Relations in the plane
Resumen
En el trabajo que se les presenta a continuación trataremos de explicar, argumentar y esbozar las principales relaciones en el plano con esto intentamos llegar a los alumnos para el completo y eficaz entendimiento de uno de los principales capítulos en el estudio del algebra que le permite al estudiante llegar con los suficientes conocimientos a temas y cursos venideros .
Básicamente lo que se realizó en el presente trabajo es una síntesis concisa y detallada de diferentes libros referidos al tema, tomando problemas resueltos y que se cree servirá para el entendimiento del tema, se ha comparado analizado y seleccionado lo más relevante de cada libro, la interacción con diferentes libros nos ha permitido enfocar de diversas maneras al tema asignado, así hemos podido lograr, a nuestro parecer, un informe conciso pero a la vez muy concreto.
Se ha tomado desde definiciones previas para el ingreso al tema, producto cartesiano, representación gráfica (diagrama sagital) , dominio y rango de una relación, tipos de relaciones entre otras. Definitivamente estamos seguros que este trabajo servirá de mucha ayuda para los alumnos.
Introducción
En esta monografía presentamos la reunión estructurada de textos orientados a satisfacer, particularmente, al estudiante universitario y en general, a la comunidad educativa compuesta por estudiantes del nivel superior así como de docentes, quienes encontraran en esta obra un estupendo complemento a su tarea diaria de aprender temas de índole científico.
En esta oportunidad nos cabe el inmenso placer de presentarles la monografía "Relaciones en el plano" con un enfoque pedagógico, con teoría y ejercicios con respecto al tema. Para ello hemos recurrido a la ayuda de libros de matemática básica, análisis matemático y de algebra.
No podemos dejar de agradecer al ing. Homero Bardales Taculí, docente de matemáticas en la universidad nacional de Cajamarca, quien nos incentivó para hacer realidad esta obra.
Como puede usted notar, nada nos ha detenido, el entusiasmo no se ha agotado, por el contrario hemos encontrado la forma de presentar una buena obra y la palabra clave ha sido: investigación.
Objetivos:
* Reconocer un producto cartesiano,
*Reconocer y representar en un sistema bidimensional una relación deduciendo su dominio y rango correspondiente.
* Relacionar ejemplos prácticos al modelo apropiado de relación e interpretar la operación asociada y terminología en el contexto.
* Identificar relaciones de equivalencia.
* Dibujar las gráficas de las relaciones.
RELACIONES EN EL PLANO
Definición previa
A. Par ordenado
Ricardo Figueroa García, matemática básica I (2009) define
Un par ordenado es un conjunto de dos elementos en el cual cada elemento tiene un lugar fijo. Si los elementos son a y b, el par ordenado se simboliza por:
Teorema:
También en (1):
Ejemplo: entonces los valores de x ^ y sabiendo que: (2; 3x – y) = ( x+ y ; – 14)
Indicando respuesta en valor de: x. y
Resolución:
Por condición tenemos: (2; 3x-y) = (x+y; -14)
De acuerdo con el teorema del par ordenado debemos plantear lo siguiente:
Finalmente el valor pedido será: x. y = (-3) (5) = -15
B. Producto cartesiano: juan Ramos. L. (2003). Define
Dados dos conjuntos no vacíos "A" y "B" se define el producto cartesiano de A por B denotado así: A X B, como el conjunto de pares ordenados cuya primera componente le pertenece al primer conjunto A y la segunda componente le pertenece al conjunto B es decir
B. 1 PROPIEDAD DEL PRODUCTO CARTESIANO
Para el producto cartesiano del conjunto A, B Y C, se cumplen las siguientes propiedades:
Demostración de PC. 4
a) Demostremos que: A x (B u C) c (A x B) u (A x C)
b) Demostremos que: (A x B) u (A x C) c A x (B u C)
Por lo tanto, de a) y b), queda demostrado que: A x (B u C) = (A x B) u (A x C )
Demostración
B.2 DIAGONAL DE UN CONJUNTO
Dado un conjunto A. la diagonal del producto AxA que se denota D(A) se define por: Ricardo Figueroa G. (2006), como:
B.3 REPRESENTACIÓN GEOMETRICA DEL PRODUCTO CARTESIANO
Ricardo Figueroa G. (2006) define. Cada de los conjuntos producto AxB, representa linealmente sobre dos rectas perpendiculares, lo no nos permite establecer un sistema de coordenadas en el plano.
Eduardo Espinoza R (2012) define.
En el producto cartesiano Ax B, a cada uno de los conjuntos Ay B lo representamos sobre dos rectas perpendiculares, en donde los elementos del conjunto A se representa sobre el eje horizontal y los elementos del conjunto B se representan sobre el eje vertical, de tal manera que las líneas verticales que pasan por los elementos de A y las líneas horizontales que pasan por los elementos B al interceptarse se obtienen los pares ordenados de A x B.
Ejemplo.-
OBSERVACIÓN
Como los conjuntos Ay B son arbitrarios entonces consideremos los siguientes casos
1 si A 0 B, el producto cartesiano detonaremos por A x B=A x A = A2
2 SI A = B R entonces A x B = R x R = R2este producto nos representa al plano cartesiano.
B.4. REPRESENTACIÓN GRAFICA (Diagrama sagital)
Por lo general, se usa cuando los conjuntos considerados son finitos y tiene pocos elementos.
Relaciones
A.) RELACIONES BINARIAS. Ricardo Figueroa G. define:
Se llama relación binaria entre los elementos de un conjunto A y los elementos de un conjunto B, a todo subconjunto R del producto cartesiano A Xb, esto es, una relación binaria R consiste en lo siguiente:
a) Un conjunto A (conjunto de partida)
b) Un conjunto B (conjunto de llegada)
c) Un enunciado abierto p(x,y) tal que p(a,b) es verdadero o falso para todo par ordenado.
Formalmente:
Ejemplos:
(1) Sean A= {1,2,3} y B= {2,4,5,6} dos conjuntos, entonces las siguientes son relaciones entre A y B, por ser subconjuntos de AxB :
Observaciones:
Si R es una relación de A en B, se deberá tener en cuenta la siguiente:
A.1. DOMINIO EN UNA RELACIÓN
Se llama dominio de una relación R en A en B de todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relación. Se denota Dom (R) y se simboliza:
A: 2 RANGO DE UNA RELACION
Se llama rango de una relación R de A en B al conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relación. Se denota:
A.3. PROPIEDADES DEL DOMINO Y RANGO DE UNA REALACIÓN
Son R1 y R2 dos relacione entre A y B, entonces se cumplen las siguientes propiedades:
A.4. DETERMINACIÓN DE UNA REALACIÓN BINARIA.-
Teniendo en cuenta que una relación es un conjunto de pares ordenados, entonces a una relación determinaremos por extensión o por comprensión.
1ra. POR EXTENSIÓN.-
Una relación queda determinada por extensión cuando se menciona cada uno de los pares ordenados de la relación.
Ejemplos:
2da. POR COMPRENSIÓN.-
Una relación queda determinada cuando se da una propiedad que caracteriza a todos los pares ordenados que conforman la relación.
Ejemplos.-
B. RELACIÓN INVERSA.
Eduardo Espinoza R. (2012) define.
B.1) PROPIEDADES DE LA RELACIÓN INVERSA
B.2. COMPOSICION DE RELACIONES
Solución. SoR se determina intersectando las segundas componentes de los pares
de R con las primeras componentes de los pares de S:
B3 PROPIEDADES
La composición de las relaciones admite las siguientes propiedades:
. RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO
D. CLASES DE RELACIONES
Resolución.-
Debemos recordar que si R es una relación de equivalencia, deberá ser reflexiva, simetrica y transitiva a la vez ; en consecuencia debemos analizar cada una de las clases mencionadas.
Luego la relación R es transitiva
Finalmente de acuerdo a la teoría, R es una relación, reflexiva, simetrica, y transitiva a la vez.
Por lo tanto : R es de equivalencia.
CRITERIOS PARA GRAFICAR UNA RELACION
Para efectuar la grafica de una relación R definida por la condición : F (x,y)= 0 , debemos ejecutar los siguientes pasos:
1) Encontrar el dominio de la relación y de ser posible el rango. El producto cartesiano de estos dos conjuntos determinara la extensión de la curva.
2) Encontrar las intersecciones de los ejes coordenados.
Para encontrar la intersección de la curva con el eje X, se hace y=0 en la condición dada y se resuelve la ecuación resultante para x. los puntos de intersección de la curva con el eje X son de la forma: (x,0).
Para encontrar la intersección de la curva con el eje Y se hace x=0, en la condición dada y se resuelve la ecuación resultante para y. los puntos de intersección de la curva con el eje Y son de la forma (0,y).
3) Encontrar la simetría de la curva con respecto a los ejes coordenados y al origen.
La simetría con respecto al eje X se representa al sustituir "y" por "-y" en la condición dada : F (x;y) = 0, verificándose que esta no varia. De variar la condición, se dice que no existe simetría con respecto al eje X.
La simetría con respecto al eje Y se presenta al sustituir "x" por "-x" en la condición dada: F (x;y)=0, verificándose que esta no varia. De variar la condición, se dice que no existe simetría con respecto al eje Y
La simetría con respecto al origen de coordenadas, se presenta al sustituir "y" por "-y"
"x" por "-x" en la condición dada F(x;y)=0, verificándose que esta no varia. De variar la condición se dice que no existe simetría con respecto al origen.
Observación.- si una curva es simetrica con respecto a uno de los ejes X 
Y, dicho eje se comporta como si fuese un espejo para la curva.
Resolución
III) Análisis de la Simetría.-
IV). Búsqueda de las asíntotas.
V). finalmente construimos la grafica
CRITERIO PRACTICO PARA GRAFICAR RELACIONES DEFINIDAS POR INECUACIONES (zonas sombreadas)
Dada alguna relación de la forma:
F(x ; y) < 0 ; F (x ; y) < 0 ; F (x ; y) > 0 ; F (x , y) < 0
Su grafica corresponda ser una región sombreada, la misma que será obtenida los siguientes pasos:
1). Expresar la inecuación dada, según la siguiente desigualdad:
a) y > (expresión en x)
b) y < (expresión en x)
La gráfica de la región estará limitada por el borde una curva determinada por la ecuación: y = (expresión en x).
II) Reconocimiento de las zonas a sombrear
a) Para la inecuación: y > (expresión en x), la zona sombreada resulta ser la parte del plano limitada inferiormente por el borde de la curva determinada por la ecuación : y = (expresión en x), sin incluir el borde.
b) Para la inecuación : y < (expresión en x), la zona sombreada resulta ser la parte del plano limitada superiormente por el borde dé la curva determinada por la ecuación : y = (expresión en x), sin incluir el borde.
Observación.- Si en (a) o en (b) se sustituyen el signo de relación simple por su respectivo signo doble (> por >, o, < por <), en la gráfica de la región se deberá incluir el borde.
Observación: notar que si el eje mayor es igual el eje X entonces el número "a" se coloca debajo de "x", pero si el eje mayor es paralelo a Y, entonces el número "a" se coloca debajo de "y".
Observación: notar que si el eje focal es paralelo el eje X entonces el signo + afecta al termino donde se encuentra "x", pero si el eje focal es paralelo a eje Y entonces el signo + afecta al terminó donde se encuentra "y".
F) Problemas Resueltos
¿Cuál de las siguientes relaciones están definidas de A en B?
¿Cuál de las siguientes relaciones están definidas de A en B?
Resolución.-
Analizando cuidadosamente a cada relación se tendrá:
Resolución.-
Para determinar la relación R será necesario encontrar el producto cartesiano:
Resolución.-
Debemos tener en cuenta que el número de elementos de Ax B: n(A x B) ,vista en la propiedad (II) del ítem 23.1B viene dado así:
n (A x B)= n(A). n(B)……………………………………………………………………….. (1)
Esto significa que: n(A) = 17 + 17 = 34
Sustituyendo (2) y (3) en (1) se consigue: n (A x B) = 31.34 =1054 RPTA. A
Conclusiones
La monografía presentada es un compendio de cinco principales libros, dicha información es de bastante importancia para la vida académico profesional de un estudiante de ingeniería.
Sin duda cabe destacar la importancia de las principales relaciones, el entendimiento absoluto de estas permitirá la mejor comprensión de temas posteriores como son las funciones que constituye pilar fundamental en el estudio del algebra.
Podemos concluir lo siguiente: " toda relación es una función, pero no toda función es una relación"
Se debe tener en cuenta los criterios para graficar una relación, se debe seguir los pasos de manera ordenada para conseguir con exactitud y precisión el bosquejo de nuestra relación.
Bibliografía
-Ramos Leyva J. C 2003. Problemas de algebra. 2º Edición. Editorial Racso de Lima, p 681-700.
-Espinoza Ramos E. 2012. Análisis Matemático I. 6º Edición. Editorial Edukperù de Lima, p 190-220.
-Ricardo Figueroa G. 2009. Matemática Básica. 10º Edición. Editorial RFG de Lima, p 134-144.
-Asociación Fondo de Investigadores y Editores. Compendio Académico de Matemática. Primera edición. Editorial Lumbreras de Lima, p 269-272.
-Torres Matos. 2007. Algebra. Primera Edición. Editorial SM de Lima, 355-360.
Autores
1Cueva Bustamante Ebert Luis
2Fernandez Cruzado Kelvin Leodan
3Leiva Saucedo Marco Aurelio
1Estudiante, carrera profesional de ingeniería geológica de la universidad nacional de Cajamarca.
2Estudiante, carrera profesional de ingeniería geológica de la universidad nacional de Cajamarca.
3Estudiante, carrera profesional de ingeniería geológica de la universidad nacional de Cajamarca.
4 Homero Bardales Taculí:
magister y doctor en ciencias, ingeniero civil, docente de la Facultad de Ingeniería.