Ejercicio 2. Calcula la matriz traspuesta de A =
Matriz cuadrada, si tiene el mismo nº de filas que de columnas.
Si tiene n filas se dirá, simplemente, de orden n (en vez de nxn).
Los elementos aii (i=1,2…,n) forman la diagonal principal de la matriz
en esta matriz están indicados los elementos que forman la diagonal secundaria.
En particular, si todos los elementos de la diagonal son 1, se la llama matriz identidad, I, o unidad.
Ejercicio 3. Escribe la matriz identidad de orden 5.
Solución
Matriz triangular, superior si todos los elementos situados debajo de la diagonal principal son 0. Análogamente se define triangular inferior.
Ejemplo 3. La matriz es triangular superior.
Matriz simétrica, si coincide con su transpuesta, es decir aij = aji.
Ejemplo 4. La matiz identidad es una matriz simétrica.
Solución
3. Operaciones con matrices.
I) Suma de matrices.
Sean A= (aij) y B = (bij) dos matrices de orden mxn. Se define la matriz suma de A y B como la matriz de orden mxn dada por:
La suma de matrices, así definida, es una operación interna en el conjunto de las matrices de oren mxn, Mm,n , verificándose además las siguientes:
Propiedades. Asociativa, conmutativa, elemento neutro (la matriz O), y elemento opuesto.
Por tanto el conjunto Mm,n con + es un grupo aditivo.
II) Producto de una matriz por un número
Se define el producto de la matriz A = (aij) por el número real k así:
Propiedades. 1) (k + m ) A = kA + mA
2) (km) A = k(mA)
3) k (A +B) = kA + kB
4) 1.A = A
Consecuencia: El conjunto de las matrices mxn con las operaciones suma y producto por escalares es un espacio vectorial.
III) Producto de matrices[
Se define el producto de la matriz A = (aij), de orden mxn, pr la matriz B = (bij), de orden nxp, como la matriz C= (cij) de orden mxp, obtenida así:
Observación: Para que dos matrices, A y B, se puedan multiplicar tiene que ocurrir que el número de columnas de A sea igual al de filas de B
Propiedades. 1) Asociativa, es decir A(BC) = (AB)C
2) (A +B ) C = AB +BC y A(B +C) = AB +AC
Notas:
1) El producto de matrices, en general, no es conmutativo.
2) El producto de matrices tiene divisores de cero, es decir, podemos encontrar dos matrices no nulas cuyo producto sea la matriz nula.
Ejemplo 5. 
4. Matrices cuadradas. Matrices regulares.
Si llamamos Mn al conjunto de las matrices cuadradas de orden n se verifica que con las operaciones + y ? , definidas anteriormente, es un anillo[1].
La unidad para el producto es la matriz identidad, I.
La simétrica para el producto, que llamaremos inversa, en general no existe.
Cálculo de la matriz inversa
Cuando una matriz sea regular se nos plantea el problema de cómo calcular su inversa. Hay varios métodos.
1º) Resolviendo el sistema que plantea (3).
El nº de incógnitas que tiene este sistema es n2. Se empleará para matrices de orden 2.
2º ) Mediante transformaciones elementales
Si la matiz A se somete a ciertos cambios hasta obtener I , sometiendo a I a los mismos cambios llegamos a la inversa.
Ejemplo 7. Vamos a calcular la inversa de A= 
Cómo debemos hacer a I las mismas transformaciones que a A, la siguiente colocación nos ahorrará tiempo y trabajo:
5. Forma matricial de un sistema de ecuaciones
Consideremos un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas. Teniendo en cuenta cómo se multiplican las matrices se puede escribir:
que se escribirá AX =B (2)
A = matriz de los coeficientes del sistema.
X = matriz columna de las incógnitas.
B = matriz columna de los términos independientes.
Nota: Si la matriz A es cuadrada, es decir m=n, y regular, el sistema resulta compatible determinado y X =A-1B. Lo estudiaremos con detalle en el tema siguiente.
Ejercicios resueltos
1. De una matriz se sabe que es idempotente (es decir, que se cumple A2 =A). Se define B= A-I, donde I es la matriz unidad nxn. Calcular ApBqAr, donde p,q y r son números enteros positivos.
Solución
2. Un almacén clasifica naranjas según calidades en Inferior, Media, Buena y Superior. Los precios por kg. de cada una de estas calidades son , respectivamente, 20, 30, 50 y 80 pts. En tres días consecutivos un agricultor llevó al almacen las cantidades, en kg., que a continuación se detallan:
Todos los datos que se piden a continuación deben obtenerse como resultado de operaciones con matrices.
a) ¿Cuánto cobró el primer día ?
b) ¿Cuánto recibió por el total recolectado de naranja de tipo medio y superior?
Solución:
(Buscar otra forma de expresarlo)
3. a)Calcular una matriz X que verifique la igualdad:
b)¿ Verifica también la matriz X la igualdad XA = B ?
Solución
Aunque se puede resolver planteando el sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas que determina la ecuación matricial, es más corto usando que A es inversible[4] y por lo tanto X = A-1B,
5). Supongamos que son tres los sectores de economía de un país: 1.agrario, 2.industrial, 3.servicios. Datos del año 1994:
1. Del sector agrario se conocen los siguientes datos estadísticos ( en miles de millones): 9 en productos del propio sector, 3 del sector 2, 1 del sector 3; siendo la demanda total en el sector 12.
2. El sector industrial empleó: 12 en materias del sector 1, 31 en los propios productos industriales, y 10 en servicios; la demanda final 47.
3. El sector de servicios demanda del 1 0, del 2 6 y del propio 5; siendo el total de la demanda en el sector 31.
Se piden:
1º. Construir la tabla input-output]
2º. Calcular la matriz de los coefiecientes técnicos (matriz tecnológica)
Solución
Ejercicios propuestos
1. Dadas las matrices A de orden 3×2, B de orden mxn y C de orden 4×5, se sabe que se pueden multiplicar: A.B.C . a) ¿De qué tipo es la matriz B?. b) ¿De qué tipo es la matriz A.B.C?.
2. La matriz:
nos muestra el número de alumnos en una comida distribuidos según los cursos y la clase de postre que han pedido cada uno. A todos los que han pedido el postre A, la casa les obsequia con 6 vales a canjear a la salida y 3 boletos para un sorteo. A todos los que han pedido el postre B les obsequia con 8 vales y 5 boletos. A los que han pedido el postre C les dan 12 vales y 10 boletos, mientras que a los que han pedido el postre D les dan 5 vales y 2 boletos.
Utilizando las matrices responde a las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántos vales recogen los alumnos de 2º?
b) ¿Cuántos boletos recogen los alumnos de Cou?
c) ¿Cuántos vales recogen entre todos?
d) Qué representa la suma de los elementos de las filas de P
3. Dada la matriz:
6. Siendo A y B matrices cuadradas del mismo orden, decimos que A es una raíz cuadrada de B
Regla de Sarrus
La regla de Sarrus: las diagonales azules son positivas y las diagonales rojas son negativas. La regla de Sarrus es un método fácil para memorizar y calcular el determinante de una matriz 3×3. Recibe su nombre del matemático francésPierre Frédéric Sarrus.
Considérese la matriz de 3×3:
Su determinante se puede calcular de la siguiente manera:
En primer lugar, repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma de manera que queden cinco columnas en fila. Después sumar los productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los productos de las diagonales ascendentes (en trazos). Esto resulta en:
Esta regla mnemotécnica es un caso especial de la fórmula de Leibniz y ha sido conocido que no puede aplicar para matrices mayores a de 3×3. Sin embargo, en octubre del año 2000, el matemático Gustavo Villalobos Hernández de la Universidad de Guadalajara, en México, encontró un método para calcular el determinante de una matriz de 4×4, sin reducir a determinantes de 3×3 con la matriz adjunta y el menor complementario. Su resultado es una extensión completa de la regla de Sarrus, ya que utiliza el mismo método, obteniendo directamente los 24 términos requeridos para su cálculo.
Ejemplo
Regla de Cramer
Es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 – 1752), La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas [
Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:
Ejemplo
Ejemplo de la resolución de un sistema simple de 2×2:
Dado
x e y pueden ser resueltos usando la regla de Cramer
Sistema de 3×3]
La regla para un sistema de 3×3, con una división de determinantes:
Que representadas en forma de matriz es:
Sean:
Conclusiones
Luego de haber realizado el trabajo, el estudiante infiere que los gráficos estadísticos permite a las personas no especializadas, interpretar mejor determinada información, haciéndola más entendible e interesante. Aun cuando presentan una cantidad limitada de datos y cifras aproximadas, permite reforzar los argumentos o conclusiones que una investigación presente. Proporciona una idea generalizada de los resultados.
En el mismo orden de ideas, el gráfico hace más atractiva la información; presentando en forma generalizada los números y proporciones que se obtienen como resultado de un estudio. El uso del gráfico varía según la cantidad de datos que muestre. A menor cantidad de datos, mayor será la utilidad del gráfico empleado, mejora la presentación de un grupo en un informe.
Por otro lado, las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) sirven como puntos de referencia por ejemplo, para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba.
Y finalmente, las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
Bibliografía
Echegaray y Otros. (2000). Matemáticas 2do. De Diversificado. Biblioteca del Pedagógico.
Figuera Y. (1999). Matemáticas 2do. Diversificado. Editorial Cobo. Caracas Venezuela
www.abaco.com.ve/lineal/LibroLineal2009_
www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/c_4.html
Autor:
Ysis A. Figueroa Zarraga
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