Estudio del tráfico del nodo central de REDUNIV usando los métodos Whittle local y gráfico R/S (página 4)

Aunque el descubrimiento de las expresiones matemáticas que están en la base de la teoría del caos como ya se vio, dista mucho de ser reciente, es a partir de la década de los setenta cuando los matemáticos se interesaron profundamente en ellas. Es en este momento en que surge en la palestra pública el nombre del meteorólogo Edward Lorenz, cuando en 1963 comprobando las "conocidas ecuaciones de Lorenz" que esperaba que predijeran el tiempo en la atmósfera a través de un modelo computacional halla la sensibilidad de las mismas ante pequeñas variaciones en sus condiciones iniciales, dando paso así la figura extraña de un doble scroll que se conoce en la actualidad como atractor de Lorenz [36, 49].

Figura 23. Atractor de Lorenz en una vista plana [49].

La realidad objetiva es que: ni el "caos" es un tumulto incomprensible, ni su "teoría" es tal. A derecha no existe una teoría simple, poderosa y comprensible de los eventos caóticos, sino más bien un cuerpo de modelos teóricos diseminados en herramientas matemáticas y técnicas experimentales. Dicha teoría también se conoce como "estudio de fenómenos caóticos" o la "investigación de dinámicas caóticas [14, 36].

La propiedad más importante que revela la característica del caos es su sensibilidad a las condiciones iniciales. Si un cambio x se da en las condiciones iniciales de una serie caótica los correspondientes cambios en las iteraciones a través del sistema hasta el tiempo t crecerán exponencialmente con t. Esto es conocido bajo el nombre de efecto mariposa, producto una conferencia impartida por el propio Lorenz titulada: ¿Puede el batir de las alas de una mariposa en Brasil dar lugar a un tornado en Texas?" [14, 36].

Caos Determinístico

Comenzando por un principio definimos un sistema como aquello que está formado por más de un elemento o parte que se relacionan entre sí y el mismo se considera dinámico cuando su estado cambia con el tiempo, donde se incluye también las relaciones entre las partes. Se dice que estos sistemas son lineales cuando el resultado de la o las acciones de un elemento sobre otro o otros es directamente proporcional al estímulo, es decir a la acción propiamente dicha (la representación gráfica de este comportamiento sería una línea recta). En caso contrario se definen como sistemas que exhiben una dinámica no lineal.

Es bien conocido que un sistema no lineal por sencillo que este sea puede presentar una respuesta muy compleja. Cuando la respuesta de dicho sistema depende fuertemente de las condiciones iniciales y el mismo es poco predecible se considera que tiene un comportamiento caótico. Siendo de esta forma la no-linealidad una condición necesaria aunque no suficiente para definir un sistema como caótico.

No se deben confundir procesos caóticos con procesos aleatorios. Cuando estos son caóticos, si se conoce con una precisión infinita la condición inicial del sistema se puede saber el estado de este en cualquier instante. Resumiendo así, que son sistemas deterministas, aunque poco predecibles [49].

Hay muchos sistemas dinámicos no lineales, que generan efectos aleatorios, los cuales son conocidos como caos. La paradoja del caos, es que son el resultado de una dinámica que no está gobernada estrictamente por leyes de la probabilidad, sino que tienen una naturaleza determinística. Estos sistemas a nivel global tienen un comportamiento determinístico, y a nivel local tienen un comportamiento probabilístico [49].

Debido a la extrema sensibilidad que tienen a las condiciones iniciales, los mismos parecen que se comportan aleatoriamente, pero hay un orden debajo de ese comportamiento [49].

Atractores del Caos y Los Mapas de Retorno

Los métodos de la dinámica no lineal y la teoría del caos determinístico, proporcionan las herramientas para analizar y modelar los fenómenos caóticos mediante el empleo de descriptores cuantitativos.

Existen diferentes métodos para representar las características de un sistema dinámico. La representaciones más extendidas son el diagrama en el espacio o plano de fase cuando la señal analizada es continua, o bien el mapa de retorno cuando la señal es muestreada [36].

Los Atractores

En el espacio de fase representa la evolución del sistema en el transcurso del tiempo. Por ejemplo, si un sistema tiene dos variables (x , y), el estado del sistema en cada momento del tiempo puede describirse como un punto en el gráfico bidimensional (x, y). De este modo se llega a la definición de atractor que no es más de una representación de los estados de equilibrio del sistema en un sistema de coordenadas, conocido como espacio de fase [49].

Definir un atractor no es tarea fácil, ya que todavía hay desacuerdos sobre la definición exacta. Sin embargo, un atractor es un conjunto en las que todas las trayectorias cercanas convergen.

Al hablar de atractores no se hace referencia única y exclusivamente a los atractores caóticos, ya que antes de que apareciera el caos se conocían otros tipos de atractores.

El más simple es el atractor de punto fijo. El sistema que tenga un atractor de punto fijo tiene una tendencia a estabilizarse en un único punto. Un ejemplo común es el péndulo, que tiende al punto en el que el ángulo es nulo respecto a la vertical, debido al rozamiento con el aire. Los atractores puntuales que son los que representan a los estados de reposo y caracterizan a los sistemas estáticos. Sistemas estables en el que las variables nunca cambian [49].

El atractor de ciclo límite o atractor periódico es el segundo tipo de atractor más sencillo. Este tipo de atractor tiende a mantenerse en un periodo igual para siempre y las variables del sistema se repiten cada un periodo de tiempo fijo. Como ejemplo, se puede tomar un péndulo alimentado para contrarrestar la fuerza de rozamiento, por lo que oscilaría de lado a lado. Estos atractores se caracterizan por que sus órbitas nunca se cruzan. Esto se debe a que no hay ambigüedad en lo que va a ocurrir en el próximo estado, ya que hay reglas determinísticas que describen el sistema [49].

Figura 24. Atractor de círculo límite [49].

Por último se tiene el atractor caótico, que aparece en sistemas no lineales que tienen una gran sensibilidad a las condiciones. Un famoso ejemplo de estos atractores es el atractor de Lorenz, ya visto en la (figura 6). Por lo general los sistemas caóticos presentan atractores denominados como atractores extraños. Correspondientes a los sistemas caóticos determinísticos. En los que los valores de las variables nunca se repiten, pero su comportamiento tiene una forma auto similar.

Dentro de los atractores se define como extraño o caótico cuando el mismo exhibe dependencia sensible a las condiciones iniciales [49].

Otros atractores, podrían corresponder a los sistemas que están en un caos absoluto.

Los Mapas de Retorno

Analizando el otro método de representación de las características de un sistema dinámico, se define, los mapas de retorno de primer orden como: la representación de la señal Xn+1 respecto a la señal Xn. De forma análoga se pueden representar los mapas de retorno de orden K como la representación de la señal Xn+k respecto a la señal Xn [36].

El empleo de mapas de retorno de orden superior de 1 pone de manifiesto la aparición de periodicidades. En la práctica, estos mapas son usados para detectar atractores. Aunque es válido aclarar que la presencia de los mismo solo es evidente cuando se emplea un retardo idóneo (orden del mapa de retorno).

Características de los sistema caóticos.

Los sistemas caóticos determinísticos se distinguen por ser dinámicos, autoorganizados, abiertos y sensibles a las condiciones iniciales [36, 49].

• Autoorganización: Significa la existencia de múltiples elementos, que están enlazados por interrelaciones múltiples y recíprocas, por medio de las cuales ocurren cambios cuantitativos y cualitativos.

• Son abiertos porque hay dependencia a las influencias externas que provienen del medio ambiente. Las estructuras abiertas también se conocen como estructuras disipativas.

• La sensibilidad a las condiciones iniciales equivale a que pequeños cambios en las condiciones iniciales originan cambios drásticos en el comportamiento de largo plazo del sistema.

Los sistemas caóticos no tienen atractores puntuales o de circulo límite. Estos exhiben un comportamiento que se va repitiendo cada cierto tiempo, pero que nunca vuelve a pasar por los mismos puntos (atractores extraños), o sea:

• Ningún punto es visitado dos veces en la evolución del sistema

• El sistema es atraído hacia un comportamiento general que marca una tendencia o estados que se encuentran en ciertas líneas imaginarias.

Caos y Fractales

En la figura del atractor de Lorenz, se puede apreciar como en cada iteración del proceso se produce una curva que es similar a los anteriores. Esto puede interpretarse como que una iteración es parecida al total.

Este aspecto es el que conecta a la Teoría del Caos, con la Geometría Fractal, ya que ésta es la que trata de describir las características de los cuerpos que son autosimilares o sea, que los sistemas caóticos determinísticos producen estructuras o señales que son fractales en el espacio real o en el tiempo [36 49].

Detección del caos

Los métodos de detección del caos pueden agruparse en dos grupos. Aquellos que utilizan la noción del movimiento browniano como base de su construcción ejemplo de estos son: el análisis R/S, el estadístico BDS y el análisis espectral. El otro grupo corresponde a aquellos métodos que parten directamente de la noción del caos, como son: el exponente Lyapunov y la Dimensión de la Correlación [14].

Como ya se hizo alusión a los métodos R/S Plot y el análisis sobre la regresión espectral en el epígrafe 1.8 cuando se habla de hallar la autosimilaridad de un proceso, a continuación se explican los otros tres métodos.

Dimensión de la Correlación y estadístico BSD

La dimensión de correlación D es uno de los parámetros utilizados para describir atractores.

Básicamente proporciona una métrica de la complejidad del sistema en relación al número de grados de libertad del mismo. Dado que D converge a un valor finito en el caso de sistemas determinísticos y que no converge en el caso de sistemas estocásticos, puede utilizarse para evaluar la naturaleza de un sistema [14, 34, 49].

Para determinar D. Se define un vector que representa un punto en el espacio de fase. En nuestro caso donde x puede ser una muestra de tensión o intensidad, siendo ?x la diferencia entre dos muestras sucesivas. Es posible definir entonces un vector que representa un estado instantáneo del espacio de fase del sistema. Si se toman N+1 muestras de la señal a frecuencia de muestreo constante, es posible definir con i=1,2,.., N, donde cada índice representa un estado instantáneo del sistema. Una vez que se ha construido el espacio de fase, es posible obtener la correlación como una función de la distancia R entre dos puntos de dicho espacio [14, 34, 49].

(Ec. 12.1)

(Ec. 12.2)

Donde e>0,

C(R) es una medida de la probabilidad de que dos puntos cualesquiera y de la trayectoria se encuentran separados una distancia contenida en el intervalo [0,R]. Se verifica que C(R) está directamente relacionado con la dimensión de correlación y por tanto, con el tipo de atractor descrito. La relación está definida por la ecuación [14, 34, 49].

(Ec. 12.3)

Donde D es la dimensión de la correlación. En la práctica la dimensión de la correlación se obtiene utilizando la expresión siguiente [14]:

(Ec. 12.4)

Dado que C(R) es proporcional a una potencia de R para los valores pequeños es posible obtener D como la derivada de la curva (logC(R), logR) en el origen.

Por otra parte se define Z como la función de HeaviSide que toma valores 0 ó 1 según se muestra a continuación [14]:

(Ec. 12.5)

Por lo que tomando como hipótesis nula que la serie es independiente e idénticamente distribuida (i.i.d.) [14, 34, 49], se debe cumplir que:

cuando T?8 (Ec. 12.6)

Se puede demostrar que si Cm(e)=C1(e)m entonces sigue una distribución normal con media 0 y una varianza que se comporta como [14]:

(Ec. 12.7)

Donde C=C(e) se puede estimar como C1(e) y k=k(e) puede ser estimado a través de la siguiente expresión [14]:

(Ec. 12.8)

Donde

(Ec. 12.9)

Y

(Ec. 12.10)

Indica el número de m-historias que puede haber para T observaciones.

Por tanto el estadístico BDS es [14]:

(Ec. 12.11)

Que debe seguir una distribución normal de media 0 y desviación típica 1, bajo la hipótesis nula de (i.i.d.) De esta forma nos referimos al estadígrafo Wm(e) como BDS [14].

Exponente Lyapunov

Como es sabido la dependencia de las condiciones iniciales es una de las principales características de los procesos caóticos ya que en este tipo de sistemas las trayectorias cercanas se alejan exponencialmente [14].

Los exponentes de Lyapunov miden el crecimiento medio de los errores infinitesimales en un valor inicial después de n iteraciones, por lo que se pueden ver como, una medida del grado de sensibilidad a las condiciones iniciales [14, 34].

Matemáticamente la afirmación anterior se vería de la siguiente manera: si se comete un error inicial ?0, dicho error después de n iteraciones se convertirá en ?n. Donde la amplificación del error estará dada por [14, 34]:

(Ec. 12.12)

De forma tal que si se toman los logaritmos y se calcula el crecimiento medio de dicho error se obtiene la expresión:

De esta forma, cuando se hace tender al infinito el número de iteraciones y el error inicial es infinitamente pequeño, se obtiene el verdadero exponente de Lyapunov de la siguiente forma [14, 34]:

(Ec. 12.13)

De forma tal que el error inicial se multiplicará por e? en cada iteración. De este modo un exponente positivo implicaría que las órbitas cercanas se alejan y análogamente el opuesto sería que las órbitas lejanas se acercan. Siguiendo un hilo lógico se puede deducir que cualquier sistema caótico tiene al menos un exponente ? positivo [14, 34].

Por generalidad tenemos que cualquier sistema n dimensional tiene al menos n exponentes de Lyapunov, lo cual da la posibilidad de calcular dichos exponentes para sistemas dinámicos cuyas funciones son conocidas [14].

OPINIÓN DEL USUARIO DEL TRABAJO DE DIPLOMA

El Trabajo de Diploma, titulado: Estudio del Tráfico del Nodo Central de Reduniv Usando los Métodos Whittle Local y Gráfico R/S, fue realizado en el Nodo Central de la Red Nacional Universitaria del Ministerio de Educación Superior. Se considera que, en correspondencia con los objetivos trazados, el trabajo realizado satisface totalmente.

Los resultados de este Trabajo de Diploma le reportan a esta entidad los beneficios siguientes:

• 1. Caracterización del tráfico del nodo nacional de REDUNIV empleando los métodos de Gráfico R/S y el Método de Whittle.

Como resultado de la implantación de este trabajo se logra un resultado imposible de contratar en nuestro país.

Y para que así conste, se firma la presente a los 5 días del mes de junio del año 2008.

CUÑO

Fecha: 4 de junio del 2008

OPINIÓN DEL TUTOR DEL TRABAJO DE DIPLOMA

Título: Estudio del Tráfico del Nodo Central de Reduniv Usando los Métodos Whittle Local y Gráfico R/S

Autor: Oscar Méndez González

El tema seleccionado se destaca por su importancia para el desarrollo y la operación de la Red Nacional de Datos del Ministerio de Educación Superior (REDUNIV). Esta red es una de las mayores de nuestro país con más de 16 000 máquinas y 23 redes componentes y necesita con urgencia el desarrollo de este tipo de trabajos para optimizar su trabajo.

En el desarrollo del trabajo de tesis el estudiante mostró una excelente independencia, dedicación y capacidad. Gracias a esto en un período de tiempo relativamente corto profundizó en diversos temas de estadística, telecomunicaciones y redes de datos asociados al trabajo cotidiano de REDUNIV con vistas a insertar un equipo de medición de tráfico en el nodo central de la red sin afectar el desempeño de la misma y hacer un procesamiento estadístico posterior a las muestras de tráfico tomadas.

Los resultados del trabajo son excelentes y novedosos en el país. Los objetivos del trabajo fueron cumplidos.

El trabajo es de gran trascendencia para el ámbito de las redes cubanas y en la práctica establece un precedente en nuestro medio.

Por todo lo anteriormente expresado, considero que el estudiante está apto para ejercer como Ingeniero Informático; y propongo que se le otorgue al Trabajo de Diploma la calificación 5 – Excelente. Considerando que deben ser publicados los resultados en eventos y actividades científicas.

Fecha: 4 de junio del 2008

Agradecimientos

.A Yasser y a José Carlos por su interés y ayuda incondicional.

Presmanes y Alain por ser los tutores de este proyecto y la dedicación mostrada,

Villa por la ayuda brindada.

Karel Pérez Alejo por la bibliografía y las explicaciones.

A Sergio y al argentino por soportarme.

A la familia por su preocupación

Y a mis padres por todo.

Gracias a todos aquellos que de una forma u otra pusieron

su granito de arena para que este proyecto se realizara.

A mis padres…

Autor:

Oscar Méndez González

Tutores:

Dr. Jorge Luis López Presmanes

Ministerio de Educación Superior

Dr. Roberto Sepúlveda Lima

Facultad Ingeniería Informática

Consultante:

Ms. Alain Lamadrid Vallina

Ministerio de Educación Superior

Ciudad de La Habana, Cuba

Junio, 2008