Diseño de engranajes que trabajan con distancia entre centros variable.

1. Síntesis 3. Estado del arte de las transmisiones por engranajes con variación de la distancia entre centros. 4. Determinación de las propiedades fundamentales de las curvas epicicloidales y evolventes de círculo. 5. Selección de la curva que forma el perfil del diente en engranajes con distancia entre centros variable. 6. Sustitución del perfil de trabajo del diente por arcos de círculos y análisis de los parámetros cinemáticos reales. 7. Referencias Bibliográficas 8. Resumen

1. Síntesis

El trabajo trata la problemática de los engranajes que trabajan con variación de la distancia entre centros de operación, lo cual ha sido abordado por otros autores, pero sólo se han obtenido resultados parciales. Uno de los principales aportes consiste en enfocar el análisis desde el punto de vista general para cualquier relación de transmisión y número de dientes, pues los trabajos consultados están relacionados con el caso particular de las coronas de los molinos de caña de azúcar, que tienen relación de transmisión igual a la unidad. Primeramente se hace un estudio de las posibles curvas a utilizar en el perfil de trabajo de los dientes, se parte de la formulación general de las curvas epicicloidales, demostrándose que las evolventes forman parte de esta misma familia. Se desarrollan las expresiones para el cálculo de los parámetros geométricos y se establece un procedimiento general para el análisis cinemático de estas transmisiones, aplicable a todas las curvas analizadas. Se desarrolla un nuevo procedimiento para sustituir las curvas originales por arcos de círculo, con el objetivo de facilitar su aplicación práctica. Para los perfiles formados por arcos de círculo se obtienen las expresiones para determinar el factor de recubrimiento, el ángulo de presión y la línea práctica de engranaje.

2. Introduccion

Los engranajes que trabajan con distancia entre centros variables no aparecen tratados con frecuencia en la literatura científica. En la práctica se encuentran transmisiones dentadas que requieren trabajar con distancia entre centros variables, como son las coronas principales de los molinos azucareros, las transmisiones de los cilindros de las máquinas sobadoras y las galleteras de la industria alimenticia, teniendo como característica común que todas tienen relación de transmisión igual a la unidad, o que requieran relaciones de transmisión diferentes de la unidad, como es el caso de las coronas que mueven las cuartas mazas que se le están adicionando a los molinos azucareros.

Como se plantea anteriormente, en los libros de diseño de elementos de máquinas este tema no es tratado, y es una urgencia de la industria contar con un procedimiento que permita obtener los parámetros geométricos y cinemáticos de este tipo de transmisiones. Por tal motivo se comenzó realizando una amplia búsqueda bibliográfica con el objetivo de conocer el estado en que se encontraba este tema.

La búsqueda incluyó textos de Teoría de Máquinas y Mecanismos, de Elementos de Máquinas, especializados en engranajes, patentes, publicaciones periódicas, etc. Como resultado se puede plantear que en la literatura especializada no se encuentra un método general que garantice obtener todos los parámetros geométricos y cinemáticos de las transmisiones dentadas que trabajan con distancia entre centros variable. Por ese motivo es que se desarrolla el presente trabajo.

3. Estado del arte de las transmisiones por engranajes con variación de la distancia entre centros.

Desarrollo de las transmisiones por engranajes.

Desde tiempos remotos el hombre se ha preocupado por la transmisión del movimiento, siendo las transmisiones por engranajes una de las más utilizadas. En [12] se expone de forma cronológica una serie de hechos históricos relacionados con la evolución de los engranajes. En la Tabla 1.1 se muestran algunos de los primeros científicos que realizaron aportes a esta temática, la fecha aproximada y el aporte fundamental realizado por ellos.

Tabla 1.1. Evolución de la teoría de los engranajes.

Como se aprecia el tema de las transmisiones por engranajes es tratado desde hace varios siglos, y en la actualidad sigue siendo objeto de estudio de muchos especialistas. Al respecto [14] plantea:

"A medida que aparecen nuevos problemas y aplicaciones de los engranajes, las industrias interesadas se enfrentan con la necesidad de desarrollar y producir perfiles de engranajes los cuales resolverán sus problemas específicos. De esta manera el arte y la ciencia de los engranajes está continuamente en proceso de cambio".

Refiriéndose al desarrollo futuro en el campo de los engranajes [12] plantea una serie de vertientes en las que se deberá trabajar, dentro de ellas se encuentra la del desarrollo de nuevos perfiles a partir de los existentes "Nuevos perfiles a partir de la evolvente, cicloides, Wildhaber-Novikov".

Engranajes con variación de la distancia entre centros de operación.

Al analizar los textos que tratan sobre teoría de mecanismos y máquinas y sobre la temática del diseño de elementos de máquinas, se pudo constatar que el tema de los engranajes que trabajan con distancia entre centros de operación variable no es abordado. Solamente se hace referencia a este tipo de transmisión en [17], y en el mismo se dedica un pequeño epígrafe a este tema en el que se brindan recomendaciones que se deben tener en cuenta al realizar su diseño. Estas recomendaciones se pueden resumir de la siguiente forma:

1. Garantizar que los diámetros exteriores sean tales que a las distancias entre centros de operación máximas, al menos se obtengan 1.1 pares de dientes en contacto.
2. Al producirse el alargamiento de los dientes, debe chequearse el ancho en la punta para evitar que se afinen más de lo permisible.
3. Debe existir suficiente huelgo de recorrido entre el diámetro exterior de cada rueda y el diámetro interior de la otra, debiendo tenerse en cuenta para las distancias entre centros mínimas.
4. Debe ser evitado el socavado en el diente de las ruedas con vistas a mantener las mejores características de resistencia.
5. Al bajar los diámetros interiores, debe chequearse el cubo de la rueda, es decir la zona entre el diámetro interior y el agujero del árbol.

Como se aprecia, las recomendaciones que se ofrecen son de carácter general y en ningún momento el texto se refiere a los métodos para obtener los parámetros geométricos, cinemáticos y dinámicos de estas transmisiones. Sin embargo este es uno de los aspectos más importantes como se plantea en [49]: "La primera dificultad que aparece al proyectar un juego de engranajes reside en el hecho de que es necesario conocer todas las dimensiones de los engranajes, así como la forma y tamaño de los dientes, antes de que se puedan determinar con exactitud las cargas y tensiones. Esto hace necesario estimar el tamaño y la forma de los dientes de los engranajes, utilizando métodos simplificados y luego comprobar esta estimación".

La revisión realizada en otros documentos arrojó como resultado que estas transmisiones, desde el punto de vista general, tampoco son abordadas. Sólo se encontraron referidos estos engranajes en varias publicaciones cubanas [23, 24, 27, 28,29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 55, 56] y una mexicana [20], estando en todos los casos relacionados con las coronas de los molinos.

Tipos de perfiles de los dientes de engranajes.

Partiendo de los planteamientos anteriores se puede afirmar que la primera tarea es determinar la forma y tamaño de los dientes de los engranajes, siendo indispensable para ello seleccionar la curva que forma el perfil de trabajo del diente. Al respecto en [25] se plantea: "La zona de contacto o de trabajo de los dientes es sólo la limitada por la curva de presiones; el resto del perfil no actúa y puede tener forma cualquiera". En [59] se concluye que:

"Un cierto género de curvas ha merecido, por sus propiedades, la preferencia para la ejecución del diseño del flanco de dientes de los engranajes. Estas curvas son las cíclicas. En las que distinguiremos cinco tipos a saber:

1. Epicicloide.
2. Cicloide.
3. Hipocicloide.
4. Pericicloide.
5. Evolvente de círculo."

Para tener una idea más exacta de las características de las diferentes curvas se realizó un estudio de los engranajes más usados en la práctica, atendiendo al tipo de perfil, y valorando fundamentalmente sus posibilidades de utilización en transmisiones con distancia entre centros variable.

Engranajes con perfil cicloidal.

Con anterioridad a la evolvente se desarrollaron los engranajes que tienen el perfil del diente formado por curvas cicloidales. En [37] se plantea: "La más remota referencia que se tiene de un estudio del problema del movimiento uniforme por engranaje de dientes y su solución, data del tiempo de Olaf Roemer, célebre astrónomo danés, quién en 1674 propuso la forma epicicloide para obtener el movimiento uniforme". En la práctica la tendencia de los engranajes cicloidales ha estado dada por la combinación de las curvas epicicloidales e hipocicloidales, y son ampliamente tratados en la literatura especializada [5, 12, 14, 17, 22, 25, 37, 49, 59].

Obtención del perfil del diente.

En la Fig.1.1 se puede apreciar cómo se forma el perfil del diente. Si se hace rodar sin deslizamiento la circunferencia generatriz 2 (Rg2) por la parte exterior de la circunferencia directriz (Rd) N – N, entonces el punto de contacto P de esta circunferencia describe una curva epicicloide E. Al rodar la circunferencia generatriz 1 (Rg1) por el interior de la circunferencia directriz N – N, el punto de contacto P describe una curva hipocicloide H. El rodamiento de las circunferencias generatrices 1 y 2, se debe realizar de tal modo que ambas circunferencias giren en el mismo sentido, por ejemplo en sentido horario. La curva epicicloide E sirve para obtener el perfil de la cabeza del diente y la curva hipocicloide H, forma el perfil del pie del diente.

De forma general, todos los autores que tratan este tipo de engranajes coinciden en que el diámetro de las circunferencias generatrices para pares de ruedas individuales se determina en base de la relación:

Rg1 = (0.35 … 0.5) Rd1

Rg2 = (0.35 … 0.5) Rd2

Para el diseño de series de ruedas se plantea [5]: "Para una serie de ruedas dentadas, es decir para un conjunto de ruedas, en el cual las ruedas pueden funcionar en parejas entre sí, los radios de las circunferencias generadoras Rg1 y Rg2 deben ser iguales y se encuentran a base de la formula:

Rg1 = Rg2 = 0.5 Rmin Donde Rmin, es el radio de la circunferencia primitiva de la rueda más pequeña de la serie".

Fig.1.1. Formación del perfil cicloidal de un diente.

En cuanto al coeficiente que establece la relación entre Rg y Rd otros autores particularizan más su uso, en [44] se plantea: "… en la industria relojera se utiliza el perfil cicloidal con módulo m = 0.5, y para toda la construcción de maquinaria se recomiendan módulos entre m = (0.35 ~ 0.4). Por módulo de la curva cicloidal se toma la relación entre el radio generatriz y el radio de la circunferencia directriz".

Ventajas y desventajas de estas transmisiones.

En toda la bibliografía que trata estos engranajes los autores coinciden al exponer las ventajas y desventajas de su uso. Las primeras justifican el hecho de que en la actualidad se sigan utilizando, fundamentalmente, en la industria relojera y en la fabricación de bombas volumétricas. Las desventajas se obtienen al compararlos con los engranajes de perfil evolvente y justifican la imposición de estos últimos en la fabricación de ruedas dentadas.

Ventajas:

• El contacto se realiza siempre entre una curva cóncava y otra convexa, o sea entre epicicloide e hipocicloide, por lo cual la superficie de contacto es grande, la presión específica menor y el desgaste más uniforme.
• El número de dientes puede ser bastante más reducido que en las ruedas con perfil de evolvente.
• El deslizamiento es menor que en los engranajes de evolvente y la curva de presiones tiene mayor desarrollo, de donde resulta una mayor duración del engranaje.

Desventajas:

• La distancia entre centros ha de permanecer absolutamente fija, ya que cada punto del perfil de una rueda corresponde con otro punto del otro perfil, y a la menor dislocación se producen importantes alteraciones en su funcionamiento al dejar de cumplirse la ley fundamental del engranaje.
• El trazado es más difícil, puesto que intervienen dos curvas distintas en cada perfil.
• La intensidad de las presiones normales entre los dientes en contacto aumenta desde el centro a los extremos, por lo que tiende a desgastarse desigualmente.
• Aunque tengan igual paso, dos ruedas no pueden engranar si sus dientes no están engendrados por las mismas circunferencias generatrices.
• Las herramientas para la fabricación de estos perfiles son numerosas y su ejecución más delicada.

De la descripción realizada se deduce que este tipo de transmisión no puede ser utilizada con el fin propuesto en este trabajo, pues una de las desventajas fundamentales de la misma es precisamente que no aceptan ninguna variación de la distancia entre centros.

Engranajes con perfil evolvente.

Como se planteó anteriormente los engranajes con perfil evolvente se impusieron a los cicloidales, y en la actualidad son los más utilizados en los engranajes de uso común.

Formación del perfil del diente.

En todos los textos en los que se trata el tema de los engranajes se describe como se obtiene esta curva. En [15] se describe basándose en la Fig.1.2:

"La evolvente de círculo se define como sigue: Consideremos una recta que rueda sobre un círculo sin deslizarse; un punto M cualquiera de la misma describe una curva llamada evolvente del círculo considerado. Dicha curva evidentemente no puede penetrar en el interior del círculo"

Fig.1.2. Trazado de la evolvente.

De la misma forma, en la literatura especializada, aparecen ampliamente tratados los procedimientos para obtener los parámetros geométricos de los mismos, por lo que no serán referidos en este trabajo.

Ventajas y desventajas de los engranajes de evolvente.

Al igual que en el caso de los engranajes cicloidales, los autores que tratan los engranajes con perfil evolvente coinciden en general al referirse a las ventajas y desventajas de estos. Sobre este tipo de engranaje [14] plantea: "The fact that the involute form of tooth has almost entirely superseded the cycloidal form is in itself an indication that the involute form is superior".

Ventajas:

• La distancia entre centros puede variar ligeramente sin afectarse sensiblemente el funcionamiento del engranaje. Sólo cambia con ello el ángulo de presión.
• El trazado es más sencillo por constar de una sola curva.
• La presión normal entre perfiles es constante por ser la línea de presiones una recta, de aquí resulta un desgaste uniforme.
• Una rueda cualquiera puede engranar con todas las que tengan su mismo módulo, si el ángulo de presión es el mismo.
• Las herramientas para su fabricación son mucho más reducidas, bastando con 8 fresas por módulo para todas las ruedas hasta el módulo 10 y 14 fresas si el módulo es mayor de 10.
• Su fabricación es mucho más perfecta y sencilla, ejecutándose modernamente por el método de generación continua, por el que se obtienen los perfiles prácticamente perfectos, con una sola herramienta.
• El trazado de las cremalleras es muy sencillo, ya que el perfil es una recta.

Desventajas:

• La superficie en contacto de dos dientes se reduce a una recta por ser dos curvas convexas, de aquí que después de mucho tiempo de funcionamiento, por el desgaste en la base, se parezca este trazado al cicloidal.
• El número mínimo de dientes es algo mayor que en las transmisiones con perfil cicloidal.
• El rendimiento es ligeramente inferior al perfil cicloidal por haber mayor deslizamiento.

Al comparar los engranajes con perfil del diente cicloidal y evolvente [25] plantea: "Debido a la superioridad de ventajas presentadas por el perfil de evolvente, es este el universalmente adoptado para ruedas de fuerza, ruedas cónicas, helicoidales y cremalleras, utilizándose el perfil cicloidal cuando se requiere una marcha tranquila o un pequeño desgaste en las ruedas interiores, piñones de muy reducido número de dientes, relojería etc.".

A partir del análisis sobre las transmisiones con perfil evolvente puede decirse que es posible su utilización para el diseño de engranajes que trabajan con variación de la distancia entre centros. Como se planteó anteriormente este tipo de perfil ha sido utilizado para el diseño de coronas de molinos de caña [50], pero las particularidades del mismo en su forma común no permiten dar solución a todos los problemas que se abordan en este trabajo.

Engranajes con perfil composite involute de 14 ½º.

Este sistema también es ampliamente tratado en la literatura especializada [9, 12, 14, 16, 17, 22, 37, 49, 52, 53, 59]. Al respecto [53] plantea:

"En este sistema, la curva del diente es una evolvente a una distancia corta a cada lado del círculo primitivo pero en las porciones interior y exterior del trazado es una cicloide… Este sistema se llama a veces, erróneamente, Ç sistema de involuta de 14.5º normalizadoÈ , como antes se indicó, solamente una porción de los dientes es de forma involuta".

Sobre este tipo de engranajes se plantea en [16, 37]: "La línea de engrane del diente es más larga con el sistema compuesto que con el sistema de diente de evolvente pura".

Este tipo de perfil es empleado en el diseño de coronas de molinos de caña [28, 45], aunque no aparece desarrollado el procedimiento para determinar los parámetros geométricos. En [45] se realiza una comparación entre diferentes coronas clasificadas a partir de su trazado. Entre éstas se encuentra la de perfil composite involute, de la cual se muestra su trazado en la Fig.1.3.

Fig.1.3. Trazado de las coronas con perfil composite involute (sustituido por arcos de círculo).

Sobre las particularidades de las coronas diseñadas con este perfil [28] plantea: "El perfil COMPOSITE INVOLUTE permite una mayor variación de la distancia entre centros, pero el contacto entre los dientes es más irregular y las cargas dinámicas mayores".

Como resultado de la comparación realizada en [45], se concluye que el perfil composite involute garantiza una mayor variación de la distancia entre centros de operación que la mayoría del resto de los perfiles, solo superado por el perfil FULTON. Por ese motivo se profundizó en el estudio del perfil composite involute, pues lograr variaciones de distancias entre centros grandes en las transmisiones es uno de los objetivos fundamentales del procedimiento a desarrollar.

Como se aprecia en la Fig.1.3 el trazado del perfil se realiza a partir de tres arcos de circunferencia, siendo la zona de trabajo del diente la correspondiente a la cabeza del mismo. Según el trazado del perfil original [25, 37, 49, 53], esta zona está formada por un pequeño tramo de evolvente cerca de la circunferencia básica, y la mayor parte del diente por una epicicloide.

Los engranajes en los cuales el perfil de trabajo está formado por epicicloides, aparecen reflejados en la literatura [12, 25], específicamente en [25] estas transmisiones aparecen clasificadas como "engranajes de doble punto". Por tal motivo se considera posible utilizar la curva epicicloide para formar la zona de trabajo del diente y de esta manera eliminar el inconveniente que representa trazar un pequeño tramo evolvente utilizado en la composite involute.

Sustitución del perfil de los dientes por arcos de circunferencia.

Desde el punto de vista práctico, en muchas ocasiones, es conveniente sustituir el perfil de los dientes en los engranajes, por arcos de circunferencia. En [25] se plantea:

"Se han ideado varias construcciones para sustituir aproximadamente, mediante arcos de circunferencia, las curvas del perfil, tanto cicloidal como de evolvente, obteniéndose así curvas de trazado continuo, que aunque no son las teóricas difieren poco de ellas, sobre todo teniendo en cuenta que el dibujo de estas habría de hacerse por puntos".

A continuación se hace un análisis crítico de varios métodos desarrollados para este fin.

Sustitución del perfil evolvente según Grant.

Existen diferentes métodos para la sustitución del perfil evolvente por arcos de circunferencia. Dentro de ellos se destacan las tablas prácticas ideadas por George B. Grant a principios de este siglo, y que son conocidas como "odontógrafo de Grant" [12].

El método en general utiliza coeficientes tabulados, los cuales multiplicados por el módulo de la rueda permiten obtener el valor de los radios de los arcos de círculo y los centros de los mismos. Los valores de estos coeficientes se obtienen a partir del número de dientes. El trazado para la evolvente es según se representa en la Fig.1.4.

Fig.1.4. Sustitución de la evolvente según método de Grant.

En este procedimiento el perfil de los dientes de las ruedas que tienen Z < 37 dientes se realiza por dos arcos de círculo. Los perfiles de ruedas con Z > 36 dientes se forman por un arco. En la Tabla 1.2 se muestra un extracto de las tablas de Grant para el perfil evolvente.

Tabla 1.2. Extracto del odontógrafo de Grant para la evolvente.

R1 = m × c

R2 = m × b

Sustitución del perfil cicloidal según la "Technical scholl of Manchester".

Es muy poco exacto y su aplicación principal se refiere a la representación de dentados, sin valor para el trabajo práctico del perfil. Consiste sencillamente en tomar sobre la circunferencia primitiva, como centro un radio R para el arco de cabeza y otro r para el pié, cuyos valores son:

R = 1.25 t r = 0.75 t

Fig.1.5. Trazado de la "Technical scholl of Manchester".

Otros métodos de sustitución de los perfiles.

Método de Reuleaux.

Este método es aplicado a los engranajes cicloidales solamente. En él se sustituye la zona epicicloidal por un arco de circunferencia y la zona hipocicloidal por otro, es decir el perfil queda formado por dos arcos de círculo.

Como limitante, a este método se le plantea que es aplicable a partir de la hipótesis de que los radios generatrices son iguales Rg1 = Rg2 = 0.875 · t. El autor plantea "Si además Rg1 ó Rg2 = 0.875 t, la rueda correspondiente tiene 11 dientes, o sea que el número mínimo Z de dientes en las ruedas cicloidales de flanco recto es 11".

Método de Wills.

Se utiliza también para obtener un perfil equivalente al cicloidal. Supone que el número de dientes correspondiente a la rueda de flanco recto es 15 en lugar de 11 con lo cual Rg > 0.875 · t. "En este trazado los puntos que determinan los radios de la curva del perfil se obtienen mediante rectas (o curvas) que se cortan formando un pequeño ángulo y por ello es poco exacto".

En la bibliografía consultada, para ninguno de los métodos explicados anteriormente, aparecen los procedimientos usados para obtener los coeficientes que se proponen para determinar los valores de los radios y sus centros de trazado. En todos los casos la sustitución por arcos es una aproximación de la curva original.

Chequeos de resistencia.

Como se plantea en [49], después de que se determina la forma y tamaño de los dientes de las ruedas, es necesario comprobar las estimaciones realizadas en el proceso de proyecto. Al respecto [15] plantea:

"Debiera calcularse el engranaje desde los puntos de vista siguientes:

• Resistencia a la rotura.
• Resistencia a la presión superficial."

En el caso particular de las coronas [20, 28, 58] coinciden con el planteamiento anterior. Es decir que indican estas fallas como las que se deben tener en cuenta al realizar los chequeos de resistencia a estos engranajes. En [28] se plantea:

"Este cálculo tiene en cuenta la resistencia superficial y la resistencia a la fractura"

Partiendo de estos criterios se puede plantear que los chequeos de resistencia, al diseñar engranajes que trabajan con distancia entre centros variable, se realicen en función de estas fallas.

Chequeo a flexión.

Los dientes de los engranajes que trabajan con variación de la distancia entre centros tienen la particularidad de ser más largos que los dientes de los engranajes comunes, en [20] se plantea:

"Estos engranajes están diseñados para permitir una variación importante en la distancia operativa entre centros, es por ello que el diente tiene proporciones especiales que lo hacen ser notablemente más largo que los dientes comunes con perfil evolvente".

Por tal motivo el chequeo a flexión puede adquirir singular importancia. Sin embargo, en el análisis estadístico realizado en [28], se plantea como resultado, que la fractura de los dientes representa menos del 2% de las fallas que presentan las coronas de los molinos. El resultado de este análisis coincide con las opiniones de varios técnicos azucareros de experiencia, consultados al respecto.

No obstante esos resultados, se considera que este chequeo es necesario, sobre todo al diseñar nuevos engranajes que tendrán diferentes dimensiones y relación de transmisión, lo que conlleva a utilizar diferentes números de dientes. Con este objetivo se consultaron numerosos materiales, entre los que se encuentran textos [38, 39, 51, 57] y artículos en publicaciones científicas [1, 2, 6, 7, 8, 11, 13, 13, 18, 41, 58].

Como resultado de ese análisis se coincide con lo planteado en [58]: "El cálculo de las tensiones en un cuerpo elástico sometido a un sistema arbitrario de cargas y de forma geométrica compleja, como es el caso de las coronas, es una tarea difícil e inexacta utilizando los métodos convencionales de cálculo".

En la actualidad el método de los elementos finitos es ampliamente aplicado en los procesos de diseño mecánico. Este método, aplicado a coronas, es referido en [28, 32, 50, 57], brindando resultados satisfactorios.

Chequeo a contacto superficial.

El chequeo a contacto superficial es otro de los recomendados en la literatura especializada. Sobre este tema se ha desarrollado un importante trabajo por un grupo de especialistas de la Universidad Central de las Villas y de la Universidad de Oriente que aborda, particularmente, el caso de las coronas [3, 46, 47]. En estos trabajos se desarrolla un procedimiento para el cálculo del coeficiente de fricción en las coronas de molinos y se estudia su influencia en las tensiones de contacto. Por tal motivo para la realización del chequeo a contacto superficial se pueden utilizar los procedimientos clásicos [10, 39] complementados con los resultados de estas investigaciones.

Conclusiones del capítulo.

• No existe un procedimiento general para el cálculo de los parámetros geométricos y cinemáticos de los engranajes que trabajan con variación de la distancia entre centros de operación y cualquier relación de transmisión. Por tal motivo es necesario desarrollar un método que permita dar solución a los problemas con este tipo de transmisiones en la industria cubana.
• No existe, en la bibliografía consultada, ningún trabajo en que se haya realizado un estudio minucioso de las diferentes curvas utilizadas en los perfiles de los dientes de engranajes, atendiendo a sus posibilidades de variación de la distancia entre centros de operación.
• Las curvas para formar el perfil de los dientes en las transmisiones por engranajes con distancia entre centros variables, deben ser curvas convexas pertenecientes a la familia de las curvas cíclicas. Estas curvas deben garantizar el necesario alargamiento de los dientes en este tipo de transmisiones. Presentan mayores posibilidades de utilización las epicicloidales y las evolventes de círculo.
• Los métodos aproximados, utilizados para sustituir por arcos de círculo las curvas que forman el perfil de trabajo de los dientes de engranajes, pueden precisarse más utilizando las técnicas actuales de computación.
• Los dientes de los engranajes que trabajan con variación de la distancia entre centros deben chequearse a flexión y a contacto superficial. Para la realización del chequeo a flexión es recomendable el empleo del método de los elementos finitos. En el análisis a contacto superficial debe tenerse en cuenta la influencia de la fricción.

4. Determinación de las propiedades fundamentales de las curvas epicicloidales y evolventes de círculo.

Una de las conclusiones del Capítulo I plantea que las curvas convexas con mayores posibilidades de utilización como perfiles de los engranajes con distancia entre centros variable son las epicicloidales y las evolventes de círculo. Según las recomendaciones que se hacen en ese propio capítulo para este tipo de engranajes, debe procurarse aumentar el radio exterior, es decir, lograr un diente más largo. En la bibliografía especializada consultada solamente se tratan las curvas epicicloidales y evolventes "comunes", en cuyos casos el aumento del radio exterior está limitado por el espesor de la punta del diente; y la disminución del radio interior no repercute en la zona de trabajo, una vez que su valor es inferior al radio de la circunferencia básica. Sin embargo, este último aspecto cambia si se consideran las expresiones generales de estas curvas en su formulación "alargada", lo cual no ha sido estudiado por los autores consultados. Esta formulación general tiene la ventaja de que incluye también la posibilidad de estudiar las curvas "comunes" como se verá en el desarrollo del capítulo.

Antes de pasar a analizar estas curvas como perfil de los dientes de engranajes resulta necesario determinar algunas de sus propiedades como entidades geométricas. Dentro de estas propiedades tienen vital importancia su forma geométrica, los radios de curvatura en los diferentes puntos y los centros de los círculos osculadores.

Curvas epicicloidales.

La ecuación general de estas curvas, expresada en su forma paramétrica según [42], puede escribirse de la siguiente forma (ver fig. 2.1.):

(2.1)

Donde:

ro – Radio de la circunferencia básica (directriz).

rg – Radio de la circunferencia generatriz.

j – Angulo que forma la línea que une el centro de coordenadas con el punto en contacto de las dos circunferencias respecto al eje horizontal (parámetro de la ecuación).

d – Distancia del punto que describe la curva, medida a partir del borde de la circunferencia generatriz.

Fig. 2.1. Curva epicicloidal.

Atendiendo a los valores de d pueden darse los siguientes casos:

1. d = 0 Þ epicicloide común.
2. d > 0 Þ epicicloide alargada (caso que se muestra en la Fig. 2.1.)
3. d < 0 Þ epicicloide acortada.

En [42] solamente se enuncian las expresiones generales (2.1) y se clasifican, pero no se determina ninguno de los parámetros mencionados anteriormente. En el resto de los textos consultados, incluyendo los de Geometría Analítica, no se hace mención siquiera a la existencia de estas expresiones generales. No obstante, estos parámetros pueden calcularse aplicando las ecuaciones deducidas para cualquier curva plana.

El radio de curvatura de una curva plana, dada en ecuaciones paramétricas, se determina por la siguiente expresión [19, 42, 43, 54, 60]:

(2.2)

Donde:

– Primera derivada de las coordenadas con respecto al parámetro de la ecuación.

– Segunda derivada de las coordenadas con respecto al parámetro de la ecuación.

En el caso de las curvas epicicloidales (2.1), sería:

(2.3)

(2.4)

Sustituyendo (2.3) y (2.4) en (2.2) y agrupando términos semejantes:

Donde:

Entonces:

(2.5)

Las coordenadas (m, n) del centro del círculo osculador de una curva plana pueden calcularse de la siguiente forma [19, 42, 43, 60]:

(2.6)

(2.7)

Sustituyendo las ecuaciones (2.1), (2.3) y (2.4) en (2.6) y (2.7) respectivamente se obtiene:

(2.8)

(2.9)

Donde:

(2.10)

(2.11)

Curvas evolventes de círculo.

En [59] se plantea que si el círculo rodante (circunferencia generatriz) se convierte en una recta, entonces la curva epicicloidal da origen a la evolvente de círculo. Esta afirmación, por simple inspección, parece lógica, pero en ninguno de los textos consultados se demuestra; menos aún teniendo en cuenta su formulación general. Para que se tenga una idea más clara de la relación o parentesco de estas curvas, a continuación se presentará esta demostración.

Para que la circunferencia generatriz se convierta en una recta tendría que ser su radio de longitud infinita, por lo que las ecuaciones de la evolvente deberán obtenerse aplicando este límite a la expresión general de la epicicloide (2.1); esto es:

Después de haber agrupado convenientemente algunos términos y expresar el límite inicial como la suma de dos límites separados, el primero de ellos se puede determinar sin ninguna dificultad:

En el segundo caso se trata de un límite indefinido (¥ × 0), el cual se resuelve expresándolo como una división y aplicando posteriormente la regla de L’Hospital [42, 54, 60]:

Sumando los resultados de ambos límites, se obtiene:

(2.12)

Nota: La ecuación de la coordenada y se obtiene fácilmente aplicando el mismo procedimiento que se siguió con la x.

Fig. 2.2. Curva evolvente de círculo.

Las ecuaciones (2.12) coinciden con las planteadas en [42] como ecuaciones paramétricas generales de la evolvente de círculo, lo cual puede verificarse con la ayuda de la Fig. 2.2. La evolvente de círculo, de acuerdo con el valor de la distancia d, se clasifica, al igual que la epicicloide, en: común, alargada y acortada. La demostración realizada permite afirmar que las curvas evolventes de círculo son un caso particular de las curvas epicicloidales, cuando el radio generatriz toma valor infinito.

La evolvente de círculo, en su formulación general, tampoco es tratada en la bibliografía referida, por lo que resulta necesario establecer las expresiones que determinan su radio de curvatura y el centro del círculo osculador. Esto se hace de forma análoga a las curvas epicicloidales, partiendo de (2.2), (2.6) y (2.7).

Para la evolvente de círculo dada por (2.12), se obtiene:

(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

Donde:

(2.18)

Comparación entre las curvas epicicloidales y evolventes de círculo.

A continuación se realiza una comparación entre los diferentes tipos de curvas analizadas anteriormente, de manera que pueda tenerse una idea más clara de su posible empleo en los perfiles de los dientes. Para facilitar la realización de esta comparación, se utilizó un programa de computación, creado a partir de las expresiones generales desarrolladas anteriormente y que permite obtener las curvas epicicloidales (2.1) y evolventes (2.12), así como los lugares geométricos de los centros de sus círculos osculadores (evolutas) a partir de las ecuaciones (2.8), (2.9) y (2.16), (2.17) respectivamente.

Comparación entre las curvas epicicloidales.

Fig.2.3. Comparación entre las epicicloides.

En la Fig.2.3 se muestra una epicicloide "común" y otra "alargada". En ambos casos la curva se obtiene a partir de la misma circunferencia básica (ro) y la relación entre las circunferencias básica y generatriz es de 0.5. Como se aprecia, la zona que se puede utilizar para formar el perfil del diente es mucho más larga en la curva "alargada" que en la "común". En primer lugar, en la "alargada", se puede tomar un sector por dentro del radio básico y, en segundo lugar, en la zona exterior al radio básico es más abierta, lo que posibilitaría poder utilizar un radio exterior mayor.

Comparación entre las curvas evolventes.

Fig.2.4. Comparación entre las evolventes.

En el caso de las evolventes se procede igual que en las epicicloides, es decir que se parte de una misma circunferencia básica. Como se aprecia en la Fig.2.4, la evolvente "alargada" parece garantizar también la obtención de un diente con una zona de trabajo mayor que la evolvente "común". La diferencia con respecto al caso de la epicicloide está en que, en la zona exterior al radio básico, la evolvente "alargada" es más cerrada que la "común", por lo que esta última permitiría un radio exterior mayor.

Comparación entre las curvas evolventes y epicicloidales comunes.

En este caso también se mantiene la misma circunferencia básica, en la epicicloide la relación entre la circunferencia generatriz y la básica es de 0.5. En la Fig.5 se aprecia claramente que la epicicloide queda por dentro de la evolvente, y esto se cumple para cualquier radio generatriz. Por tanto, puede afirmarse que la evolvente "común" permite obtener dientes de mayor altura que los de perfil formado por la epicicloide "común".

Fig.2.5. Comparación entre la epicicloide y evolvente comunes.

Comparación entre la epicicloide "alargada" y la evolvente "común".

Teniendo en cuenta los resultados de las comparaciones anteriores, es lógico comparar la curva epicicloide "alargada" con la evolvente "común", pues son las más abiertas de cada tipo y permiten utilizar por tanto un mayor radio exterior. Como se aprecia en la Fig.2.6 la curva epicicloidal "alargada" es más cerrada que la evolvente "común", por lo que esta última permitiría obtener el radio exterior mayor de todas las curvas analizadas. Esto no significa, sin embargo, que se obtenga el diente más largo pues como se ha explicado, las curvas "alargadas" permiten prolongar el perfil de trabajo del diente por dentro del radio básico.

Fig.2.6. Comparación entre la epicicloide "alargada" y la evolvente "común".

Conclusiones del capítulo.

• El estudio realizado permite afirmar que las curvas evolventes de círculo pertenecen a la familia de las curvas epicicloidales, pues se obtienen a partir de éstas cuando el radio generatriz alcanza valor infinito. A tal efecto se desarrolló una demostración matemática, que no aparece en la bibliografía consultada.
• Las expresiones para determinar los radios de curvatura y los centros de los círculos osculadores de las formulaciones generales de las curvas epicicloidales y evolventes no aparecen explícitamente en la literatura, pero se obtienen sin dificultades a partir de las expresiones deducidas para todas las curvas planas.
• Las comparaciones realizadas entre las diferentes curvas, atendiendo a su forma geométrica, no permiten tomar una decisión en cuanto a qué curva será mejor para el perfil de trabajo en engranajes que operan con distancia entre centros variable. Por un lado, unas permiten utilizar un mayor radio exterior y por otro lado, otras permiten prolongar la zona de trabajo de los dientes por dentro del radio básico. Esto indica que debe hacerse un estudio de la influencia del tipo de curva en los parámetros geométricos y cinemáticos de la transmisión, y sobre esta base elegir la curva más apropiada.

5. Selección de la curva que forma el perfil del diente en engranajes con distancia entre centros variable.

Como se plantea en el capítulo anterior, no es posible elegir la curva que forma el perfil del diente en los engranajes con distancia entre centros variable partiendo solamente de su aspecto geométrico. Por tal motivo resulta necesario estudiar el comportamiento de los diferentes tipos de perfil en el funcionamiento de la transmisión. Para ello debe realizarse, en primer lugar, el dimensionamiento de los engranajes, es decir, la determinación de sus parámetros geométricos; y en segundo lugar, analizar cómo influye esta geometría en otros parámetros de la transmisión, como son: el factor de recubrimiento, ángulo de presión, velocidad de deslizamiento, etc., conocidos como parámetros cinemáticos. Haciendo una valoración integral de todos estos aspectos podrá proponerse el perfil más adecuado para estos engranajes.

Determinación de los parámetros geométricos de los engranajes.

Para definir las dimensiones generales de la transmisión se necesitan conocer ciertos datos de partida. En el caso de los engranajes con distancia entre centros variable los datos son:

• Distancia entre centros máxima y mínima a que trabajará la transmisión (amax, amin).
• Relación de transmisión deseada (i1,2).
• Número de dientes de la rueda 1 (Z1).

Número de dientes (Z1 y Z2).

Como ya se dijo, producto de la variación de la distancia entre centros que tiene que garantizarse, los dientes de este tipo de engranajes son más largos que los dientes comunes, por lo que aumentar excesivamente el número de ellos conlleva a obtener dientes muy delgados, lo que perjudicaría su rigidez y resistencia. En la bibliografía [56] se plantea que el rango permisible está entre 11 y 21 dientes, obteniéndose los mejores resultados con 15, 16, 17, 18 y 19 dientes para relaciones de transmisión iguales a la unidad, por lo que se toma un valor dentro de esos límites para la rueda 1 y se calcula .

(3.1)

En caso de que el número de dientes calculado no sea un número entero, se redondeará al más próximo y se recalculará la relación de transmisión obteniéndose su valor real.

Radio primitivo mínimo (rmin).

En las transmisiones por engranajes con variación de la distancia entre centros, los radios primitivos varían a medida que varía esta distancia. Los valores mínimos de estos radios se determinan por la expresión:

(3.2)

Donde:

Z = Z1 para la rueda 1

Z = Z2 para la rueda 2

Radio básico (rO).

En los perfiles formados por las curvas comunes se recomienda siempre que el radio básico (rO) esté por debajo del radio primitivo [22], para garantizar que el contacto siempre se realice en la zona de trabajo del diente. En el caso de las curvas alargadas el perfil del diente puede prolongarse por debajo de la circunferencia básica, esto permite que el radio primitivo y el básico puedan igualarse sin que ocurran dificultades. Para este análisis siempre se tomará como referencia la distancia entre centros mínima y por tanto, el radio primitivo mínimo, ya que esta será la condición más crítica.

rO = k1 ∙ rmin(3.3)

Donde:

k1 = (0.9 ÷ 1) … Factor del radio básico. Este rango se propone sobre la base de lo explicado anteriormente y procurando que el ángulo de presión no sea excesivamente grande, lo que influye negativamente en la eficiencia de la transmisión. No obstante podrá precisarse más adelante cuando se estudie su influencia en los parámetros cinemáticos de la transmisión.

Radio de la circunferencia generatriz (rg).

En el caso de la curva epicicloidal es necesario definir también el radio de la circunferencia generatriz:

rg = k2 ∙ rO(3.4)

Donde:

k2 > 0 … Factor del radio generatriz. En este caso no se propone un rango más estrecho porque no se conoce con precisión la influencia de este factor, lo cual deberá precisarse al determinar los parámetros cinemáticos. Mientras tanto la restricción es puramente matemática.

En las curvas evolventes de círculo no se tiene en cuenta rg, pues como ya se dijo esta circunferencia se convierte en una recta.

Alargamiento de la curva (d).

Con respecto a la magnitud de la distancia d (alargamiento), no existe una limitación específica. No obstante, para el aumento que se necesita de la longitud de los dientes, es suficiente considerando que:

d = k3 ∙ rO (3.5)

Donde:

k3 = (0 ÷ 0.5) … Factor de alargamiento.

Radio donde comienza la zona de trabajo (rp).

En las curvas "comunes" el perfil de trabajo está limitado, en su parte inferior, por el radio básico, pero no ocurre así en el caso de las curvas epicicloidales y evolventes de círculo "alargadas", resultando necesario determinar este límite inferior. Por la forma que tienen estas curvas no es aconsejable tomarlas desde el punto en que comienzan, ya que el espesor del diente disminuiría considerablemente en este punto y se haría muy débil. Por este motivo se recomienda utilizar solamente una parte de la zona que está por dentro del radio básico, expresado de la siguiente forma:

rp = rO – k4 ∙ d(3.6)

Donde:

k4 = (0 ÷ 1) … Factor de utilización del alargamiento. En el rango propuesto no se precisa la recomendación anterior, pues esto también deberá hacerse cuando se estudie la cinemática de la transmisión.

Módulo (m) y paso (t).

El concepto de circunferencia de paso está ligado al contorno de una cremallera básica, inexistente en este caso. Algunos autores optan por medir el paso (t) en la circunferencia básica y determinan el módulo del engranaje (m) con respecto a esta circunferencia [24, 25]. Esta misma idea será aplicada en el caso que se analiza:

(3.7)

(3.8)

Espesor del diente (S).

En este tipo de transmisiones, donde se requieren dientes más largos y por tanto una mayor profundidad de encaje del diente, probablemente sea necesario disminuir su espesor en relación con los engranajes tradicionales ya que existe una mayor posibilidad de que ocurra el fenómeno de interferencia. Teniendo en cuenta esta consideración el espesor del diente por la circunferencia básica (So) se puede determinar de la siguiente forma:

So = k5 × t (3.9)

Donde:

k5 = (0.45 ¸ 0.5)… Factor del espesor del diente. El rango se propone evitando una disminución excesiva del espesor del diente, lo cuál lo debilitaría. En [28] se propone k5 = 0.48.

El espesor del diente es necesario determinarlo también en otras circunferencias diferentes de la básica, como es la circunferencia exterior. Conociendo el radio de la circunferencia (r), por la cual se desea determinar el espesor del diente, se cumple:

r2 = x2 + y2 (3.10)

Para las curvas epicicloidales (2.1) se obtiene al sumar sus cuadrados:

(3.11)

Sustituyendo (3.10) en (3.11) y despejando, se obtiene:

(3.12)

De forma similar se procede con las evolventes de círculo (2.12):

(3.13)

(3.14)

Con el parámetro j se pueden calcular las coordenadas x, y a partir de las expresiones (2.1) ó (2.12), en dependencia del tipo de curva. De esta forma se determina el ángulo g (ver Fig. 3.1):

(3.15)

Fig. 3.1. Determinación del espesor del diente.

El ángulo g O puede determinarse sustituyendo rO en lugar de r, en (3.12) para las curvas epicicloidales ó (3.14) para las evolventes. Luego por (2.1) ó (2.12) se calcula x, y; en este caso xO, yO, siendo:

(3.16)

El ángulo es el que encierra el semiespesor del diente por la circunferencia básica y se determina:

(3.17)

De esta forma puede determinarse el espesor del diente (S) por una circunferencia cualquiera de radio (r):

(3.18)

El espesor en la punta del diente (Se) se obtiene para r = re. Para éste debe cumplirse:

Se ³ k6 × m (3.19)

Donde:

k6 = 0.16 … Factor del espesor mínimo del diente.

Radio exterior (re).

El radio exterior (re) se determina mediante la siguiente expresión:

re = rmin + k7 × m (3.20)

Donde:

k7 = (1 ¸ 1.5) … Factor de la altura de la cabeza del diente. En el rango propuestp se tiene en cuenta la necesidad de alargar los dientes.

Radio interior (ri).

El radio interior (ri) puede calcularse de la siguiente forma:

ri = rmin – (k7 + k8) × m (3.21)

Donde:

K8 = 0.25 … Factor de holgura radial.

Nota:

k6 y k8 podrían tomar otros valores en engranajes con exigencias especiales. Los valores señalados son usados en la mayoría de los engranajes, incluyendo las coronas de molinos de caña.

Determinación de los radios que forman el pie del diente (R3 y R4).

Hasta este momento se han determinado las dimensiones del perfil de trabajo del diente y el diámetro interior. Ahora es necesario definir la forma en que se une ese radio interior con la zona de trabajo para obtener la geometría de todo el diente. Como se planteó en el Capítulo I, según [25] esta parte del perfil "… no actúa y puede tener forma cualquiera". Por tal motivo, y tomando como base la experiencia de las coronas [21, 26, 40], se decide trazar esta zona utilizando dos arcos de circunferencia R3 y R4 (ver Fig. 3.2). Estos arcos tienen que garantizar, fundamentalmente, que no ocurra la interferencia en esta zona.

R3 = k9 × m (3.22)

Donde:

k9 = (1 ÷ 2) … Factor del radio de empalme.

Fig.3.2. Arcos que forman el pie del diente.

El radio del fondo del diente (R4) debe cumplir la condición de que sea tangente a R3 y a ri. Tomando como referencia la Fig. 3.2 se pueden obtener las siguientes expresiones:

(3.23)

Donde:

(3.24)

tP … paso por la circunferencia rP.

SP … espesor del diente en rP. Se determina según el procedimiento descrito para obtener el espesor en cualquier circunferencia, sustituyendo el radio r por rP.

(3.25)

(3.26)

(3.27)

(3.28)

Determinación de los parámetros cinemáticos de la transmisión.

Después de dimensionar las ruedas de la transmisión, como se ha explicado antes, deben determinarse los parámetros cinemáticos más importantes de la misma para poder seleccionar la curva más adecuada para el perfil de estos engranajes. Dentro de los parámetros a considerar se encuentran: el factor de recubrimiento, el ángulo de presión, la línea de engranaje, la velocidad de deslizamiento relativo y velocidad angular de la rueda 2.

Factor de recubrimiento.

Para determinar el factor de recubrimiento es necesario conocer los puntos extremos donde comienza y termina el contacto entre una pareja de dientes. A partir de la Fig. 3.3 se pueden obtener las expresiones para determinar la posición del punto de contacto Q.

Dada la complejidad de las ecuaciones de las curvas analizadas no existe un método que permita conocer directamente la posición del punto de contacto, por lo que se parte de la condición general que debe cumplirse, es decir, que la normal común a los perfiles en contacto pasa por este punto y une a los dos centros de curvatura correspondientes a dicho punto. Para el ángulo a se cumple entonces:

Fig. 3.3. Esquema para la determinación de los parámetros cinemáticos.

(3.29)

Por tanto:

(3.30)

Del triángulo O1O2Q se obtiene:

(3.31)

(3.32)

Combinando las expresiones (3.31) y (3.32) se puede obtener:

(3.33)

(3.34)

Si se conoce, por ejemplo, l1 y j 1 se puede determinar j 2 de (3.33) y l2 despejando de (3.32). Con l1 se puede también determinar j de la exprsión (3.12) ó (3.14) dependiendo del tipo de curva que se analiza, en cualquiera de los dos casos basta con sustituir r por l1. Con este j se determinan las coordenadas del centro del círculo osculador m y n por las ecuaciones (2.8) y (2.9) ó (2.16) y (2.17) respectivamente, luego:

(3.35)

Con este mismo valor de j se determina el radio de curvatura r1 por la expresión (2.5) ó (2.15) y aplicando la ley de los cosenos, se determina:

(3.36)

De forma idéntica se procede una vez determinado l2 para obtener , r2 y g 2. Debe prestarse atención al hecho de que si las ruedas no son iguales, entonces deberán utilizarse los valores de sus parámetros geométricos correspondientes en las expresiones citadas. Por otra parte, es prudente observar que, aunque se conozca l1 no es posible conocer directamente j 1, sino que este se obtendrá por aproximaciones sucesivas hasta que se cumpla la igualdad (3.30) con un error admisible. Aplicando métodos numéricos computarizados este error puede llegar a ser tan pequeño como se desee.

Ahora se puede hablar del punto donde comienza el contacto. En este caso se sabe que el contacto debe comenzar en la punta del diente de la rueda 2, es decir, cuando l2 = re2. Se procede de forma análoga al ejemplo explicado anteriormente, pero partiendo de l2 y j 2, debiendo ajustarse este ángulo a partir de la igualdad (3.30). Para el punto final del contacto se procede igual que en el ejemplo, pues aquí l1 = re1. El ángulo j 1 correspondiente al punto de inicio del contacto se denominará j 1i y el correspondiente al punto final j 1f, como se muestra en la Fig. 3.4.

Fig. 3.4. Puntos de inicio y fin del contacto.

El factor de recubrimiento (e ) se puede determinar por la relación que existe entre el ángulo que recorre una línea fija en la rueda desde que comienza hasta que termina el contacto en una pareja de dientes (ángulo de engranaje) y el ángulo que encierra el paso. Esta línea fija podría ser , entonces:

(3.37)

Donde:

… ángulo que encierra el paso.

… g e, g i se calculan según (3.15), siguiendo el procedimiento explicado, partiendo de los radios l1 final (correspondiente a j 1f) y l1 inicial (correspondiente a j 1i).

Nota: Los ángulos j 1 y j 2 son positivos a la derecha de la línea de centros y negativos a la izquierda. El ángulo D j 1 varía durante el engranamiento hasta llegar a D j 1f (D j 1i = 0).

Angulo de presión.

El ángulo de presión es el ángulo a de la Fig. 3.3, puede determinarse directamente tomando una de las dos partes de la expresión (3.29), una vez conocidos los valores correctos de todos los parámetros que intervienen en ella:

(3.38)

Línea de engranaje.

Con este procedimiento se puede determinar también la línea práctica de engranaje conociendo la trayectoria del punto de contacto Q, esto es:

(3.39)

Velocidad de deslizamiento relativo.

Conociendo la velocidad angular de la rueda 1 (w 1), los ángulos j 1 y j 2, las longitudes l1 y l2, así como el ángulo de presión a , es posible determinar la velocidad de deslizamiento relativo. De la Fig. 3.5 se deduce:

(3.40)

Descomponiendo la ecuación vectorial (3.40) en dos ecuaciones escalares al proyectarla en los ejes x,y se obtiene:

Fig. 3.5. Determinación de la velocidad relativa.

(3.41)

Del sistema de ecuaciones (3.41) se pueden calcular dos incógnitas, que son en este caso v21 y v2.

(3.42)

(3.43)

Donde:

… velocidad del punto Q perteneciente a la rueda 1.

v2 … velocidad del punto Q considerado en la rueda 2.

v21 … velocidad con que se mueve el punto Q en la rueda 2 con relación al mismo punto en la rueda 1 (velocidad de deslizamiento relativo).

Velocidad angular de la rueda 2.

Conociendo v2 por (3.43) se puede determinar w 2:

w 2 = (3.44)

Análisis del comportamiento de los parámetros cinemáticos en los diferentes perfiles.

El resultado que se pretende alcanzar con este trabajo está encaminado a lograr un diseño correcto de los engranajes que trabajan con variación de la distancia entre centros, por lo tanto es necesario conocer cuáles son las exigencias de este tipo de transmisiones en la práctica, teniendo en cuenta fundamentalmente la variación de la distancia entre centros que demanda su aplicación. En la introducción del trabajo se mencionan los principales problemas que tiene la industria cubana con estos engranajes, los cuales comprenden a las coronas de molinos de caña y otras transmisiones con características semejantes. En el caso de las coronas, los perfiles que actualmente se fabrican, están hechos para variaciones de la distancia entre centros de un 7% a un 8% de la distancia mínima, y se pretende disminuir la gama de perfiles existente, por lo que sería necesario aumentar este porciento si fuera posible. En las máquinas sobadoras, utilizadas en la industria alimenticia, el porciento de variación es de un 9% a un 10% aproximadamente. Estas dos aplicaciones tienen en común el hecho de que la relación de transmisión es igual a la unidad pero, en el caso de la transmisión utilizada para mover la cuarta maza de los molinos, se exigen relaciones de transmisión ligeramente superiores, llegando a alcanzar valores de 1.3 aproximadamente. La variación de la distancia entre centros en este último caso no ha sido definida por el MINAZ, su amplitud total es de alrededor de un 28%, por lo que será necesario emplear también varios juegos de perfiles, preferiblemente la menor cantidad posible.

En los epígrafes anteriores se desarrollaron todas las expresiones necesarias para obtener el dimensionamiento de los engranajes que trabajan con variación de la distancia entre centros, para ello se establecieron algunos factores que influyen en el comportamiento de la transmisión. Se desarrolló también un procedimiento que permite calcular los parámetros cinemáticos de estos engranajes. El uso de este procedimiento es factible solamente con el auxilio de la computación, por ello se realizó su algoritmización y programación. Esto permitió evaluar la influencia de cada uno de los factores y precisar sus valores. Con el programa obtenido se analizaron los cuatro tipos de perfiles que devienen de las curvas analizadas, es decir, evolvente "común", evolvente "alargada", epicicloide "común" y epicicloide "alargada". Los mejores resultados se obtuvieron para la evolvente "común" y para la epicicloide "alargada", por lo que se explicarán más detalladamente. La principal deficiencia de los dos casos restantes radica en que no permiten alcanzar variaciones significativas en la distancia entre centros por la tendencia a la interferencia y el establecimiento del contacto por debajo de la zona de trabajo del diente.

El estudio se realizó para los números de dientes recomendados en el primer epígrafe de este propio capítulo según [28], es decir desde 11 hasta 21 dientes, con cuyas combinaciones se pueden lograr también las relaciones de transmisión deseadas para el movimiento de la cuarta maza. Durante este proceso se verificó siempre que: el espesor en la punta del diente fuera igual o superior al mínimo permisible, el contacto se produjera en la zona de trabajo de los dientes, el factor de recubrimiento no fuera inferior a 1.1 y no existiera interferencia entre los dientes; esto último se logró simulando el engranamiento de las ruedas. Bajo estas condiciones se analizaron los parámetros fundamentales de la transmisión para poder seleccionar el perfil más adecuado.

En el caso del perfil obtenido a partir de la evolvente "común" se siguió la siguiente lógica: para el factor del radio básico (k1) se tomaron varios valores, y para cada uno de ellos se determinó el factor de altura de la cabeza del diente (k7) que mayor variación de la distancia entre centros permite, de esta forma se pudo encontrar la mejor combinación para cada número de dientes. Para el resto de los coeficientes se tomaron los valores que se muestran a continuación:

k2 … No se tiene en cuenta en la curva evolvente.

k3 = 0 … Se trata de la evolvente común.

k4 = 0 … Se trata de la evolvente común.

k5 = 0.5 … Valor usado en las transmisiones tradicionales.

k6 = 0.16 … Valor usado en las transmisiones tradicionales.

K8 = 0.25 … Valor usado en las transmisiones tradicionales.

k9 = 2 … Este coeficiente no tiene influencia en los parámetros cinemáticos.

En el Anexo 2 aparecen los resultados tabulados para relación de transmisión 1, donde se relacionan los factores k1 y k7, el factor de recubrimiento a la distancia mínima e amin y máxima e amax, y el porciento de variación de distancia entre centros alcanzado %amin (se toma como referencia la distancia mínima). En el Anexo 3 aparecen los resultados para relación de transmisión superior a la unidad, donde el número de dientes de la rueda motriz se mantiene constante Z1= 15 y el de la rueda conducida (Z2) varía desde 16 hasta 19. En todos los casos aparece escrito en negritas la combinación que permite alcanzar una mayor variación de la distancia entre centros.

Para el perfil obtenido de la curva epicicloidal "alargada" fue necesario manejar una mayor cantidad de factores. Después de analizar varios ejemplos, con la ayuda del programa, se pudieron encontrar valores aceptables de algunos coeficientes, los cuales se fijaron para variar posteriormente los mismos que en la evolvente "común" (k1, k7). Los valores de los coeficientes fijados son:

k2 = 0.25 k3 = 0.08

k4 = 0.45 k5 = 0.49

k6 = 0.16 K8 = 0.25

k9 = 2.5

En el Anexo 4 aparecen los resultados para relación de transmisión igual 1, y en el Anexo 5 para relación de transmisión superior a la unidad, para iguales número de dientes que los analizados en la evolvente "común". Aquí también aparece escrito en negritas la combinación que permite alcanzar una mayor variación de la distancia entre centros.

Variación de la distancia entre centros en función del número de dientes.

En la Fig. 3.6 aparecen las curvas de variación de la distancia entre centros en función del número de dientes, para los perfiles formados por la evolvente "común" y la epicicloide "alargada". En ambos casos se tomaron los mejores valores para cada número de dientes, es decir, los que aparecen escritos en negrita en los anexos 2 y 4 respectivamente.

Fig. 3.6. Variación de la distancia entre centros vs Z.

Como se puede apreciar, en el perfil formado por la evolvente "común", la variación de la distancia entre centros aumenta ligeramente con el aumento del número de dientes, y en el perfil formado por la epicicloide "alargada" ocurre lo contrario. Sin embargo, para los números de dientes analizados, la variación que se alcanza con la epicicloide "alargada" es siempre superior a la que se logra con la evolvente "común", y esta misma tendencia parece mantenerse para un número de dientes superior a los analizados.

Variación de la distancia entre centros en función de la relación de transmisión.

Con la misma óptica del análisis anterior, se tomaron los mejores valores para relación de transmisión superior a la unidad de los anexos 3 y 5 respectivamente. En la Fig. 3.7. aparecen las curvas de variación de la distancia entre centros en función de la relación de transmisión.

Fig. 3.7. Variación de la distancia entre centros vs i12.

En cuanto a la influencia de la relación de transmisión, puede decirse que para ambos perfiles la variación de la distancia entre centros disminuye al aumentar la relación de transmisión. En los casos analizados también los perfiles formados a partir de las curvas epicicloidales permiten obtener los mayores valores.

Angulo de presión y velocidad de la rueda 2.

En el caso de los perfiles evolventes "comunes" el ángulo de presión para una distancia entre centros dada es constante al igual que la velocidad angular de la rueda conducida. Para el caso de una relación de transmisión igual a 1, con ruedas de 17 dientes y un 4.5% de variación de la distancia entre centros, tomando como ejemplo la variante correspondiente a este número de dientes en el Anexo 2, se obtiene un ángulo de presión a = 27.05° . La velocidad angular de la rueda 2 es siempre igual a la de la rueda 1.

En los perfiles formados por curvas epicicloidales "alargadas" el ángulo de presión y la velocidad angular de la rueda conducida son variables para una misma distancia entre centros. Se muestra como ejemplo una transmisión para las mismas condiciones que en el caso analizado anteriormente con la evolvente "común", es decir, relación de transmisión igual 1, ruedas de 17 dientes y un 4.5% de variación de la distancia entre centros. Este ejemplo corresponde a la variante de igual número de dientes en el Anexo 4.

Fig. 3.8. Angulo de presión () vs punto de la línea de engranaje.

En la Fig. 3.8 y Fig. 3.9 puede observarse la variación del ángulo de presión y de la velocidad angular de la rueda 2 respectivamente, el análisis se realizó para 25 puntos de la línea de engranaje. En el caso de la velocidad angular de la rueda 2, debe aclararse que ésta se obtuvo para una velocidad unitaria de la rueda 1 (aquí no importan las unidades, pueden ser r.p.m. ó rad/s). Cuando w 1 sea diferente de la unidad, entonces w 2 se obtiene multiplicando el valor correspondiente en la gráfica por w 1.

En la Fig. 3.8. se observa que el ángulo de presión varía a lo largo de la línea de engranaje, pero esta variación se produce gradualmente y en general se mantiene por debajo del valor alcanzado para iguales condiciones del perfil evolvente. La velocidad angular ploteada en la Fig. 3.9 refleja que su variación es muy ligera y también de forma gradual, por lo que no se producen grandes aceleraciones durante el movimiento.

Fig. 3.9. Velocidad angular () vs punto de la línea de engranaje.

Velocidad de deslizamiento relativo.

Para una distancia entre centros mínima igual a 100 unidades (por ejemplo cm), la velocidad relativa calculada para 25 puntos de la línea de engranaje aparece graficada en la Fig. 3.10 para ambos perfiles. En este caso también se trabajó con relación de transmisión 1 y ruedas de 17 dientes. La velocidad angular de la rueda motriz se consideró unitaria (1 rad/s) y los valores de las velocidades relativas que se muestran en la gráfica están dados en unidad de longitud por segundo (por ejemplo cm/s). Aquí también se puede multiplicar la velocidad relativa correspondiente en la gráfica por w 1, para obtener su valor real cuando w 1 es diferente de 1.

Fig. 3.10. Velocidad de deslizamiento relativo (v12) vs punto de la línea de engranaje.

Como se puede apreciar la velocidad de deslizamiento relativo en los perfiles formados por la epicicloide "alargada" no varía uniformemente como en la evolvente "común", pero no hay una diferencia significativa entre los valores que se alcanzan con una y otra curva.

Conclusiones del capítulo.

• Para el dimensionamiento de los engranajes que trabajan con variación de la distancia entre centros deben tenerse en cuenta algunos factores que no se consideran de igual forma en los engranajes tradicionales. El valor óptimo de todos los factores no puede prefijarse para un tipo de perfil dado, sino que éste depende también del número de dientes de las ruedas y de la relación de transmisión. Para cada aplicación en específico deberán determinarse los valores más adecuados de los factores, atendiendo fundamentalmente a la variación de la distancia entre centros que se necesita.
• Los perfiles de los dientes formados por la curva evolvente "común" pueden ser empleados en engranajes que requieran una variación de la distancia entre centros igual o inferior al 5% de la distancia mínima aproximadamente, para relación de transmisión igual a 1 o ligeramente superior. En este rango es aconsejable su uso debido a las ventajas que presenta este perfil.
• Los perfiles formados por la curva epicicloidal "alargada" permiten hasta un 10% de variación de la distancia entre centros, sin provocar la pérdida del contacto entre las ruedas (e > 1) y sin introducir grandes irregularidades en el funcionamiento de la trasmisión. No obstante, su empleo se realizará cuando el perfil evolvente común no permita alcanzar la variación de la distancia entre centros necesaria y preferiblemente en transmisiones que trabajen a bajas revoluciones para disminuir los efectos dinámicos.