Algunas cuestiones preliminares
Las ciencias matemáticas, así como el ejercicio de su enseñanza siempre han tenido, como principal medio y fin, la resolución de problemas matemáticos. P. Halmos expresó su convencimiento de que "los problemas son el corazón de la Matemática" (1980, p. 524). Desde esta perspectiva, en vista de que el contenido determina el método, esto nos conduce a afirmar que los problemas también son el "corazón" de la Didáctica de la Matemática.
Al respecto, M. Murillo y V. Brenes han aseverado que: "[…] una clase de Matemática debe estar siempre centrada en (resolver) problemas y el papel del profesor debe ser el de ‘buscador’ de situaciones problémicas y significativas para el estudiante" (1994, p. 378). Este hecho, por su parte, supone la concepción del maestro como un profesional de la educación innovador y creativo.
La resolución y planteamiento de problemas hoy día constituyen un punto de mira para disímiles investigadores de todo el mundo. Mientras muchos se encargan del abordaje de los procesos de resolución, otros pocos se enfrentan a la formulación de problemas.
A propósito de este último punto, G. Polya afirmó que "[e]l arte de encontrar un nuevo problema que sea a la vez interesante y accesible no es fácil; se necesita experiencia, buen gusto y suerte" (1952/1985, p. 171). Los calificativos "interesante" y "accesible" transparentan la complejidad del asunto. No se trata de elaborar problemas "a ciegas", sino que en el acto de formulación se contemplen las posibles vías de solución (Labarrere, 1988, p. 51).
Con relación a la "experiencia", el maestro debe dominar una serie de recursos (estrategias, procedimientos, control de sus actos metacognitivos); y en cuanto al logro de un "buen gusto" (carácter lúdico de la Matemática) debe desplegar a plenitud un pensamiento divergente, con plena conciencia de sus creencias sobre la naturaleza de los objetos matemáticos a los que se refiere. De tal forma, el maestro puede apelar menos a la "suerte", antes de inventar problemas para introducir una nueva materia, desarrollar ciertas habilidades, realizar trabajo diferenciado, etcétera.
L. Campistrous y C. Rizo (1996) destacan cuatro acciones básicas para enseñar a formular problemas: la búsqueda (¿sobre qué voy a hacer el problema?), el planteo de una situación inicial (¿qué voy a considerar conocido?), la formulación de preguntas (¿qué quiero saber de lo conocido?), y la resolución del problema (¿cómo llego de lo conocido a lo desconocido?).
Estos mismos autores han señalado que durante este proceso "el alumno se siente un creador y esto, además de estimular el aprendizaje, forma motivos fuertes para el trabajo con el problema, perdiendo el miedo que muchas veces se crea alrededor de esta importante actividad matemática". Polya, hizo un certero señalamiento al respecto: "La experiencia de un alumno en matemáticas será incompleta mientras no tenga ocasión de resolver problemas que él mismo haya inventado. Enseñando a los alumnos el modo de derivar un nuevo problema de un problema ya resuelto, el profesor logrará suscitar la curiosidad de sus alumnos" (op. cit., p. 173).
J. Kilpatrick enfatizó la importancia de formular problemas matemáticos, no solo como medio sino también como meta de la enseñanza. Él señala: "la experiencia de descubrir y crear por sí mismos problemas matemáticos siempre debería ser parte de la educación de los estudiantes" (1987, p. 123). A propósito, el NCTM (National Council of Teachers of Mathematics, 1989) en sus "Standards" declara como objetivo común para todos los niveles educacionales "formular problemas a partir de situaciones cotidianas y matemáticas"; y en los niveles 9–12 declara que los estudiantes deben tener "alguna experiencia en reconocer y formular sus propios problemas, actividad que se encuentra en el centro mismo de la actividad matemática".
Algo similar se plantea actualmente en las nuevas transformaciones del enfoque metodológico de la Matemática Educativa cubana. Así, de los cuatro objetivos generales de nuestra asignatura, el cuarto plantea: "Formular y resolver, con los recursos de la matemática elemental, problemas relacionados con el desarrollo político, económico y social del país y el mundo, así como con fenómenos y procesos científico–ambientales que les conduzcan a actitudes revolucionarias y responsables ante la vida" (MINED, 1999, p. 3). Más adelante se especifica que en el octavo grado el estudiante comenzará construyendo situaciones, para en el curso siguiente pasar a la etapa de formulación.
En Álvarez y Cruz (1999) hemos propuesto un sistema de estrategias para facilitarle al maestro la formulación de nuevos problemas.
Desde nuestra perspectiva, hemos enfocado este complejo proceso tomando en consideración el presupuesto siguiente: Formular un problema plausible dentro del ámbito escolar es un problema didáctico; por tanto, cualquier modelación se aproximará mucho a lo que unánimemente denominamos problemas abiertos. En lo que sigue nos limitaremos a la implementación de un recurzo sumamente eficaz, para el hallazgo de nuevos problemas: la utilización de analogías.
Un ejemplo de analogía en la formulación de un problema
Según Polya, es fácil imaginar nuevos problemas por poca que sea la experiencia que tengamos en los principales medios para transformarlos.
Entre estos recursos él enfatiza cinco, principalmente: cambiar los papeles que juegan los datos y la incógnita, considerar como variables ciertos elementos del problema, generalizar, particularizar, y emplear analogías.
Como operación lógica, la analogía no es más que el razonamiento sobre la pertenencia a cierto objeto de un determinado indicio (propiedad o relación), tomando como base la homología de indicios sustanciales con otro objeto. En el caso que nos ocupa deberemos manejar el término "problema análogo" cuando la similitud emerge del planteo, sin incluir en este conjunto todo lo concerniente a la idea de solución.
A título de ejemplo, nosotros tomaremos como prototipo un conocido problema de la Planimetría:
"Sea ABCD un cuadrado de lado 1. Sean P y Q dos puntos interiores de los segmentos DA y AB respectivamente, y tales que el ángulo QCP tiene una amplitud de 45º. Calcular el perímetro del triángulo PAQ".
Para resolver este ejercicio basta aplicar una rotación de ángulo recto al triángulo CDP en sentido antihorario, tomando por centro el punto C. Siendo M la imagen de P por esta rotación, entonces los puntos Q, B y M estarán alineados.
Es evidente que el triángulo MCQ es congruente con el triángulo QCP; por tanto,
QP = QM = QB + BM = QB + DP = (1 – AQ) + (1 – PA),
en fin,
AQ + QP + PA = 2.
Si ahora entre el conjunto de los cuadriláteros y el conjunto de los triángulos consideramos como análogos los elementos que son regulares, entonces podemos tratar de construir un problema similar para el caso de los triángulos equiláteros.
En efecto, sea ABC un triángulo regular y tratemos de inscribir en él un ángulo de 45º, de manera que su vértice coincida con el vértice B del triángulo. No es difícil percatarse de que si las semirrectas del ángulo cortan interiormente el lado AC en los puntos P y Q, entonces no se formará el triángulo esperado.
Para continuar razonando por analogía notemos que, en el ejercicio anterior, el punto C del cuadrado no solo es vértice, sino también un punto frontera. Si movemos este punto hasta el centro R del cuadrado, manteniendo en su lugar los vértices A, B y D, resultará un ejercicio análogo, con la única dificultad de que se forma un triángulo irregular (es rectángulo).
En estas condiciones, en busca de analogías, es factible hallar M y N que son imágenes de B y D respectivamente, por una homotecia de centro R y una razón tal que el triángulo AMN resulte equilátero.
Como R es imagen de C ubiquemos el vértice del ángulo PRQ tal y como aparece representado en la figura siguiente. Ahora el problema consiste en calcular el perímetro del triángulo AQP. En este caso el triángulo AMN se toma con lado 1.
No es difícil demostrar que mientras se rota el ángulo PRQ con centro en R, de manera que P y Q se mantienen en el interior de los segmentos AN y AM respectivamente, entonces el perímetro del triángulo AQP varía de manera monótona. Realmente se obtiene una función que depende, digamos, del valor del ángulo MRQ.
Esta situación no favorece el propósito que nos planteamos inicialmente.
El autor del problema también tropezó con esta dificultad, sin embargo decidió prescindir (en términos de analogía) del valor del ángulo; examinó otros valores notables y finalmente decidió tomar como 60º la amplitud del ángulo PRQ. En este caso, queda establecida la semejenza entre dos triángulos, condición sine qua non para que el ejercicio sea más sencillo y elegante. De todos modos la solución no es un número entero como en el problema original. Para subsanar esa dificultad basta aplicar una semejanza de razón dos.
En este caso, cambiando notaciones, el problema ya está conformado:
"Sean ABC un triángulo regular de lado 2; R el punto medio del lado BC; P y Q puntos interiores de los lados AC y AB respectivamente, de tal manera que el ángulo QRP tiene una amplitud de 60º. Calcular el perímetro del triángulo AQP." (Propuesto por R. Ochoa en Siproma, Vol. 2, No. 3, 1998, p. 22).
Para la solución, en la figura x, y, e z designan, respectivamente, las longitudes de los lados AQ, AP y QP.
Si Q® A (x® 0) entonces Ð CPR ® 90° , luego CP ® ½CR = ½; por tanto, 
. De igual manera se deduce que 
, así que:
x + y < 3 (1)
De la semejanza entre los triángulos QBR y CPR resulta la relación:
o bien,
xy = 2(x + y) – 3. (2)
En virtud de la ley de los cosenos tenemos que:
z² = x² + y² – 2xy× cos60° = x² + y² – xy,
o sea,
(x + y)² – 3xy = z². (3)
Sustituyendo (2) en (3) resulta (x + y)² – 6(x + y) + 9 = z², es decir, (x + y – 3)² = z². Luego, haciendo uso de la relación (1), se verifica que z = ½ x + y – 3½ = – x – y + 3. Finalmente, si denotamos por P el perímetro buscado, resulta que P = x + y + z = 3.
Inconforme aún, el maestro debe tratar de obtener otros problemas interesantes a partir del que acaba de idear. Polya estableció un símil al respecto: "Hay ciertos puntos en común entre los problemas interesantes y ciertas familias de setas: vienen por grupos. Cuando usted encuentre uno, mire a su alrededor, hay muchas probabilidades de que haya otro en la vecindad". A propósito, después de examinar retrospectivamente el resultado anterior, podemos plantearnos múltiples interrogantes. He aquí una de ellas: ¿Para qué ángulos a el perímetro estudiado es siempre constante? Se trata de un ejercicio bastante complicado, pero muy interesante.
ÁLVAREZ, S. y CRUZ, M. (1999) Estrategias metacognitivas en la formulación de problemas para la enseñanza de la Matemática. Publicación interna del ISP "José de la Luz y Caballero", Holguín.
Campistrous, L. y Rizo, C. (1996) Aprende a resolver problemas aritméticos. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.
CRUZ, M. (1997) Estrategias para la elaboración de ejercicios del Análisis Diofántico. Tesis de maestría no publicada. ISP "José de la Luz y Caballero", Holguín.
__________ (1999) Sobre el planteamiento de problemas matemáticos. En: Memorias del III Taller sobre la Enseñanza de la Matemática "Dulce María Escalona" in memoriam. ISP "Enrique José Varona", La Habana.
Halmos, P. (1980) The heart of the mathematics. In: American Mathematical Monthly, 87, pp. 519–524.
Kilpatrick, J. (1987) Is teaching teachable? George Polya’s views on the training of mathematics teacher. In: Teaching and learning, a problem solving focus (pp. 85–97). Reston, VA: National Council of Teacher of Mathematics.
Labarrere, A. (1988) Como enseñar a los alumnos de primaria a resolver problemas. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.
MINED (1999) Programas de Matemática para las Secundarias Seleccionadas. La Habana.
Murillo, M. y Brenes, V. (1994). Algunos objetos de estudio del constructivismo. En: Memorias de la Octava Reunión Centroamericana y del Caribe sobre formación de profesores e investigación en Matemática Educativa. Universidad Estatal a Distancia (pp. 373–378). San José de Costa Rica.
NCTM (1989) Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA: National Council of Teacher of Mathematics.
Polya, G. (1952/1985) Como plantear y resolver problemas. Editorial Trillas, México.
M. Sc. Miguel Cruz Ramírez
Lic. Adognis Aguilar Pérez
ISPH, Matemáticas, Holguín 81000, CUBA