ja = x ? D sen(?t – kx) j = ? D sen(?t – kx) ? D sen(?t – kx) ? eo E sen(?t – kx) incremental entre el ?ujo y la corriente. Entonces tenemos un numerador y un denominador que son t´erminos individuales. En (35) reemplazamos dfB como indica (34) . L = B ds di (36) En m´odulos tenemos ja = jb = j (37) ´ ´ En (36) el denominador di es el ?ujo de j a trav´es de una super?cie in?nitesimal, cuya area es ds (todas las areas in?nitesimales miden lo mismo, es decir, son in?nit´esimos del mismo tipo y del mismo orden). (38) di = j ds
En (36) reemplazamos di como indica (38) . Despu´es simpli?camos. L = B j (39) En (37) indicamos que j , ja y jb son m´odulos iguales, es decir, el mismo m´odulo. Miremos por ejemplo la ecuaci´on (30) que expresa ja , para tomar de ella el m´odulo. ˆ (30) (40) En m´odulo tenemos ˆ
En (39) reemplazamos j como indica (40) . L = B ˆ (41) ˆ ˆ (8) ˆ Repitamos aqu´i la ecuaci´on (8) .
D = eo E
En (41) reemplazamos D como indica (8) . L = B ˆ (42) En el tipo de onda que analizamos el m´odulo E campo el´ectrico est´a dado por la expresi´on siguiente. ˆ
En (42) reemplazamos seg´un lo indicado en (43) . L = B ? eo E (44) En el vac´io tenemos (45) B = µo H
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µo H ? eo E (46) En (44) reemplazamos B como indica (45).
L =
En el vac´io tenemos (47) ? = kC En (46) reemplazamos ? como indica (47) . L = µo H k C eo E (48) La de?nici´on de k es k = 2p ? (49) En (48) reemplazamos k como indica (49) y ordenamos. L = µo ? H 2p eo C E (50) En (50) el segundo cociente es la resistencia de radiaci´on R0 dividida por s´i misma. Veamos por qu´e. R0 = 1 eo C = E H (51) Entonces, 1 eo C = E H Pasaje de t´erminos. H eo C E = 1 (52) En (50) aplicamos lo expresado en (52) . L = µo ? 2p (53) (3-c) Anticipar el ?nal de la pel´icula
Estoy escribiendo esto con un plan previo. En el plan original puse la cl´ausula de no anticipar resultados, para obtenerlos paso a paso y permitir que los resultados hablen por s´i mismos. Pero soy lector de muchos documentos y el esfuerzo me desalienta cuando no intuyo el objetivo. Por eso asumir´e el riesgo de la anticipaci´on.
Si a Usted le desagrada que le relaten el ?nal de una pel´icula antes de verla, entonces puede omitir esta secci´on. Todo lo que en ella se menciona es tratado paso a paso en el resto del documento. Despu´es de este p´arrafo est´a descripto el ?nal. Las secciones que siguen a esta contienen lo necesario para justi?carlo y comprenderlo.
¿ Para qu´e sirve conocer la inductancia de la propagaci´on ? Ignor´andola no podremos llegar hasta lo que el t´itulo de este documento sugiere. ¿ Qu´e imaginamos leyendo el t´itulo, James
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˜ p Clerk Maxwell conocimiento prohibido ? Tal vez nada, porque da la sensaci´on de una an´ecdota hist´orica similar a otras. Pero Planck declar´o que se hab´ia esforzado mucho para deducir de las ecuaciones de Maxwell las propiedades discretas. En las aulas nos dicen que eso es imposible. ¿ Imposible ? ¿ Entonces Planck desperdici´o ingenuamente su esfuerzo ? Para la m´aquina que empaca 20 latas de aceite rode´andolas con una l´amina pl´astica, cada lata es un ente discreto de forma cil´indrica. Dentro de cada lata hay algo que la teor´ia de ?uidos, con funciones continuas, permite formular muy bien.
Hemos analizado la soluci´on exponencial compleja de la onda de desplazamiento el´ectrico en el vac´io. Y hemos deducido algunas propiedades omitidas en la ensenanza p´ublica como la densidad de carga, la autonom´ia f´isica de cada ciclo entero, el conjunto de densidades de corriente y su signi?cado f´isico, la inductancia de la propagaci´on. Para quien ha transitado solamente por las aulas p´ublicas, todo eso es novedoso y tal vez sorprendente. Aunque no avanz´asemos m´as, esos resultados contienen lo su?ciente para chocar contra un muro de h´abitos r´igidos. El choque se refuerza, porque tambi´en obtendremos lo siguiente.
Una onda plana monodimensional en el vac´io es un conjunto de cilindros aut´onomos, como las latas de aceite mencionadas. Y como en ellas, el volumen cil´indrico est´a ocupado por algo continuo, que es el campo electromagn´etico. El radio del cilindro es 4 ? y la longitud del cilindro es igual a la longitud de onda ? , es decir un ciclo espacial entero. Cada semiciclo abarca una mitad del cilindro.
Por la densidad de carga existente, cada mitad contiene una carga ?nita del signo correspondiente. La carga Qo del semiciclo no depende de variable alguna. Es una constante universal.
Cada cilindro es un ente aut´onomo constituido por dos cargas enfrentadas, estabilizadas por la propiedad diel´ectrica del vac´io expresada en eo . Eso, en t´erminos f´isicos, es un capacitor. Podemos agregar el adjetivo virtual si tranquiliza nuestras conciencias, pero es un capacitor que cumple todas las leyes correspondientes. Su capacidad es C = eo ? 2p L y C forman un circuito resonante de tipo paralelo, cuya frecuencia de resonancia es igual a la frecuencia de la onda. La frecuencia de resonancia es la frecuencia de funcionamiento natural del sistema resonante, denominada eigenfrecuencia. Cada cilindro es un sistema resonante aut´onomo. Esto explica, por ejemplo, por qu´e cuando la luz pasa de un medio a otro cambia la velocidad de propagaci´on sin cambiar la frecuencia. El sistema resonante LC la mantiene constante.
La energ´ia WE del campo el´ectrico es formulable como la energ´ia del capacitor formado por ambos semiciclos del cilindro, cuya capacidad es C : o WE =
WE = o Q2 2 C p Q2 eo C ? que reemplazando t´erminos por sus expresiones da :
(? es la frecuencia de la onda). El corchete es una constante universal porque dentro hay solamente constantes universales. Entonces la soluci´on exponencial compleja de la onda de desplazamiento determina, para el campo el´ectrico del cilindro aut´onomo, una energ´ia que depende solamente de la frecuencia ? y es
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directamente proporcional a ella. En la onda plana la energ´ia del campo magn´etico y la eneg´ia del campo el´ectrico son iguales. Entonces la energ´ia total del cilidro es : W = o 2p Q2 eo C ? , en acuerdo formal con la ley de Planck. Cuando avancemos comprobaremos que el acuerdo es tambi´en cuantitativo.
La espira in?nitesimal correspondiente a g ? 0 equivale a una carga in?nitesimal giratoria en el punto donde est´a ubicado B . La energ´ia del campo magn´etico es de tipo cin´etico. Entonces la energ´ia del campo magn´etico en el entorno de un punto es energ´ia cin´etica rotacional, porque B es producido por una carga in?nitesimal giratoria. El momento angular in?nitesimal es un pseudovector transversal perfectamente calculable. Tenemos en cada punto del volumen cil´indrico un gir´oscopo in?nitesimal. Existe una densidad de momento angular en el volumen cil´indrico, es decir, hay una cantidad de movimiento angular ?nita distribuida en el volumen. Integrando calculamos ese valor ?nito, cuya expresi´on es : o Q2 eo C , igual a W ? (spin). ˜ ˜ Ese cilindro es an´alogo a una nave que viaja inercialmente en el vac´io y tiene dentro una multitud de gir´oscopos pequenos, con todos los ejes de rotaci´on perpendiculares a la velocidad de la nave. Alguien podr´ia sentir curiosidad por la rectitud perfecta de la trayectoria, sin saber que los gir´oscopos logran eso. La carga puntual giratoria, presente en cada punto del volumen cil´indrico, determina la propagaci´on rectil´inea en el vac´io. La relatividad especial asume la propagaci´on rectil´inea como postulado. Ahora sabemos que no necesitamos postularla, pues podemos deducirla de las ecuaciones de Maxwell.
El cilindro tiene todas las propiedades del fot´on y as´i lo denominaremos en el ?nal del documento.
La inductancia y la capacitancia son importantes, pues facilitan el c´alculo de valores totales en casos m´as complicados que la propagaci´on retil´inea, por ejemplo, en la colisi´on frontal mutua de dos fotones para formar un electr´on y un positr´on. El planteo de valores totales permite determinar el cociente entre Qo y la carga e del electr´on. Es un c´alculo puramente te´orico, que se hace sin intervenci´on de datos emp´iricos. Ese cociente es una propiedad intr´inseca del sistema de ecuaciones de Maxwell. El cociente de dos magnitudes del mismo tipo, en este caso el cociente de dos cargas, es adimensional. Calcularlo sin intervenci´on de datos emp´iricos es una senal de coherencia y consistencia de la teor´ia maxwelliana. La expresi´on del cociente es : v e – 3+ 13 = Qo 2 La constante a de acoplamiento es funci´on de ese cociente solamente: a = 1 4p e Qo 2 La f´ormula muestra que a es un n´umero irracional.
Conociendo el cociente calculamos a y obtenemos :
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a = 0,007295112456675778672162576823729… 1 a = 137,0780787738093174013763321834… El valor te´orico di?ere levemente del valor emp´irico aceptado. Eso implica dos posibilidades. Una es que el c´alculo de valores totales basado en L y C sea la simpli?caci´on de otro procedimiento m´as complicado y m´as adecuado. La otra posibilidad es que el c´alculo de valores totales est´e bien y sea necesaria una mejora de los m´etodos emp´iricos.
Hay m´as propiedades que el mismo esquema permite analizar, explicar y formular, proveyendo en todos los casos el signi?cado f´isico.
Ciertamente, los resultados anticipados chocan contra la costumbre adquirida en las aulas. Por eso en el plan original estaba la cl´ausula de no anticiparlos. Espero que el plan modi?cado sirva de est´imulo para quienes, como yo, se desaniman leyendo algo sin saber de antemano qu´e obtendr´an con el esfuerzo. ¿ Cu´al es la tarea restante ? Es mostrar las deducciones omitidas en la anticipaci´on, apreciar el signi?cado f´isico y efectuar los c´alculos respectivos.
CAP´ITULO 4 – Autocontenci´n
(4-a) ¿ Qu´e signi?ca eso ?
Esta vez cumplamos la cl´ausula y no anticipemos. Recorramos paso a paso el planteo, que no tiene complicaciones y en el ?nal premia nuestra dedicaci´on. Hemos calculado la inductancia de la propagaci´on. Por eso tenemos a disposici´on dos modos de calcular la energ´ia del campo magn´etico. Uno es el modo aprendido en las aulas, que por brevedad denominaremos planteo densidad. El otro se basa en la inductancia y lo denominaremos planteo inductancia. : Modos de calcular la energ´ia del campo magn´etico : ? Ambos modos calculan la misma energ´ia. Igualando los resultados hallaremos una propiedad fundamental.
(4-b) Planteo densidad
La densidad de energ´ia UB del campo magn´etico es B2 2µ (54) UB =
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´ (55) La onda que nos interesa es plana y se propaga en el vac´io.
µ(vacio) = µo
Aplicamos a (54) lo indicado en (55) . UB = B2 2µo (56) La soluci´on exponencial compleja no altera los rotores habituales. Entonces B tiene la forma habitual. ˆ
Aplicamos a (56) lo indicado en (57) y ordenamos. UB = ˆ B2 2 µo sen2(?t – kx) (58) Para integrar necesitamos de?nir la diferencial de volumen, es decir, un volumen in?nitesimal. La forma m´as sencilla de hacerlo es de?nir dos super?cies id´enticas, ambas perpendiculares a la direcci´on de propagaci´on, separadas por una distancia in?nitesimal dx . Los dos rect´angulos dibujados en perspectiva solamente dan idea de los planos que contienen al par de super?cies asociado con dVx . De esas super?cies ignoramos todo, menos las condiciones obvias de ser ambas perpendiculares a la direcci´on de propagaci´on y ser constante el ´area S de cada una en toda la longitud del ciclo. Expresemos la diferencial de volumen. (59)
(60)
(61) dVx = S dx
En el vac´io la velocidad de propagaci´on C es constante. Entonces tenemos
dx = C dt
En (59) aplicamos lo indicado en (60).
dVx = S C dt
En cada intervalo dt hay una energ´ia dWB contenida entre ambas super?cies, cuya expresi´on es dWB = UB dVx infinit´simo de energia del campo magn´tico e ´ e (62) (63) En (62) aplicamos lo indicado en (61) y ordenamos
dWB = S C UB dt
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APENDICE 1 APENDICE 1 En (63) aplicamos lo indicado en (58) y ordenamos dWB = ˆ B2 2 µo S C sen2(?t – kx) dt (64) Para calcular la energ´ia del campo magn´etico en un ciclo entero integramos dWB entre t =0 y t = T . WB = t=T
t=0 ˆ B2 2 µo S C sen2(?t – kx) dt (65) WB energia del campo magn´etico en un ciclo entero Ponemos las constantes fuera de la integral WB = ˆ B2 2 µo SC t=T
t=0 sen2(?t – kx) dt (66) El c´alculo de la integral est´a en el ´ . Aqu´i simplemente pondremos el resultado. t=T
t=0 sen2(?t – kx) dt = p ? (67) T ´ periodo de la onda La referencia para el ´ es el retrato de Katherine Mary Dewar , esposa de Maxwell. En (66) aplicamos lo indicado en (67) y ordenamos WB = ˆ p S C B2 2 ? µo (68) ˜ (4-c) Planteo inductancia El cap´itulo 3 nos ha ensenado que la onda posee inductancia. Esa propiedad es independiente de la presencia y de la ausencia de materia. En todos los casos la inducci´on y la inductancia
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·D = D k sen(?t – kx) = S C D k cos(?t – kx) ? di = S C D k cos(?t – kx) ? dt i = S C D k sen(?t – kx) cumplen las mismas leyes. Lo aprendido en el caso de un inductor material es v´alido en la onda. Son las leyes que se aprenden en electrotecnia para r´egimen variable. Entonces tenemos lo siguiente. dWB = L i di (69) · D multimplicada por la velocidad C La densidad de corriente es la densidad de carga de la onda. j = C · D (70) La corriente i es el ?ujo de j a trav´es de la super?cie de referencia, que es perpendicular a j . Entonces tenemos i = S C · D (71) ˆ (14) Repitamos aqu´i la ecuaci´on (14)
Aplicamos a (71) lo indicado en (14) ˆ (72) i = S C D k sen(?t – kx)
Escribamos la de?nici´on matem´atica de di es di = ?i ?t dt + ?i ?x dx La de?nici´on f´isica de corriente toma en cuenta la carga que atraviesa una super?cie ?ja en un tiempo dado. Super?cie ?ja signi?ca x constante. Entonces ?i ?x dx = 0 y queda di = ?i ?t dt (73) Derivamos ambos miembros de (72) respecto de t ?i ?t ˆ (74) (75) Aplicamos a (73) lo indicado en (74)
ˆ
Por comodidad repitamos aqu´i (69) y (72) dWB = L i di (69) ˆ (72) ˆ ˆ ˆ (76) En (69) reemplazamos i como indica (72) y di como indica (75)
dWB = L S C D k sen(?t – kx) S C D k cos(?t – kx) ? dt
Agrupamos dWB = L S2 C2 D2 k2 sen(?t – xk) cos(?t – kx) ? dt Integramos para calcular la energ´ia WB del campo magn´etico en el ciclo entero.
20
WB = t=T ˆ L S2 C2 D2 k2 sen(?t – xk) cos(?t – kx) ? dt ˆ t=0 Ponemos las constantes fuera de la integral.
t=T WB = L S2 C2 D2 k2 sen(?t – kx) cos(?t – kx) ? dt (77) t=0
La integral es muy conocida y directamente pondremos el resultado. sen(?t – kx) cos(?t – kx) ? dt = 1 2 ? sen2(?t – kx) + cte (78) El cuadrado del seno tiene signo positivo en todo el recorrido, como muestra la gr´a?ca de la funci´on. El ´area bajo la curva de sen2u no es cero. Entonces la integral de?nida para un ciclo entero no puede dar cero. Eso signi?ca que debemos hacer 4 integrales, una para cada cuarto de ciclo, pues el intento de abarcar todo el ciclo en una integral sola da resultado cero. T 4 t=
t=0 sen(?t – kx) cos(?t – kx) ?dt = 1 2 (79) 1 2 . Entonces tenemos Cada una de las otras 3 integrales tambi´en da
t=T ˆ (80)
(81) sen(?t – kx) cos(?t – kx) ?dt = 2 t=0
Aplicacamos en (77) el resultado indicado en (80) .
WB = 2 L S2 C2 D2 k2
(4-d) Igualar los planteos
Repitamos aqu´i la expresi´on de WB obtenida en el planteo densidad. WB = ˆ (68) p S C B2 2 ? µo
21
Igualamos el miembro derecho de (81) con el miembro derecho de (68) . ˆ ˆ ˆ 2 L S2 C2 D2 k2 =
Simpli?camos respecto a S C .
2 L S C D2 k2 = ˆ p S C B2 2 ? µo
p B2 2 ? µo (82) Las densidades de energ´ia del campo el´ectrico y del campo magn´etico en el vac´io son iguales. Entonces tenemos D2 2 eo = B2 2 µo Despejamos. D2 = eo µo B2 La misma relaci´on se cumple para los valores picos. ˆ D2 = ˆ eo B2 µo (83) ˆ eo B2 k2 = µo ˆ p B2 2 ? µo ˆ Aplicamos a (82) lo indicado en (83) .
2 L SC
Simpli?camos respecto de B2 y de µo . p 2 ? (84) 2 L S C eo k2 =
Por comodidad repitamos aqu´i la ecuaci´on (53) . L = µo ? 2p (53) En (84) reemplazamos L como indica (53) . 2 µo ? 2p S C eo k2 = p 2 ? (85) Recordemos la de?nici´on de k . k = 2 p ? (86) Aplicamos a (85) lo indicado en (86) . 2 µo ? 2p S C eo 2 p ? 2 = p 2 ? Simpli?camos. Ordenamos 2 µo S C eo
2 µo eo C S 2 ?
2 ? =
= 1 2 ?
1 2 ? (87) 22
Recordemos la f´ormula de la velocidad C de propagaci´on en el vac´io.
1 C = v µo eo Entonces µo eo = 1 C2 (88) Aplicamos a (87) lo indicado en (88) . 2 1 C2 CS 2 ? = 1 2 ? Simpli?camos 2 1 C S 2 ? = 1 2 ? Despejamos S . Recordamos la de?nici´on de ? . S =
? = C? 8 ?
2 p T (89)
(90) Aplicamos a (89) lo imndicado en (90) . S = CT ? 16 p Recordamos C T = ? . S = ?2 16 p (91) ¿ Es coherente la ecuaci´on (91) con la simetr´ia cil´indrica ? ¿ Expresa con sencillez el area de un c´irculo ? ´ Recordemos la f´ormula de la super?cie del c´irculo.
S(circulo) = p r2
Si la ecuaci´on (91) corresponde a un c´irculo tenemos
S(circulo) = S
23
p r2 = ?2 16p Es decir
Depejamos r r = ? 4p (92) ´ p Notamos que (92) expresa el radio en forma puramente aritm´etica. Es el cuarto de longitud de onda dividido por la constante p de la simetr´ia circular. En el inicio del documento hemos notado que la simetr´ia cil´indrica es f´isicamente necesaria. El cilindro es la forma m´as simple compatible con la onda de desplazamiento el´ectrico en el vac´io.
(4-3) Repasemos lo hecho hasta aqu´i
1
No hubo innovaci´on te´orica. Simplemente utilizamos la electrodin´amica de Maxwell en su forma original, es decir, con el desplazamineto el´ectrico incluido.
2
Hallamos la densidad de carga correspondiente al desplazamiento. Esa densidad viaja con la velocidad de la onda y produce una densidad de corriente, que coopera con la densidad de corriente de desplazamiento. La cooperaci´on da como resultado en cada punto una espira de corriente in?nitesimal, productora del campo magn´etico. Ese fen´omeno determina la inductancia de la propagaci´on y es un gir´oscopo in?nitesimal. El conjunto de todos los gir´oscopos in?nitesimales mantiene recta la trayectoria en el vac´io.
3
Conociendo la inductancia tenemos dos modos de calcular la energ´ia del campo magn´etico. La igualdad de ambas expresiones determina el ´area de la secci´on transversal de la con?guraci´on. Es el area de un c´irculo con r = 4 ? , coherente con la simetr´ia cil´indrica mencionada en el inicio del documento.
4
Eso signi?ca que las ecuaciones de Maxwell especi?can la forma y las medidas de una con?guraci´on aut´onoma, que mantiene sus propiedades mientras viaja en el vac´io.
5
Dentro de la con?guraci´on aut´onoma todas las variables son continuas. Fuera de ella el vac´io no est´a polarizado, es decir, la densidad de carga es igual a cero en todos los puntos del vac´io que no pertenecen a una de esas con?guraciones aut´onomas.
24
Las propiedades de la con?guraci´on aut´onoma invitan a pensar en el fot´on. No hemos llegado a´un a resultados que justi?quen ese nombre. Pero la frase con?guraci´on aut´onoma es demasiado tediosa cuando necesitamos repetirla. Hagamos una contracci´on con las tres primeras letras de cada palabra, es decir, conaut.
conaut ? con?guraci´on aut´onoma
Usaremos la contracci´on conaut y reservaremos la palabra fot´on para una instancia posterior.
CAP´ITULO 5 – Rotaci´n in?nitesimal
(5-a) Carga puntual giratoria ´ ´ ´ ´ La ?gura representa una esferita roja que inicialmente describ´ia una ´orbita en forma de circunferencia. En alg´un momento, desde el punto d , inicia una disminuci´on progresiva del radio de la orbita hasta llegar a un radio in?nitesimal. Si el plano de la orbita fuese el piso, la parte izquierda de la ?gura ser´ia la vista desde arriba, como ver´ia una persona erguida. La parte derecha muestra una vista lateral de la esferita en la condici´on l´imite, cuando el radio de la orbita es in?nitesimal. ¿ A qu´e equivale una orbita de radio in?nitesimal ? Equivale al giro de la esferita respecto a un eje que pasa por su centro. Un ejemplo vulgar es el giro de una ruleta de casino. Rotaci´on pura, sin traslaci´on orbital.
(5-b) El giro de la carga puntual
En cada punto del volumen de la conaut hay una carga in?nitesimal dQ . El rotor del campo magn´etico expresado en (27) muestra dos densidades de corriente sim´etricas en la direcci´on de propagaci´on. ¿ Qu´e signi?ca esa simetr´ia f´isicamente ? 25
˜ ˜ ˜ Se puede construir una cinta transportadora utilizando rodillos. Cada rodillo gira y es coherente con ambos sectores de cinta, uno que va hacia derecha por arriba y otro que va hacia izquierda por abajo. Llevemos el modelo al l´imite, es decir, el radio de cada rodillo y la separaci´on entre rodillos son in?nitesimales. En ese l´imite ambos sectores de cinta ocupan la misma recta. Reaparece lo expuesto en el c´alculo de la inductancia cuando comprendimos que, en t´erminos de l´imite, una recta es todas las rectas que necesitemos.
Reemplacemos los rodillos in?nitesimales por cargas puntuales giratorias. ¿ Qu´e signi?ca carga puntual en este contexto ? Cuando por primera vez necesit´e responder esa pregunta, opt´e por la idea m´as vulgar. Es decir una esfera de radio in?nitesimal dr cuya carga in?nitesimal es dQ ¿ Y qu´e leyes cumplen los objetos in?nitesimales ? Si las leyes electromagn´eticas son independientes del tamano del sistema, entonces valen las mismas leyes que aplicamos en casos macrosc´opicos. Esto no es solamente un arti?cio de c´alculo. Es un rasgo fundamental del campo electromagn´etico. Recuadremos eso pues tiene dos consecuencias. Posibilita nuestra tarea y de?ne el enfoque epistemol´ogico.
Si las leyes electromagn´eticas son independientes del tamano del sistema, entonces los sistemas macrosc´opicos y sus an´alogos in?nitesimales cumplen las mismas leyes.
Si la cinta no estuviese y los rodillos tuviesen carga el´ectrica, producir´ian el mismo efecto que un par de corrientes sim´etricas, an´alogas a las corrientes longitudinales de la propagaci´on. En el espacio comprendido entre dos rodillos las corrientes de ambos se oponen mutuamente y el efecto neto es nulo. Sobre las rectas donde estaba la cinta, las corrientes rotativas de todos los rodillos tienen el mismo sentido y no se anula el efecto neto. La forma geom´etrica no interesa cuando el tamano es in?nitesimal. En vez de pensar en rodillos podemos pensar en cargas puntuales giratorias. Esas cargas producen el mismo efecto que el par de corrientes longitudinales de la propagaci´on.
(5-c) ¿ En qu´e forma el giro puntual produce el campo magn´etico ?
El modelo adoptado para la carga puntual es una esfera de radio in?nitesimal dr cuya carga es dQ ¿ C´omo est´a distribuida la carga, sobre la super?cie o llenando el volumen de la esfera in?nitesimal ? Cuando nada la obliga a llenar el volumen, la carga se aloja en la super?cie para minimizar la energ´ia. Para obligarla se requiere una estructura con cargas de ambos signos, compensando las repulsiones con atracciones. La carga in?nitesimal que nos interesa es de un signo exclusivamente. Por eso la condici´on v´alida es la distribuci´on super?cial. ¡ Pero entonces en vez de una densidad de carga continua tendremos burbujas ! Re?exionemos. En el l´imite para r ? 0 la burbuja no existe, porque todo se reduce a un punto. Entonces la distribuci´on de carga es continua e id´entica a · D . El campo el´ectrico de una esfera macrosc´opica de radio r con carga super?cial Q tiene una energ´ia WE que se expresa en la forma siguiente. We = Q2 8 p eo r Para su an´aloga in?nitesimal tenemos dWE = (93) (dQ)2 8 p eo dr
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El numerador es un in?nit´esimo de segundo orden y el denominador de primer orden. El cociente incremental dWE es entonces un in?nit´esimo de primer orden, como corresponde.
¿ Qu´e forma tiene y cu´anto vale el volumen donde se aloja dWE ? Recordemos aquello que recuadramos. Por ser las mismas leyes, podemos comparar el caso in?nitesimal con el caso macrosc´opico. En t´erminos macrosc´opicos tendr´iamos un cascar´on esf´erico hueco cuyo espesor, medido en la direcci´on del radio, es in?nitesimal. La energ´ia del campo el´ecrico se calcula integrando la densidad de energ´ia desde el radio del cascar´on hasta in?nito. Lo mismo corresponde en el caso ini?nitesimal. Cuando la carga es ?nita, el m´odulo del campo el´ectrico es ?nito a distancias ?nitas alrededor de la esfera. Con una carga in?nitesimal, a distancia ?nitas ese m´odulo es un in?nit´esimo de segundo orden. A distancia in?nitesimal es de primer orden. Entonces el volumen ocupado por la energ´ia en el caso in?nitesimal es un cascar´on esf´erico de espesor in?nitesimal y, obviamente, radio in?nitesimal. Entonces
dV = [superficie].[espesor] dV = (4 p (dr)2) [dr] dV = 4 p (dr)3 (94) El giro puntual equivale a una ´orbita de radio in?nitesimal. La carga puntual giratoria produce una corriente in?nitesimal, que recorre una circunferencia de radio in?nitesimal. En ese l´imite la circunferencia se reduce a un punto y la corriente es uniforme en toda la circunferencia. Tenemos una espira in?nitesinal. El campo magn´etico B de la onda es el campo que la corriente in?nitesimal produce en el centro de la espira in?nitesimal.
Para una espira macrosc´opica la Ley de Biot y Savart da Bespira = µo i 2 r Para su an´aloga in?nitesimal tenemos B = µo di 2 dr (95) Simbolocemos to al tiempo de una vuelta entera del giro puntual. La carga que pasa por una secci´on de la espira en ese tiempo es dQ . Entonces la corriente in?nitesimal que recorre la espira es di = dQ to (96) ˜ Recordemos que la continuidad y la independencia del tamano requieren tratar matem´aticamente a los in?nit´esimos f´isicos como tratamos a los valores f´isicos ?nitos en sistemas macrosc´opicos.
En (95) reemplazamos di como indica (96) . Ordenamos B =
B = dQ µo to 2 dr
µo dQ 2 to dr (97) 27
C Repitamos aqu´i la ecuaci´on (93) .
dWE = (dQ)2 8 p eo dr (93) Reordenamos dQ dr = 8 p eo dWE dQ (98) En (97) reemplazamos dQ dr como indica (98) . B = µo 2 to 8 p eo dWE dQ Reordenamos B = 2 µo eo dWE 2 p dQ to (99) Recordemos la f´ormula de la velocidad de propagaci´on en el vac´io. 1 C = v µoeo Entonces se cumple µo eo = 1 C2 (100) En (99) reemplazamos µo eo como indica (100) . B =2 1 dWE 2 p C2 dQ to Ordenamos B = 2 dWE C2 1 dQ 2 p to (101) En una onda plana que se propaga en el vac´io son iguales las energ´ias del campo el´ectrico y del campo magn´etico. Entonces (102) 2 dWE = dW dW ? in?nit´esimo de energ´ia total en el entorno del punto
Aplicamos en (101) lo indicado en (102) B = dW 2 1 dQ 2 p to (103) Maxwell demostr´o que la cantidad de movimiento lineal de una onda plana propagada en el vac´io es p = W C (104) ˜ Esta f´ormula fue veri?cada haciendo incidir radiaci´on sobre un espejo de masa muy pequena. El espejo reaccion´o como lo hace un cuerpo impactado por otro. Las mediciones resultaron plenamente acordes con la f´ormula de Maxwell. En t´erminos mec´anicos esa f´ormula y ese experimento exigen atribuirle masa a la radiaci´on, para poder formular la conservaci´on del momento lineal. Simbolizando m a la masa de la radiaci´on tenemos (105) p = mC
Ahora lo obvio. Igualar el miembro derecho de (104) con el miembro derecho de (105) y despu´es depejar.
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En t´erminos in?nitesimales tenemos W C2
dW C2 = m
= dm (106)
(107) Aplicamos en (103) lo indicado en (107)
B = dm 1 dQ 2 p to Ordenamos B = dm 2 p dQ to (108) El t´ermino 2 p to es la velocidad angular del giro puntual. 2 p to = ?o (109) ?o ? velocidad angular del giro puntual En (108) reemplazamos 2 p to como indica (109) B = dm dQ ?o (110) Despejamos ?o ?o = dQ dm B (111) La ecuaci´on (110) informa que el campo magn´etico est´a vinculado con la carga in?nitesimal que gira en el punto y con la masa correspondiente a esa carga. ¿ La masa tambi´en gira ? El giro de la carga produce una corriente rotativa in?nitesimal, cuya energ´ia est´a en movimiento rotativo. Entonces la masa gira, porque es directamente proporcional a la energ´ia. A una masa que gira le corresponde una cantidad de movimiento angular. En este caso hay una cantidad in?nitesimal de movimiento angular en cada punto de la regi´on donde la onda est´a presente. Espec´i?camente, en cada punto de la conaut.
La ecuaci´on (111) informa que la velocidad angular del giro puntual es directamente proporcional a dos propiedades. Una es la relaci´on carga/masa en el punto. Otra es el m´odulo del campo magn´etico en ese mismo punto. Hay un efecto giromagn´etico en la propagaci´on.
(5-d) Propiedades mec´anicas de la propagaci´on
Repitamos aqu´i la ecuaci´on (56) UB = B2 2 µo (56) La energ´ia magn´etica en un volumen in?nitesimal dV es
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dWB = UB dV B2 2 µo dV Reemplazamos UB como indica (56) .
dWB =
Reemplazamos B como indica (110) . dWB = 2 dm ?o dQ 2 µo dV Ordenamos dWB = 1 2 dV µo dm dQ 2 ?2 o (112) La ecuaci´on (112) tiene todas las caracter´isticas de la energ´ia cin´etica rotacional. Para un objeto macrosc´opico la f´ormula de la energ´ia cin´etica rotacional es Wr = 1 2 M ?2 o Wr M ? ? energ´ia cin´etica rotacional momento de inercia En t´erminos in?nitesimales tenemos dWr = 1 2 dM ?2 o (113) dWr dM ? ? energ´ia cin´etica rotacional in?nitesimal momento de inercia in?nitesimal Las ecuaciones (112) y (113) parecen dos expresiones de la misma energ´ia. ¿ Realmente lo son ? Igualemos los miembros derechos de ambas y veamos qu´e se obtiene. 1 2 o dM ?2 = 1 2 dV µo dm dQ 2 ?2 o Simpli?camos dM = dV µo dm dQ 2 Reordenamos dM = dV µo dm (dQ)2 dm (114) Por la igualdad entre las densidades de energ´ia de los campos el´ectrico y magn´etico tenemos
dW = 2dWE
Por (107) dm = 2 dWE C2 30
Y por (100) dm = µo eo 2 dWE (115) Repitamos aqu´i la ecuai´on (93) dWE = (dQ)2 8 p eo dr (93) (dQ)2 8 p eo dr En (115) reemplazamos dWE como indica (93)
dm = µo eo 2
Simpli?camos y ordenamos. dm = µo (dQ)2 4 p dr Despejamos dm 2 = (dQ) µo 4 p dr (116) En (114) reemplazamos dm (dQ)2 como indica (116). dM = dV µo µo 4 p dr dm Simpli?camos dM = dV 4 p dr dm (117) (94) Repitamos aqu´i (94). dV = 4 p (dr)3 En (117) reemplazamos dV como indica (94). dM = 4 p (dr)3 4 p dr dm Simpli?camos y ordenamos. dM = dm (dr)2 (118) El momento de inercia expresado en (118) corresponde a una masa in?nitesimal que recorre una circunferencia in?nitesimal, con el centro de la circunferencia como eje de rotaci´on. Esto concuerda plenamente con el giro puntual descrito en la secci´on (5-a). ¿ Hay algo relevante en esa concordia ? S´i. Lo comentaremos en la secci´on siguiente.
(5-e) Descanso y meditaci´on
Nos interes´o el signi?cado f´isico del par de corrientes in?nitesimales sim´etricas que operan en la direcci´on de propagaci´on y determinan la inductancia.
Notamos que para comprender el signi?cado f´isico necesitamos un modelo.
Hemos decidido comenzar con el modelo m´as simple y m´as vulgar. Los c´alculos mostraron que ese modelo se adecua plenamente.
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˜ ˜ ´ ˜ ´ Hemos entendido que en la electrodin´amica de Maxwell valen las mismas leyes para sistemas macrosc´opicos y para sistemas in?nitesimales, horrorizando a nuestro esp´iritu purista de las matem´aticas, porque tratamos a los valores in?nitsimales de las magnitudes f´isicas con las mismas reglas de los valores ?nitos. Y todo eso ha sido coherente. Es decir que en la electrodin´amica maxwelliana los sistemas macrosc´opicos y los sistemas in?nitesimales tienen la misma realidad f´isica.
Los campos continuos que son soluciones de la ecuaci´on de onda determinan varias densidades ?nitas, de carga, de corriente, de energ´ia, de momento lineal, de masa, etc. En las aulas adquirimos una idea vaga de ellas, que nos lleva a concebirlas como densidades nebulosas, abstractas, m´as parecidas a un arti?cio matem´atico que a un fen´omeno existente. Ahora sabemos que esas densidades contienen sistemas f´isicos normales de tamano in?nitesimal, que operan con las mismas reglas que sus parientes macrosc´opicos. Independencia de escala ilimitada. Desde la pequenez extrema hasta la grandeza extrema todo cumple las mismas leyes.
En el c´alculo de las propiedades del campo magn´etico estuvo incluido el campo el´ectrico, con su carga puntual esf´erica y su energ´ia coulombiana. La inclusi´on result´o coherente. Eso es otro bene?cio de las leyes de Maxwell, que expresan correlaciones coherentes entre campos, entre formas de planteo distintas, entre referenciales distintos y entre ordenes distintos de tamano. Por eso con libertad plena pudimos utilizar el modelo de la esfera el´ectrica in?nitesimal para calcular las propiedades de la corriente in?nitesimal cerrada en el entorno de un punto, con su campo magn´etico incluido. Hemos aplicado la f´ormula coulombiana, la ley de Biot y Savart, etc. , como se aplican a un sistema que est´a en reposo respecto al referencial escogido. El unico referencial donde la carga de la onda aparece en reposo es uno que tiene la misma velocidad que la onda respecto a un referencial material. Es decir que impl´icitamente hemos ?jado la referencia en un punto que viaja en el vac´io con velocidad igual a C . Y todo ha salido bien. Finalmente, para que no dudemos de la existencia f´isica de todo eso, Maxwell nos obsequia el momento de inercia del sistema rotativo in?nitesimal. Una propiadad mec´anica, presente en la materia y tambi´en en las ondas.
La lista anterior no est´a completa ni se aproxima a estarlo, pero es su?ciente para invitarnos a meditar.
(5-f) Densidad de momento angular
¿ Qu´e letra usaremos para el momento angular ? La letra habitual ha sido usada para la inductancia. Propongo usar A , una A en estilo manuscrito. Repitamos aqu´i la ecuaci´on (118) , que expresa el momento de inercia in?nitesimal dM . (118) dM = dm (dr)2
El momento angular in?nitesimal es dA = dM ?o (119) Hemos visto que la energ´ia del campo magn´etico en el entorno de un punto es formulable como energ´ia cin´etica rotacional, en la forma siguiente. dWB = 1 2 dM ?2 o (120) 32
En (120) despejamos dM dM = 2 dWB ?2 o (121) El campo magn´etico y el campo el´ectrico tienen densidades de energ´ia iguales en la onda que analizamos. Entonces se cumple
2 dWB = dWB + dWE
Es decir 2 dWB = dW (122) dW ? densidad de energ´ia total En (121) reemplazamos 2 dWB como indica (122). dM = dW ?2 o (123) En (120) reemplazamos dM como indica (123). dA = dW ?2 o ?o Simpli?camos dA = dW ?o (124) El momento angular in?nitesimal expresado en (124) corresponde a un punto de la conaut. Y todos los puntos tienen esa propiedad. Hay una densidad de momento angular, es decir, una distribuci´on continua en todo el volumen de la conaut. Integrando hallamos el monto total A de momento angular distribuido en la conaut. A = ?t-kx=2p
?t-kx=0 dW ?o A = 1 ?o ?t-kx=2p
?t-kx=0 dW A = W ?o (125) ¿ Hay relaci´on entre la velocidad angular ?o del giro puntual y la frecuencia angular ? de la propagaci´on ? Hagamos la comprobaci´on.
Repitamos aqu´i la ecuaci´on (111). ?o = dQ dm B (111) Esta ecuaci´on est´a basada plenamente en el concepto de la carga puntual giratoria. Ese concepto y el modelo sencillo que adoptamos se basan en la leyes m´as simples de la
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· D = D k sen(?t – kx) dQ = D k sen(?t – kx) dV APENDICE 2 D k sen(?t – kx) eo B sen(?t – kx) electrodin´amica maxwelliana. Entonces esperamos que al reemplazar en (111) dQ , dm y B por sus expresiones ondulatorias resulte ?o = ? . Caso contrario (111) ser´ia incompatible con las ecuaciones de Maxwell. Hag´amoslo y veamos el resultado.
La expresi´on ondulatoria de dQ es dQ = · D dV (126) Repitamos aqu´i (14) . ˆ (14) En (126) reemplazamos · D como indica (14) . ˆ (127) La densidad total de energ´ia es el doble de UB . Dividiendo por C2 obtenemos la densidad de masa. Entonces la masa in?nitesimal es dm = eo B2 dV (128) La ecuaci´on (128) est´a explicada en el ´ . En (111) reemplazamos dQ como indica (127) y dm como indica (128) . ?o = ˆ ˆ ´ El t´ermino sen(?t – kx) expresa localidad. Es decir expresa lo que corresponde a un punto espec´i?co en un instante espec´i?co. Esos t´erminos se simpli?can para dar una velocidad angular uniforme y unica en toda la conaut. La velocidad angular es la misma en todos los puntos y en todos los instantes. Simpli?cando queda ?o = ˆ ˆ D k eo B Ordenamos ?o = k eo ˆ ˆ D B (129) 34
De D2 2eo = B2 2µo se deduce ˆ ˆ D B = eo µo (130) En (129) reemplazamos ˆ ˆ D B como indica (130) . ?o = k eo eo µo Operamos o ?o = k
?o = k eo e2 µo
1 eo µo 1 ?o = k v eo µo 1 Recordamos v eo µo = C ?o = k C Recordamos k C = ? ?o = ? (131) Informa (131) que la velocidad angular ?o (propiedad electromec´anica) y la frecuencia angular ? (propiedad ondulatoria) son iguales. F´isicamente signi?ca lo siguiente.
La onda electromagn´etica es una onda electromec´anica.
En el inicio preguntamos ¿ hay relaci´on entre la velocidad angular ?o del giro puntual y la frecuencia angular ? de la propagaci´on ?
Hemos respondido la pregunta
Hemos comprobado que el concepto de la carga puntual giratoria es v´alido.
Viendo c´omo se simpli?can los dos t´erminos sen(?t – kx) , hemos comprendido por qu´e ? es uniforme en la propagaci´on y por qu´e ?o y ? son iguales.
Hemos averiguado c´omo funciona f´isicamente una onda electromagn´etica, es decir, hemos comprendido su naturaleza.
Hemos comprendido la funci´on del vac´io en la propagaci´on. Donde la onda se propaga el vac´io se polariza din´amicamente, es decir, la polarizaci´on var´ia obedeciendo a una funci´on de onda. La analog´ia del anuncio luminoso se ha convertido en mucho m´as que un recurso did´actico.
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´ Cuanto m´as avanzamos, m´as evidente resulta lo siguiente.
Entre la matem´atica y el mundo f´isico hay similitud. La matem´atica es una multitud de maneras. ¿ Maneras de qu´e ? De expresar el conjunto vac´io. ¿ Cu´antas hay ? In?nitas. ¿ Por qu´e ? Porque cada ecuaci´on tiene dos miembros que restados dan cero. La condici´on de coherencia es, precisamente, que todas las ecuaciones puedan reducirse a 0 = 0 . La matem´atica existe porque el cero rige siempre, independientemente de lo complicada o extensa que sea la estructura desarrollada. En el mundo f´isico, la radiaci´on es vac´io polarizado. La polarizaci´on no altera la neutralidad global, porque +q -q = 0 . La radiaci´on es la manera m´as simple de mantener la carga neta igual a cero. Y recordemos algo m´as. La colisi´on mutua dos fotones en condiciones adecuadas forma una part´icula y una antipart´icula. Las part´iculas se asocian formando atomos, mol´eculas, cuerpos, astros, etc. El cosmos entero nace de la radiaci´on. Y la radiaci´on existe sin alterar el cero del vac´io. El cosmos es el conjunto de todas las maneras posibles de mantener la neutralidad el´ectrica. Es decir, todas las maneras de cumplir f´isicamente la condicci´on de coherencia 0 = 0 .
CAP´ITULO 6 – Propiedades ?nitas de la conaut
(6-a) Carga en cada semiciclo La autonom´ia de la conaut est´a planteada.
La densidad de carga est´a formulada.
El ´area S est´a determinada.
Podemos entonces formular la carga Qo del semiciclo.
El ´area S corresponde al frente de onda de la conaut. La densidad de carga es uniforme en todos los puntos del frente de onda, porque todos corresponden al mismo valor de x . Entonces el volumen in?nitesimal dVx que nos interesa es (132) dVx = S dx
La carga in?nitesimal contenida en dVx es dQo = (133) · D dVx
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· D = D k sen(?t – kx) dQo = k D S sen(?t – kx) dx Qo = k D S · D ? densidad de carga
En (133) reemplazamos dVx como indica (132) . dQo = · D S dx (134) Repitamos aqu´i la ecuaci´on (14) . ˆ (14) ˆ · D como indica (14) . dQo = D k sen(?t – kx) S dx En (134) reemplazamos
Ordenamos. ˆ (135) ˆ Integrando entre los l´imites de un semiciclo obtenemos la carga ?nita Qo contenida en un semiciclo de la conaut. (?t-kx)=p sen(?t – kx) dx (136) (?t-kx)=0 ´ resultados. (?t-kx)=p
(?t-kx)=0 sen(?t – kx) dx = – 2 k (137) (?t-kx)=2p
(?t-kx)=p sen(?t – kx) dx = 2 k (138) Las expresiones (137) y (138) muestran algo esencial. Entre (?t-kx) = 0 y (?t-kx) = p la carga Qo es negativa. Y es positiva entre (?t-kx) = p y (?t-kx) = 2p . Las ecuaciones de Maxwell especi?can que la conaut viaja con su semiciclo negativo adelante y su semiciclo positivo atr´as. Razonemos un poco. La onda se forma porque la densidad de carga se aparta de cero gradualmente hasta el valor pico, despu´es pasa por cero sin quedar en ese valor, porque sigue variando y cumple todo el ciclo. La densidad de carga no puede ser cosenoidal, pues para serlo necesitar´ia en el inicio tomar abruptamente el valor pico. En un cambio abrupto, todas las derivadas primeras respecto del tiempo son in?nitas. Eso es f´isicamente imposible. La densidad de carga es inevitablemente senoidal y, para ella, las ecuaciones de Maxwell especi?can que el semiciclo negativo precede al semiciclo positivo en el sentido de avance de la propagaci´on. Recordemos esta propiedad, porque explica detalles esenciales en la colisi´on mutua de dos fotones para formar una part´icula con su antipart´icula.
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Qo = k D S Aplicamos en (136) lo indicado en (137) . Omitimos el signo, porque nos interesa el valor absoluto de la carga en un semiciclo de la conaut. ˆ 2 k Simpli?camos y ordenamos. ˆ Qo = 2 S D (139) (6-b) Capacitancia de la conaut
Queremos conocer la capacitancia C de la conaut. Compararemos dos modos de calcular la energ´ia del campo el´ectrico. : Modos de calcular la energ´ia del campo el´ectrico : ? Ambos modos calculan la misma energ´ia. Igualando los resultados hallaremos la capacitancia.
(6-c) Planteo densidad
La densidad de energ´ia UE del campo magn´etico es UE = 1 2 D · E (140) En la direcci´on de propagaci´on D tiene una componente perpendicular a E , cuyo aporte al producto escalar planteado en (140) es nulo. Solamente aporta la componente transversal de D . Entonces tenemos UE =
UE = 1 2 1 2 (eE) · E
e E · E UE = 1 2 e E2 (141) ´ (142) La onda que nos interesa es plana y se propaga en el vac´io.
e(vacio) = eo
Aplicamos a (141) lo indicado en (142) . UE = 1 2 eo E2 (143) 38
ˆ La soluci´on exponencial compleja no altera al campo el´ectrico. Entonces E tiene la forma habitual. E = E sen(?t – kx) (144) Aplicamos a (143) lo indicado en (144) y ordenamos. UE = 1 2 ˆ eo E2 sen2(?t – kx) (145) La diferencial de volumen dVx es la misma que de?nimos para el campo magn´etico, dada por (61) . Por comodidad repitamos aqu´i la ecuaci´on (61) . dV = S C dt (61) En cada intervalo dt hay una energ´ia dWE contenida entre ambas super?cies, cuya expresi´on es dWE = UE dVx infinit´simo de energia del campo el´ctrico e ´ e (146) (147) En (146) aplicamos lo indicado en (61) y ordenamos dWE = S C UE dt En (147) aplicamos lo indicado en (145) y ordenamos dWE = 1 2 ˆ eo S C E2 sen2(?t – kx) dt (148) Para calcular la energ´ia del campo el´ectrico en un ciclo entero integramos dWE entre t = 0 y t = T . WE = t=T
t=0 1 2 ˆ eo S C E2 sen2(?t – kx) dt (149) WE energia del campo el´ectrico en un ciclo entero Ponemos las constantes fuera de la integral WE = 1 2 ˆ eo S C E2 t=T
t=0 sen2(?t – kx) dt (150) ´ t=T
t=0 sen2(?t – kx) dt = p ? (151) T ´ periodo de la onda 39
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