Graficos estadisticos y matrices (Matemáticas)

Introducción

La Matemática es la ciencia que se ocupa de describir y analizar las cantidades, el espacio y las formas, los cambios y relaciones, así como la incertidumbre. Si miramos a nuestro alrededor vemos que esos componentes están presentes en todos los aspectos de la vida de las personas, en su trabajo, en su quehacer diario, en los medios de comunicación, etc.

Las matemáticas, tanto histórica como socialmente, forman parte de nuestra cultura y los individuos deben ser capaces de apreciarlas y comprenderlas. Es evidente, que en nuestra sociedad, dentro de los distintos ámbitos profesionales, es preciso un mayor dominio de ideas y destrezas matemáticas que las que se manejaban hace tan sólo unos años.

Por lo tanto, la toma de decisiones requiere comprender, modificar y producir mensajes de todo tipo; en la información que se maneja cada vez aparecen con más frecuencia tablas, gráficos y fórmulas que demandan conocimientos matemáticos para su correcta interpretación. En ese orden de ideas, en el presente trabajo se abordará dos temas, el 1ro. Estadísticas, gráficos de los datos agrupados y no agrupados, media, moda, mediana y 2do. Tema las matrices.

Cabe señalar, que el trabajo solicita que el estudiante coloque anexos en relación a como se darían en clase los temas antes especificados, pero, es importante indicar que estos conocimientos se reciben en el pedagógico a nivel superior y el estudiante aun esta en la etapa de bachillerato, por tal motivo este conocimiento no lo tiene para poder cumplir con lo solicitado, asumiendo que esto no afectará su calificación.

Tipos de gráficos

• Gráfico de barras

• Gráfico circular o de sectores

• Diagrama de líneas o de puntos

• Diagrama de dispersión

• Curvas

• Histograma

• Polígono de frecuencias

• Ojiva

• Diagrama de frecuencias acumuladas

Gráfico De Barras

Se recomienda para representar series cronológicas, datos cualitativos (ordinales o nominales) y en general para datos donde exista algún orden. En este grafico se representa en el eje de las abscisas (X), las distintas categorías de la variable y en eje de las ordenadas (Y), la frecuencia absoluta o relativa. A cada categoría se le asocia una barra vertical cuya longitud es proporcional a la frecuencia. Las barras deben ir separadas y tanto el ancho como la distancia que las separa son arbitrarios, pero una vez fijados deben mantenerse en todo el gráfico. Las barras pueden graficarse bien sea en sentido horizontal o vertical.

Diagrama de Barra

El siguiente gráfico de barras muestra el número de países que pertenecen a cada región o grupo económico indicado.

Ejercicio.

Superficie plantada con árboles frutales en Chile, período 1990 -1993.

En la Publicación "Informe sobre Chile 1999" de la Editorial Gestión, aparecen los siguientes datos relativos a la superficie (en hectáreas) plantada con ciruelos, damascos, duraznos y parrones con uva de mesa, desde 1990 hasta 1993:

 Para cada uno de los años, dibuje un gráfico de barras que permita apreciar y comparar la superficie plantada en los diferentes cultivos.

 Se define la tasa de crecimiento anual como el porcentaje de la producción del año inicial, que corresponde a la variación de esa producción respecto del año siguiente. A modo de ejemplo, la tasa de crecimiento de la superficie plantada de Ciruelos de 1991 respecto de 1990 es (8530-8490)/8490 = 0.47%.

Determine la tasa de crecimiento anual (respecto del año anterior) de la superficie empleada para la plantación de cada una de esas especies en los años 1991, 1992 y1993.

Para cada año, compare mediante gráficos de barra las tasas de crecimiento de superficie que encontró para los distintos cultivos.

Comentarios Pedagógicos.

En esta actividad el/la estudiante deberá comprender el concepto de tasa referida al año anterior. Así podrá obtener la siguiente tabla

El estudiante se enfrentará a la necesidad de interpretar valores negativos para las tasas en el eje de las ordenadas.

Gráfico Circular.

El gráfico circular es útil para representar proporciones de distintas clases dentro de una muestra. La muestra es representada por un círculo y cada una de las clases que la componen, por un sector de éste.  El ángulo de cada sector mantiene la misma proporción de 360° que la de la clase representada respecto del tamaño total de la muestra. 

A modo de ejemplo, a los estudiantes deben aprender lo siguiente: si una clase corresponde al 25% del total de la muestra, le corresponderá un sector del círculo cuyo ángulo sea de 90°, exactamente el 25% de 360°. El gráfico siguiente, representa la respuesta de 1886 alumnos de Cuarto Medio al preguntárseles por su interés de seguir estudios universitarios.  Los datos corresponden a alumnos que cursaban Cuanto Año Medio en el año 1997 en 7 localidades de la V región (Valparaíso, Viña del Mar, Quilpué, Villa Alemana, Limache, Quillota, La Calera) y en establecimientos de tipo Municipalizado, Subvencionado y Particular.

De los 1886 alumnos encuestados, 1768 (93.74%) se interesa por seguir estudios universitarios. Los restantes 118 (6.26%), no.

Para construir el gráfico circular , debemos calcular el ángulo central del sector correspondiente a cada respuesta. Para el caso de los 1768 Interesados en estudios universitarios su proporción respecto de la muestra total (93.74%) nos permite determinar que su ángulo del centro es 337º 28' 34.1'' y por lo tanto, el complemento a 360º (22º 31' 25.9'') representa a los No Interesados. Hecho este cálculo, con un transportador se puede hacer un gráfico equivalente al de la siguiente figura. 

 La facilidad de graficación presente en los computadores personales de hoy día, ha permitido ampliar fuertemente la capacidad de representar datos con mejores características estéticas. Lo anterior en sí, constituye una cualidad muy ventajosa. 

Sin embargo, en peligroso dejarse llevar sólo por consideraciones estéticas al momento de graficar una información. Es así que muchas veces se tiende a usar gráficos circulares en perspectiva, con un dibujo que representa a un disco inclinado en tres dimensiones, de modo que su cara superior se ve como una elipse. Si bien tiene un aspecto visual agradable, no es recomendable usarlo, pues desde el punto de vista de la representación de la información contenida en la muestra, se produce una distorsión.

A modo de ejemplo, se construye un nuevo gráfico circular para los datos anteriores, ahora en perspectiva.

Como puede verse, el 6.26%  'No Interesado' tiene aquí una cobertura visual algo mayor que en el dibujo anterior.  Pero, si se cambia la orientación del  dibujo central, se tiene una representación en que los casos 'No Interesado' se ven disminuidos. 

Estas variaciones de la representación causadas por un giro del gráfico, no están presente en el caso del círculo en posición normal y, por lo tanto, este último es más fidedigno como resumen informativo visual. Como conclusión, a pesar de su simplicidad, los gráficos circulares deben ser construidos teniendo especial cuidado en resguardar su capacidad de representar sin distorsiones la información original.

Diagrama de líneas o de puntos

El denominado gráfico de puntos permite mostrar apropiadamente a pequeños conjuntos de datos y tiene la gran ventaja de ser fácilmente construido a mano.

En este tipo de gráfico, la abcisa representa los valores de la variable estudiada y la ordenada la frecuencia de aparición de un valor en el conjunto de datos estudiado. 

Comentario pedagógico.

Para la construcción de un gráfico de puntos, es necesario que el alumno conozca la representación de puntos en una recta graduada.

Por ejemplo, el siguiente gráfico representa una alumna de cuarto medio cuya altura es 162 cm.

Si hubiese que representar otra alumna con esta misma estatura, el gráfico se vería de la siguiente forma:

Ahora, si se quisiera representar una muestra de la estatura de treinta alumnas de cuarto año medio, el gráfico quedaría como sigue.

Se puede ver con facilidad la distribución de los valores observados y describir la información contenida en ellos.

Ejercicio.

El caso presentado a continuación permite familiarizarse con el estudio de información por medio de gráficos de puntos.

Niños en un condominio.

En un condominio viven 10 familias (identificadas por un número del 1 al 10), constituidas por padres e hijos. La cantidad de hijos por familia está dado en la siguiente tabla:

 Este gráfico de puntos se resume numéricamente en la siguiente tabla: 

Nota.

Si se hubiese dado a conocer los datos originales, se hubiese podido pedir a los alumnos que construyesen el gráfico de puntos y la tabla.

Conocido el gráfico de puntos y/o la tabla resumen, se puede hacer algunas preguntas de interés pedagógico. Por ejemplo:

1.-    ¿En cuántas familias hay tres hijos?

2.-    ¿Cuántos hijos viven en el condominio?

3.-    ¿Cuántos hijos no son únicos?

Comentarios pedagógicos.

Las preguntas tienen como objetivo que el alumno o alumna comprenda la información aportada por el gráfico y/o la tabla resumen. Para responder la primera pregunta, el estudiante tendrá que ubicar el número 3 en la abcisa  y a continuación leer el correspondiente a la frecuencia, que en este caso es 2.

La segunda pregunta requiere para su respuesta, la capacidad de seleccionar correctamente los puntos que cumplen la condición e interpretar apropiadamente su significado numérico. Así es que puede verse que hay 8 familias que aportan hijos. Tres de ellas tienen un hijo cada una, una tiene dos hijos, dos tienen tres hijos, una tiene cuatro y una tiene cinco hijos. En total hay (3*1+1*2+2*3+1*4+1*5) = 20 hijos en el condominio.

La tercera pregunta exige una interpretación de hijo único. Esto lleva a centrarse sólo en las familias con dos o más hijos. Identificadas éstas, el cálculo sigue un camino similar al de la segunda pregunta. Hay 17 hijos que no son únicos.

Diagrama de Dispersión

El diagrama de dispersión es una herramienta de análisis la cual representa en forma gráfica la relación existente entre dos variables pudiendo observar la dependencia o influencia que tiene una variable sobre la otra, permitiendo visualizar de forma gráfica su posible correlación. Conocidos también como gráficos XY es una herramienta de análisis utilizado generalmente en el área de la gestión de calidad con el objeto de encontrar las relaciones de las causas que producen un efecto.

Tal y como hemos citado en la definición anterior el diagrama de dispersión nos indica la relación existente entre dos variables, y por lo tanto si traducimos estas dos variables a grupos de datos, podemos relacionar grupos de datos con el objeto de verificar o averiguar que existe una relación entre ambos y como es esta relación de forma aproximada.

Los diagramas de dispersión se emplean para:

• Observar el grado de intensidad en la relación entre dos variables, esta relación puede ser entre un efecto y una de las supuestas causas que lo producen o para ver la relación entre dos causas que provocan un mismo efecto.

• Visualizar rápidamente cambios anómalos.

• Analizar determinadas cuestiones mediante comparaciones.

A Nivel Pedagógico: Modo de aplicación

Los pasos a seguir para construir un diagrama de dispersión son:

• Seleccionar las 2 variables que se van relacionar.

• Establecer una hipótesis de la posible relación entre ambas.

• Construir una tabla que nos relacione los valores de ambas variables por parejas. Si no disponemos de dichos datos será necesario realizar una toma.

• Dibujar el diagrama poniendo una variable en cada uno de los ejes cartesianos (x,y) con una escala de valores que se ajuste a los datos que se dispone.

• Representar en el gráfico cada par de valores por un punto.

• Encontrar la correlación analizando la tendencia de la nube de puntos y la correlación entre las variables.

Hoy en día gracias a la informática disponemos de programas basados en hojas de cálculo como Excel, Numbers o Calc que te permiten realizar rápidamente un diagrama de dispersión con solo introducir los datos de las variables.

Interpretación del diagrama de dispersión

Una vez que se ha realizado el diagrama de dispersión la forma que adquiera la nube de puntos nos permitirá analizar la relación entre las 2 variables o grupos de datos, pudiendo obtener las siguientes figuras e interpretaciones:

• Correlación positiva – Se observa como la nube de puntos obtenida adquiere una forma de recta creciente, cuando los puntos de la nube se encuentra próximos a la recta se le conoce como fuerte, en el caso que se encuentren distantes a la recta es conocida como débil. Por ejemplo la relación existente entre la altura y el peso de una persona es positiva a mayor altura mayor peso.

• Correlación negativa – Al contrario del caso anterior se observa como la nube de puntos obtenida adquiere una forma de recta decreciente, cuando los puntos de la nube se encuentra próximos a la recta se le conoce como fuerte, en el caso que se encuentren distantes a la recta es conocida como débil. Por ejemplo la relación existente para los fumadores entre el número de paquetes de tabaco al mes y los años de vida es negativa dado que a mayor cantidad de tabaco fumado menor esperanza de vida.

• Correlación compleja – La nube de puntos obtenidas adquiere forma de curva, elipse u otra forma geométrica.

• Correlación nula – Se observa una distribución de la nube de puntos con una forma circular, indicándonos la no existencia de relación entre ambas variables. Por ejemplo la relación existente entre el color de los ojos y el tamaño del pie es nula.

Curvas de frecuencias

• Frecuencias relativa.

• Frecuencias acumuladas.

• Curvas de frecuencias u ojivas.

• Tipos de curva de frecuencias

Frecuencias Relativas

A Nivel Pedagógico el estudiante debe reconocer que: La frecuencia relativa de una clase es la frecuencia de la clase dividida por el total de frecuencias de todas las clases y se expresa generalmente como el porcentaje.

Ejemplo: La frecuencia relativa de 66-68 de la tabla es 

14/80 =0,175 

17,5%

La suma de todas las frecuencias de todas las clases da 100%

Frecuencias Acumuladas

La frecuencia total de todo los valores menores que el límite real superior de clase de un intervalo inclusive. Por ejemplo: la frecuencia acumulada hasta el intervalo de clase 66 -68 inclusive en la tabla es 12 + 16 + 14 = 42, el significado es que 42 estudiantes tienen alturas menores a 68,5.

La tabla que representa las frecuencias acumuladas se llama distribución de frecuencias acumuladas.

Hay casos que es preferible considerar una distribución de frecuencia acumulada de todos los valores mayores o iguales al límite inferior real

Frecuencias Relativas Acumuladas

Es frecuencia acumulada dividida por el total de frecuencias se expresa generalmente como el porcentaje.

Ejemplo: La frecuencia relativa de 66-68 de la tabla de frecuencias acumuladas menor que es: 42/80 =0,525 ( 5 La última frecuencia acumulada que es "menor que 74,5" da 100%

Tipos de Curvas de Frecuencias: Las curvas de frecuencias presentan determinadas formas características:

1. Las curvas de frecuencias simétricas o bien formadas se caracterizan por el hecho de que las observaciones del máximo central tienen las mismas frecuencias.

2. Las curvas de frecuencias moderadamente asimétrica se caracterizan por la cola de la curva a un lado del máximo central es mayor.

3. Las curvas en forma de J o de J invertida, el máximo se presenta en un extremo.

4. Las curvas en forma U, tiene el máximo en ambos extremos.

5. Las curvas de frecuencias bimodal, tiene dos máximo.

6. Las curvas de frecuencias multimodal, tiene más de dos máximo.

Los histogramas son herramientas estadísticas que nos permiten visualizar gráficamente y rápidamente la distribución de un estudio realizado, los histogramas son representaciones gráficas por medio de barras verticales, de una distribución de frecuencias de una variable continua. Cada una de las barras refleja un intervalo o clase y la altura de las barras representadas es proporcional a la frecuencia (número de veces) con que aparecen los valores en cada uno de los intervalos.

Los histogramas también se le conocen con el nombre de "Diagramas de distribución de frecuencias".

Los Histogramas, son utilizados como una herramienta que ayuda en la toma de decisión para la resolución de problemas, mediante el histograma se puede identificar las pautas de comportamiento del conjunto de los datos y extraer conclusiones, así los histogramas la cual nos permite:

• Realizar un análisis de distribución de datos.

• Comprobar el grado de cumplimiento de las especificaciones.

• Evaluar la eficacia de las soluciones.

A Nivel Pedagógico:

Previo a la explicación de los pasos a seguir para elaborar un histograma, el estudiante debe conocer algunos conceptos previos como:

• Recorrido o rango (R): es el valor resultante de restar el valor máximo y el mínimo.

• Clase (k): es la dimensión de un intervalo de variabilidad de los datos.

• Frecuencia: número de elementos comprendidos en una determinada clase.

Los pasos a seguir son:

• Recoger todos los datos (N) en una hoja de datos, en los histogramas se trabaja con datos, a menudo, con tiempos, pesos, tamaños…, y por lo tanto cuantos más datos obtengamos más exacto será el Histograma. El número total de valores se denominará "N".

• Obtener los valores máximo (Vmáx.) y mínimo (Vmín.).

• Establecer el recorrido o rango (R) de la siguiente forma: R = Vmáx. – Vmín, como vemos en la fórmula, simplemente deberemos restar el valor máximo de los datos obtenidos del valor mínimo.

• Determinar el número de clases (k) que queremos que exista, con este dato determinaremos las barras que queremos que aparezcan en el Histograma, facilitándonos cuantas clases o grupos tenenos.

• Calcular la amplitud de cada clase de la siguiente manera: i = R / k.

• Redondear, al valor entero superior, si el resultado no es exacto en términos de la unidad.

• Establecer los valores de los límites de clase.

• Construir una tabla de distribución de frecuencias y asignar los datos obtenidos a su clase correspondiente, al hacerlo podemos encontrarnos con el problema de que tengamos valores en el límite entre una clase y otra, y no sepamos a cuál de las dos clases asignarlo, en este caso se recomienda asignar estos datos a una de las dos clases, la inferior o la superior, pero siempre con el mismo criterio, para no desvirtuar el gráfico.

• Construir los ejes del histograma, para construirlos seguiremos los siguientes criterios, en el eje horizontal se colocan los valores de las marcas de clase y sobre el eje vertical se colocan los valores de las frecuencias.

• Trazar los rectángulos correspondientes, una vez se hayan determinado los intervalos y sepamos cuántas mediciones caen dentro de cada intervalo, deberemos poner los rectángulos en función de los ejes del histograma.

Histogramas

Los histogramas son herramientas estadísticas que nos permiten visualizar gráficamente y rápidamente la distribución de un estudio realizado, los histogramas son representaciones gráficas por medio de barras verticales, de una distribución de frecuencias de una variable continua. Cada una de las barras refleja un intervalo o clase y la altura de las barras representadas es proporcional a la frecuencia (número de veces) con que aparecen los valores en cada uno de los intervalos.

Los histogramas también se le conocen con el nombre de "Diagramas de distribución de frecuencias"

Los Histogramas, son utilizados como una herramienta que ayuda en la toma de decisión para la resolución de problemas, mediante el histograma se puede identificar las pautas de comportamiento del conjunto de los datos y extraer conclusiones, así los histogramas la cual nos permite:

• Realizar un análisis de distribución de datos.

• Comprobar el grado de cumplimiento de las especificaciones.

• Evaluar la eficacia de las soluciones.

• Método de aplicación de los histogramas

• Previo a la explicación de los pasos a seguir para elaborar un histograma, tenemos que conocer algunos conceptos previos como:

• Recorrido o rango (R): es el valor resultante de restar el valor máximo y el mínimo.

• Clase (k): es la dimensión de un intervalo de variabilidad de los datos.

• Frecuencia: número de elementos comprendidos en una determinada clase.

El estudiante debe manejar los pasos a seguir que son:

• Recoger todos los datos (N) en una hoja de datos, en los histogramas se trabaja con datos, a menudo, con tiempos, pesos, tamaños…, y por lo tanto cuantos más datos obtengamos más exacto será el Histograma. El número total de valores se denominará "N".

• Obtener los valores máximo (Vmáx.) y mínimo (Vmín.).

• Establecer el recorrido o rango (R) de la siguiente forma: R = Vmáx. – Vmín, como vemos en la fórmula, simplemente deberemos restar el valor máximo de los datos obtenidos del valor mínimo.

• Determinar el número de clases (k) que queremos que exista, con este dato determinaremos las barras que queremos que aparezcan en el Histograma, facilitándonos cuantas clases o grupos tenenos.

• Calcular la amplitud de cada clase de la siguiente manera: i = R / k.

• Redondear, al valor entero superior, si el resultado no es exacto en términos de la unidad.

• Establecer los valores de los límites de clase.

• Construir una tabla de distribución de frecuencias y asignar los datos obtenidos a su clase correspondiente, al hacerlo podemos encontrarnos con el problema de que tengamos valores en el límite entre una clase y otra, y no sepamos a cuál de las dos clases asignarlo, en este caso se recomienda asignar estos datos a una de las dos clases, la inferior o la superior, pero siempre con el mismo criterio, para no desvirtuar el gráfico.

• Construir los ejes del histograma, para construirlos seguiremos los siguientes criterios, en el eje horizontal se colocan los valores de las marcas de clase y sobre el eje vertical se colocan los valores de las frecuencias.

• Trazar los rectángulos correspondientes, una vez se hayan determinado los intervalos y sepamos cuántas mediciones caen dentro de cada intervalo, deberemos poner los rectángulos en función de los ejes del histograma.

Ejemplos de Tipos de Histograma

Polígonos de Frecuencia

Son otra forma de representar gráficamente distribuciones tanto de frecuencias simples como relativas. Pedagógicamente el estudiante debe:

Para construir un polígono de frecuencias el estudiante tiene que colocar en el eje vertical y los valores de la variable que estamos midiendo en el eje horizontal. A continuación, se gráfica cada frecuencia de clase trazando un punto sobre su punto medio y conectamos los resultantes puntos sucesivos con una línea recta para formar un polígono.

Se añaden dos clases, una en cada extremo de la escala de valores observados. Estas dos nuevas clases que contienen cero observaciones permiten que el polígono alcance el eje horizontal en ambos extremos de la distribución.

Un polígono de frecuencias es sólo una línea que conecta los puntos medios de todas las barras de un histograma. Por consiguiente, podemos reproducir el histograma mediante el trazado de líneas verticales desde los límites de clase y luego conectando tales líneas con rectas horizontales a la altura de los puntos medios del polígono.

Un polígono de frecuencias que utiliza frecuencias relativas de puntos de dato en cada una de las clases, en lugar del número real de puntos, se conoce como polígono de frecuencias relativas. Este polígono tiene la misma forma que el polígono de frecuencias construido a partir del mismo conjunto de datos, pero con una escala diferente en los valores del eje vertical.

Medidas tendencia central: Media Mediana

 Este tipo de medidas nos permiten identificar y ubicar el punto (valor) alrededor del cual se tienden ha reunir los datos ("Punto central"). Estas medidas aplicadas a las características de las unidades de una muestra se les denomina estimadores o estadígrafos; mientras que aplicadas a poblaciones se les denomina parámetros o valores estadísticos de la población. Los principales métodos utilizados para ubicar el punto central son la media, la mediana y la moda.

Media

Es la medida de posición central más utilizada, la más conocida y la más sencilla de calcular, debido principalmente a que sus ecuaciones se prestan para el manejoalgebraico, lo cual la hace de gran utilidad. Su principal desventaja radica en su sensibilidad al cambio de uno de sus valores o a los valores extremos demasiado grandes o pequeños. La media se define como la suma de todos los valores observados, dividido por el número total de observaciones.

  Cuando los valores representan una población la ecuación se define como:

 Donde (m) representa la media, (N) representa el tamaño de la población y (Xi) representa cada uno de los valores de la población. Ya que en la mayoría de los casos se trabajan con muestras de la población todas las ecuaciones que se presenten a continuación serán representativas para las muestras. La media aritmética para una muestra esta determinada como 

Donde (X) representa la Media para la muestra, (n) el tamaño de la muestra y (Xi) representa cada uno de los valores observados. Esta fórmula únicamente es aplicable si los datos se encuentran desagrupados; en caso contrario debemos calcular la media mediante la multiplicación de los diferentes valores por la frecuencia con que se encuentren dentro de la información; es decir, 

Ecuación 5-4

 Donde (Yi) representa el punto medio de cada observación, (ni) es la frecuencia o número de observaciones en cada clase y (n) es el tamaño de la muestra siendo igual a la suma de las frecuencias de cada clase.

Para entender mejor este concepto vamos a suponer que hemos tomado la edad de 5 personas al azar cuyos resultados fueron (22, 33, 35, 38 y 41). Para facilitar su interpretación se han generado tres rangos de edad los cuales se han establecido de 21 a 30 años, de 31 a 40 años y de 41 a 50 años. Si nos fijamos en estos rangos notaremos que los puntos medios son 25, 35 y 45 respectivamente. Losresultados de la organización de estos datos se representan en la tabla [5-1]. 

Figura 5-1

 Si aplicamos la fórmula para valores agrupados obtendríamos que la media es igual a

 Lo que nos indicaría que el promedio de edad de los encuestados es de 35 años. Si ha estos mismos resultados le aplicamos la ecuación para datos desagrupados (Ecuación 5-3), tomando como referencia cada uno de los valores individuales, obtendríamos que la media es igual a

 Lo que nos indicaría que el promedio de edad para los datos desagrupados es de 34 años aproximadamente. Esta diferencia se debe a que al agrupar los datos se pierde parcialmente la exactitud de los cálculos, principalmente al aumentar el número de datos. Para evitar estos inconvenientes, SPSS nos permite calcular las Medias, como si se trataran de valores desagrupados, aunque tiene algunos procedimientos para valores agrupados.

 Es importante resaltar que existe una gran variedad de medias como la Media geométrica, la Media ponderada, la Media cuadrática, etc. Por el momento sólo hacemos énfasis en la media aritmética ya que es la más utilizada, aunque se recomienda a los lectores profundizar en estos temas. 

Mediana

Con esta medida podemos identificar el valor que se encuentra en el centro de los datos, es decir, nos permite conocer el valor que se encuentra exactamente en la mitad del conjunto de datos después que las observaciones se han ubicado en serie ordenada. Esta medida nos indica que la mitad de los datos se encuentran por debajo de este valor y la otra mitad por encima del mismo. Para determinar la posición de la mediana se utiliza la fórmula 

Para comprender este concepto vamos a suponer que tenemos la serie ordenada de valores (2, 5, 8, 10 y 13), la posición de la mediana sería: 

Lo que nos indica que el valor de la mediana corresponde a la tercera posición de la serie, que equivale al número (8). Si por el contrario contamos con un conjunto de datos que contiene un número par de observaciones, es necesario promediar los dos valores medios de la serie. Si en el ejemplo anterior le anexamos el valor 15, tendríamos la serie ordenada (2, 5, 8, 10, 13 y 15) y la posición de la mediana sería, 

Es decir, la posición tres y medio. Dado que es imposible destacar la posición tres y medio, es necesario promediar los dos valores de la posiciones tercera y cuarta para producir una mediana equivalente, que para el caso corresponden a  (8 + 10)/2 =9. Lo que nos indicaría que la mitad de los valores se encuentra por debajo del valor 9 y la otra mitad se encuentra por encima de este valor.

 En conclusión la mediana  indica el valor que separa los datos en dos fracciones iguales con el cincuenta porciento de los datos cada una. Para las muestras que cuentan con un número impar de observaciones o datos, la mediana dará como resultado una de las posiciones de la serie ordenada; mientras que para las muestras con un número par de observaciones se debe promediar los valores de las dos posiciones centrales. 

Moda

La medida modal nos indica el valor que más veces se repite dentro de los datos; es decir, si tenemos la serie ordenada (2, 2, 5 y 7), el valor que más veces se repite es el número 2 quien seria la moda de los datos. Es posible que en algunas ocasiones se presente dos valores con la mayor frecuencia, lo cual se denomina Bimodal o en otros casos más de dos valores, lo que se conoce como multimodal.

 En conclusión las Medidas de tendencia central, permite identificar los valores más representativos de los datos, de acuerdo a la manera como se tienden a concentrar. La Media nos indica el promedio de los datos; es decir, nos informa el valor que obtendría cada uno de los individuos si se distribuyeran los valores en partes iguales. La Mediana por el contrario nos informa el valor que separa los datos en dos partes iguales, cada una de las cuales cuenta con el cincuenta porciento de los datos. Por último la Moda nos indica el valor que más se repite dentro de los datos.

Matrices

Definición. Las matrices y los determinantes son herramientas del ´algebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo. Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton. Las matrices se encuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Económicas y Biológicas.

También, se puede decir que se llama matriz del tipo mxn a un conjunto de mxn números dispuestos en m filas y n columnas:

Se escribirá A= (aij)

Se llama orden, tipo, o dimensión  de una matriz, al tamaño mxn.

Ejemplo1: A =es una matriz de orden 2×4, es decir, tiene dos filas y cuatro columnas.

Ejemplo 2. En un curso de 30 alumnos se han realizado cuatro evaluaciones, por lo tanto existen cuatro notas por cada alumno y los resultados se pueden disponen mediante una matriz:    

     Evaluaciones

Ejercicio 1. Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos ellos se fabrican en longitudes de 1, 1"5, 2 y 2,5 cm. con los precios respectivos siguientes:

2. Tipos de matrices

Definiciones. La matriz se llama:

• Matriz fila, si tiene sólo una fila.

• Matriz columna, si tiene sólo una columna.

• Matriz nula,  O, si todos sus elementos son 0.

• Matriz traspuesta de A y se designa A" o At, a la que se obtiene cambiando filas por columnas.