Una metodología para el análisis de la solución óptima de un modelo de Programación Lineal

Enviado por cardoza

RESUMEN

La aplicación de métodos y procedimientos matemáticos y de computo a modelos de problemas relacionados con la práctica profesional para la toma de decisiones constituye uno de los principales objetivos del proceso de enseñanza aprendizaje en la disciplina Matemática para las carreras de Agronomía y Forestal.

En el trabajo se expone una metodología elaborada para el análisis y la interpretación de los resultados obtenidos en un modelo de programación lineal. La experiencia alcanzada en la utilización de la misma revela su efectividad en el proceso pedagógico de la disciplina Matemática para las carreras mencionadas.

Palabras Claves: Análisis e interpretación de resultados, modelos de programación lineal.

INTRODUCCIÓN.

La programación lineal es una técnica ampliamente conocida dentro de la programación matemática. Un problema de programación lineal es un problema que comprende, por una parte las condiciones o restricciones que limitan el campo de decisiones, o sea la totalidad de decisiones posibles, y por otra parte un objetivo que está concebido de optimización para las decisiones posibles.

La programación lineal brinda al decisor una pauta o estructura en la cual puede realizar su trabajo. No siempre la solución óptima desde el punto de vista matemático y económico nos brinda un programa ecológicamente viable o sostenible, atendiendo a nuevas condiciones que puedan aparecer en el proceso productivo.

Todo esto aconseja que el modelo de programación lineal dote al decisor de un cuadro de alternativas que dentro o desviándose del óptimo matemático ofrecido, enriquezcan su decisión final con otras consideraciones no incluidas en el modelo.

A la programación lineal han sido dedicados numerosos libros que versan sobre aspectos matemáticos de los modelos y la utilización de diversos algoritmos de solución.

Sin embargo dentro de la bibliografía a nuestra disposición, se observa, una ausencia de aspectos metodológicos relativos al análisis y discusión de la solución óptima, cuestión importante en el proceso de aplicación de los resultados obtenidos por un modelo de programación lineal.

ELEMENTOS TEÓRICOS QUE FACILITAN LA COMPRENSIÓN DE LA METODOLOGÍA PROPUESTA.

En los problemas de programación lineal, un elemento esencial está dado en su contenido económico, este puede representarse de la manera siguiente:

Se tienen algunos recursos con el concurso de los cuales se requiere satisfacer algunas necesidades, y están dados los volúmenes de recursos y las magnitudes de las necesidades.
La utilización de los recursos y la satisfacción de las necesidades, se caracteriza por la medida en que insumen los recursos y en que volumen satisfacen las necesidades.
Partiendo de los datos sobre recursos, necesidades y formas alternativas posibles, se necesita conformar un plan o programa de utilización de los recursos y de satisfacción de las necesidades de manera óptima.
En el análisis consideraremos añadidas las variables de holgura.
Las variables esenciales representan unidades de productos.
Los parámetros b representan el los recursos, su valor expresa el nivel de las demandas o disponibilidades.
Las variables de holgura asumen la dimensión de las restricciones, una variable de holgura asociada a una restricción con sentido:
- menor o igual ( £ ) representa capacidad no utilizada o capacidad ociosa.
- mayor o igual que ( ³ ) representa la capacidad utilizada por encima de la mínima exigida.

POPUESTA METODOLÓGICA PARA EL ANÁLSIS DE LA SOLUCIÓN ÓPTIMA.

Para realiza el análisis de la solución óptima proponemos seguir el orden siguiente:

PASO I. Conclusiones generales.

En este paso se analiza lo que la solución óptima nos propone como programa o plan, es decir las cantidades máximas o mínimas que pueden alcanzarse en el marco de las condiciones iniciales del modelo.

En ella obtenemos la solución óptima desde el punto de vista matemático.

Si se utiliza el asistente matemático QMWIN, el análisis anterior puede efectuarse a través de las ventanas: lista de soluciones, solución gráfica ( si el modelo es de dos variables ), iteración óptima (a esta se puede acceder por las ventanas iteraciones o por la ventana sep, que presenta todos los pasos del método simples hasta obtener la iteración óptima). En cada una de las opciones aparecen los resultados propuestos directamente.

PASO II. Realizar el análisis cuantitativo:

Se analizará el nivel de utilización de los recursos, las capacidades, las demandas, a partir de los cambios unitarios.

Este análisis se realiza siempre en la iteración óptima. Para ello se debe analizar en todas las variables que resultaron no básicas en la iteración óptima, la incidencia que estas tienen sobre todas las variables que resultaron básicas a partir de los cambios unitarios, y siguiendo las orientaciones dadas en la Tabla I (ver Anexo I), siempre en sentido vertical.

PASO III. Análisis dimensional :

Se analiza entre varías opciones cual es la más ventajosa, o si una alternativa no considerada es o no conveniente. Ello se realiza en la iteración óptima, para lo cual en las variables básicas afectadas el análisis se hace horizontal, a partir de las variables no básicas que la afecten, teniendo en cuenta el análisis dimensional de cada elemento Tabla II (ver Anexo II).

CONSIDERACIONES FINALES.

La propuesta realizada concreta una metodología para la realización del análisis de la solución óptima de un modelo de programación lineal, elemento determinante en la calidad del proceso enseñanza aprendizaje de la disciplina Matemática para la formación de los ingenieros Agrónomos y Forestales.

La metodología elaborada aprovecha el hecho de que en la iteración óptima dada por el método Simplex se dispone de suficiente información para realizar una efectiva evaluación de los cambios admisibles.

La implementación de la metodología elaborada en las carreras mencionadas nos ha permitido apreciar su contribución al logro de los objetivos en la formación de los profesionales

BIBLIOGRAFÍA:

Felipe Pilar y colectivo de autores. Programación Matemática I . Editorial Félix Varela. La Habana, 2001.
Morales Pita Antonio. Programación Lineal. Metodología de aplicaciones. Editorial Ciencias sociales. La Habana, 1984
Gallagher y Watson. Métodos cuantitativos para la toma de decisiones en administración. Editorial Mcgraw-Hill. Mexico. 1982.

Anexo I

Tabla de los cambios unitarios
A PARTIR DE	UN PRODUCTO			UN RECURSO: asociado a una restricción con signo de £			UN PRODUCTO: asociado a una restricción con signo de ³
SITUACIÓN DE PARTIDA	Por cada unidad no producida del producto x j			Por cada unidad adicional disponible de recurso X i .			Por cada unidad menos que se exija utilizar de la capacidad mínima
VALORAR	El componente P i j tiene signo			El componente P i j tiene signo			El componente P i j tiene signo
	+		–	+	–		+	–
UN PRODUCTO X p	Aumenta en Pi j unidades la producción de Xp	Disminuye en Pi j unidades la producción de Xp		Aumenta en Pi j unidades la producción de Xp		Disminuye en Pi j unidades la producción de Xp	Aumenta en Pi j unidades la producción de Xp	Disminuye en Pi j unidades la producción de Xp
UN RECURSO X r	Aumenta en Pi j unidades la capacidad de X r	Disminuye en Pi j unidades la capacidad de X r		Aumenta en Pi j unidades la capacidad de X r		Disminuye en Pi j unidades la capacidad de X r	Aumenta en Pi j unidades la capacidad de X r	Disminuye en Pi j unidades la capacidad de X r
VALOR ÖPTIMO	Z j – C j representa en Z un efecto favorable			Z j – C j representa en Z un efecto favorable			Z j – C j representa en Z un efecto favorable
SITUACIÓN	Por cada unidad producida del producto x j			Por cada unidad menos de capacidad disponible de recurso X i .			Por cada unidad más que se exija utilizar de la capacidad mínima
SE TENDRAN LOS EFECTOS CONTRARIOS.

Tabla I. Tabla de los cambios unitarios

Anexo II

TABLA DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL DE LOS ELEMENTOS.
	X j es esencial y representa un producto.	X j variable de holgura y representa un recurso.
X p representa un producto.	P i j = unidades de X p / unidades de producto X j	P i j = unidades de X p / unidades de recurso X j
X r representa un recurso	P i j = unidades de X r / unidades de producto X j	P i j = unidades de X p / unidades de recurso X j
Z j – C j	Unidades monetarias / unidades de producto X j	Unidades monetarias / unidades de recurso X j

Tabla2. Tabla del análisis dimensional de los elementos.

Autor:

Lic. Rafael Cardoza Gámez

M.Sc. Pedro Osmay Laffita Azpiazú

Dr.C. Eloy Guerrero Seide

M.Sc. Santiago Vera Hechavarría

Institución: Facultad Agroforestal. Centro Universitario de Guantánamo, Cuba.

El autor es graduado de licenciatura en Educación en la Especialidad de Matemática. Cursó sus estudios universitarios en el Instituto Superior Pedagógico de Guantánamo, Cuba. Actualmente es profesor de matemáticas de centro Universitario de Guantánamo, Cuba. Tiene más de 20 años de experiencia en el sector educacional.