En esos casos es necesario acudir a un punto de vista alternativo, que no dependa de las repeticiones, sino que considere la probabilidad como un concepto subjetivo que exprese el grado de creencia o confianza individual sobre la posibilidad de que el suceso ocurra.
Se trata por tanto de un juicio personal o individual y es posible por tanto que, diferentes observadores tengan distintos grados de creencia sobre los posibles resultados, igualmente válidos.
23. Opcit. RUIZ. Pag 87
24. Opcit. RIUS. Pag 104
25. Ibid. RIUS. Pag 105
Definición Axiomática de la Probabilidad
La definición axiomática de la probabilidad es quizás la más simple de todas las definiciones y la menos controvertida ya que está basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mínimos para dar una definición de probabilidad.
La ventaja de esta definición es que permite un desarrollo riguroso y matemático de la probabilidad. Fue introducida por A. N. Kolmogorov y aceptada por estadísticos y matemáticos en general. (70)
Definición
Dado el espacio muestral E y la a-Algebra A=P(E) diremos que una función p: A ? [0,1 ] es una probabilidad si satisface los siguientes axiomas de Kolmogorov:
La terna (E, A, p) formada por el espacio muestral E, la a-Algebra A=P(E) y la probabilidad p se denomina espacio probabilístico. (71)
Teoremas Elementales o Consecuencias de los Axiomas
Los siguientes resultados se deducen directamente de los axiomas de probabilidad.
Teorema I
Si para cualquier suceso A resulta que p(A)=1 diremos que A es el suceso casi seguro, pero esto no implica que A= E
Teorema II
Para cualquier suceso A( A=P(A) se verifica que:
La probabilidad de su suceso complementario es p(A) = 1 – p(A)
70. Opcit. RUIZ. Pag 87
71. Ibid. RUIZ. Pag 88
Teorema III
La probabilidad P es monótona no decreciente, es decir:
Teorema IV
Para cualquier suceso A ( A=P(A) se verifica que: p(A) = 1 (Ruiz 88)
Teorema V
Teorema VI
Teorema VII
Teorema VIII
Probabilidad condicionada e independencia de sucesos
Hay situaciones en las que se incorpora información suplementaria respecto de un suceso relacionado con el experimento aleatorio, cambiando su probabilidad de ocurrencia.
El hecho de introducir más información, como puede ser la ocurrencia de otro suceso, conduce a que determinados sucesos no pueden haber ocurrido, variando el espacio de resultados y cambiando sus probabilidades.
Ejemplo de cálculo de probabilidades condicionadas
Se lanza un dado al aire ¿Cuál es la probabilidad de que salga el número 4? Si sabemos que el resultado ha sido un número par, ¿se ha modificado esta probabilidad?
Solución:
El espacio muestral que corresponde a este experimento es
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
y se ha de calcular la probabilidad del suceso A = {4}. Si el dado no está trucado, todos los números tienen la misma probabilidad de salir, y siguiendo la definición de probabilidad de Laplace,
Obsérvese que para calcular la probabilidad de A según la definición de Laplace hemos tenido que suponer previamente que todos los elementos del espacio muestral tienen la misma probabilidad de salir, es decir:
P[1] = P[2] = P[3] = P[4] = P[5] = P[6]
Por otro lado, si ha salido un número par, de nuevo por la definición de probabilidad de Laplace tendríamos (73)
y entonces
que por supuesto coincide con el mismo valor que calculamos usando la definición de probabilidad de Laplace.
23. Opcit. RUIZ. Pag 89
24. Opcit. RIUS. Pag 107
Independencia
Obsérvese que según la definición de probabilidad condicionada, se puede escribir la probabilidad de la intersección de dos sucesos de probabilidad no nula como
O sea, la probabilidad de la intersección de dos sucesos, es la probabilidad de uno cualquiera de ellos, multiplicada por la probabilidad del segundo sabiendo que ha ocurrido el primero.
Si entre dos sucesos no existe ninguna relación cabe esperar que la expresión "sabiendo que" no aporte ninguna información. De este modo introducimos el concepto de independencia de dos sucesos A y B como:
Teoremas fundamentales del cálculo de probabilidades
Hay algunos resultados importantes del cálculo de probabilidades que son conocidos bajo los nombres de teorema de la probabilidad compuesta, teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes. (74)
Teorema de la probabilidad compuesta
Teorema de la probabilidad total
Sean n sucesos disjuntos A1, A2,…, An ( A=P(A) tales que p( Ai )>0 i=1,2,…,n y tales que forman un sistema completo de sucesos. Para cualquier suceso B( A=P(A) cuyas probabilidades condicionadas son conocidas p( B/Ai ), se verifica que: (75)
25. Opcit. RIUS. Pag 109
26. Opcit. RUIZ. Pag 90
Ejemplo de cálculo usando el teorema de la probabilidad total
Se tienen dos urnas, y cada una de ellas contiene un número diferente de bolas blancas y rojas:
Primera urna, U1: 3 bolas blancas y 2 rojas;
Segunda urna, U2: 4 bolas blancas y 2 rojas.
Se realiza el siguiente experimento aleatorio:
Se tira una moneda al aire y si sale cara se elige una bola de la primera urna, y si sale cruz de la segunda.
¿Cuál es la probabilidad de que salga una bola blanca?
Solución: La situación que tenemos puede ser esquematizada como
Como U1 y U2 forman un sistema incompatible y excluyente de sucesos (la bola resultado debe provenir de una de esas dos urnas y de una sólo de ellas), el teorema de la probabilidad total nos permite afirmar entonces que
Como U1 y U2 forman un sistema incompatible y excluyente de sucesos (la bola resultado debe provenir de una de esas dos urnas y de una sólo de ellas), el teorema de la probabilidad total nos permite afirmar entonces que
75)
Teorema de Bayes
75. Opcit. RIUS. Pag 112
76. Opcit RUIZ. Pag 91
Ejemplo de cálculo con el teorema de Bayes
Se tienen tres urnas. Cada una de ellas contiene un número diferente de bolas blancas y rojas:
Primera urna, U1: 3 bolas blancas y 2 rojas;
Segunda urna, U2: 4 bolas blancas y 2 rojas;
Tercera urna, U3: 3 bolas rojas.
Se realiza el siguiente experimento aleatorio:
Alguien elije al azar y con la misma probabilidad una de las tres urnas, y saca una bola.
Si el resultado del experimento es que ha salido una bola blanca, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la primera urna? Calcular lo mismo para las otras dos urnas.
Solución:
Vamos a representar en un esquema los datos de que disponemos:
En este caso U1, U2 y U3 forman un sistema incompatible y excluyente de sucesos (la bola resultado debe provenir de una de esas tres urnas y de una sólo de ellas), por tanto es posible aplicar el teorema de Bayes
Con respecto a las demás urnas hacemos lo mismo:
Comentario sobre el teorema de Bayes
Obsérvese que en el ejemplo anterior, antes de realizar el experimento aleatorio de extraer una bola para ver su resultado, teníamos que la probabilidad de elegir una urna i cualquiera es P[Ui]. (77)Estas probabilidades se denominan probabilidades a priori. Sin embargo, después de realizar el experimento, y observar que el resultado del mismo ha sido la extracción de una bola blanca, las probabilidades de cada urna han cambiado a P[Ui|B].
Estas cantidades se denominan probabilidades a posteriori. Vamos a representar en una tabla la diferencia entre ambas.
Las probabilidades a priori cambian de tal modo de las a posteriori que una vez observado el resultado del experimento aleatorio, se puede afirmar con certeza que no fue elegida la tercera urna.
Este fenómeno tiene aplicaciones fundamentales en Ciencia: Cuando se tienen dos teorías científicas diferentes, T1 y T2, que pretenden explicar cierto fenómeno, y a las que asociamos unas probabilidades a priori de ser ciertas,
P[T1] , P[T2]
podemos llevar a cabo la experimentación que se considere más conveniente, para una vez obtenido el cuerpo de evidencia, B, calcular como se modifican las probabilidades de verosimilitud de cada teoría mediante el teorema de Bayes:
P[T1|B] , P[T2|B]
Así la experimentación puede hacer que una teoría sea descartada si P[Ti|B] (0 o reforzada si P[Ti|B] ( 1. Una aplicación básica de esta técnica la tenemos en Medicina para decidir si un paciente padece cierta enfermedad o no, en función de los resultados de un test diagnóstico. (78)
77. Opcit. RIUS. Pag 114
78. Ibid. RIUS. Pag 115
Bibliografía
CANTÚ, P. El valor de la Estadística para la Salud Pública. Monterrey, México. Facultad de Salud Pública y Nutrición, Universidad Autónoma de Nuevo León. Centro de Ginecología y Obstetricia. Revista de Salud Pública y nutrición. Vol 4 No.1 Enero-Marzo 2003
Colaboradores de Wikipedia, "Bioestadística," Wikipedia, La enciclopedia libre, 5 junio 2010, 01:39 UTC,
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Bioestad%C3%ADstica&oldid=37759678 (descargado 1 de julio de 2010).
NORMAN, G. R., & STREINER, D. L. Biostatistics: The bare essentials. Hamilton: B.C. Decker, 2008.
PRIETO, L. & HERRANZ, I. Bioestadística. Sin dificultades matemáticas. Cataluña, España. Ed. Díaz de Santos S. A., Ediciones. 2010
RÍUS. F. et al. Bioestadística: Métodos y Aplicaciones. Málaga, España. Facultad de Ciencias. Universidad de Málaga. 2004.
ROSNER, B. Fundamentals of biostatistics. Belmont, CA: Thomson-Brooks/Cole, 2006
RUEDA, J. Bioestadística I. Medellín, Colombia. Universidad Nacional de Colombia. Departamento de Ciencias Agronómicas. 2006
RUIZ, D. Manual de Estadística. Universidad Pablo de Olavide. Sevilla, España. Editado por eumed.net. 2004
SALVARREY, L. Curso de Estadística Básica. Salto, Uruguay. Universidad de la República. Regional Norte, Sede Salto. 2000
Universidad Autónoma de Nuevo León. Bioestadística. Faculta de Ciencias Biológicas. Nuevo León, México. 2006
Autor:
Karina Violeta Jaramillo Mena
ATLANTIC INTERNATIONAL UNIVERSITY
HONOLULU, HAWAI
SUMMER 2010
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