La familia de los números ha acompañado a la humanidad desde los tiempos más primitivos y sigue hoy al servicio de nuestro progreso. A lo largo de cinco milenios, distintas clases de números han ido surgiendo para resolver problemas cada vez más creativos. Naturales, Enteros, Racionales, Reales o Complejos, nuestra vida es hoy en día inconcebible sin los números. El desarrollo numérico ha permitido contar, ordenar, situar, comparar, repartir, calcular, codificar… y disponer de un lenguaje que hoy es esencial tanto para la vida cotidiana como para el desarrollo de la ciencia y de la tecnología.
Gracias a los números a pesar de que su desarrollo en distintas eras no era el más preciso podemos notar como fue de gran utilidad desde el principio en que el hombre comenzó a desarrollar algunos trabajos y por todos los cambios notables que paso hoy en día es algo elemental en nuestra vida cotidiana y fundamental para el desarrollo.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (N)
Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto (el cero es el número de elementos del conjunto vacío). Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.
Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero (0) como un número natural; otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, sostienen la postura opuesta.
El conjunto de los números naturales se representa por N y corresponde al siguiente conjunto numérico:
Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a N.
Entendemos por número la expresión de un valor, la cuantificación de una magnitud.
Los números naturales expresan valores referentes a cosas enteras, no partidas, los números naturales van de uno en uno desde el 0, no admiten la partición de las unidades, y solamente expresan valores positivos.
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}
REPRESENTACION GRÁFICA
Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una tabla.
Las gráficas describen relaciones entre dos variables.
La variable que se representa en el eje horizontal se llama variable independiente o variable x.
La que se representa en el eje vertical se llama variable dependiente o variable y.
La variable y está en función de la variable x.
Una vez realizada la gráfica podemos estudiarla, analizarla y extraer conclusiones.
Para interpretar una gráfica, hemos de observarla de izquierda a derecha, analizando cómo varía la variable dependiente, y, al aumentar la variable independiente, x.
Kg de patatas | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||||
Precio en ‚¬ | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | ||||
En esa gráfica podemos observar que a medida que compramos más kilos de patatas el precio se va incrementando.
Nota | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
Nº de alumnos | 1 | 1 | 2 | 3 | 6 | 11 | 12 | 7 | 4 | 2 | 1 | ||
En esta gráfica observamos que la mayor parte de los alumnos obtienen una nota comprendida entre 4 y 7.
ADICION EN N
Es una operación que hace corresponder a cada par de números a, b E|N otro número natural llamado suma y denotado por a + b.
Ejemplos
1) |
| 4 + 5 = 9 |
|
| operación |
| : |
| Adición |
|
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|
| 2) |
| 12 + 8 = 20 |
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| operación |
| : |
| Adición | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
| operador |
| : |
| + |
|
|
|
|
|
|
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|
|
| operador |
| : |
| + | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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| sumandos |
| : |
| 4 y 5 |
|
|
|
|
|
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| sumandos |
| : |
| 12 y 8 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| suma |
| : |
| 9 |
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| suma |
| : |
| 20 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
PROPIEDADES DE LA ADICION EN N
Propiedades de la Adición: La adición cumple varias propiedades que permiten realizar las operaciones de una forma más sencilla. Estas propiedades son.
Propiedad conmutativa: el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.
Elemento neutro: En la adición, todo número sumado con cero, es igual a sí mismo.
Propiedad asociativa: cuando una suma tiene de tres a más sumandos, se pueden realizar sumas parciales y al final se obtiene el mismo resultado.
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES Y DECIMALES
Para efectuar sustracciones o de números naturales y decimales, se emplea el mismo procedimiento que con la adición.
Sin embargo recordemos que: minuendo, es la cantidad de la cual se restará otra llamada sustraendo; sustraendo, es la cantidad que se resta del minuendo y diferencia, es el resultado de la resta, es decir, el minuendo menos el sustraendo
SUSTRACCIÓN EN N
Restar es la operación matemática en la cual se quitan, sacan o sustraen elementos de un determinado conjunto, siendo su símbolo (-), que significa "menos".
Dentro de la sustracción se encuentran varios elementos:
El término mayor de los dos números que se restan al que llamamos MINUENDO representa la totalidad de objetos que se tienen, al cual se le va a quitar una cantidad.
El Número menor que aparece en la sustracción al que se le da el nombre de SUSTRAENDO representa la cantidad menor de la sustracción.
Al resultado de la sustracción, se le llama DIFERENCIA
Y el signo señalado por una rayita pequeña se le da el nombre de SIGNO MENOS
Cuando se resuelve una SUSTRACCIÓN hay que tener presente:
Los números que se restan deben estar colocados correctamente, es decir; UNIDADES debajo de las UNIDADES, DECENAS debajo de las DECENAS, CENTENAS debajo de las CENTENAS.
Siempre se deben restar objetos de una misma especie; naranjas a naranjas, perros a perros, muñecas a muñecas, carros a carros, hombres a hombres, piñas a piñas. Esto quiere decir objetos de una misma clase de un mismo género.
El MINUENDO siempre tiene que ser mayor que el SUSTRAENDO. Es decir la primera cantidad que aparece en la resta debe ser más grande que la segunda cantidad, ya que es imposible quitarle a un número menor uno mayor, ¿verdad?
PROPIEDADES DE LA SUSTRACCIÓN
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 – 2 = 4.
Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).
Propiedades de la resta:
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a – b que b – a)
PROPIEDADES EN LA MULTIPLICACION DE LOS NUMEROS NATURALES
La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
Por ejemplo:
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
2.- Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · b = b · a
Por ejemplo:
5 · 8 = 8 · 5 = 40
3.-Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a · 1 = a
4.- Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · (b + c) = a · b + a · c
Por ejemplo:
5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8
DIVISIÓN EN N
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas.
Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.
Propiedades de la división
La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.
POTENCIACIÓN EN N
Es la operación aritmética que tiene por objeto hallar el producto de factores iguales.
El factor repetido se llama base.
El exponente es el número que indica cuántas veces se toma la base como factor.
Donde: |
|
| P |
| = |
| potencia |
| = |
| an | |||||||||||||||||
|
|
| a |
| = |
| base |
|
|
|
| |||||||||||||||||
|
|
| n |
| = |
| exponente | |||||||||||||||||||||
Ejemplos .
1) |
| 22 |
| = |
| 2 x 2 |
| = |
| 4 |
|
|
| 6) |
| 43 |
| = |
| 4 x 4 x 4 |
| = |
| 64 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
| 32 |
| = |
| 3 x 3 |
| = |
| 9 |
|
|
| 7) |
| 53 |
| = |
| 5 x 5 x 5 |
| = |
| 125 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
| 42 |
| = |
| 4 x 4 |
| = |
| 16 |
|
|
| 8) |
| 24 |
| = |
| 2 x 2 x 2 x 2 |
| = |
| 16 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
| 52 |
| = |
| 5 x 5 |
| = |
| 25 |
|
|
| 9) |
| 25 |
| = |
| 2 x 2 x 2 x 2 x 2 |
| = |
| 32 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
| 23 |
| = |
| 2 x 2 x 2 |
| = |
| 8 |
|
|
| 10) |
| 106 |
| = |
| 10 x 10 x 10 10 x 10 x 10 |
| = |
| 1000000 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
NUMEROS PRIMOS
Un número es primo cuando es entero positivo, distinto de 0 y 1 y que únicamente se puede dividir por sí mismo y por 1 para dar una solución exacta (por tanto, para todos los otros números por los que intentemos dividir el número primo no dará solución exacta)
Ejemplos. Divisores de 3= {1, 3} => es primo D(7)={1, 7} => es primo D(9)={1, 3, 9} => no es primo, es divisible por 3 además de 1 y 9 Notas:
El 1 se considera primo en muchos casos, aunque sólo tiene un divisor. Depende de las listas, de las definiciones, del libro o de la "cultura" se considera o no primo. P. Ej. Los antiguos griegos consideraban que los numeros empezaban en el 2. Para ellos el 1 no era un número, sólo la unidad. No sotros tampoco lo consideraremos primo.
El 2 también cumple las características de número primo; y es el único número primo que es par.
MULTILPOS Y DIVISORES
Se llaman múltiplos de un número a todos los números que resultan de la multiplicación de ese número con cada uno de los naturales.
Ejemplo: son múltiplos del número 2 el 4,6,8,10,12,14,16,18,20,22 y muchos más los múltiplos son infinitos como son infinitos los números naturales.
Los múltiplos de un número resultan de multiplicar dicho número por cada uno de los naturales
Existen algunas reglas que permiten decidir si un número es múltiplo de otro.
Al observar la serie de los múltiplos de 2 se encuentra que todos son números pares, generalizando se puede decir que: Todo número par es múltiplo de 2
Múltiplos de 2: 0, 2, 4, 6,…
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18,…
Múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24,..
Los números 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,…. son múltiplos de 3; observa que al sumar las cifras de los números 12, 15, 18, 21 se obtiene el número 3 o un múltiplo de 3:
De esta manera, se concluye lo siguiente: Un número es múltiplo de 3 si la suma de sus cifras es 3 o un múltiplo de 3
Los números 0, 10, 15, 20, 25, 30… Son múltiplos de 5; todos ellos terminan en 0 y 5, por lo tanto, se dice que:
Un número es múltiplo de 5 cuando su última cifra es 0 ó 5
Como todo número tiene sus múltiplos así también tienen sus divisores es decir otros números que lo dividen exactamente.
Observa los divisores de los siguientes números:
Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10,
Divisores de 35: 1, 5, 7, 35
Divisores de 66: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 6
Los divisores de un número son los que dividen a éste en forma exacta.
El uno es divisor de todos los números.
Todo número es divisor de sí mismo.
Para determinar los divisores de un número, se buscan todos los números que lo dividen en forma exacta, es decir, el residuo debe ser cero
A continuación encontrarás algunas reglas que harán saber cuando un número es divisible entre otro sin necesidad de estar haciendo la operación. A este conjunto de reglas le llamamos CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.
Divisibilidad por 2: un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par. 8, 14, 54, 382, 1876 son divisibles por 2.
Divisibilidad por 3: un número es divisible por 3, si la suma de los dígitos que lo componen, es múltiplo de tres. 6, 21, 69, 255, 1356 son divisibles por 3.
Divisibilidad por 4: un número es divisible por cuatro si las dos últimas cifras (unidades y decenas) son dos ceros (00) o son divisibles por cuatro. Doce es divisible por cuatro por lo tanto 512 es divisible entre cuatro. Al igual que: 204 y 780, 7500…
Divisibilidad por 5: un número es divisible por 5 si su último dígito es 0 o 5.
Divisibilidad por 6: un número es divisible por 6, cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez.
Divisibilidad por 7: un número es divisible por 7, si el número que se obtiene al separar el último dígito, multiplicarlo por 2 y restarle el número que queda, es múltiplo de 7. Esto se ve complicado pero observa: el número 98 es divisible por 7 porque Se separa el 9 del 8, ahora se multiplica 8 x 2 = 16 y se resta 16 –9 = 7
245 es divisible por 7. Porque se separa el último dígito, el 5; queda 24. Ahora se multiplica 5 x 2 = 10 y se resta 24 – 10 = 14
Divisibilidad por 9: un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.
Divisibilidad por 10: un número es divisible por 10, si su último dígito es 0.
Divisibilidad por 100: un número es divisible por 100, si sus dos últimos dígitos son cero. .
Divisibilidad por 1000: un número es divisible por 1000, sus tres últimos dígitos son cero.
Divisibilidad por 10000: un número es divisible por 10000, sus cuatro últimos dígitos son cero.
MINIMO COMUN MÚLTIPLO
Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20.
Calcular el mínimo común múltiplo
En realidad es muy fácil de hacer. Sólo escribe los múltiplos de los números hasta que encuentres uno que coincida.
Ejemplo 1: encuentra el mínimo común múltiplo de 3 y 5:
Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 15, …, y los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, …, así: |
|
Como puedes ver en esta línea de números, el primer múltiplo que coincide es el 15. Respuesta: 15 |
Y puedes calcular el mínimo común múltiplo de 3 (o más) números.
Ejemplo 2: calcula el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8
Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,…Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36,…Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40,…. Entonces 24 es el mínimo común múltiplo de (¡no podemos encontrar uno más pequeño!) |
MÁXIMOCOMUN DIVISOR
El máximo común divisor de varios números, a, b, c…, es el mayor de sus divisores comunes. Se representa como m.c.d. (a, b, c…) y se obtiene descomponiendo los números en factores primos y multiplicando los factores primos comunes elevados al menor de sus exponentes
Concepto de máximo común divisorMáximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes. Observamos que si el único divisor común de dos o más números es la unidad, dichos números son primos entre sí.
– Forma práctica de calcular el m.c.d.Para calcular el máximo común divisor de dos o más números: 1.º Se descomponen los números en factores primos. 2.º Se expresan los números como producto de factores primos. 3.º Escogemos los factores primos comunes, elevados al menor exponente. 4.º El producto…
FUNCIONES Y ECUACIONES EN N
El concepto de función corresponde a una idea intuitiva presente en el idioma de la calle: los impuestos que pagan las personas están (o deberían estar) en función de los ingresos, los resultados obtenidos en los estudios son función del tiempo dedicado a estudiar, el consumo de gasolina en un viaje es función de ("depende de") los kilómetros recorridos, la estatura es función de la edad, el número de escaños obtenidos por un partido político después de unas elecciones es función del número de votos obtenidos (ley de Hónt), el área de un cuadrado es función del lado, el volumen de agua que contiene una piscina es función de sus medidas, la proporción de Carbono 14 presente en una momia egipcia es función del tiempo transcurrido desde la muerte, etc.
TABLAS DE DATOS
Examinemos los siguientes datos que relacionan un número "x" perteneciente al conjunto A={ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} con su duplo ("2x"):
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |
2x | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 | |
Desde el punto de vista matemático se trata de una función que transforma el conjunto de números: A={ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} en otro conjunto de números: B={-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6}. Se dice que esta función actúa de la siguiente forma: f(x)=2x, y que la imagen de -2 es -4, y la de 3 es 6 (f(-2) = -4, f(3) = 6). Decimos que la imagen inversa de 2 es 1 y la de 4 es 2 (f-1(2) = 1, f-1(4) = 2).
Además de la expresión analítica de una función (f(x) = 2x), se suelen utilizar gráficas para visualizarlas y entenderlas de una forma rápida:
ECUACIONES EN N
Una ecuación es toda igualdad entre dos expresiones matemáticas sin importar el valor que
tomen las variables implicadas en cada expresión.
Forma matemática de expresar la igualdad de dos expresiones algebraicas; en física, expresión que relaciona una o dos cualidades fundamentales. También se emplea en Química.Es un planteamiento de igualdad escrito en términos de variables y constantes
En una ecuación existen cantidades desconocidas (incógnitas), que en general se designan por letras minúsculas de la parte final del alfabeto: x, y, z y cantidades conocidas (coeficientes), que pueden designarse por letras minúsculas iniciales del alfabeto: a, b, c. Lo anterior lo introdujo el matemático René Descartes en 1637.
En la ecuación: ax + b = c
a, b y c son coeficientes, x es la incógnita
En la ecuación 5z – 4 = 16
Los coeficientes son los enteros 5, 4, y 16 y la incógnita es z.
Llamaremos raíces o soluciones de la ecuación a los valores de las incógnitas que cumplen la igualdad.
Ejemplos: Si voy al Correo con Bs. 500 y quiero enviar 3 cartas a Bs. 150 c/u ¿qué vuelto recibiré? Si v representa el valor del vuelto, éste tiene que cumplir:
500 = 3 x 150 + v
En la ecuación anterior v es la incógnita y el valor v = 50 Bs. es la solución.
Clasificación de las ecuaciones con una incógnita:
Las ecuaciones se catalogan según el exponente o potencia más alto que tenga la incógnita. Así,
6x + 34 = 5 es una ecuación de primer grado.
8×2 + 7x +45 = 3 es una ecuación de segundo grado.
4 x3 + 35 x2 –3x + 2 =7 es una ecuación de tercer grado.
Resolución de ecuaciones
Resolver una ecuación es encontrar el o los valores de la incógnita que satisface la igualdad. Por ejemplo la ecuación:
500 = 450 + v (el caso del vuelto)
Se satisface para
v = 50
Luego el vuelto de enviar 3 cartas con Bs. 500 es de Bs.50.
En situaciones reales la solución de la ecuación debe tener sentido en el contexto en que se trabaja.
Notemos los siguientes casos:
Pertinencia de la solución:
Se quiere repartir equitativamente 24 dulces a 5 niños. Sea x la cantidad de dulces que corresponde a cada niño, x debe ser un número natural que satisfaga la ecuación:
5 x = 24
La ecuación anterior no tiene solución en los naturales (N).
Existencia de la solución
La ecuación
4x + 5 = 2
No tiene solución en los naturales (N) ni en los enteros (Z) sino que en los racionales y en los reales.
La ecuación
4x.x = -7
No tiene solución en los reales (R) ya que no existe ningún número real que la satisfaga.
c) Infinitas soluciones
La ecuación
2 + x + x = 2(x+1)
Es una ecuación que es satisfecha por cualquier valor que tome x, luego tiene infinitas soluciones.
CONCLUSIONES
Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
http://docente.ucol.mx/grios/aritmetica/numenatu.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Número_natural –
http://ma.usb.ve/cursos/basicas/ma1111
http://ocente.ucol.mx/grios/aritmetica/numenatu.htm
http://www.monografias.com ۼ Matematicas
http://ve.kalipedia.com/…/operaciones-numeros-naturales
http://www.rena.edu.ve/…/numerosNaturales
Autor:
Miguel David Rojas Gerardino
Cumaná, 09 de enero de 2010.
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA.
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR.
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR.
INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO.
NÚCLEO SUCRE.
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