James Clerk Maxwell conocimiento prohibido ˜ Aviso El abstracto, la bibliograf´ia y otros ´items habituales faltan en este documento. El motivo no es descortes´ia. Es necesidad. Ruego ser disculpado.
CAP´ITULO 1 – Varias ondas en una
(1-a) ¿ Qu´e trataremos ?
Ambiente : el vac´io
Fen´omeno : propagaci´on electromagn´etica
Caso : onda plana monodimensional, sin polarizaci´on de tipo alguno en los campos transversales.
Tarea : analizar el desplazamiento el´ectrico
Pongamos en evidencia una mala costumbre muy frecuente en la aulas. Es insistir demasiado en las ondas de los campos E y H , sin prestar la atenci´on debida a otros campos incluidos en la propagaci´on electromagn´etica, que tambi´en ondulan.
La onda del campo D (desplazamiento el´ectrico) est´a incluida, pero no tengo noticias de alguien que en las aulas le dedique atenci´on. Esto es raro pues espec´i?camente Maxwell necesit´o analizar a D para formular una teor´ia completa, coherente y consistente. Nos ensenan que D fue la llave que le permiti´o a Maxwell acceder a un ´ambito nuevo y maravilloso, sin mostrarnos c´omo aplica esa llave en cada caso espec´i?co, por ejemplo en la propagaci´on de una onda. Con la intenci´on de suplir esa falta estoy redactando este documento, destinado a personas que tienen conocimientos b´asicos de electrodin´amica.
(1-b) ¿ Qu´e signi?ca sin polarizaci´on ?
En las secciones siguientes nos esperan desarrollos matem´aticos que no son dif´iciles, pero son largos y laboriosos. Entonces nos har´a bien un poco de sustento conceptual, que es la mejor br´ujula para guiarnos en medio de la selva matem´atica.
La direcci´on de propagaci´on es el eje x. El plano (x,y) contiene a ese eje. Tambi´en el plano (x,z) . Y muchos otros planos lo mismo (hay in?nitos planos que lo contienen).
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Consecuentemente hay in?nitos pares de planos mutuamente perpendiculares, como esos que vemos a la izquierda de la imagen. Cada par de planos de ese tipo da lugar a una onda electromagn´etica, como esa que vemos en los planos (x,y) y (x,z) (campo el´ectrico y campo magn´etico). La energ´ia de la propagaci´on est´a distribuida en todos esos in?nitos planos. La onda elemental que opera en un par de planos mutuamente perpendiculares tiene una energ´ia in?nitesimal. Esto est´a impl´icito en la condici´on que nos interesa, propagaci´on sin polarizaci´on de tipo alguno . Mencionarlo expl´icitamente es una necesidad conceptual.
Los in?nitos planos se intersectan mutuamente en una recta. Esa recta es el eje de simetr´ia de la propagaci´on. ¿ Desde ese eje hasta qu´e radio abarca el campo de la onda ? ¿ Hasta radio in?nito o hasta un radio ?nito cuyo medida ignoramos ? No hago la pregunta para responderla en esta secci´on del documento. Solamente quiero motivar una re?exi´on en quien lee. Aunque ignoremos la medida del radio, es evidente la simetr´ia cil´indrica. El campo de la onda forma un cilindro, cuyo radio deber´ia estar determinado por las ecuaciones de Maxwell. Si la teor´ia maxwelliana es coherente, consistente y completa, entonces el radio del cilindro se deducir´a de ella.
En cada uno de los in?nitos planos coexisten el campo el´ectrico de una onda elemental y el campo magn´etico de otra. Eso es inevitable porque ning´un plano carece de campo el´ectrico ni de campo magn´etico. ¿ Implica esa coexistencia alguna incompatiblidad ? Ambos campos son transversales. Entonces los vectores de ambos en un mismo plano son paralelos y dan un producto vectorial igual a cero. El teorema de Poynting indica que el ?ujo de potencia est´a dado por ese producto vectorial. Esto signi?ca no hay potencia asociada con los vectores E y H de un mismo plano. La potencia est´a dada por los vectores E y H ubicados en planos distintos, como aprendemos en las aulas y en la bibliograf´ia.
Podemos prever dos modos de simetr´ia cil´indrica, por semiplanos (lo denominaremos modo SPL) y por planos (modo PL). En el modo SPL el sentido cambia en el eje de simetr´ia (el sentido en un semiplano es inverso al sentido en el otro). En el modo PL el campo tiene el mismo sentido en todo el plano. 2
¿ Puede existir el modo SPL f´isicamente ? En este modo cada vector de un semiplano tiene un companero igual y opuesto en el otro semiplano. Entonces la suma vectorial es cero. ˜ ´ Sin campos netos distintos de cero perpendiculares a la direcci´on de propagaci´on, el vector de Poynting es igual a cero. No hay ?ujo de potencia, no hay energ´ia y no hay onda. Por esa raz´on el modo SPL no es posible f´isicamente. La unica posibilidad es el modo PL.
¿ Qu´e hariamos para construir un modelo tridimensional del modo PL ? Una manera f´acil ser´ia poblar con vectores transversales del mismo sentido un plano que contiene al eje de propagaci´on. Despu´es rotamos ese plano media vuelta en torno al eje. Cada semiplano barre una mitad del volumen cil´indrico y con eso el cilindro queda completamente lleno de campo. El gr´a?co de la izquierda muestra un plano verde y otro azul mutuamente perpendiculares. Poblamos con vectores al plano verde y lo rotamos media vuelta. As´i generamos pares de vectores sim´etricos respecto al plano azul. Por ejemplo el par de vectores negros representado en el gr´a?co de la derecha.
Recordemos que la idea de poblar un plano con vectores y rotarlo sirve para describir coloquialmente como est´an dispuestos los campos en la simetr´ia cil´indrica. No es la descripci´on de un giro f´isico. Es un recurso did´actico.
¿ Qu´e da en t´erminos resultantes esa forma de llenar de campo todo el volumen alrededor del eje de propagaci´on ? La resultante del par sim´etrico es perpendicular a la direcci´on de propagaci´on y pertenece al plano azul. Lo mismo sucede con las resultantes de todos los pares sim´etricos. En t´erminos resultantes, la onda con simetr´ia cil´indrica admite la funci´on de onda m´as simple que conocemos, con dos planos mutuamente perpendiculares, el campo el´ecrtrico en uno de ellos y el campo magn´etico en el otro. Es la representaci´on chata que aprendimos en las aulas.
En este documento analizaremos la funci´on de onda resultante, sin olvidar que f´isicamente corresponde a simetr´ia cil´indrica.
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D = x D cos(?t – kx) + y D sen(?t – kx) (1-c) Lo imposible y lo posible
En el caso que nos interesa E y H no pueden tener componente longitudinal. ¿ Puede tenerla D ? Equivale a preguntar si es admisible lo siguiente. ˆ ˆ (1) x , y son versores de los ejes de coordenadas Recordando la identidad de De Moivre
ei? = cos? + i sen? (2) notamos que (1) corresponde a la soluci´on exponencial compleja de la ecuaci´on de onda, pues en la representaci´on geom´etrica de un complejo la parte real y la parte imaginaria son mutuamente perpendiculares, como las componentes longitudinal y transversal en (1). En el vac´io E y H no pueden tener componente longitudinal y, por esa raz´on, no admiten la soluci´on exponencial compleja. Queremos averiguar si D la admite. Esa es la tarea. Ahora podemos entender el t´itulo de este documento (Desde James Clerk Maxwell hasta Max Planck ). En teor´ia cu´antica las exponenciales complejas abundan. Si usamos el mismo tipo de funci´on, prepar´emonos para el mismo tipo de resultados. Lo esencial es poner a prueba las consecuencias de (1) y averiguar si es una soluci´on v´alida para D .
(1-d) Algo evidente en la soluci´on compleja
La divergencia se calcula derivando cada componente respecto del eje de coordenadas respectivo. En (1) ambas componentes son espacialmente funciones s´olo de x . La derivada de la componente transversal respecto de su eje es igual a cero. La derivada de la componente longitudinal respecto de su eje es distinta de cero. Entonces D tiene divergencia distinta de cero. La divergencia de D es igual a la densidad de carga el´ectrica en la regi´on donde el campo est´a presente. Entonces (1) atribuye una densidad no nula de carga el´ectrica a la regi´on donde la onda se propaga. La soluci´on compleja describe una onda en un espacio el´ectricamente sensible y el´ectricamente activo. A ese espacio sensible y activo lo denominamos vac´io.
(1-e) ¿ Carga en el vac´io ? ¿ Es posible ?
Para responder necesitamos partir de la de?nici´on de D . D = P + eo E definici´n del desplazamiento el´ctrico o e (3) El t´ermino eo E es transversal, porque E lo es.
Geom´etricamente, P debe ser longitudinal para que haya correspondencia entre (1) y (3) . ¿ Es eso posible f´isicamente ?
En t´erminos de resultantes locales, la polarizaci´on es un campo con simetr´ia colineal que no altera la neutralidad el´ectrica. Eso signi?ca que, dentro de un segmento de longitud ?nita, hay un par de vectores iguales y opuestos, resultantes de todas las contribuciones locales.
En el caso que tratamos, ¿ podr´ia la polarizaci´on ser transversal ? Imposible, pues dos vectores transversales que corresponden a valores de x distintos no son colineales. S´i lo son
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D = x D cos(?t – kx) + y D sen(?t – kx) dos vectores longitudinales correspondientes a valores de x distintos. Esta es la propiedad f´isica que concuerda con la condici´on geom´etrica.
La polarizaci´on establece una densidad de carga, que corresponde a carga ligada. Pero estamos analizando la propagaci´on en el vac´io. ¿ Est´a preparada la electrodin´amica maxwelliana para incluir la polarizaci´on del vac´io ?
(1-f) Maxwell y el vac´io
No interesa lo que Maxwell y otros cient´i?cos de la ´epoca pensaran respecto al vac´io. Interesan las preguntas siguientes.
La electrodin´amica maxwelliana, ¿ tiene generalidad su?ciente para incluir la polarizaci´on del vac´io ?
En el caso que nos interesa, ¿ implica la polarizaci´on alg´un movimiento de part´iculas cargadas, como por ejemplo electrones y positrones ?
El valor ?nito de eo , ¿ exige concebir al vac´io como un medio con propiedades diel´ectricas reales, capaz de polarizarse como los diel´ectricos conocidos ?
No podremos responder sin tener en cuenta todo a la vez. Y para tener en cuenta todo a la vez necesitaremos un poco de matem´atica.
CAP´ITULO 2 – La carga ligada del vac´io
(2-a) Valor pico y vector giratorio del campo D
Por comodidad repitamos aqu´i la ecuaci´on (1) . ˆ ˆ (1) Donde tengamos (?t – kx) = (2n – 1) p 2 tendremos ˆ D = y D (en los ceros de P) (4) Repitamos (3) .
Para (?t – kx) = (2n – 1) p 2 D = P + eo E (3)
resulta P = 0 , entonces tenemos D = eo E (en los ceros de P) (5) En esos lugares el m´odulo de E tiene el valor pico. Entonces tenemos ˆ ˆ E = y E
En (5) reemplazamos E como indica (6)
D = y eo E (6)
(7) (en los ceros de P)
(en los ceros de P)
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D = x eo E cos(?t – kx) + y eo E sen(?t – kx) D = x D cos(?t – kx) + y D sen(?t – kx) Dx = D cos(?t – kx) ·D = D k sen(?t – kx) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ En (7) reemplazamos al vector D como indica (4) y despu´es simpli?camos
D = eo E
¡ Demasiados pasos para llegar a (8) , que es trivial ! Es verdad. Solicito ser disculpado.
Reemplacemos en (1) D como indica (8)
ˆ ˆ
Extraigamos factor com´un eoE
D = eo E [ x cos(?t – kx) + y sen(?t – kx) ] (8)
(9)
(10) ´ ˆ El corchete del miembro derecho de (10) es una suma vectorial cuya resultante tiene siempre m´odulo igual a 1 . Lo unico que cambia es el ´angulo que forma la resultante con la direcci´on de propagaci´on. Un detector situado en un punto ?jo del eje x ve simplemente un vector giratorio de m´odulo eo E , cuya velocidad angular es igual a ? . En una animaci´on gr´a?ca, el vector parecer´ia una aguja de reloj. Si un detector pudiese viajar en el vac´io con la misma velocidad que la onda, ver´ia un vector que no gira. Parecer´ia la aguja de un reloj detenido. Y si el detector viajase en la direcci´on de propagaci´on con una velocidad intermedia entre 0 y C ver´ia al vector girar, pero m´as lentamente que cuando el detector est´a ?jo en un punto del eje x . Si alguien usase como reloj un detector as´i, los tiempos medidos depender´ian de la velocidad del reloj respecto al origen de coordenadas.
(2-b) Densidad de carga Recordemos la de?nici´on de divergencia (divD = ·D) ·D = ?Dx ?x + ?Dy ?y + ?Dz ?z (11) La parte en coordenada z no existe. La derivada respecto de y es igual a cero. Entonces queda ?Dx ?x (12) ·D =
Por comodidad repetimos aqu´i la ecuaci´on (1) . ˆ ˆ (1) (13)
(14) Seg´un (1) tenemos ˆ
Efectuamos la derivada indicada en (12)
ˆ
Vemos en (14) que la densidad de carga obedece a una funci´on de onda.
¿ Implica eso movimiento de carga en la direcci´on de propagaci´on?
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˜ La ecuaci´on (14) no implica movimiento de carga de tipo alguno. Esa ecuaci´on describe c´omo funciona la polarizaci´on.
En la regi´on donde una onda se propaga, la polarizaci´on del vac´io no es est´atica, es din´amica. Por eso la densidad de carga en cada punto del eje x var´ia peri´odicamente. En este caso senoidalmente. Cada punto del vac´io es un lugar donde la densidad de carga cambia continuamente.
¿ Son algunos efectos de la polarizaci´on din´amica equivalentes a los efectos de las cargas m´oviles ?
S´i, algunos efectos son equivalentes y con una analog´ia comprenderemos mejor.
(2-c) Analog´ia del anuncio luminoso
Pensemos en un anuncio luminoso de esos que vemos en las calles de la ciudad. Es un tablero que contiene much´isimas celdas pequenas capaces de iluminarse. Un dispositivo electr´onico programable se encarga de controlar la iluminaci´on de cada celda. Eso permite formar im´agenes m´oviles. Las im´agenes se mueven sin que las celdas se muevan. Se puede programar una funci´on de onda en dos colores, rojo para el semiciclo positivo y azul para el semiciclo negativo. Veremos en ese caso un tren de semiciclos rojos y azules alternados, que se mueven en la direcci´on de propagaci´on. Los colores viajan. Las celdas no. Lo visto es muy parecido a ver pasar un tren de ferrocarril. Cada color parece un vag´on que mantiene su forma y sus medidas geom´etricas mientras viaja. El color es muy intenso en el pico de la funci´on y se aten´ua gradualmente hacia los nodos. Algo parecido a la ?gura siguiente. Si la intensidad de color representa el valor de la densidad de carga y el color representa el signo, entonces la ?gura da idea de c´omo funciona la polarizaci´on en el vac´io. No hay movimiento real de carga. Hay un tren de dipolos el´ectricos virtuales viajando en la direcci´on de propagaci´on. El segmento que cada dipolo abarca en el eje x mide una longitud de onda. Es decir cada dipolo abarca un ciclo espacial entero, como sugiere la ?gura siguiente. Notemos algo. El sistema emisor inicia su funcionamiento emitiendo el primer ciclo. Cuando emite el segundo, desde cualquier punto del segundo ciclo la polarizaci´on del primero da resultante nula y la carga neta del primero es igual a cero. Eso es rec´iproco. Desde cualquier punto del primer ciclo la polarizaci´on del segundo ciclo entero da resultante nula y la carga neta es cero. Es decir cada ciclo entero es f´isicamente aut´onomo e independiente de los otros.
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(2-d) Pausa para re?exionar Estamos empezando a tomar conciencia de lo que implica la soluci´on exponencial compleja de la ecuaci´on de onda en el vac´io. Implica la polarizaci´on del vac´io con cargas ligadas inm´oviles. Implica una distribuci´on continua de carga en la regi´on donde la onda est´a presente. Su din´amica equivale virtualmente a dipolos que viajan en la direcci´on de propagaci´on. En ese viaje virtual, la geometr´ia y las medidas de cada dipolo se mantienen constantes. ˜ ˜ ˜ Una dosis de matem´atica tan pequena como calcular la divergencia ha puesto en evidencia propiedades f´isicas profundas. La densidad de carga de la onda que analizamos no puede ser producida por part´iculas dispersas en la regi´on de propagaci´on. La ecuaci´on (14) expresa una distribuci´on continua, sea cual fuere la longitud de onda. Para longitudes de onda muy pequenas, un conjunto de part´iculas dispersas no puede dar una distribuci´on continua. Y para una longitud de onda menor que el tamano de la part´icula, no podr´ia haber ni una sola part´icula en la regi´on abarcada por un semiciclo. De?nitivamente se impone lo siguiente. La polarizaci´on din´amica del vac´io corresponde a una densidad de carga f´isicamente continua. La continuidad no es un promedio estad´istico. Es una realidad f´isica. En cada punto de la regi´on donde la onda est´a presente hay una porci´on in?nitesimal de carga el´ectrica. ¡ Error a la vista ! Se sabe que la carga est´a cuantizada y que solamente puede aparecer como un n´umero entero de unidades e iguales a la carga del electr´on. ¡ Una distribuci´on de carga f´isicamente continua hasta nivel in?nitesimal es absurda ! ¡ Ya podemos dejar esto ! Verdad, podemos. Con la misma vehemencia hubi´esemos podido dejarlo desde la primera palabra. Me gustar´ia, antes de dejarlo, analizar en qu´e se basa la idea de que lo previo es err´oneo. Se sabe que la carga es una magnitud cuantizada. ¿ Qu´e omitimos al decir se sabe ? Expresemos en forma completa el conocimiento disponible respecto a la carga el´ecrica. Experimentos basados en la ionizaci´on de la materia han detectado part´iculas que no son neutras. En ese tipo de part´iculas, la carga neta es m´ultiplo de una unidad m´inima igual a e . La informaci´on obtenida con materia ionizada, ¿ puede ser extrapolada al vac´io ? Esa es la pregunta basada leg´itimamente en el conocimiento disponible. ¿ Qu´e sabemos al respecto ? ¿ Tiene o no fundamento una extrapolaci´on como esa ? Ahora s´i. Podemos dejar esto. Tambi´en podemos continuarlo, porque una pregunta leg´itima puede conducir a una respuesta leg´itima. Mi decisi´on fue continuar. Este documento muestra lo hallado en el camino. 8
j = x C D k sen(?t – kx) × H = x ? D sen(?t – kx) + (2-e) Veri?car los rotores
La ecuaci´on de onda electromagn´etica se deduce de las ecuaciones de Maxwell. La deducci´on se basa en los rotores de los campos E y B . Si la componente longitudinal alterase un rotor o ambos estar´iamos en problemas. En caso de no alterarlos, sabremos que esa componente es coherente con las ecuaciones de Maxwell.
Rotor del campo magn´etico En el vac´io tenemos B = µo H (15) Por ser µo constante se cumple × B = µo × H (16) × B no se altera si × H no se altera. Por comodidad analizaremos × H . En la direcci´on de propagaci´on hay movimiento virtual de carga el´ectrica. Es decir hay una corriente virtual. Decimos virtual porque basamos el concepto en la polarizaci´on del vac´io. Un instrumento sensible a las corrientes detectar´a los mismos efectos que detecta en casos vulgares. En t´erminos efectivos, la corriente virtual cumple las mismas leyes que todas las corrientes. Por el modo de llegar al concepto, dif´icilmente olvidaremos que la polarizaci´on din´amica produce una corriente virtual. Por eso propongo denominarla simplemente corriente y simbolizarla i . Esa corriente est´a presente en todos los puntos de la regi´on donde la onda se propaga. Tenemos entonces una densidad de corriente j , igual a la densidad de carga multiplicada por la velocidad de propagaci´on vp . vp ? velocidad de propagaci´n o (17) i ? corriente o ´ (polarizaci´n dinamica) (18) o ´ (polarizaci´n dinamica)
· D (19)
(20) j ? densidad de corriente
j = vp · D como indica (14) En (20) reemplazamos ˆ ˆ (21)
(22)
(23) j = vp D k sen(?t – kx)
Aplicamos vp = x C ˆ
Aplicamos C k = ? j = x ? D sen(?t – kx)
× H est´a dado por la ley de Ampere-Maxwell. ? D ?t (24) × H = j +
En (24) reemplazamos j como indica (23) ˆ ? D ?t (25) 9
D = x D cos(?t – kx) + y D sen(?t – kx) = -x ? D sen(?t – kx) + y ? D cos(?t – kx) × H = x ? D sen(?t – kx) – x ? D sen(?t – kx) + y ? D cos(?t – kx) × H = y ? eo E cos(?t – kx) ja = x ? D sen(?t – kx) jb = -x ? D sen(?t – kx) D est´a dado por la ecuaci´on (1) , que por comodidad repetiremos aqu´i. (1) ˆ ˆ
Derivamos respecto del tiempo, como indica (25). ? D ?t ˆ ˆ (26) En (25) reemplazamos ? D ?t como indica (26) ˆ ˆ ˆ (27) En (27) hay dos densidades de corrientes longitudinales que tienen sentidos opuestos y m´odulos iguales. Obviamente la suma de ambas da cero, pero hay un detalle f´isico esencial, que comentaremos en otro apartado. Ahora simpli?quemos y observemos como queda × H . ˆ ˆ ˆ × H = y ? D cos(?t – kx)
En (28) reemplazamos D por eo E , como indica (8) .
ˆ (28)
(29) Notamos en (29) que el rotor del campo magn´etico es id´entico al resultado que se obtiene suponiendo que la componente longitudinal no existe. Es decir es el mismo rotor que se usa para deducir la ecuaci´on de onda partiendo de las ecuaciones de Maxwell.
La componente longitudinal, por de?nici´on, no altera al campo el´ectrico. Consecuentemente no altera a × E . ˆ ˆ ˆ (27) Ambos rotores tienen la forma que conocemos tradicionalmente. Esto signi?ca que la soluci´on exponencial compleja es coherente con las ecuaciones de Maxwell.
CAP´ITULO 3 – Inductancia de la propagaci´n
(3-a) Las dos densidades de corriente longitudinales
Por comodidad repitamos aqu´i la ecuaci´on (27) .
× H = x ? D sen(?t – kx) – x ? D sen(?t – kx) + y ? D cos(?t – kx)
Simbolicemos ja al primer monomio de (27) , jb al segundo y jc al tercero. ˆ (30)
(31) (32) ˆ
ˆ
jc = y ? D cos(?t – kx)
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ja y jb son dos densidades de corriente longitudinales, que tienen sentidos opuestos y valores absolutos iguales. Son sim´etricas. ¡ Entonces podemos ignorarlas, porque la suma vectorial da cero ! Un momento. ¿ Ignorar algo que aparece expl´icitamente en la ley de Ampere – Maxwell ? ¡ S´i ! ¡ Aunque quisi´eramos hacer algo con ese par sim´etrico no podemos, porque sobre cualquier recta longitudinal la suma vectorial es nula ! ¡ Una recta es una recta ! ¡ No hay escapatoria ! Esa protesta da la clave. Una recta es una recta…
En modo est´atico, donde todo est´a dado y ?nalizado de antemano, es verdad. Una recta es una sola recta.
En modo anal´itico, donde hay t´erminos algebraicos y geom´etricos que son llevados hasta el l´imite in?nitesimal, una recta es tantas rectas como necesitemos.
En el caso que tratamos, necesitamos solamente dos rectas paralelas, una para ja y otra para jb .
Comenzamos con dos rectas paralelas separadas por una distancia g , hacemos el planteo necesario y despu´es pasamos al l´imite para g ? 0 , que convierte a las dos rectas en la misma recta (FIGURA 1) . ´ En el caso de jc tambi´en podemos comenzar con dos rectas paralelas transversales, separadas por una distancia igual a g . Se puede suponer la misma distancia en ambos casos y ahorramos nomenclatura. En direcci´on transversal hay una sola densidad de corriente y en ambas rectas tendr´a el mismo sentido. Entonces tendremos un cuadrado con densidades de corriente en sus lados (FIGURA 2) . F´isicamente podemos y debemos pensar que una recta equivale a una varilla cuya secci´on transversal es in?nitesimal. No interesa la forma de la secci´on y podemos imaginarla como mejor convenga, secci´on cuadrada, circular, rectangular, el´iptica, lo que sea, porque en el l´imite in?nitesimal todas las formas terminan dando una secci´on in?nitesimal que, obviamente, tiene un ´area in?nitesimal ds . Una densidad de corriente ?nita que atraviesa un area in?nitesimal da una corriente in?nitesimal . En los lados longitudinales del cuadrado tenemos dos corrientes in?nitesimales de sentidos contrarios. En los lados transversales dos del mismo sentido (FIGURA 3) . Representemos en perspectiva la din´amica in?nitesimal. ( B y ds pertenecen al mismo punto )
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(3-b) Signi?cado f´isico del (27) y c´alculo de la inductancia
El campo magn´etico es perpendicular a la super?cie del cuadrado representado en la ?gura 3. Es decir el vector de super?cie y el campo magn´etico son paralelos. En el l´imite para g ? 0 tenemos un cuadrado in?nitesimal atravesado normalmente por el campo magn´etico. Entonces el ?ujo magn´etico in?nitesimal dfB es dfB = B · ds (33) ´ ds ? area in?nitesimal
Por ser B y ds paralelos queda dfB = B ds (34) B ? m´odulo de B
El conjunto de corrientes in?nitesimales representado en la ?gura 3 es la causa del campo magn´etico dentro del cuadrado in?nitesimal.
En el l´imite para g ? 0 , la distancia entre el centro del cuadrado y uno de los lados es in?nitesimal.
En un punto situado a distancia in?nitesimal de una corriente in?nitesimal, la inducci´on magn´etica debida a esa corriente es ?nita.
Cada lado del cuadrado produce, con su corriente in?nitesimal, una inducci´on ?nita en el centro del cuadrado.
Las inducciones producidas por las corrientes transversales dic son iguales y opuestas. Por eso ese par de corrientes in?nitesimales no contribuye a la inducci´on en t´erminos netos.
Las inducciones producidas por dia y dib son iguales y del mismo sentido. Entonces el par longitudinal es responsable de la inducci´on neta.
En el l´imite para g ? 0 , el camino in?nitesimal de dia se contin´ua en el camino de dib y viceversa. Es decir ese par de corrientes in?nitesimales equivale a una espira de radio in?nitesimal recorrida por una corriente in?nitesimal di = dia = dib . Es este el signi?cado f´isico de la ecuaci´on (27) , cuya discusi´on fue iniciada previamente. Escribamos la de?nici´on de inductancia. L = dfB di (35) En el contexto del cuadrado in?nitesimal, la derivada indicada en (35) es igual al cociente
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