Una definición satisfactoria de la verdad

Indice1. Introducción 2. Definiciones básicas 3. Los fundamentos de la semantica de tarski 4. Características de la lógica de primer orden 5. Semantica de la lógica de primer orden 6. Axiomatización de la lógica de primer orden

1. Introducción

Tal como es presentada en este trabajo, la semántica es la ciencia que se ocupa de las relaciones entre las expresiones de un lenguaje dado y los objetos a los que se refieren dichas expresiones. Lo que Tarski propone en su artículo, con el fin de formalizar los fundamentos de una semántica teórica, es lograr una definición satisfactoria de la verdad. Para ello deberá lindar con ciertos problemas. En primer lugar Tarski sostiene que la palabra "verdad" no es inequívoca, y propone respetar la lógica clásica; tal como sostiene en su "Metafísica" Aristóteles: "Decir de lo que es que no es, o de lo que no es que es, es falso, mientras que decir de lo que es que es, o de lo que no es que no es, es verdadero." Definida de este modo, la verdad es un atributo que lleva una expresión dada en relación con el objeto al que se refiere; en otras palabras, y tal como la semántica moderna lo concibe, es una cualidad propia de la relación entre una afirmación y el estado de cosas referida por ésta. De este modo damos con un problema fundamental que tanto la lógica presentada por Aristóteles como la semántica moderna, no resuelve. En "Metafísica" es bastante engorroso el estudio de la segunda parte de la relación; pues jamás se deja bien en claro que es un objeto; y si estudiamos a la semántica moderna (sin incluir a Tarski) nada sabremos sobre que es lo que quiere decir con estado de cosas.

Todas las formas de presentar la verdad, anterior a Tarski, entendían que la diferencia de nivel dada entre una expresión y el objeto referido por esta expresión, también se constituía en la distancia generada entre el lenguaje y una realidad empírica totalmente externa a éste y, por lo tanto, imposible de reducir a símbolos o términos, no sólo del lenguaje que definía a la semántica, sino que imposible de reducir a símbolos o términos de lenguaje alguno.

Tal como Tarski propone la definición de la verdad, no se desliga de la tarea de definir que es un objeto o un estado de cosas, sino que solamente se desprende de la realidad externa que todos los tratados sobre la verdad anteriores tomaron como parte material sobre la que se aplicaba su semántica. En rigor, Tarski, respeta todos los principios de la lógica propuesta por Aristóteles, sólo que a estos principios, al eximirlos de una "realidad empírica", los libera de cuestiones ontológico-metafísicas.

Presentadas, de manera general y rauda, las principales particularidades de la semántica propuesta por Tarski, a continuación proponemos un estudio más profundo y formal de sus conceptos.

2. Definiciones básicas

Conjunto: Un conjunto se define intuitivamente como una colección o serie de elementos. Sea P un conjunto, para indicar que un elemento x pertenece a P escribimos: xÎ P

Producto cartesiano: Dado A1, A2, A3,…, An conjuntos, el producto cartesiano A1x A2 x A3 x…. x An es el conjunto {(a1, a2, a3,…, an) ½ a1Î A1, a2Î A2, a3Î A3, an Î An} Relación en un conjunto: Dado un conjunto A, una relación R en A es un subconjunto del producto cartesiano An Función: Dados A, B conjuntos, una función f: A® B, donde A se denomina dominio de f, B se denomina codominio de f, es una asignación tal que: a cada elemento x del dominio A le hace corresponder uno y sólo uno elementos y del codominio. Su notación es: y = f(x)

3. Los fundamentos de la semantica de tarski

Adecuación material El problema principal ha desarrollar y solucionar por Tarski consiste en el logro de una definición satisfactoria de la verdad, que sea materialmente adecuada y formalmente correcta.

Con respecto al predicado "verdadero", lo que Tarski considerará conveniente es aplicar dicho término a las oraciones (lo que en gramática se llama oración enunciativa). A partir de ello, se relacionará la noción de verdad, junto con la de oración, a un lenguaje específico.

Del mismo modo, la definición que el autor propone alcanzar requiere de una adecuación material. Para ello parte del ejemplo dado por la oración "la nieve es blanca", para arribar a la equivalencia que significa decir: "La oración la nieve es blanca es verdadera si, y sólo si, la nieve es blanca".

Desde allí, Tarski distingue dos miembros que componen a la mencionada equivalencia, y distingue cómo la oración "la nieve es blanca" aparece con comillas en el primero de ellos, y sin ellas en el segundo; es decir, en el primero tenemos el nombre de la oración, y en el segundo a la oración misma. Por consiguiente, para poder decir algo acerca de una oración debemos usar el nombre de ella y no a la oración misma.

Al generalizar dicho procedimiento, podemos reemplazar una oración arbitraria por la letra "p". Luego de formar el nombre de dicha oración, podemos reemplazar ésta por otra letra, como "X". Al preguntarnos cuál es la relación lógica entre las dos oraciones "X es verdadera" y "p", se sigue la siguiente equivalencia: X es verdadera si, y sólo si, p. Se llamará "equivalencia de la forma (T)" a toda equivalencia de esta clase (en la que "p" sea reemplazada por cualquier oración del lenguaje a que se refiere la palabra "verdadero", y "X" sea reemplazada por un nombre de esta oración).

El término "verdadero" se usará de manera tal que puedan enunciarse todas las equivalencias de la forma (T), y se llamará "adecuada" a una definición de la verdad si de ella se siguen todas estas equivalencias. Toda equivalencia de la forma (T), obtenida reemplazando "p" por una oración particular, y "X" por un nombre de esta oración, puede considerarse una definición parcial de la verdad. La definición general debe ser, en cierto sentido, una conjunción lógica de todas estas definiciones parciales.

Tarski propone, así, el nombre de "concepción semántica de la verdad" para designar la concepción de la verdad así expuesta. La semántica es una disciplina que se ocupa de ciertas relaciones entre las expresiones de un lenguaje y los objetos a que se "refieren" esas expresiones, así como lo hacen las palabras designación, satisfacción, y definición. Pero la palabra "verdadero" posee una naturaleza lógica diferente, ya que expresa una propiedad de ciertas expresiones, de oraciones. Resulta que la manera más simple y natural de obtener una definición exacta de verdad es la que acarrea el uso de otras nociones semánticas, como la noción de satisfacción. Por ello Tarski incluye el concepto de verdad entre los conceptos semánticos, porque el problema de definir la verdad resulta estar estrechamente vinculado con el problema más general de echar los fundamentos de la semántica teórica.

Para especificar la estructura de un lenguaje se deberá caracterizar inequívocamente la clase de las palabras o expresiones que hayan de considerarse significativas. Se indicarán todas las palabras que se hayan decidido usar sin definirlas ("términos indefinidos"); y se deberán dar las llamadas reglas de definición para introducir términos definidos o nuevos. Se establecerán también criterios para distinguir, dentro de la clase de expresiones, aquellas que llamaremos "oraciones". Por último se deberán formular las condiciones en que puede afirmarse una oración del lenguaje. En particular, se indicarán todos los axiomas, es decir, las oraciones que hayamos decidido afirmar sin prueba; y se darán las reglas de inferencia mediante las cuales se pueden deducir nuevas oraciones afirmadas a partir de otras oraciones afirmadas previamente.

Si, especificado el lenguaje, nos referimos exclusivamente a la forma de las expresiones que comprenden, se dirá que el lenguaje está formalizado. En tal lenguaje, los teoremas son las únicas oraciones que pueden afirmarse. Ello es lo que permite que el problema de la definición de la verdad adquiera un significado preciso y pueda resolverse en forma rigurosa. La aproximación consiste en reemplazar un lenguaje natural por otro cuya estructura se especifica exactamente, y que difiere del lenguaje dado "tan poco como sea posible".

La antinomia del mentiroso La antinomia del mentiroso no es desdeñada por Tarski, y le reconoce su importancia. De acuerdo a ella, la antinomia genera un absurdo que obliga a afirmar una oración falsa; es decir, se llega a la presencia de una contradicción. Así, y en relación a su texto, él considera la oración siguiente:

la oración impresa en la página 121, línea 8 de este trabajo, no es verdadera. Tras reemplazar la oración por la letra 's', se afirma la siguiente equivalencia:

1. 's' es verdadera si, y sólo si, la oración impresa en la página 121, línea 8 de este trabajo, no es verdadera.

Teniendo presente el significado del símbolo 's', se establece empíricamente el siguiente hecho: (2) 's' es idéntica a la oración impresa en la página 121, línea 8 de este trabajo. Al reemplazar la expresión 'la oración impresa en la página 121, línea 8 de este trabajo' por el símbolo 's', se obtiene lo que sigue:

3. "'s' es verdadera si, y sólo si, 's' no es verdadera".

Tarski propone descubrir la causa de esta paradoja, y analizar las premisas sobre las que se basa, para luego rechazar por lo menos una de ellas. (I) El lenguaje en que se construye la antinomia contiene las expresiones y los nombres de estas expresiones, así como términos semánticos tales como el término "verdadero". También se ha supuesto que todas las oraciones que determinan el uso adecuado de este término pueden afirmarse en el lenguaje. Un lenguaje que goza de estas propiedades se llamará "semánticamente cerrado". (II) En este lenguaje valen las leyes ordinarias de la lógica. (III) Podemos formular y afirmar en nuestro lenguaje una premisa empírica, tal como el enunciado (2).

Se demuestra que las suposiciones (I) (II) son esenciales, y que debemos rechazar al menos una de ellas. Se considerará la posibilidad de rechazar la suposición (I), y se decidirá no usar lenguaje alguno que sea semánticamente cerrado en el sentido dado anteriormente.

Por ello es que se deberá usar dos lenguajes diferentes al tratar el problema de la definición de la verdad y, en general, todos los problemas semánticos. El primero de ellos es el lenguaje acerca del que "se habla"; el segundo es el lenguaje en que "hablamos acerca del" primer lenguaje, y en cuyos términos deseamos, en particular, construir la definición de verdad para el primer lenguaje. El primer lenguaje se denominará lenguaje objeto y el segundo metalenguaje.

Metalenguaje y lenguaje-objeto La definición de la verdad, y todas las equivalencias implicadas por ella, han de formularse en el metalenguaje, y toda oración que figure en el lenguaje-objeto también debe figurar en el metalenguaje; es decir, el metalenguaje debe contener al lenguaje-objeto como parte de él. El metalenguaje debe tener la riqueza suficiente para dar la posibilidad de construir un nombre para cada una de las frases del lenguaje objeto, y debe contener términos de carácter lógico general, tal como la expresión 'si y sólo si".

Lo que se desea es que los términos semánticos (referentes al lenguaje-objeto) se introduzcan en el metalenguaje sólo por definición. Satisfecho este postulado, la definición de la verdad cumplirá lo que se espera intuitivamente de toda definición.; es decir, explicará el significado del término que se define en términos cuyos significados parecen completamente claros e inequívocos.

Riqueza esencial La condición para que el metalenguaje sea "esencialmente más rico" que el lenguaje-objeto es que contenga variables de un tipo lógico superior al de las del lenguaje-objeto. Si no se satisface la condición de "riqueza esencial", usualmente puede demostrarse que es posible formular una interpretación del metalenguaje en el lenguaje-objeto. La condición de "riqueza esencial" es necesaria para que sea posible dar una definición satisfactoria de la verdad en el metalenguaje. Por ello, se debe incluir el término 'verdadero', o algún otro término semántico, en la lista de los términos indefinidos del metalenguaje, expresando las propiedades fundamentales de la noción de verdad en una serie de axiomas.

La condición de 'riqueza esencial' del metalenguaje resulta ser, no sólo necesaria, sin también suficiente para construir una definición satisfactoria de la verdad; si el metalenguaje satisface esta condición, en él puede definirse la noción de verdad.

4. Características de la lógica de primer orden

Lenguaje de primer orden El lenguaje de primer orden consta de un alfabeto A={" ,$ ,Ù ,Ú ,¾ ,® , (,), [,]}È R È C È V donde:" es el cuantificador universal$ es el cuantificador existencial R es el conjunto de símbolos que van a relacionar uno o más objetos C es el conjunto de constantes (sirven para indicar individuos concretos) V es el conjunto de variables (sirven para indicar cosas indeterminadas)

Aridad de un símbolo de relación La aridad Ar(n) es el número n asignado a un símbolo de relación que indica cuantos objetos relaciona, Formalmente se la define como una función que toma como dominio a R (conjunto de símbolos de relación) y como codominio a N (conjunto de los números naturales).

Ar: R® N

Termino

1. Cualquier variable xÎ V es un término.
2. Cualquier constante kÎ C es un término.
3. Nada más es un término.

Fórmula

1. Si rÎ R, tal que r tiene Ar(n) y t1, t2, …, tn son términos, entonces R(t1, t2, …, tn) es fórmula atómica.

2. Si A es fórmula, A es fórmula.

3. Si A, B son fórmulas entonces (A® B), (AÚ B), (A Ù B)es fórmula.
4. Si A es fórmula entonces (" x)[A], ($ x)[A] es fórmula.
5. Nada mas es fórmula.

Alcance de un cuantificador Dada una fórmula (Qx)[A] Q es " ó $ entonces se dice que el alcance de A es (Qx).

Variable libre Una variable xÎ V se dice libre si y sólo si x no está dentro del alcance de un cuantificador de la forma (Qx). Sentencia o fórmula cerrada Sea A una fórmula, es sentencia si y sólo si no tienes variables libres Fórmula abierta Una fórmula es abierta si y sólo si contiene variables libres. Deducción

1. Un razonamiento es una sucesión de sentencias donde hay una distinguida llamada conclusión.
2. Un razonamiento es valido si y sólo si bajo premisas verdaderas la conclusión es verdadera.

5. Semantica de la lógica de primer orden

Estructura Una estructura está constituida por un conjunto que se designa como universo U y la interpretación I de las relaciones que actúan sobre los elementos de dicho universo, su notación es: < U, I>

Asignación de variable: Una asignación es una función que va desde el conjunto de las variables a un determinado universo.

A: V® U Verdad sobre fórmulas atómicas Definición de sentencia (atómica) verdadera: Si R es símbolo de relación con Ar(n) y a1, a2,…, an Î C, entonces: R(a1, a2,…, an) es verdadera si y sólo si (a1u, a2u, …, anu) Î Ru. Dado J ,Y sentencias entonces:

J es falsa si y sólo si J es verdadera.

1. J Ú Y es verdadera si y sólo si J es verdadera ó Y es verdadera.
2. J Ù Y es verdadera si y sólo si J es verdadera y Y es verdadera.
3. J ® Y es verdadera si y sólo si al ser J verdadera entonces Y es verdadera.

En cualquier asignación A: V® U sucede:

1. (" x)[J (x)] es verdadera si y sólo si para toda D x (valuación o asignación de x), J (x) resulta verdadera.
2. ($ x)[J (x)] es verdadera si y sólo si existe D x que hace verdadera a J (x).

Satisfactibilidad

J (x1, x2, …,xn), x1, x2, …,xn variables libres, es satisfactible sí y sólo sí existe una asignación de variable que hace verdadera a J .

Modelo de una sentencia Sea L un lenguaje de primer orden, J una sentencia, < U, I> una estructura asociada a J , luego U es un modelo de J si y sólo si J es verdadera en U (se nota U = J )

Formula lógicamente válida J es una fórmula lógicamente válida si y sólo si para toda estructura < U, I> , < U, I> = J (J es verdadera para cualquier estructura)

Contradicción J es contradicción si y sólo si para toda< U, I> , < U, I> ¹ J

TeoremaJ es lógicamente válida si y sólo si J es contradicción.

6. Axiomatización de la lógica de primer orden

Axiomas P1) A® (B® A) P2) [A® (B® C)]® [(A® B)® (A® C)] P3) [B® A]® [(B® A)® B] P4) (" x)[A(x)]® A(t) donde t es termino

P5) (" x)[A® B(x)]® [A® (" x)[B(x)]] donde x no está libre en A Reglas de inferencia Modus ponens (M.P.): P® Q

Generalización universal(G.U.): P(x)" (x)[P(x)]

Demostración Una demostración es una sucesión de fórmulas B1, B2,…., Bn tal que: Cada Bi o es un axioma P1, P2, P3, P4, P5, o Bi se deduce con (M.P.) de dos formulas Bj, Bk donde Bk tiene la forma Br® Bt, siendo:

1. Br = Bj
2. Ó Br una fórmula tal que mediante (G.U.) se obtiene de Bj.
3. Bt = Bi
4. Ó Bt una fórmula tal que puede ser llevada mediante (G.U.) a Bi. -Q B indica que B es fórmula del cálculo de predicados.

=Q J indica que J es lógicamente válida.

Teorema (definición) Dada una demostración B1, B2,….,Bn, Bn es referida como teorema.

Teoría Consecuencia sintáctica Sea g un conjunto de fórmulas del cálculo de predicados entonces J es consecuencia sintáctica de g (g -J ) si y sólo si existe una sucesión de fórmulas B1, B2,….,Bn, tal que:

1. Bn es J
2. a) Cada Bi o es un axioma P1, P2, P3, P4, P5

b) Ó es una fórmula de g c) Ó se demuestra de Bj y Bk fórmulas de la sucesión g .g axiomas propios de la teoría.J teorema de la teoría.

Teorema -Q J Û =Q J Donde la implicancia Þ designa la coherencia de la lógica de primer orden, mientras que la implicancia en sentido Ü designa su completitud.

Teorema de la deducción de primer ordenJ 1….J n-1 J n – J Û J 1….J n-1 – J n® J

Abstract El presente trabajo es un estudio de las nociones propuestas por Alfred Tarski sobre la concepción semántica de la verdad. La exposición de dichos fundamentos es realizada en su articulo: La concepción semántica de la verdad y los fundamentos semánticos. Tarski, en su articulo, presenta sus conceptos de manera no formal; por consiguiente, el principal objetivo a seguir en este trabajo será explicitar el lado formal de dichas nociones; en otras palabras, expondremos la teoría formal de la lógica de primer orden. <> 

Autor:

Juan José Noldin Leandro Artiaga