 5 e) 7

04)Calcular “x” a) 30° c) 42° b) 54° d) 120° e) NA° 05)Del gráfico BC = y CD = 12, calcular “MN”. M N B A D C 120°C b) 3 d) 7 a) 1 c) 5 e) NA 06)La mediana del trapecio mostrado mide 10. Calcular AB. B A D C

45° 153 120 x 12 45

“ a) 10 c) 30 b) 20 d) 40 e) 50

07) Si ABCD es un cuadrado BPC y CQD son triángulos equiláteros, calcular “x”. A B C D P Q x° b) 65 d) 75 a) 60 c) 70 e) 80 08)En la figura calcular la medida del ángulo “x” si ABCD es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero. B C D x

A

Geometría 1º E a) 75 c) 35 b) 65 d) 15 e) 45

09) En la figura ABCD es un rectángulo: calcular la medida del ángulo ABH, si la medida del ángulo BOC = 130. A B C D H O b) 25 d) 35 a) 20 c) 30 e) 40 10)Las diagonales de un rombo miden 24 y 10 calcular su perímetro. a) 50 c) 52 b) 51 d) 53 e) 54 11)En la figura ABCD es un cuadrado de lado 4 2 . Hallar

el perímetro del rombo AMCN. Si BM = 1.

71

“ Geometría 1º 72 A B C D M N a) 10 c) 18 b) 16 d) 20 e) 22

12)En un rectángulo ABCD por un

punto “P” de la diagonal BD se prolonga CP hasta un punto medio “M” de modo que PM PCy además BD=20 y BP = 6. Hallar AM. b) 6 d) 10 a) 4 c) 8 e) 12 a) 40º b) 50º d) 35º c) 60º e) NA 14)En un trapecio ABCD BC //AD , la medida del ángulo

BAD = 82, la medida del ángulo ADC = 16. Calcular la longitud BC = 6 y de la mediana si CD = 10. b) 8 d) 10 a) 5 c) 9 e) 11 15)En un trapezoide ABCD la diagonal BD es perpendicular al lado AB y AB = BC = BD. Calcular la medida del ángulo ACD. b) 35 d) 45 a) 30 c) 40 e) 50 13)Calcular “x”

x 40 º 60 º

“ Geometría 1º 73 c. 300? a.C. Herófilo revoluciona la anatomía El médico griego Herófilo es el primero en basar sus conclusiones anatómicas en la disección del cuerpo humano. Reconoce el cerebro como centro del sistema nervioso. Diferencia los nervios motores de los sensoriales y es el primero en conocer que las arterias contienen sangre y no aire.

c. 300? a.C. Euclides escribe Elementos de geometría El matemático griego Euclides escribe Elementos de geometría, un extenso tratado de matemáticas en 13 volúmenes, sobre geometría plana, proporciones en general, propiedades de los números, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio.

c. 300? a.C. Zenón de Citio funda el estoicismo Aproximadamente en el 300 a.C. el griego Zenón de Citio fundó la escuela filosófica del estoicismo. Mantenía que los individuos deben vivir de acuerdo con las leyes de la naturaleza.

c. 300? a.C. – d.C. c. 300 Periodo Yayoi El periodo Jomon en Japón da paso al periodo Yayoi, una nueva cultura, que comienza en Kyûshû, se va extendiendo lentamente hacia el este y se impone de forma gradual. La cultura Yayoi es más avanzada, introduce el cultivo encharcado del arroz, el tejido, utilitarias cerámicas cocidas a altas temperaturas y herramientas de hierro.

Geometría 1º 74 “

MISCELÁNEA DE EJERCICIOS PROPUESTOS I

1. En una recta se toman los puntos consecutivos P, Q y R, PR =32; QR=8. Hallar PQ

Rpta. 2. Hallar BC, si AC = 12; BD = 15, AD= 20 Rpta. 3. Si: 3AB = 4BC = 6CD = 72, Hallar AC

Rpta. 4. Si: AB = CD = 24; BC = DE = 20. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de y Rpta.

“ Geometría 1º 75 5. Si: AC + BD = 48. Hallar AD Rpta. 6. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C tal que AB – BC = 14 y AB + BC = 32 Hallar AB

Rpta. 7. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C, siendo AC = 84. Calcule la longitud del segmento cuyos extremos son los puntos medios de y respectivamente Rpta. 8. En una recta se ubican los puntos A, AB CD B, C y D tal que BC , 4 3 siendoAD = 64. Calcule BC.

Rpta.

“ Geometría 1º 76 9. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C tal que AB = 4BC y AC = 15.Calcule: BC

Rpta. y AC – 10. Si: M es punto medio de CE = 64. Hallar MC Rpta. 11. Si: AB = 16, BC = 28. Hallar BM, siendo M punto de

Rpta . y AB + 12. Si M es punto medio de AC = 62. Hallar AM Rpta.

“ Geometría 1º 77 MISCELÁNEA DE EJERCICIOS PROPUESTOS II 1. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C; AC = 48, BC= 25. Hallar AB F) 20 G) 21 H) 22 I) 23 J) 24 2. Hallar QR, si. PR = 20; QS = 24, PS = 36 M) 10 K) 8 N) 11 L) 9 O) 12 3. Si: 2PQ = 4QR = 3RS = 120. Hallar PS P) 140 Q) 120 R) 130 S) 160 T) 150

4. Si: PQ = RS = 18; QR = ST = 14. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de y ST. W)49 U) 44 X) 48 V) 46 Y) 47 5. Si: N es punto medio de PR y PQ – QR = 56. Hallar NQ BB) 29 Z) 25 CC) 24 AA) 28 DD) 27

“ Geometría 1º 78 6. Si M es punto medio de LN y KL + KN = 72. Hallar KM GG) 36 EE) 16 HH) 40 FF) 26 II) 50 7. Si N es punto medio de QR y además PQ + PR = 86. Hallar PN LL) 48 JJ) 13 MM) 86 KK)23 NN) 43

“ Geometría 1º 79 REFORZAMIENTO DE ANGULOS

1. Se tiene los ángulos consecutivos A0B, B0C y C0D, m?A0C = 64º y m?BOD = 26º, m? B0D = 78º. Hallar m? B0C.

Rpta. 2. En la figura mostrada: = 5x – 25º = 4x + 25º Hallar el complemento de “ ”

Rpta. 3. En la figura mostrada es bisectriz del ángulo A0B es bisectriz del ángulo B0C m?A0C = 66º. Hallar m?x0y Rpta.

4. En la figura, hallar el valor de “ ” = 2x + 15º = 3x + 20º = 5x + 10º = 45º – x

Rpta.

“ 80 5. En la figura, m?A0D = 60º. Hallar el valor de “x” Rpta. del 6. Hallar el suplemento complemento de 60º Rpta. 7. Hallar el complemento de un ángulo que mide el doble de 18º.

Rpta. 8. Halar el suplemento de la mitad de un ángulo que mide 48º.

Rpta.

Geometría 1º es igual a 4 ; 9. El suplemento de hallar “ ”

Rpta. 10. El complemento de “ ” más el suplemento de “ ” es igual a 145º. Hallar “ ”

Rpta. 11. Si el suplemento de “x” es igual a “4x” Hallar “x”

Rpta.

Geometría 1º 81 “

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. En la figura, hallar “ 3 5 ” H) 10º F) 12º I) 15º G) 20º J) 16º 2. Se tienen los ángulos consecutivos A0B, B0C y C0D.m?A0C = 40º, m?B0D = 58º. Y m?A0D = 84º. Hallar m?B0C M) 16º K) 15º N) 20º L) 14º O) 22º 3. En la figura mostrada

= 5x – 25º =x – 5 R) 35º P) 32º S) 42º Q) 42º T) 52º 4. Hallar el complemento del complemento del complemento de 42º W)71º U) 42º X) 48º V) 54º Y) 24º

“ Geometría 1º 82 5. El suplemento de un ángulo es 7 y el complemento del mismo ángulo es 2 . ¿Cuál es ese ángulo? AA) CC) 52º30' 53º30' Z) 50º BB) DD) 53º 54º 6. Hallar el suplemento del complemento del complemento 28º EE) 59º FF) 60º GG) 61º HH) 62º II) 28º

Geometría 1º 83

INDICE

III BIMESTRE

CAPÍTULO

VIII.CIRCUNFERENCIA – PROPIEDADES………………….84 IX.

X. CIRCUNFERENCIA – ÁNGULOS …………….………….93

SEMEJANZA – PROPORCIONALIDAD ………………105

Geometría 1º 84 r t B P: punto de tangencia

r : radio

T: recta tangente r P COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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LA CIRCUNFERENCIA – PROPIEDADES

Concepto: Es el lugar geométrico de todos los puntos en un plano que equidistan de un punto fijo llamado: centro, la distancia del centro cualquier punto de la circunferencia se llama radio.

r

Líneas notables en lacircunferencia:

* Radio : r

* AB: CUERDA.- Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Cuando pasa por el centro se llama diámetro (cuerda máxima),

* t : RECTA TANGENTE.- Es la recta que toca en un sólo punto a la circunferencia. A Teoremas Fundamentales

TEOREMA I

TEOREMA DEL RADIO Y LA TANGENTE

Todo radio que llega al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.

t

Geometría 1º 85

B r A

r 0 P

AP = BP r A C b a c B a + b = c + 2r TEOREMA II

TEOREMA DE LAS DOS TANGENTES.

Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una misma circunferencia, los segmentos comprendidos entre los puntos de tangencia y el punto exterior son congruentes. TEOREMA III

TEOREMA DE LA BISECTRIZ DEL ÁNGULO FORMADO POR 2 TANGENTES.

El segmento que une el vértice del ángulo formado por dos tangentes con el centro de la circunferencia, es bisectriz del ángulo. TEOREMA IV

TEORENA DE PONCELET

“ En todo triángulo rectángulo: la suma de catetos es igual a la hipotenusa más el doble del radio de la circunferencia inscrita.

Geometría 1º 86 a-c=b-d D b C a c B A B b a R S C

d D Q c P COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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TEOREMA V

TEOREMA DE PITOT

“ En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia se cumple que 2 lados opuestos suman igual que los otros 2”

a+c=b+d A

TEOREMA VI

TEOREMA DE STEINER

Geometría 1º 87 NIVEL I 01)De las siguientes proposiciones cuales son V o F I.

II.

III. Una cuerda es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. El radio es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. Una recta tangente es aquella que tiene un punto en común con la circunferencia. AD = A D Rpta.:

02)Si AB = 2CD y BC = 8, 16. Calcular CD. B

C Rpta.: COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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PROBLEMAS PARA LA CLASE

03)Si las bases de un trapecio isósceles miden 16 y 36. Calcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita. Rpta.:

04)El perímetro de un triángulo rectángulo es 60 y el radio de la circunferencia inscrita mide 4. Calcular la longitud de la hipotenusa. N C A Rpta.:

05)Si M, N y P. Son puntos de tangencia y AB = 7, BC = 8, AC = 9. Calcular “BP”.

B

P M Rpta.:

Geometría 1º 88 A D NIVEL II

06)Si AB = 12. Calcular “r”. B

r

2 3 Rpta.:

07)Un rectángulo con lados de 36 y48 se divide por la diagonal en dos triángulos. En cada uno de ellos esta inscrita una circunferencia. La distancia entre sus centros es: C A 1 x° D 5-a Rpta.:

08)En la figura calcular el perímetro del triángulo ABC. Si “O” es centro.

B

E

F Q COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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C

Rpta.:

09)Calcular la longitud de la hipotenusa de un triángulo de perímetro 30, si el radio de la circunferencia inscrita a dicho triángulo mide 2. Rpta.:

89 COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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NIVEL III

10) En la figura R, T y S son puntos de tangencia AB = 13, BC = 14 y AC = 15. Calcular AS. r x

O Rpta.:

11)Hallar “x”, si AB = 24 y r = 13.

A B Rpta.: 12)Calcular el perímetro del trapecio mostrado.

2

8 Rpta.:

Geometría 1º

Geometría 1º 90 Si: R = 2 y r = 1 B C A Q P R r a) 4 y 2 b) 6 y 4 c) 3 y 5 d) 6 y 10 e) 11 y 22

02)Del siguiente gráfico. Calcular “r”, si AB = 7, BC = 4, CE = 3 y AD = 8 A B D C r E c) 3 a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 03)En el gráfico. Calcular r1 + r2. Si AB = 9 y AD = BC + CD B COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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PROBLEMAS PARA LA CASA

A

01)Del gráfico. Hallar “PQ” y “PC”. C D r1 r2 a) 2 b) 3 c) 4.5 d) 6 e) 7 04)Hallar x, si AB = 8, R = 5

A B c) 3 a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 05)Calcular “x”, si PA = 7, R = 3 R x P A Q O a) 45° d) 72° b) 37° c) 60° e) 30°

r Geometría 1º 91 A C 06)Hallar “r”, AB = 3, AC = 4

B b) 2 d) 4 a) 1 c) 3 e) 5 07)En la figura calcular “x” si “O”, es centro y AB = 1, BC = 8 C B R O A a) 4 b) 5 c) 2 d) 3 e) 6

08)Calcular el área del círculo inscrito en un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 cm y la diferencia de las medidas de los catetos es 4 cm. b) 6 cm2 d) 16 cm2 a) 4 cm2 c) 8 cm2 e) 32 cm2 A C

09)En la figura AC – AB = 6m. Calcular “PQ”

B

P Q b) 3m d) 18m a) 6m c) 12m e) 9m 10)En la figura M, N y P. Son puntos de tangencia. Si AM = 12. Hallar el perímetro del triángulo ABC.

M

B

N C P

b) 24 d) 18 A

a) 12 c) 26 e) 30 11)En la figura: P, Q, R y S, son puntos de tangencia. Si AB = 12, BC = 15 y CD = 5. Hallar “AD“.

P A Q R C B D S b) 6 d) 10 a) 7 c) 8 e) 9

Geometría 1º 92

A B D 12)Hallar AB. Si BC = 4, CD = 10, AD = 15 C a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

13)Si AB = 8. Calcular r.

B

r

53° A C a) 1 c) 3 b) 2 d) 4 C e) 5

14)Calcular “r”, AB = 5, BC = 12

B

r

A b) 2 d) 4 a) 1 c) 3 e) 5 15)En la figura: AB + CD = 24 y BC + AD = 40. Calcular “PQ” Q B A C D P b) 14 d) 10 a) 16 c) 12 e) 8

radi o 0 ra ue Geometría 1º 93 A B 360° r Lc = 2 r dio O B O m AOB= cuerda O A B c r da P O m APB= 2 COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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CIRCUNFERENCIA – ÁNGULOS

DEFINICIONES PREVIAS

1.- Arcodecircunferencia.Sedenominaarco auna parte dela circunferencia comprendidaentredospuntosdeella. Dela figura: C AB: Esel arco menor correspondientea lacuerda AB.

ACB: Eselarcomayorcorrespondienteala cuerdaAB. 2.-Medidadeunacircunferencia.Una circunferenciasepuede medirtanto en unidades angulares comoenunidades lineales. Enunidadesangulares.-Lamedidade una circunferencia es 360°, nointeresacuantomide elradio. EnUnidadesLineales.-Es igual a2 por el radio. A mayor radio,mayorlongitud. TEOREMAS SOBRE LOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 1) ÁnguloCentral A 2) ÁnguloInscrito Corolario I: Todoslosángulosinscritos enun mismoarcotienenigualmedida.

e cu rda cuerd a ente Geometría 1º 94

r A B AB : Diámetro Q A O m APQ= 2 O O Seca nt e B P C O O m PBC= 2 O 0 O B O O m AOB= 2 O 0 A O B D C O m AOC= O 2 CorolarioII.-Todoánguloinscritoen una semicircunferenciaes ángulorecto. 3) ÁnguloSemi– Inscrito Tang P O 4) ÁnguloEx-inscrito 5) ÁnguloInterior A 6) ÁnguloExterior

b b = 180 Geometría 1º 95

O O O O O O O CASO PARTICULAR

TEOREMADELÁNGULO CIRCUNSCRITO Consecuencia Soniguales

96 COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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PROBLEMAS PARA LA CLASE

NIVEL I

01) Enlasiguientefiguracalcular“ ”,sila medidadel ángulo“A”,es iguala40° yla C A B 40° medidadel arco BC=100°

D 100° B A Rpta.:

02) Del gráficosi: AM = MB;calcular“x”

M C T x Rpta.:

Geometría 1º 03) Delafiguramostrada.Hallar“x” C B A x 20° Rpta.:

04) Si AB=110°,“O”esel centro.Hallar “x” x O D A B C

Geometría 1º 97

Rpta.:

NIVEL II

05) Enlafigura AD=170°, BC=2AB. Hallar“x” D A C O B x Rpta.:

06) EnlafiguraOD=BC;lamedidadel ángulo BAD,es20°.Calcular“x” C A B D x O 20° Rpta.: 07)Calcular “ ”. Rpta.: 08) Calcular“x” A B x° 2x° E M Rpta.:

Geometría 1º 98 09) Calcular“x” 30° 100° x° Rpta.:

10)Calcular “ ”. Rpta.: O B C A COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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NIVEL III

11) Calcular“ ”.“T”es puntodetangencia y “O”escentro.

D T

32° C B Rpta.:

12) Enel gráfico:lamedidadelarco AB=100°.Calcular “ + ”

A

D E

Geometría 1º 99 Rpta.:

13) “O”escentro, calcular“x” 20° x° Rpta.:

14) Enlafigura:Si + =100°.Calcular“x”

x°

2 Rpta.: COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

“Con una visión hacia la Universidad” San Miguel

15) Enlafigurahallar“x”,si AB=BC;la medidadel arcoAC =140° B C A D x° Rpta.:

16) Hallar“x”silamedidadelarcoBC=28° B 22° C A

x° Rpta.:

Geometría 1º 100 B A D x° E 86°.Hallar“x”

C

50° Rpta.:

18) Lamedidadel arcoAEB=242° yla medidadel ánguloABC =x

B C A E X Rpta.: COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

“Con una visión hacia la Universidad” San Miguel

19) Hallar“x” 17) Si,AB=BD;lamedidadelarco AE= 52° x° Rpta.:

20) ABy BC sondoscuerdas congruentesde unacircunferencia.Calcularlamedidadel arcoAB,silamedidadelángulo ABC = 48°. Rpta.:

Geometría 1º 101

La figura de Pitágoras está envuelta en un halo de leyenda, misticismo y hasta de culto religioso. Y no es tan extraño si pensamos que fue contemporáneo de Buda, de Confucio y de Lao-Tse (los fundadores de las principales religiones orientales)

El término "matemática", al igual que el de filosofía, se le debemos a él. ¿Cuáles son las principales aportaciones matemáticas de la escuela pitagórica?… La primera y quizás la más importante el introducir la necesidad de demostrar las proposiciones matemáticas de manera inmaterial e intelectual, al margen de su sentido práctico. Los pitagóricos dividieron el saber científico en cuatro ramas: la aritmética o ciencia de los números – su lema era "todo es número" -, la geometría, la música y la astronomía.

Geometría 1º 102 01)Hallar “x” x° 36 60 a) 1 c) 132 b) 100 d) 64 e) 64

02)Hallar “x” x° 6x 40° b) 32 d) 128 a) 16 c) 64 e) 526 03)Hallar “x” x° 40° b) 60 d) 50 a) 30 c) 40 e) 70 COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

“Con una visión hacia la Universidad” San Miguel

PROBLEMAS PARA LA CASA

04)ABCD es un paralelogramo. Hallar “x” x° 53° E D C A B 75° a) 37° d) 51° b) 53° c) 60° e) 52° 05)Si “O” es centro ATy AEson tangentes. x° 40° E A O T a) 35° d) 65° b) 45° c) 55° e) 75° MNP = x° 06)La medida del arco 210°

M N c) 50° a) 30° d) 80° P b) 60° e) 90°

Geometría 1º 103

x° P N M 07)La medida del arco TM = 100°

T O c) 30° a) 10° d) 40° b) 20° e) 50° 08)Hallar “x” C A B D x° 50° 20° E c) 30° a) 50° d) 60° b) 70° e) 49° 09)ABCD: trapecio, la medida del arco ABC = 160° x° C D B A O b) 20° d) 45° a) 10° c) 80° e) 70° ? ?? 10)Si L//AP; la medida de arco AT = 75° x° A P L T a) 500° c) 218° b) 400° d) 200° e) 100° 11)Hallar “x” x° A B 200° a) 10° c) 30° b) 20° d) 40° e) 50

Geometría 1º 104 12)Hallar “x” x° 60° b) 70° d) 40° a) 80° c) 60° e) 30

13)Hallar “x” x° B C C 120° 50 b) 40 d) 30 a) 25 c) 35 e) 45 COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

“Con una visión hacia la Universidad” San Miguel

14)Si “O” es centro: la medida del ángulo AOB = 60°, EF = OC. Calcular “x”. x° F A B C E O b) 15 d) 5 a) 10 c) 20 e) 30

15)Hallar “x” x° 50° 50° b) 40 d) 20 a) 80 c) 50 e) 70

Geometría 1º 105 A

B E

F C G D H COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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SEMEJANZA Y PROPORCIONALIDAD

PROPORCIONALIDAD:

PRINCIPALESTEOREMAS:

1.TEOREMADELAS PARALELASEQUIDISTANTES “Tres o más rectas paralelas yequidistantes determinan sobrecualquierrectasecante, segmentoscongruentes”. SiL1//L2//L3 //L4

A B BC CD Entonces: EF FG GH

2.TEORIADETHALESDEMILETO.- “Si tres o más rectas paralelassoncortadaspor2rectassecantes,los segmentos determinadosenlaprimera secantesecantesonproporcionalesalos segmentos determinadosenlasegunda secante”. SiL1//L2//L3 //L4

Entonces CD GH BC FG AB EF Tambiénpodríaser: EF FH AC CD EG AB ; GH BD

Geometría 1º 106

B a m E F b n A C Casos Particulares A) EnelTriángulo(EF//AC) AB CB b n a m EB EA FB BC EB FB ; BA FC B)EnelTrapecio Si PQ//BC// AD

Entonces AB DC y n x m

Geometría 1º 107 m n A B F a b a = b m n a = m b n a

B

I: Incentro del b

A

CI = a + b IF c I

F c

ABC a =b m n a =m b n A C B c a b m n COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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16. TEOREMADELABISECTRIZINTERIOR

“Entodotriángulo,losladoslaterales aunabisectrizsonproporcionalesalossegmentos determinadosporlabisectrizdelladoopuesto”.

C 5. TEOREMADELABISECTRIZEXTERIOR

“Entodotriángulounabisectrizexteriordeterminasobrelaprolongacióndelladoopuesto, segmentosproporcionales alosladoslaterales adichabisectriz”. 6. TEORÍADELINCENTRO

“Entodotriángulo,elincentrodivideacadabisectriz en2segmentosquesonproporcionales a lasumadelaslongitudesdelosladoslaterales yalladodondecaelabisectriz”. C

Geometría 1º 108 A C c ? A C c a b m n b ? C c a m n A COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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7. TEOREMADEMENELAO

“Entodotriánguloaltrazarunarectasecanteadosladosperonoparalelaaltercerlado,seforman seissegmentosconsecutivos.Empezando.” B m b

a n Prolongación a.b.c = m.n.? 8. TEOREMADECEVA

“Entodotriánguloaltrazartres cevianas concurrentes,empezandoporcualquiervértice,se cumpleque:El productodelaslongitudesdetressegmentosnoconsecutivos esigualal productodelaslongitudes delosotros tres”.

B a.b.c = m.n.?

8.TEOREMAPARACALCULARLALONGITUDDEUNABISECTRIZ INTERIOR.

B

Geometría 1º 109 x B A c a b m n COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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9. TEOREMAPARACALCULARLALONGITUDDEUNABISECTRIZ EXTERIOR.

C

Geometría 1º 110 NIVEL I 01) Hallar“x”,si L1 // L2 // L3 L1 L2

L3 P Q

R 8 4 6 x A B

C AC =10, Rpta.:

02) Hallar“x”,si L1 // L2 // L3, AB=4, DF =5 L1 L2 L3 x A B C D E F Rpta.: COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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PROBLEMAS PARA LA CLASE

03) En lafiguraadjunta, AB y BC son proporcionales a AF y FC. Hallar FC– AF. 10 B A C 8 F 9 Rpta.:

04) En lafigura L1 // L2 // L3// L4.Hallar GH, si EH=27 L4 L1 L2 L3 B F E G H A 3 2 C 4 D Rpta.

111

05) En lafiguramostrada L1 // L2 // L3, si: EF–AB=3, AC =16 yDF =24. Hallar“EF” L1

L2 L3 A

B C D

E F Rpta.:

NIVEL II

06) Calcular“x”,si BD//AE 3x+2 5x C E A B D 8 12 Rpta.:

Geometría 1º BC =18, 07) Si L1 // L2 // L3, yAB = 6, PQ=4 ySQ=2X+3 L1

L2 L3 A

B C P

Q S Rpta.:

08) En lafigura AB y BC son proporcionales a AD y DC ,hallarAD 6 B A C 4 D 20 Rpta.:

Geometría 1º 112

C E A 09) En untriánguloABC setrazaala bisectriz exteriorBE. Si AB =16, AE =32,CE=8. Hallarx.

B D 8 16 x A 32

Rpta.:

10) En lafiguramostrada.Si AB =9, BC =7, AC =8 y MN//AC.Hallar“MN”

B

N M

C Rpta.: NIVEL III

11) Los catetos deuntriángulorectángulo miden 6 y8.Calcularladistanciadel baricentro alahipotenusa. Rpta.: 12) En untrapecioisósceles ABCDdebases BC y AD seinscribeuna circunferenciatangentealos lados AB y CDenM yN respectivamente. Calcular MN,si BC =8 y AD =12

Rpta.:

13) En lafigurahallarCEsi AB =6, BC = 3 yAC =4 B A C E Rpta.:

113 14) En lafiguramostrada, hallar“x” 2b x+2 2a 3a b x Rpta.:

15) Hallar“x” L1// L2 A Q P

C L1

L2 B

10 8

x 4 Rpta.:

Geometría 1º COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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16) En lafiguramostrada.Calcular “x” b b x x-3 5a 2a Rpta.:

Geometría 1º 114 COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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PROBLEMAS PARA LA CASA 01) L1// L2// L3,sonparalelas. Hallar“x” L1 L2 L3 2x+2 15 6 x a)3 c)5 b)4 d)6 e)7 02) SieltriánguloABCdelafigura DE//AC entonceseltriánguloes: B D E x+3

C x-1 1 6 a) 5

A

Escaleno b) c) Isósceles Equilátero d) Rectángulo e) Obtusángulo

03) Si AD//BE//CF:AB=36, BC=6,DE= 4(x +1) y EF=10,hallarx

A D

B E

C F b)15 d)17 a)14 c)16 e)18 04) Enlafigura L1// L2// L3// L4.Si AB=3, BC=4,MN=2x –2, NP=2x+2,PQ= 3x+1, CD= y;hallarx+ y L4 L1 L2 L3 A B C D M N P Q b)15 d)13 a)10 c)12 e)14 05) EnlafiguraL1// L2// L3.BC=2AB yDF= 12.HallarDE L1

L2 L3 A

B C D

E F c)3 a)1 d)4 b)2 e)5

6 Geometría 1º 115

06) Enlafigura, calcular“x”,si MN//AC

B C 7-a 6-a a+1 a N M X A

a)30 7

b)90 c)60 d)45 e)37

07) Enlafigura,semuestrandoscircunferencias. Calcular“x”

2

4 x°

2,5 a)37 b)45 c)53 d)30 e)60 08) Enlafigura.Calcular“x” B A C D x 18 c)6 a)3 d)8 b)5 e)10 09) Enlafigura,hallarelvalorde“x”

B A F 18 x 12

C c)10 a)12 d)10 b)14 e)18 A x 10) Del gráfico adjunto,calcular“x”

B C P 2p 3b 2b x+2 a)3 b)4 c)5 d)6 e)7

Geometría 1º 116

11) Calcular“x”,si L1// L2// L3. L1 L2 L3 12 7 x+4 x-4 a)7 c)8 b)12 d)9 8 x A C B e)10

12) Enlafigura, calcular“x” P x+1 b)2 d)4 6

D

a)1 c)3 e)5

Geometría 1º 117 COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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ÍNDICE

IV BIMESTRE CAPÍTULO XI. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS………………………..118 XII. RELACIONES MÉTRICAS ………………………………..126

XIII. RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS …………………………………………134

Geometría 1º 118 A C a c b B A C c a b N L m N COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente congruentes.

Sidostriángulossonsemejantes,susladoshomólogossonproporcionales.

B Si ? ABC ~ ?MNL? k M

b n a m c ? k: Razón de semejanza.

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

1er Caso: (A.A) Dos ángulos congruentes M L l N ?ABC ?MNL ? ??

= = = Geometría 1º 119 A C c b B q n M Q N Entonces ?ABC ?MNQ Si c q b n ym A m M COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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2do Caso: (L.A.L.) Un ángulo congruente y los lados que lo forman son proporcionales. 3er Caso: (L.L.L.) Tres lados proporcionales. Entonces ?ABC ?MNL A C c a b B l n M L N m l ? ?? Si a b c ? m n ??

6 Geometría 1º 120 COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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PROBLEMAS PARA LA CLASE NIVEL I

01) Enlafigura, calcular“x”

4 x Rpta.:

02) Del gráficohallar“x” Rpta.: C A D E 18 03) DE//AC ,hallarDE

B

x 5 10 Rpta.:

04) AB//NL,hallarAM B A 10 x 4 N M L 6 Rpta.:

6 Geometría 1º 121

x 12 5 H C B 05) Hallar“BH”

A F 8 x H E F P Q Rpta.:

NIVEL II

06) PQ//EH ,hallarEH

4 6 3 Rpta.: 07) TQ//AB,QC=2BQ.Hallar“TQ” B Q A C T x H A P 6 10 Rpta.:

08) Hallar“PH” F T 6 Rpta.:

Geometría 1º 122

09) N Q; L R.HallarMNyNL Q P 15 L N M R 18 12 30 Rpta.:

10)Del gráfico PQ// AC ; 5BP=3AP; BQ=12; Calcular QC. Rpta.:

NIVEL III

11) Enlasemicircunferenciamostrada,calcular “R” 20 R 12 Rpta.:

12) Enlafigura, calcularAB,si BF=2 y FC =7 A F B C Rpta.:

Geometría 1º 123 x 01) Hallar“x

3 a)2 b)4 c)6 d)8 e)10 02) Hallar“x”,sidostriángulossonsemejantes. x 8 3 2 4 4 a)3 b)6 c)9 d)11 e)13 03) Dostriángulossonsemejantes;silarazón desemejanzaes 2/3.Hallar“x”e“y” x 4 15 a)6 y10 b)4 y8 c)10 y15 d)14 y7 e)8 y9 C A COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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PROBLEMAS PARA LA CASA

04) EnuntriánguloABCsobreBCsetoma unpunto“Q”talqueAB=6 yBC =9. HallarBQ B

5

Q a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

05) HallarPQ,siBP=2,PA=6,AC=12

B C P Q A a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 06) Losladosdeuntriángulo miden4;7; 10yelperímetrodeotrotriángulo semejantealprimeroes147.hallarel ladomenordelsegundotriángulo. a)24 b)25 c)26 d)27 e)28 07) HallarAC,siAB=10,AD=4,DE=11 C A B E D

Geometría 1º 124

a)2 b)4 c)6 d)8 e)10 08) EncontrarDC,si AD=5, FD=4,BF=6 B C A E F

D c)6 a)2 d)8 b)4 e)10 D E C A 09) SiDB=7,AD=x,EC=3x.Hallar“x” B b)6,6 d)3,2 a)1,2 c)4,2 e)1 AC =10 A 10) CalcularPQ,siAB=6,BC=8,

B C P Q c)3 a)3,7 d)4 b)4,2 e)5 11) Encontrar“x” B x 1 C

c)3 D

b)2 e)5 A 3 a)1 d)4

12) Hallar“x” 3 2 5 x c) 10 3 a)1

1 d) 4 b)2

5 e) 2 CE 13) CalcularAD,si AB=3,BE=5, =15 C B D A

a)11 c)13 E

b)12 d)14 e)15

Geometría 1º 125

c. 586 a.C. Deportación a Babilonia del pueblo de Israel En el 586 a.C., el rey babilónico Nabucodonosor II expulsó a los judíos de Palestina. Fueron deportados a Babilonia, donde permanecieron hasta el 538 a.C., en un periodo que constituyó el primer episodio de la diáspora judaica.

c. 586 a.C. Destrucción de Jerusalén a manos de Nabucodonosor II El rey Nabucodonosor, después de un asedio a la ciudad de Jerusalén de unos 16 meses, destruye la ciudad. Sedecías es capturado, llevado ante Nabucodonosor, obligado a presenciar la ejecución de sus hijos y después cegado, para más tarde ser enviado encadenado a Babilonia, donde estuvo encarcelado durante el resto de su vida.

mayo 28, c. 585 a.C. Tales predice un eclipse El filósofo griego Tales de Mileto predice el eclipse total de Sol que tiene lugar el 28 de mayo del 585 a.C., por lo que se hace famoso también por sus conocimientos de astronomía.

a = m. c b = n . c Geometría 1º 126 2 2 COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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RELACIONES MÉTRICAS

A) RELACIONES MÉTRICAS EN ELTRIÁNGULORECTÁNGULO

ElementosdeuntriánguloRectángulo.

a y b = Son las longitudes de los catetos BC y AC . c h m n = = = = Es la longitud de la Hipotenusa AB Es la altura relativa a la Hipotenusa. Es la longitud de la proyección del cateto BC sobre la hipotenusa. Es la longitud de la proyección del cateto AC sobre la hipotenusa. – Los siguientes teoremas nos describen las principales relaciones que hay entre las longitudes de los lados, altura y proyecciones de un triángulo rectángulo.

TEOREMA 1 “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de su proyección por la hipotenusa”. En la figura se cumple que: TEOREMA2(TeoremadePitágoras) “En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”. En la figura se cumple que:

h =m.n 2 = 2 + Geometría 1º 127 2 1 1 1 a b h2 COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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TEOREMA 3 “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la misma”. En la figura se cumple que: TEOREMA 4 En todo triángulo rectángulo, el producto de catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura relativa.

En la figura se cumple que: TEOREMA 5 “En todo triángulo rectángulo la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos es igual a la inversa del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa”. En la figura se cumple que:

Geometría 1º 128 NIVEL I 01) Hallar“x” B x 4 12 A C Rpta.:

02) Hallar“x” x 5 3 4 Rpta.: COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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PROBLEMAS PARA LA CLASE

03) Hallar“x” x 3 4 2 Rpta.:

04) Hallar“x” x 5 2 Rpta.:

Geometría 1º 129 05) Hallar“x” 5 10 x Rpta.: NIVEL II 06) Hallar“x” x 5 4 6 Rpta.:

07) Hallar“x” 15 x 2x Rpta.:

08) Calcular MN;siR=3r; r=1 y AB=6 N M A B Rpta.:

Geometría 1º 130

09) Lafiguramuestraunaruedaapoyadaen unladrillodealtura9,calcularel radio delerueda.

15 Rpta.: 10) Enlafigura,sepidelaproyecciónde AB sobrelarecta“L” B

17

A 18

10 L Rpta.:

e) Geometría 1º 131 COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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PROBLEMAS PARA LA CASA 01) Hallar“x” x 5 12 c) 13 10 a)1

d)5 b)2 60 13 02) Hallar“x” 3 6 5 x c)9 a)3 d)11 d)6 c)13 03) Hallar“x” x 12 20 c)12,8 a)11 d)13 d)12 c)14 04) Hallar“x” x 3x 9 10 a)5 b)6 c)7 d)9 e)11 05) Hallar“x” x x+7 x+6 c)5 a)3 d)6 b)4 e)9

6 Geometría 1º 132 06) Hallar“x” x 3 c) 3 3 a)

d) 3

4 3 b)

e) 2 3

5 3 07) Hallar“x” x 11 x+5 c)22 a)20 d)23 b)21 e)25 08) Hallar“x” x+8 20

c)22 a)20 d)23 x

b)21 e)24

09) Hallar“x” x 20 7 x+9 a)11 b)12 c)13 d)14 e)15

10) Lasdiagonalesdeunrombomide12cmy 16cmelladodelrombomide:

a)9 b)10 c)11 d)12 e)13 11) Hallar“H”,siAP=4,PC=9 B A C H P c)6 a)4 d)7 b)5 e)8

Geometría 1º 133 COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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12) CalcularlaalturaBHdeltriángulorectángulo ABC.SiAB=6 yBC=8

B A C H c)2,8 a)8,4 d)2,4 b)4,8 e)4,7 13) CalcularlaalturadeltrapecioABCD(BC// AD)circunscritoaunacircunferenciade centro“O”.Si OC=15 yOD=20 c)23 a)22 d)26 b)25 e)24 14) Sielladodeun cuadradoinscritoenuna circunferenciamide10.Hallarelperímetro deltriánguloequiláteroinscritoenlamisma circunferencia.

a) 15 6 b) 12 6 c)32 d)35 e)36 RETO DE LA SEMANA 15. Calcular “x” a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 9 135 135 A D B C 4 2 2 4 x

c a + b2 134 < 90 o 2 2 2 > 90o 2 2 COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO 1) TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO Los triángulos que no son rectángulos, son oblicuángulos, luego un triángulo oblicuángulo puede ser acutángulo u obtusángulo. 2) COMORECONOCERSIUNTRIÁNGULOESACUTÁNGULOUOBTUSÁNGULO Se aplican las siguientes propiedades: – Es Acutángulo: Si el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo agudo siempre es MENOR que la suma de los cuadrados de los otros dos. NOTA: Todos los ángulos del triángulo son menores que 90.

– Es Obtusángulo: Si el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo obtuso siempre es MAYOR que la suma de los cuadrados de los otros dos. NOTA: Un ángulo de los tres ángulos del triángulo es mayor que 90.

Geometría 1º

Geometría 1º 135 3) COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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PROYECCIÓN DE UN LADO SOBRE OTRO LADO En el triángulo es importante conocer la proyección de un lado sobre otro, para ello siempre se traza una altura.

– En el triángulo acutángulo: En el triángulo acutángulo, la proyección de un lado sobre otro esta contenido en este último. En el triángulo obtusángulo: En el triángulo obtusángulo, para encontrar la proyección de un lado sobre uno de los lados adyacentes al ángulo obtuso, se debe prolongar este último.

Geometría 1º 136

4) TEOREMA DE EUCLIDES TEOREMA 1

“En todo triángulo, el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo Agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre aquel”. Si: < 90º TEOREMA 2 “En todo triángulo, el cuadrado del lado que se opone a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre aquel” Si > 90º

Geometría 1º 137 A B C M mc A B x P a b M c 5) COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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TEOREMA DE LA MEDIANA “En todotriángulo lasumadelos cuadrados deloslados laterales aunamedianaesigual al doble del cuadradodelamedianamás lamitad del cuadradodelladodondecaelamediana”.

Así en la figura:

“mC” ? es la mediana relativa al lado “c”.

Entonces: 2 2 c2 2 2m b a 2 C c TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA MEDIANA

En todo triángulo, se cumple lo siguiente:

Si “x” es la proyección de la mediana CM , entonces:

C

Geometría 1º 138 x 7 NIVEL I

01) Hallar “x”

6 5 Rpta.:

02) Hallar “x” x 4 6 3 Rpta.: 5 COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

“Con una visión hacia la Universidad” San Miguel

PROBLEMAS PARA LA CLASE

03) Hallar “x”

x 4 2 Rpta.:

04) Hallar “x” 6 x 12 10 Rpta.:

x x x 6 Geometría 1º 139 05) Hallar “x” x 2 3 5 Rpta.:

NIVEL II

06) Hallar “x” 6 10 Rpta.:

NIVEL III

07) Hallar “x” 10 7 5 Rpta.:

08) Hallar “x” 2

2 3 3 Rpta.:

x x Geometría 1º 140 09) Hallar “x” 6 2 1 Rpta.: 10) Hallar “x” 10 3 8 Rpta.:

11) Hallar “x” X 16 10 2 33 Rpta.:

12) Los lados de un triángulo miden 13, 14, 15 ¿Cuánto mide la altura relativa al lado medio? Rpta.:

6 x Geometría 1º 141 COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ

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PROBLEMAS PARA LA CASA 01) Hallar“x” 10 6 x a) 61 b) 80 c) 30 11 d) 5 e) 191 2 02) BM es medianadel triángulo ABC,hallar “x” B A C 5 13 h M x c)4,6 a)1,2 d)4,5 b)3,2 e)4,8 03) Hallar“x” 10 13 x x a) 5 b) 21 c) 48 c) 27 e) 23 04) Hallar“x” x 11 12 16 a)2 b)4 c)6 d)10 e)8 05) Hallar“x” x 13 7 8 c)1,5 a)3,5 d)4,5 b)2,5 e)6,5 06) Hallar“x” 13 3 12 a) 8 3 b) 4 5 c) 5 4 d) 3 2 e) 1 2