Muestreo de aceptación (página 2)

Figura 1. Esquema de un plan de muestreo de aceptación por atributos (N, n, c).

2. Cero inspección (aceptar o mandar el lote sin inspección). Esta alternativa es adecuada cuando el proceso que fabricó el lote ha demostrado cumplir holgadamente los niveles de calidad acordados entre el cliente y el proveedor (que seria el caso de procesos estables y con un buen Cpk, o procesos en los que se han hecho inspección previa). También se aplica cero inspección cuando la pérdida global causada por las unidades defectuosas es pequeña con el costo del muestreo.

   Se pensaría que la inspección al 100% aunque costosa es una buena estrategia para garantizar calidad, pero esto no es correcto, debido a que en la inspección al 100% se puede caer en la monotonía, en mayores errores de inspección y en ocasiones el producto de daña. Incluso hay casos en los que debido a los primeros dos problemas de la inspección al 100% se tiene como política que las unidades se inspeccionen doble vez (inspección 200%)

3. Inspección al 100%. Consiste en revisar todos los artículos del lote y quitar los que no cumplen con las características da calidad establecidas. Los que no cumplen podrían ser devueltos al proveedor, reprocesarlos o desecharlos. La inspección al 100% se utiliza en aquellos casos en que los productos son de alto riesgo y si pasan defectuosos puede causar gran perdida económica. También es útil cuando la capacidad del proceso fabricante del lote es inadecuada para cumplir las especificaciones.
4. Muestreo de aceptación (inspección por muestras). Esta opción es útil cuando se tiene una o varias muestra de las siguientes situaciones:

• Cuando la inspección se hace con pruebas destructivas (como pruebas de tensión y resistencia), es indispensable la inspección por muestras, de lo contrario todos los productos serían destruidos con las pruebas.
• Cuando el costo de la inspección al 100% es demasiado alto comparado con el costo de pasar unidades defectuosas.
• En los casos en los que la inspección al 100% no es técnicamente posible o se requiere mucho tiempo para llevarlo a cabo.
• Cuando el lote lo forman gran cantidad de artículos que habría que inspeccionar y la probabilidad de error en la inspección es suficientemente alta, de manera que la inspección al 100% podría dejar pasar más unidades defectuosas que un plan de muestreo.
• En situaciones donde históricamente el vendedor ha tenido excelentes niveles de calidad y se desea una reducción en la cantidad de inspección, pero la capacidad del proceso no es suficientemente buena como para no inspeccionar.
• Cuando es necesario asegurar la confiabilidad del producto, aunque la capacidad del proceso fabricante del lote sea satisfactoria.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MUESTREO DE ACEPTACIÓN

El muestreo de aceptación respecto a la inspección al 100% tiene las siguientes ventajas:

1. Tiene menor costo porque se inspecciona menos, a pesar de algunos costos adicionales generados por la planificación y administración de los planes de muestreo.
2. Requiere de menos personal en las actividades de inspección, simplificando con ello el trabajo de coordinación y reduciendo los costos.
3. El producto sufre menos daño al haber menos manipulación.
4. Es aplicable en pruebas destructivas.
5. A menudo reduce el error de inspección y la monotonía.
6. El rechazo de lotes completos por la existencia de artículos defectuosos proporciona una motivación al fabricante del lote para que mejore su calidad.

El muestreo de aceptación presenta algunas desventajas, como las siguientes:

1. Hay cierto riesgo de aceptar lotes malos y rechazar buenos, aunque en un plan de muestreo de aceptación están previstos y cuantificados estos riesgos.
2. Proporciona menos información acerca del nivel de calidad del producto o de su proceso de fabricación. Aunque bien utilizada, la información obtenida puede ser suficiente.
3. Se requiere más tiempo y conocimiento para planificar y documentar el muestreo, mientras la inspección al 100% no. Esto tal vez no sea una desventaja, ya que la planificación genera otros efectos positivos, como mayor conciencia de los niveles de calidad exigidos por el cliente.

Las ventajas que tiene el muestreo de aceptación sobre la inspección al 100%, lo hacen una herramienta importante ahí donde haya condiciones para aplicarlo. En este sentido, muchas empresas, sobre todo pequeñas y medianas, aplican inspección al 100% más por tradición y desconocimiento que por una razón fundamentada. Por lo que un paso importante sería lograr que se aplicara muestreo de aceptación en aquellos casos que así lo ameriten.

Por otro lado, no es raro escuchar de algunos expertos en calidad que el muestreo de aceptación ya no debe usarse, que es obsoleto, ya que no es un concepto valido. Al respecto nuestra posición es que: se debe hacer énfasis en mejorar la calidad y corregir de fondo las causas de la mala calidad y la baja competitividad aplicando herramientas estadísticas, diseño de experimentos, proyectos Seis Sigma, etcétera; pero mientras tanto no se tengan niveles óptimos de calidad, seguirá siendo necesario aplicar estrategias de contención como lo es el muestreo de aceptación. De aquí que en muchas empresas donde los niveles de calidad no son satisfactorios, el muestreo de aceptación debe verse como una herramienta temporal y útil.

TIPOS DE PLANES DE MUESTREO

Los planes de muestreo de aceptación son de dos tipos: por atributos y por variables.

En los planes por variables se toma una muestra aleatoria del lote y a cada unidad de la muestra de la mide una características de calidad de tipo continuo (longitud, peso, etc.).

Con las mediciones se calcula un estadístico, que generalmente está en función de la media, la desviación estándar muestral y las especificaciones, y dependiendo del valor de este estadístico al compararlo con un valor permisible, se aceptará o rechazará todo el lote. En la sección "Muestreo de aceptación por variables" de este trabajo se verá estos tipos de planes.

En los planes por atributos se extrae aleatoriamente una muestra de un lote y cada pieza de la muestra es clasificada de acuerdo a ciertos atributos como aceptable o defectuosa. Si el número de piezas que se encuentran defectuosas es menor o igual que un cierto número predefinido, entonces el lote es aceptado; en caso de que sea mayor, entonces el lote es rechazado. Algunos de los planes por atributos son: simple, doble y múltiple.

En general los planes más usuales son los de atributos, a pesar de que con los planes por variables se requieren menor tamaño de muestra para lograr los mismos niveles de seguridad. Esta aparente contradicción se debe a la tradición o a razones más validas, por ejemplo a que en los planes por atributos se pueden combinar varias características de calidad en un solo plan, mientras que en los planes por variables hay que diseñar un plan para cada característica de calidad. Además en ocasiones las mediciones en los planes por variables son más costosas. De esta manera se debe procurar que la decisión de que tipo de plan utilizar se fundamente en un análisis detallada de los costos que implica cada plan, así como la facilidad de llevarlos a cabo y no fundamentar la decisión en la inercia y la tradición ("aquí las cosa siempre se han hecho así").

Muestreo por atributos: simple, doble y múltiple

El plan de muestreo simple consiste en un tamaño de muestra n, y en un número de aceptación c, ambos fijados de antemano. Si en la muestra se encuentra c o menos unidades defectuosas entonces el lote es aceptado. Por el contrario, si hay más de c artículos defectuosos el lote es rechazado. Mas adelante veremos cómo diseñar este tipo de planes.

Por su parte, la idea del plan de muestreo doble es tomar una primera muestra de tamaño más pequeño que el plan simple para detectar los lotes muy buenos o los muy malos, y si en la primera muestra no se puede decidir si aceptar o rechazar porque la cantidad de unidades defectuosas ni es muy pequeña ni muy grande, entonces se toma una segunda muestra para decidir si aceptar o rechazar tomando en cuenta las unidades defectuosas encontradas en las dos muestras. De esta manera, un plan de muestreo doble está definido por

N = tamaño de lote

n1 = tamaño de la primera muestra

c1 = número de aceptación para la primera muestra

n2 = tamaño de la segunda muestra

c2 = número de aceptación para las dos muestra

Por ejemplo, con el plan N = 3000, n1 = 80, c1 = 1, n2 = 80, c2 = 4; del lote de 3000 piezas se toma una muestra inicial de 80 y con base a la información aportada por esta primera muestra se toma una de las tres decisiones siguientes:

1. Aceptar el lote, cuando la cantidad de unidades defectuosas sea menor o igual que 1 (c1).
2. Rechazar el lote, cuando el número de piezas defectuosas sea mayor que 4 (c2).
3. Tomar una segunda muestra de 80 unidades, cuando el número de piezas defectuosas detectadas en la primera muestra sea mayor que 1 (c1) pero no exceda de 4 (c2). Si al sumar la cantidad de unidades defectuosas en las dos muestras, esta no es mayor que 4 (c2), el lote es aceptado, pero si es mayor que 4 (c2), entonces el lote es rechazado

El plan de muestreo múltiple es una extensión del concepto del muestreo doble, aquí se toma una muestra inicial aún más pequeña que el plan simple, y si ya se tiene evidencia de muy buena o muy mala calidad se toma la decisión en consecuencia, si no, se toma una segunda muestra y se trata de decidir; si todavía no es posible se continúa con el proceso hasta tomar la decisión de aceptar o rechazar.

Con los planes de muestreo doble y múltiple por lo general se requieren menos inspección que con el simple, pero tienen mayor dificultad para administrarlos. En cuanto a seguridad pueden ser diseñados de forma que produzcan resultados equivalentes.

Esto es, los procedimientos pueden ser diseñados de manera que un lote con cierta calidad específica tenga exactamente la misma probabilidad de aceptación bajo los tres tipos de planes de muestreo. Por consiguiente, para la selección de un tipo de muestreo, se pueden considerar factores como la eficacia de la administración, el tipo de información obtenida por el plan, la cantidad promedio de información y el impacto que un plan de muestreo dado pueda tener sobre el flujo del proceso.

FORMACIÓN DEL LOTE Y SELECCIÓN DE LA MUESTRA

La formación de un lote puede influir en la eficacia del plan de muestreo de aceptación. A continuación se enuncia tres recomendaciones para formar los lotes, aunque una de ellas se debe ver como reserva.

2. Los lotes deben ser homogéneos. Es decir, las unidades que forman un lote en particular deben haber sido fabricadas bajo condiciones similares en cuanto a máquinas, operadores, materia prima, tiempo (fechas), etcétera. Cuando el lote se forma mezclando unidades de diferentes fuentes, el muestreo de aceptación no es tan efectivo como se debe. Además la existencia de lotes no homogéneos hace más difícil tomar acciones correctivas que eliminan la causa de los productos defectuosos. De esa manera, cuando se forme un pedido o embarque es mejor inspeccionar cada lote individual y evitar aplicar la inspección a todo el pedido después de que se han mezclado lotes.
3. Los lotes deben ser formados de manera que no compliquen el manejo de materiales del proveedor y del cliente. Todos los artículos de los lotes deben ser empaquetados y embarcados con un mínimo de riesgo y de forma que la selección de unidades de la muestra sea relativamente fácil.
4. Con las reservas del caso, otra recomendación tradicional es: los lotes deben ser tan grandes como sea posible. Esto debido al menor costo y mayor eficiencia de la inspección, ya que en los lotes grandes es necesario inspeccionar menos proporcionalmente que con los lotes pequeños, y además los planes resultantes a partir de tamaños de lote grande tienen mayor poder de detectar los lotes de mala calidad.

Creemos que en empresas con sistema de mejora de calidad esta recomendación se debe ver con mucha reserva, ya que esto que es deseable para el muestreo de aceptación no es recomendable para los inventarios en procesos y en producto terminado. Con lotes muy grandes se aumenta el costo de inventarios, el tiempo de ciclo y disminuye la capacidad de detectar con oportunidad las anomalías en calidad. De aquí que tal recomendación se debe aplicar en la medida que no se afecte sensiblemente los aspectos comentados.

Selección de la muestra

Todos los planes de muestreo de aceptación basan su funcionamiento en que las unidades seleccionadas para la inspección son representativas de todo el lote. De aquí que la selección de las unidades que forman la muestra debe hacerse aplicando un método de muestreo aleatorio. La técnica de muestreo es muy importante y la que a menudo se sugiere es el muestreo aleatorio simple, en la que se asigna un número a cada artículo del lote. Entonces, entre 1 y el número máximo de unidades en el lote se seleccionan aleatoriamente n números. Esta sucesión de números aleatorios determina cuáles artículos del lote constituyen la muestra.

Si los productos están seriados o tienen un código de números, éstos pueden ser utilizados para desarrollar el muestreo aleatorio. Otra opción es usar un número aleatorio de tres dígitos. Por ejemplo el número 482 puede ser la representación de la unidad localizada sobre un cuarto nivel, octava fila y segunda columna.

En circunstancias donde no se puede asignar un número a cada unidad, es posible emplear alguno de los otros métodos de muestreo que aseguren que el muestreo es aleatorio o representativo. Por ejemplo el inspector podría estratificar el lote, dividiéndolo en estratos o capas y cada estrato en cubos, como se muestra en la figura 2. Las unidades son tomadas dentro de cada cubo. Entre más formal sea esta división o estratificación, mayor representatividad tendrá la muestra.

Si por alguna razón esta división no es posible, entonces dentro de los males, el menor es que la estratificación se realice de manera imaginaria por el inspector, con lo que no necesariamente se obtendrá muestras aleatorias, pero al menos se tiene la seguridad de que las unidades son tomadas desde diferentes zonas del lote.

Si se utilizan métodos arbitrarios para seleccionar una muestra, las bases teóricas del muestreo de aceptación no se cumplen y por tanto las decisiones sobre el lote no tendrán un respaldo estadístico.

Figura 2. División de un lote por muestreo

ASPECTOS ESTADÍSTICOS: VARIABILIDAD Y CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN

Suponga que se tiene gran cantidad de productos y se sabe que el índice de producto defectuoso es el 6%. Si tomamos una muestra de tamaño de 100 con muy buena representatividad, entonces por lógica se esperaría que en cada muestro encontremos 6 productos defectivos. Sin embargo, la misma experiencia ha demostrado que se puede encontrar más o menos 6 defectivos, la razón es que los artículos extraídos en cada muestra depende del azar, por lo que la cantidad de artículos defectuoso es variable y es "difícil" que en las muestras vengan exactamente 6 defectuosos.

Siempre que el azar está de por medio, los resultados son variables y el objetivo de la probabilidad y la estadística es modelar (predecir) tal variabilidad, para que así el "azar" no sea capricho. Así en el caso particular que hemos planteado, quizá sea razonable pensar que la mayoría de las veces que repitamos el proceso de extraer una muestra de 100 artículos, la cantidad de piezas defectivas encontradas varíe alrededor de 6. Pero la pregunta es ¿qué tan cercano a 6? La respuesta la da la distribución de probabilidad binomial, que es la distribución que modela las más de las veces este tipo de situaciones que hemos planteado antes. Se puede encontrar la probabilidad de obtener cierta cantidad, x, de productos defectuosos en cada muestra de tamaño de 100, sabiendo que la población o lote de donde se extrae la muestra de manera aleatoria tiene cierto porcentaje de productos defectuosos aleatoriamente mezclados en el lote. A continuación se muestran estas probabilidades.

Aplicación de la distribución binomial (100, 0.06)

Existen muchos sistemas computacionales para calcular lo anterior. Por ejemplo, en Excel las probabilidades de la tabla anterior se calculan con la función DISTR.BINOM (x, n, p, 0). Donde x es la cantidad de defectuosos, n es el tamaño de muestra (n = 100, en el ejemplo), p es la proporción artículos defectuosos en el lote o población (p = 0.06 en el ejemplo), y 0 es un valor lógico.

De esta manera, a partir de la tabla se observa que si en la situación descrita se siguen extrayendo muestras de tamaño de 100 y en la producción se mantiene 6% de artículos defectuosos, entonces se espera que solo en 16.6% de las muestras se observen exactamente 6 artículos defectuosos. Lo anterior debe tomarse en cuenta siempre que se haga inspección por muestras: lo que se observa de una muestra no es idéntico lo que hay en la población o lote, ya que lo que se observa de una muestra a otra tiene cierta variabilidad. Por tanto, para tomar cualquier decisión sobre la población, lo primero que se debe hacer es conocer tal variabilidad. Así, forzosamente se tiene que aplicar algún modelo probabilístico. En muestreo de aceptación tal modelo probabilístico es la curva característica de operación.

Curva característica de operación (CO)

Suponga que en una fábrica se aplica a lotes de tamaño grande (es usual considerar que un lote es grande respecto al tamaño de la muestra, cuando la muestra es menos del 10% del lote, es decir, cuando 10n < N) el plan de muestreo simple por atributos definido por

n = 60, c =1

a los lotes de ciertos artículos antes de embarcarlos y enviarlos al cliente. De esta manera, de un lote de más de 600 piezas, se extrae una muestra aleatoria de n = 60, y si al inspeccionar estas unidades se encuentran cero o a lo más una defectuosa, entonces el lote es aceptado (embarcado y enviado al cliente). Pero si se encuentran dos artículos o más que son defectuosos, entonces el lote es rechazado (retenido para una inspección al 100%).

Bajo estas condiciones surgen algunas interrogantes: que tipo de calidad garantiza este plan y cuál es el nivel de calidad que no tolera; o de una manera más técnica: si un lote tiene cierta proporción de artículos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que el lote sea aceptado? Las respuestas a estas preguntas se obtiene a partir de la curva característica de operación (curva CO) para el citado plan.

La curva CO de un plan proporciona una caracterización del potencial desempeño del mismo, ya que con ésta se puede saber la probabilidad de aceptar o rechazar un lote que tiene determinada calidad. Por ejemplo, con la curva CO del plan n = 60, c =1 y tamaño de lote grande, se puede saber cual es la probabilidad de aceptar un lote que tenga 2% de sus artículos defectuosos. Además, como de un lote que se somete a inspección por muestreo se desconoce su proporción, p, de artículos defectuosos, entonces la curva CO tiene que proporcionar la probabilidad de aceptar lotes con cualquier valor de p. En la figura 3 se muestra la curva CO para el plan n = 60, c =1.

Figura 3 Curva CO para el plan de muestreo n = 60, c = 1 y tamaño de lote grande

Obtener los puntos sobre la curva CO es relativamente fácil. Supóngase que el lote proviene de un flujo continuo de productos que puede ser considerado infinito o que el lote tiene un tamaño N que es grande respecto al tamaño de muestra. Bajo esta condición, la distribución del número de artículos defectuosos, x, en la muestra aleatoria de tamaño n, es binomial con parámetros n y p; donde p es la proporción de artículos defectuosos en el lote. La probabilidad de observar exactamente x defectuosos en la muestra esta dada por la ecuación:

símbolo factorial (5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120, por ejemplo). A p se le desconoce la mayoría de las veces.

De esta manera la probabilidad de aceptación es justamente la probabilidad que x sea menor o igual que c. Por ejemplo, la probabilidad de aceptar un lote que tenga 2% de artículos defectuosos (p = 0.02) con el plan n = 60, c = 1, es igual a la probabilidad de que x sea menor o igual a 1; es decir, es igual a la probabilidad de obtener cero artículos defectuosos más la probabilidad de obtener uno.

P(0) + P(1).

Al calcular estas probabilidades con la distribución binomial con n = 60 y p = 0, se obtiene.

P(0) = 0.2976

P(1) = 0.3633

Por lo que la probabilidad de aceptar un lote que tenga 2% de artículos defectuosos con este plan es igual a 0.6619. Probabilidad que se podría haber apreciado más o menos directamente de la curva CO de la figura 3, ya que esta curva se obtiene calculando P(0) + P(1) con la formula de distribución

binomial, con n = 60, para diferentes valores de p. En la tabla 1 se aprecia la probabilidad de aceptación de lotes con diferentes valores de p; y con base en la tabla 1 se puede bosquejar la curva CO de la figura 3

Tabla 1 Probabilidad de aceptación del plan n = 60, c =1, para

Diferentes valores de p y suponiendo tamaño de lote grande.

Así, la curva CO de la figura 3 muestra el poder de discriminación del plan de muestreo n = 60, c =1. Por ejemplo, si los lotes tienen 5% de artículos defectuosos (p = 0.05), entonces la probabilidad de aceptarlos es aproximadamente 0.19. Esto significa que si 100 lotes con 5% de defectuosos, son sometidos a este plan de muestreo, entonces se esperaría aceptar a 19 y rechazar a 81.

En general, para obtener una curva CO para un plan con tamaño de muestra n y número de aceptación c, se calcula la probabilidad de aceptación, Pa, para diferentes valores de la proporción de defectuosos, p; es decir, se calcula.

Pa = P(0) + P(1)+ ….. +P(c); para diferentes valores de p.

Curva CO ideal

Si se quieren rechazar los lotes que tengan una proporción de artículos defectuosos mayor que 1% por ejemplo, y aceptar los que tengan 1% de defectuosos o menos. La curva CO ideal para esta situación se muestra en la figura 4, en la que si el nivel de calidad es 1% de defectivo o menos, se está satisfecho con tal cantidad y por tanto se acepta con probabilidad 1. Mientras que si la proporción de defectivos es mayor que 1% no se está satisfecho con esa calidad por lo que se desea aceptarla con probabilidad cero (es decir, rechazarla con probabilidad 1). Sin embargo, no existe ningún plan de muestreo que tenga esta curva ideal y que por tanto sea capaz de hacer una discriminación perfecta entre los lotes "buenos" y "malos". En teoría la curva CO ideal se puede alcanzar con inspección al 100%, siempre y cuando esta inspección estuviera libre de errores, lo que difícilmente ocurre.

Figura 4 Curva CO ideal para la calidad p = 0.01 (1%).

De acuerdo con lo anterior, lo más que se puede hacer en la práctica es diseñar planes de muestreo de aceptación que tengan alta probabilidad de aceptar lotes buenos, y una baja probabilidad de aceptar lotes malos. Por ejemplo, con el plan n = 60, c =1 (véase tabla 1 figura 3), se tiene una probabilidad de 0.879 de aceptar lotes con proporción de defectuosos de 1% y para porcentajes menores a este 1% se tiene mayor probabilidad de aceptación; pero lotes con 4% de defectivo todavía tienen probabilidad de aceptarse de 0.30. Por lo que si se quiere un plan más estricto que no permita pasar tan fácilmente lotes de ese tipo, entonces será necesario diseñar un plan con un tamaño de mayor muestra, como lo veremos enseguida.

Propiedades de las curvas CO

2. No existe un plan de muestreo que tenga una curva CO ideal, que pueda distinguir perfectamente los lotes buenos de los malos. De esta manera, todo plan de muestreo tiene riesgos de rechazar la buena calidad y aceptar la mala. Lo que sí existe son planes que tienen mayor probabilidad de aceptar la buena calidad y menos probabilidad de aceptar la mala.

   Plan n = 60, c = 1; probabilidad de aceptarlo 0.302

   Plan n =120, c = 2; probabilidad de aceptarlo 0.137

   Plan n =240, c = 4; probabilidad de aceptarlo 0.035

   De esta manera, el último plan sólo dejará pasar 3.5% de lotes con 4% de defectivo.

3. Al aumentar el tamaño de la muestra con el número de aceptación, se obtiene planes cuya curva CO se acerca más a la ideal, es decir, que tienen mayor potencia en distinguir la buena calidad de la mala. Esta propiedad queda en evidencia en la figura 5, en la que se muestran las curvas CO de tres planes de muestreo, nótese que entre mayor es n más rápido cae la curva, no obstante que el número de aceptación c se mantiene proporcional al tamaño de muestra. Entre más rápido caiga la curva, menos probabilidad se tiene de aceptar lotes de mala calidad. Por ejemplo, suponga que un lote con 4% de defectivo se considera como de mala calidad, entonces con las tres curvas de la figura 5 se tiene que:

   N = 300 n = 30 c = 0

   N = 500 n = 50 c = 0

   N = 800 n = 80 c = 0

   En la figura 6 se muestran las curvas CO para estos tres planes. De donde se puede ver que estos tres planes, obtenido con el mismo criterio (no estadísticos), proporcionan distintos niveles de protección para un mismo nivel de calidad en los lotes. Por ejemplo, si los lotes tienen una proporción de defectivo de 0.05 (5%), entonces la probabilidad de aceptarlo, Pa, en cada caso es el siguiente:

   N = 300, Pa = 0.214; N = 500, Pa = 0.0769; N = 800, Pa = 0.0165;

   Así, en el primer caso se aceptará 21.4% de los lotes, en el segundo 7.69% y en el último 1.65%. Por lo anterior, obtener el tamaño de muestra con tal criterio de porcentaje es inadecuado.

   

   Figura 5 Cuando n crece y c lo hace de manera proporcional, aumenta el poder de discriminación de un plan.

   

   Figura 6 Curvas CO para tamaño de muestra igual al 10% del lote y c = 0.

4. El criterio de tamaño de muestra igual a un porcentaje del tamaño de lote es un mal criterio. Es frecuente encontrar casos en los que el tamaño de la muestra se tome igual a cierto porcentaje del tamaño del lote y el número de aceptación c = 0. Si este porcentaje es 10%, por ejemplo, y se tiene lotes de tamaño N, igual a 300, 500 y 800, entonces al aplicar este criterio se obtiene que los planes de muestreo de aceptación para estos lotes son:
5. Al disminuir el número de aceptación la curva CO cae más rápido y con ello los planes se vuelven más estrictos. Esto se puede apreciar en las curvas CO para los planes n = 80 c = 0, n = 80 c = 1, n = 80 c = 2, que se muestra en la figura 7.

   

   Figura 7 El efecto de disminuir c en los planes de muestreo por atributos.

6. Los planes con c = 0 no siempre son lo más apropiados. En la figura 6 también se pueden apreciar curvas CO para varios planes con número de aceptación c = 0, y si la comparamos con las curvas CO de la figura 5, vemos que las de c = 0 son cóncavas hacia arriba; lo que causa que la probabilidad de aceptar disminuya más rápido aun para valores pequeños de la proporción de defectivo en el lote. Esto hace que sean planes extremadamente exigentes para el proveedor y en algunas circunstancias costosos para el cliente. Por ejemplo, si el nivel aceptable de calidad es 1% quiere decir que se aceptan con gusto los lotes que tengan una proporción de defectivo de 1% o menos; bajo estas condiciones si optamos por aplicar el plan n = 120 c = 2 (figura 5), entonces la probabilidad de aceptar lotes con 1% de defectivo es 0.88. Pero si se aplica el plan n = 30 c = 0, la probabilidad de aceptarlos es menor (Pa = 0.74); lo que llevaría a rechazar 26% de los lotes que tengan un nivel de calidad aceptable. De esta manera, diseñar planes con c = 0, que intuitivamente se pensaría que funcionan mejor, no siempre es recomendable.
7. La influencia del tamaño de lote es diseñar planes adecuados de muestreo, es menor de lo que continuamente se cree. Curvas CO tipo A y tipo B. Para obtener todas las curvas CO que hemos visto hasta aquí, se ha supuesto que las muestra se extraen de un lote grande o que el lote proviene de un flujo continuo de productos. A este tipo de curvas se les conocen como curvas CO tipo B, y la distribución apropiada para calcular las probabilidades de aceptación es binomial.

La curva CO de tipo A se utiliza en el cálculo de las probabilidades de aceptación par un lote aislado y de tamaño finito. En este caso, si el tamaño del lote es N, el de la muestra es n y el número de aceptación es c, entonces la distribución exacta del número de artículos defectuosos en la muestra es la distribución hipergeométrica.

En la figura 8 se muestran las curvas CO exactas tipo A para los planes de muestreo simple: tamaño de lote N = 200, n = 80 c = 1; N = 800, n = 80 c = 1; y la curva tipo B para tamaño de lote muy grande (infinito), N = Inf., n = 80 c = 1. De ahí se puede ver que la discrepancia entre las tres curvas es relativamente poca, por ejemplo para p = 0.04, se tienen las siguientes probabilidades de aceptación Pa = 0.1016, 0.1508 y 0.1653, respectivamente.

Figura 8 Curvas CO para el plan n = 80 y c = 1, pero con tamaño de lote diferente.

En particular, si el tamaño de lote es 10 veces mayor que el tamaño de muestra, la diferencia entre las curvas tipo A y tipo B es considerablemente pequeña. De aquí que en estos casos el tamaño de lote influye poco en la probabilidad de aceptar el lote.

Cuando el tamaño de lote no es 10 veces mayor que el tamaño de la muestra como en el caso del plan N = 200, n = 80, c = 1, entonces la probabilidad de aceptar el lote se ve más afectada por el tamaño del lote, pero generalmente es menor de lo que la intuición de las personas supone, como se puede ver en la figura 12.8.

ÍNDICES DE CALIDAD PARA LOS PLANES DE MUESTREO DE ACEPTACIÓN

En una relación cliente-proveedor en la que hay un plan de muestreo de aceptación de por medio, hay dos intereses: por un lado, el proveedor quiere que todos los lotes que cumplen con un nivel de calidad aceptable sean aceptados, y por el otro, el cliente desea que todos los lotes que no tienen un nivel de calidad aceptable sean rechazados.

Desafortunadamente ambos intereses no pueden ser satisfechos de manera simultanea por un plan de muestreo de aceptación y explicamos la razón de ello cuando vimos la curva CO ideal. Ante esta situación lo que se hace para atender parcialmente ambos intereses es diseñar planes de muestreo de aceptación que tenga alta probabilidad de aceptar lotes buenos, y una baja probabilidad de aceptar lotes malos. El punto de partida para diseñar planes de muestreo que logren lo anterior es definir índices de calidad para los planes de muestreo que establezcan en una relación cliente-proveedor específica, lo que se considerará como calidad aceptable, intermedia y no aceptable con sus correspondientes probabilidades de aceptación.

En este sentido, los principales índices de calidad con los que se diseñan y caracterizan los planes de muestreo, son los siguientes.

Nivel de calidad aceptable, NCA o AQL (aceptancing quality level). El NCA se define como el porcentaje máximo de unidades que no cumplen con la calidad especificada, que para propósitos de inspección por muestreo se puede considerar como satisfactorio o aceptable como un promedio para el proceso. El NCA también se lo conoce como nivel de calidad del productor y se expresa en porcentajes de unidades que no cumplen con la calidad especificada. Al ser el NCA el nivel de calidad que se considera satisfactorio, entonces la probabilidad de aceptar un lote que tenga esa calidad debe ser alta (0.95) (ver figura 9). A la probabilidad de aceptar lotes que tengan un nivel da calidad aceptable (NCA), se lo designa con 1 – α, donde α es por lo general un nϊmero pequeño (0.05, 0.10). Nótese que la probabilidad de aceptar lotes de calidad aceptable no es igual a 1 y por tanto hay un riesgo de no aceptar este tipo de lotes. A este riesgo que tiene probabilidad igual a α se le conoce como riesgo del productor.

Debido a este riesgo, el NCA debe ser un nivel de calidad de referencia para el proceso de producción del productor y de ninguna manera un valor objetivo.

Más aún, el productor debe trabajar para que su procese opere con un nivel mejor que el NCA.

Nivel de calidad límite, NCL o LQL (limiting quality level). Es el nivel de calidad que se considera como no satisfactorio y que los lotes que tengan este tipo de calidad deben ser rechazados casi siempre. El NCL, en algunos planes específicos (por ejemplo los "Planes de muestreo Dodge-Roming") se conoce como porcentaje defectivo tolerado del lote, PDTL o LTPD (lot tolerance percent defective). Al ser el NCL un nivel de calidad no satisfactorio, entonces la probabilidad de aceptarlo debe ser muy baja (generalmente de 0.05, 0.10); es usual que esta probabilidad se le designe con la letra β (vιase figura 9). Nótese que la probabilidad de aceptar lotes de calidad no satisfactorio (NCL) no es cero y por tanto hay un riesgo de no rechazar este tipo de lotes. A este riesgo que tiene probabilidad igual a β se lo conoce como riesgo del consumidor.

EJEMPLO 1

Suponga que un cliente plantea la necesidad de que su proveedor le envié sólo aquellos lotes que tengan un buen nivel da calidad. Para ello se decide establecer un plan simple de muestreo de aceptación. El tamaño de lote es grande y se establece con el porcentaje de unidades defectuosas que se considera aceptable o satisfactorio es del 0.4%, NCA = 0.4%, y se acuerda que este tipo de calidad adecuada tendrá probabilidad de aceptarse del 0.95, y por tanto un riesgo de no aceptarse de 0.05. El riesgo del productor es α = 0.05, ya que los lotes del productor que tengan 0.4% de defectuosos, a pesar de tener una calidad aceptable, tienen probabilidad de no aceptarse de 0.05.

También se acuerda que el nivel de calidad que se considerará como no aceptable o insatisfactorio es de 2.55%, NCL = 2.55%. Por ello los lotes que tengan este porcentaje de unidades defectuosas tendrán baja probabilidad de aceptarse (0.10); de esta manera el cliente (consumidor) está asumiendo un riesgo de β = 0.10 de aceptar lotes de calidad pobre (2.55% de defectuosos).

Bajo las condiciones anteriores, un plan de muestreo que cumple moderadamente bien los acuerdos del cliente y el proveedor es n = 205 c = 2, cuya curva CO se muestra en la figura 9. Es importante entender bien el funcionamiento de este plan: garantiza que los lotes que tengan un porcentaje de unidades defectuosas menor o igual a 0.4% se aceptarán con facilidad. A medida que este porcentaje vaya siendo mayor, cada vez será más difícil (menos probable) que los lotes correspondientes sean aceptados. En particular si un lote tiene un porcentaje del 2.55%, entonces tendrá probabilidad de ser aceptado de 0.10.

En consecuencia, este plan no garantiza que los lotes con un porcentaje de defectuosos mayor a 0.4% sean rechazados siempre.

Figura 9 Curva CO con NCA = 0.4%, α = 0.05, NCL = 2.55% y β = 0.10

Calidad promedio de salida, CPS o AOQ (average outgoing quality). Es la calidad promedio que se alcanza después de aplicar el proceso de inspección. Este concepto es otra forma de medir el efecto de un plan de muestreo sobre la calidad que se tendrá después de aplicar el plan.

Cuando un programa de muestreo de aceptación aplica muestreo 100% a los lotes rechazados, entonces la calidad de salida de esos lotes es perfecta (si no hay error de inspección), ya que todas las unidades defectuosas de esos lotes son sustituidas por artículos buenos. Mientras que en los lotes que son aceptados, su calidad de salida después de la inspección puede ser que mejore un poco, porque las unidades defectuosas encontradas n las muestras son reemplazadas por unidades buenas.

De esta manera, independientemente si el lote sea aceptado o rechazado, la calidad que llega al cliente tiende a ser mejor que la que tenían los lotes antes de ser inspeccionado.

Por lo anterior, una forma de caracterizar la bondad de un plan de muestreo de aceptación es calcular la calidad promedio de salida que genera. Este cálculo se hace de forma similar a como se obtiene la curva característica de operación, ya que para cada proporción de defectuosos que contiene el lote en la entrada se espera una proporción promedio de defectuosos de salida (CPS). Al graficar la proporción de entrada, p, contra la proporción promedio de defectuoso después de la inspección, CPS, se obtiene una curva para la calidad promedio de salida (curva CPS). En la figura 10 se muestra tal curva para el plan n = 60, c = 1.

Figura 10 Curva para la capacidad promedio de salida, CPS, del plan n = 60, c = 1.

La obtención de la curva CPS, cuando se tiene tamaño de lote grande, se hace calculando la proporción promedio de defectuosos de salida, CPS, con la siguiente fórmula:

CPS = p * Pa

Donde p es la proporción de defectuosos a la entrada del lote, y Pa la probabilidad de aceptación de tal lote que proporciona el plan de muestreo. De esta manera, si ya se tienen los cálculos para la curva CO, como en la tabla 1, entonces al multiplicar la columna p por la Pa se obtiene CPS para cada valor de p, como se aprecia en la tabla 2. A partir de esta tabla se puede ver que si los lotes entran con una proporción de defectuosos, de 0.04 (4%) por ejemplo, y se someten a inspección muchos lotes con esta calidad inicial, una parte será aceptada (aproximadamente 30.2%) y la otra rechazada (y por tanto inspeccionada al 100%); entonces después de aplicar el plan de muestreo una parte de esos lotes tendrán la proporción de defectuosos de cero y la otra parte su proporción será poco menor o igual a 0.04, y al promediar estas proporciones obtendremos un promedio de 0.01208 (1.2%).

Limite de la calidad promedio de salida, LCPS o AOQL (average outgoing quality limit). Es el valor máximo de la curva CPS que vimos antes, y representa el peor promedio de calidad que puede obtenerse del programa de inspección. Por ejemplo, para el plan n = 60, c = 1, y examinando la figura 10 y la tabla 2, se puede ver que el LCPS es aproximadamente 0.014; esto es, no importa que tan mala sea la proporción de defectuosos en los lotes que entran, la calidad promedio de salida nunca será peor que 1.4% de defectuosos en promedio. Desde luego que esto no significa que el plan no acepte lotes con calidad peor a 1.4%, más bien se está hablando de un límite promedio que es valido después de aplicar el plan de referencia a muchos lotes de un flujo continuo de producción.

Algunos planes de muestreo obtienen el tamaño de muestra a partir del LCPS deseado. Por ejemplo los de Dodge-Roming.

Inspección total promedio, ITP o ATI (average total inspection). Otro aspecto importante para evaluar un plan de muestreo de inspección es la cantidad total de inspección que requiere. Una vez aceptados los lotes, la cantidad de inspección es una muestra de tamaño n. Por el contrario, los lotes que son rechazados son sometidos al 100% de inspección y la cantidad de inspección por lote será de tamaño N. De esta manera, la cantidad promedio de inspección por lote varia entre el tamaño de muestra n y el tamaño de lote N. Si el lote es de calidad p y la probabilidad de aceptación del lote es Pa, entonces la inspección total promedio por lote es:

ITP = n + (1 – Pa)(N – n)

Por ejemplo, si se tiene un tamaño de lote de N = 5000, y se aplica el plan n = 60, c = 1, entonces para los lotes con una proporción de defectuosos de 0.04, se tiene que la Pa = 0.3022(tabla 2), y por tanto

ITP = 60 + (1 – 0.3022)(5000 – 60) = 3507.13

Tabla 2. Calidad promedio de salida, CPS, plan n = 60, c = 1.

Que es un número promedio de unidades inspeccionadas sobre muchos lotes que tienen una proporción de defectuosos de p = 0.04. Para cada proporción de defectuosos p, en el lote de entrada se puede calcular ITP, y de esa forma al aplicar la fórmula anterior se puede trazar una curva para la ITP, bastaría para ello saber el tamaño de lote y agregar la columna ITP en la tabla 2.

Tabla 3. Inspección total promedio, ITP, plan N = 5000, n = 60, c = 1.

Figura 11 Curva para la inspección total promedio, ITP, del plan N = 5000, n = 60, c = 1.

Xavier Armando Pillco Suárez

Estudiante de Ingenieria Industrial de Quinto Nivel

Guayaquil – Ecuador