Evaluación económica de proyectos con riesgo e incertidumbre

Introducción

Los modelos tradicionales para la evaluación de proyectos y alternativas de inversión, usan reglas tales como período de recuperación de la inversión y técnicas de flujos de caja descontados, conocidas como Valor Actual Neto (VAN). Estos métodos, asumen que el proyecto reunirá el flujo de caja esperado sin la intervención de la gerencia en el proceso. Toda la incertidumbre es mantenida en la tasa de descuento, la cual es ajustada de acuerdo al riesgo. Sin embargo, las empresas no son inversionistas pasivos. La gerencia tiene la flexibilidad de reasignar recursos, vender el activo, invertir después, esperar y ver cómo se comporta la competencia e inclusive puede abandonar el proyecto. Dicha flexibilidad, no es tomada en cuenta en los modelos tradicionales, lo cual crea análisis erróneos y costo de oportunidad.

Para incluir el efecto riesgo, los métodos basados en mediciones estadísticas son los que logran superar en mejor forma al criterio subjetivo, que a pesar de ser uno de los más utilizados, se basa en consideraciones de carácter informal de quien toma la decisión, sin incorporar específicamente el riesgo del proyecto. La falta de estimaciones del comportamiento futuro se puede asociar normalmente a una distribución de probabilidad de los flujos de caja generados por la inversión.

Por otra parte, la esencia del asunto de la incertidumbre es que algunas de las variables que afectan a un proyecto de inversión y su resultado final no son parámetros controlados por el sujeto que formula y evalúa el proyecto, por tanto, es necesario conocer las variables que son difíciles de controlar y proceder a estimar un set de posibles resultados y llegar a determinar los criterios de selección.

Es por ello que el objetivo del presente informe es dar a conocer aspectos relacionados a la interpretación de certidumbre, riesgo e incertidumbre, elementos importantes para la toma de decisiones bajo riesgo, muestras aleatorias, valor esperado, desviación estándar, muestreo Montecarlo y análisis mediante simulación; determinando así cuales son las probabilidades de obtener rentabilidad negativa o viceversa, si los resultados probables de los rendimientos se encuentran dispersos o no al resultado probable medio y la búsqueda de proyectos con menor probabilidad de riesgo.

Interpretación de Certidumbre, Riesgo e Incertidumbre

Todas las cosas en el mundo varían, unas con respecto a otras, a través del tiempo y con entornos diferentes. Se garantizan que ocurrirán variaciones en la ingeniería económica debido a su énfasis en la toma de decisiones para el futuro. Excepto para el uso del análisis del punto de equilibrio, el análisis de sensibilidad y una introducción muy breve a los valores esperados, prácticamente todas las estimaciones aquí desarrolladas han sido ciertas; es decir; es decir; no se han ingresado variaciones en los cálculos de VP, VA, TR, o de cualquier relación utilizada.

Certidumbre

La certidumbre es la condición en que los individuos son plenamente informados sobre un problema, las soluciones alternativas son obvias, y son claros los posibles resultados de cada decisión. En condiciones de certidumbre, la gente puede al menos prever (si no es que controlar) los hechos y sus resultados. Esta condición significa el debido conocimiento y clara definición tanto del problema como de las soluciones alternativas. Una vez que un individuo identifica soluciones alternativas y sus resultados esperados, la toma de la decisión es relativamente fácil.

El responsable de tomar la decisión sencillamente elige la solución con el mejor resultado potencial. Por ejemplo, de un agente de compras de una imprenta se espera que ordene papel de calidad estándar al proveedor que ofrezca el menor precio y mejor servicio. Por supuesto que generalmente el proceso de toma de decisiones no es tan simple. Un problema puede tener muchas posibles soluciones, y calcular los resultados esperados de todas ellas puede ser extremadamente lento y costoso.

La certidumbre, por supuesto, no esta presente ahora en el mundo real y con seguridad no lo estará en el futuro. Se pueden observar resultados con un grado de certidumbre, pero incluso ello depende de la exactitud y precisión de la escala o del instrumento de medición.

El hecho de permitir que un parámetro de estudio de ingeniera económica varíe implica que se introducen riesgo, y posiblemente incertidumbre.

Riesgo

El riesgo esta presente cuando se anticipa que habrá dos o mas valores observables para un parámetro y es posible estimar la probabilidad de que cada valor ocurra.

El riesgo es la condición en la que los individuos pueden definir un problema, especificar la probabilidad de ciertos hechos, identificar soluciones alternativas y enunciar la probabilidad de que cada solución dé los resultados deseados. El riesgo suele significar que el problema y las soluciones alternativas ocupan algún punto intermedio entre los extremos representados por la plena información y definición y el carácter inusual y ambiguo.

Tipos de Riesgos:

• Riesgo durante la fase de construcción: Etapa de Operación: Experiencia del equipo ejecutivo, la tecnología, el rendimiento esperado del equipo.

• Riesgo del mercado: Cambios en la demanda estimada y la factibilidad de pago de los compradores

• Riesgo Económico: Factibilidad que se cuente con financiamiento a corto plazo, así como, cambios en las estructuras de las tasas de interés.

Desde el punto de vista financiero los riesgos se definen como la probabilidad de que el rendimiento que se obtenga se desvíe del esperado; para lo cual se utilizan las siguientes medidas estadísticas:

• Distribución de probabilidad

• Valor esperado

• Desviación Estándar

Incertidumbre

La incertidumbre es la condición en que un individuo no dispone de la información necesaria para asignar probabilidades a los resultados de las soluciones alternativas. De hecho, quizá el individuo esté imposibilitado incluso para definir el problema, y mucho más para identificar soluciones alternativas y posibles resultados. La incertidumbre suele indicar que el problema y las soluciones alternativas son tanto ambiguos como extremadamente inusuales.

La toma de decisiones bajo incertidumbre significa que hay dos o mas valores observables, aunque las probabilidades de ocurrencia no puedan estimarse o nadie esta dispuesto a asignar las posibilidades. En el análisis de incertidumbre con frecuencia se hace referencia a los valores observables.

Antes de iniciar un análisis de ingeniería económica, es importante decidir si el análisis se realizara con certidumbre para todos los parámetros o se introducirá el riesgo.

Toma de decisiones bajo certidumbre

Se efectúan e ingresan estimaciones deterministas en las expresiones de las medidas de valor (VP, VA, VF, TR, B/C) y la toma de decisiones se basa en los resultados. Los valores estimados pueden considerarse como los que ocurrirán mas probablemente con toda la posibilidad ubicada en la estimación de un solo valor.

En la decisión bajo certidumbre en algunas circunstancias, todos los hechos relativos al estado de la naturaleza se conocen. El proceso de decisión en estas circunstancias se convierte simplemente en la selección de una acción de entre las disponibles, que resulte óptima para el estado conocido de la naturaleza.

El decisor puede utilizar diversas técnicas: La programación lineal, el método de transporte, el de asignación y la programación dinámica.

Toma de decisiones bajo riesgo

Ahora formalmente se toma en cuenta el elemento de posibilidad. Sin embargo es difícil tomar una decisión clara porque el análisis intenta considerar la variación. Se permitirá que varíen uno o mas parámetros en una alternativa.

En la decisión en condiciones de riesgo, cuando no se conoce el estado de la naturaleza, pro existen evidencias objetivas o empíricas que permiten al decisor asignar probabilidades a los diversos estados posibles, el proceso para llegar a la decisión se designa en condiciones de riesgo. Las técnicas empleadas para este estudio son: La simulación, la cadena de Markov y el PERT.

En lo fundamental, hay dos formas de considerar el riesgo en un análisis:

• Análisis del valor esperado. Utilice las posibilidades y las estimaciones de parámetro para calcular los valores esperados, E(parámetro) mediante formulas. El análisis arroja series de E(flujo de efectivo) y el resultado final es el valor esperado de una medida de valor como, E(VP), E (VA), E (VF), E (TR), E(B/C). Para elegir la alternativa, seleccione el valor esperado más favorable de la medida de valor.

• Análisis mediante simulación. Utilice las posibilidades y las estimaciones de parámetro, para generar cálculos repetidos de la relación de la medida de valor, con el muestreo aleatorio de una grafica para cada parámetro variable. Cuando se completa una muestra representativa y aleatoria, se toma una alternativa tomando una tabla o grafica de resultados. En general, las graficas forman parte importante de la toma de decisiones mediante el análisis de simulación.

Toma de decisiones bajo incertidumbre

Cuando las posibilidades no se conocen para los estados de la naturaleza identificados de los parámetros inciertos el uso de toma de decisiones con base en valor esperado bajo riesgo no es una opción.

Existen básicamente niveles de incertidumbre con los cuales deben convivir las empresas y la gerencia:

• Futuro Claro: En el se pueden realizar pronósticos con pequeños márgenes de error y la incertidumbre no es una determinante de la toma de decisiones.

• Escenarios Alternos: Comúnmente presenta unos pocos futuros probables que se eliminan mutuamente y que de presentarse uno u otro variarán la estrategia casi en su totalidad. Es un futuro con pocos grises, blanco o negro, pero con varios blancos y varios negros.

• Gama de futuros potenciales: Se identifica una serie de posibles futuros, no discretos, que puede ser definida por un número limitado de variables cuyo resultado puede estar en un amplio rango de posibilidades.

• Total Confusión: Futuro virtualmente imposible de predecir, variables ilimitadas y rango de posibilidades ilimitado. Se posee información deficiente para tomar la decisión, no se tienen ningún control sobre la situación, no se conoce como puede variar o la interacción de la variables del problema, se pueden plantear diferentes alternativas de solución pero no se le puede asignar probabilidad a los resultados que arrojen.

Con base en lo anterior hay dos clases de incertidumbre:

• Estructurada: No se sabe que puede pasar entre diferentes alternativas, pero sí se conoce que puede ocurrir entre varias posibilidades.

• No estructurada: No se sabe que puede ocurrir ni las probabilidades para las posibles soluciones, es decir no se tienen ni idea de que pueda pasar.

Esta es una categoría muy común para las decisiones aunque de nombre peculiar. Se parece a la toma de decisiones bajo riesgo, con una diferencia importante. Ahora no se tiene conocimiento de las probabilidades de los eventos futuros, no se tiene idea de cuan posibles sean las diferentes consecuencias. Por ejemplo tratar de adivinar si al tirar una moneda al aire el resultado es cara o cruz sin saber si la moneda tiene dos caras, es legal, tiene dos cruces. Otro ejemplo seria también el de tratar de decidir si se debe aceptar una oferta de trabajo sin saber si después se tendrá una mejor.

Por tanto, cuando no se conocen los estados de la naturaleza, ni se dispone de información objetiva sobre las probabilidades de aparición, entonces la decisión es bajo incertidumbre

Es de hacer notar que para medir la incertidumbre que se presenta en la evaluación de proyectos se encuentran diferentes metodologías, las más importantes son:

• El método del valor presente neto esperado

• El método de la probabilidad de pérdida en la aceptación

• El método de la tasa incrementada por el riesgo

El método del valor presente neto esperado: E s el más usado porque permite incorporar en forma directa el riesgo a la incertidumbre y se basa en el siguiente principio.

Método de la probabilidad de pérdida en la aceptación: Consiste en hallar la probabilidad del que el VPNE resulte menor a cero y por lo tanto que haya pérdida. En este método es necesario que se calcule la desviación estándar de todo el proyecto y que se normalicen los resultados para poderle aplicar la curva normal y de esta forma averiguar el área que corresponde a una abscisa menor a cero. La desviación estándar en este método, depende de las desviaciones de los flujos de caja de cada período y puede ser calculada por la siguiente fórmula:

Método de la tasa incrementada por el riesgo: También llamado método de la tasa ajustada al riesgo, consiste en evaluar el proyecto con una tasa que debe ser igual a la tasa libre de riego más la tasa propia del riesgo. La tasa libre de riego puede ser la tasa que se utilizaría en el proyecto cuando hay certeza y la tasa propia de riesgo es el recargo que debe hacerse por la existencia misma del riesgo, se tiene entonces:

En este caso se habla de riesgo y no de incertidumbre, porque la tasa i2 puede ser calculada objetivamente por métodos estadísticos.

Es obvio que al aumentar la tasa resulta más difícil que el proyecto sea aprobado, por tanto la tasa i2 debe ser unos puntos adicionales de porcentaje a fin de tener un margen de seguridad que compense posibles errores de juicio pero conduce a unos criterios fijos e independientes de los cambios en el mercado financiero.

Para el cálculo de la tasa i2 y haciendo la suposición de que las condiciones económicas del país sean estables, se hace una estimación con base a datos históricos, esto significa que se debe averiguar cuál fue la tasa que se presento en riesgos similares para aplicarla al nuevo proyecto.

Elementos Importantes para la Toma de Decisiones Bajo Riesgo

Algunos fundamentos de probabilidad y estadística son esenciales para realizar correctamente la toma de decisiones bajo riesgo mediante el análisis de valor esperado o la simulación.

Variable aleatoria: Es una característica o parámetro que puede tomar un valor cualquiera entre diversos valores. Las variables se clasifican como discretas o continuas. Las variable discretas tienen valores aislados y especificos mientras que las variables continuas pueden asumir cualquier valor entre dos limites establecidos, llamados rango de la variable.

Probabilidad. Es un numero entre 0 y 1.0 que expresa la probabilidad en forma decimal de que una variable aleatoria (discreta o continua) tome cualquier valor de aquellos identificados para esta. La probabilidad es simplemente la cantidad de posibilidad, dividida entre 100. por lo comun, las probabilidades ese identifican como P(X=Xi) lo cual se lee como la probabilidad de que la Variable X tome el valor de Xi.

Distribución de la probabilidad: esta describe la forma como se distribuye la probabilidad en los diferentes valores de una variable. Las distribuciones de variables discretas son significativamente diferente de las distribuciones de variables continuas

Los valores de probabilidad se expresan como P(Xi)

Distribución acumulativa: También llamada distribución de probabilidad acumulada, esta es la acumulación de la probabilidad para todos los valores de una variable hasta un valor especificado e incluyéndolo. Identificado por F(Xi) cada valor acumulado se calcula como:

Muestras Aleatorias

Es una muestra sacada de una población de unidades, de manera que todo elemento de la población tenga la misma probabilidad de selección y que las unidades diferentes se seleccionen independientemente.

Por otra parte, una muestra se dice que es extraída al azar cuando la manera de selección es tal, que cada elemento de la población tiene igual oportunidad de ser seleccionada. Una muestra aleatoria es también llamada una muestra probabilística, son generalmente preferidas por los estadísticos porque la selección de las muestras es objetiva y el error muestral puede ser medido en términos de probabilidad bajo la curva normal. Los tipos comunes de muestreo aleatorio son el muestreo aleatorio simple, muestreo sistemático, muestreo estratificado y muestreo de conglomerados.

Muestreo Aleatorio Simple

Es la forma más común de obtener una muestra en la selección al azar, es decir uno de los individuos de una población tiene la misma posibilidad de ser elegido. Si no se cumple este requisito, se dice que la muestra es viciada. Para tener la seguridad de que la muestra aleatoria no es viciada, debe emplearse para su constitución una tabla de números aleatorios. Este procedimiento, atractivo por su simpleza, tiene poca o nula actividad práctica cuando la población que estamos manejando es muy grande.

Por otra parte, una muestra se dice que es extraída al azar cuando la manera de selección es tal, que cada elemento de la población tiene igual oportunidad de ser seleccionada. Una muestra aleatoria es también llamada una muestra probabilística, son generalmente preferidas por los estadísticos porque la selección de las muestras es objetiva y el error muestral puede ser medido en términos de probabilidad bajo la curva normal. Los tipos comunes de muestreo aleatorio son el muestreo aleatorio simple, muestreo sistemático, muestreo estratificado y muestreo de conglomerados.

Los pasos para obtener una muestra aleatoria simple son:

• Definir la población de estudio

• Enumerar a todas las unidades de análisis que integran la población, asignándoles un número de identidad o identificación.

• Determinar el tamaño de la muestra óptimo para el estudio.

• Seleccionar la muestra de manera sistemática utilizando una tabla de números aleatorios generada por medios computacionales para garantizar que se tiene un orden aleatorio.

Ejemplo: Suponiendo que interesa elegir una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de estadística de 20 alumnos. 20C5 da el número de formas de elegir una muestra no ordenada y este resultado es 15.504 maneras diferentes de tomar la muestra. Si se lista las 15.504 en trozos separados de papel una tarea tremenda, luego se coloca en un recipiente y después se revuelve, entonces se podrá obtener una muestra aleatoria de 5 si se selecciona un trozo de papel con cinco nombres.

Un procedimiento más simple para elegir una muestra aleatoria sería escribir cada uno de los veinte nombres en pedazos separados a la vez, colocarlos en un recipiente revolverlos y después extraer cinco papeles al mismo tiempo.

Otro método para obtener una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de 20 utiliza una tabla de números aleatorios. Se puede construir la tabla usando una calculadora o una computadora. También se puede prescindir de estas y hacer la tabla escribiendo diez dígitos del 0 al 9 en tiras de papel.

Hay muchas situaciones en las cuales el muestreo aleatorio simple es poco práctico, imposible o no deseado; aunque sería deseable usar muestras aleatorias simples para las encuestas nacionales de opinión sobre productos o sobre elecciones presidenciales, sería muy costoso o tardado.

Muestreo Aleatorio Sistemático

Es una técnica de muestreo que requiere de una selección de observaciones obtenida usando algún sistema o regla por ejemplo:

Para obtener una muestra de suscriptores telefónicos en una ciudad grande, puede obtenerse primero una muestra aleatoria de los números de las páginas del directorio telefónico, al elegir el vigésimo nombre de cada página se obtendría un muestreo sistemático

Otro procedimiento para obtener una muestra de una población ya sea el muestreo con reemplazo o sin reemplazo, es mediante la utilización de la tabla de números aleatorios pero solamente para poblaciones finitas, la utilización de estas tablas puede realizarse de diferentes modos. Existen diferentes tablas de números aleatorios, como por ejemplo la Tabla de M. G. Kendall y B. Babington Smith, están constituidas por cuatro bloques de 1000 números aleatorios dispuestos en 25 filas y 40 columnas.

Ejemplo 1: Dada la siguiente población formada por la edad del hijo mayor de 200 núcleos familiares de una cierta región.

Seleccione una muestra aleatoria de tamaño 10 (use la tabla de números aleatorios, escoja la tercera fila, tercera columna del segundo bloque de a 1000) numere la población horizontalmente.

Para extraer la muestra lo primero que hacemos es disponer tres columnas en las cuales la primera se ubicaran los números aleatorios, es decir los números extraídos de la tabla de números aleatorios; en la segunda columna pondremos los números aleatorios rectificados que serán aquellos números aleatorios menores que N =200 y los restos de las divisiones de los números aleatorios mayores que N =200 y menores que el mayor múltiplo de N es decir 800 y en la tercera columna de encontrara los valores de la muestra.

En la tabla de números aleatorios la tercera fila, tercera columna del segundo bloque de a 1000 le corresponde al número 3 pero como tenemos que coger el número aleatorio de tres dígitos el primer número aleatorio sería el 017, los demás serian, 984, 955, 130, 850, 374, 665, 910, 288, 753, 765, 691, 496, 001, hemos escogido 14 números de la tabla de números aleatorios debido a que hay 4 que son mayores que 800. Veamos a continuación como extraemos la muestra de la población:

Para el primer número aleatorio 017 se busca en la población el valor que ocupa la posición 017 leída la población horizontalmente que seria la edad de 48 años, el número aleatorio 984 no se contempla dentro del análisis ya que es mayor que 800, al igual que el número 955, el número 130, le corresponde la edad de 52 años, al número 850 no se contempla dentro del análisis, el 374 como es mayor que 200 se divide por 200 y se obtiene reto 174 y este es el número aleatorio rectificado correspondiéndole la edad de 53 años, al número 665 se divide por 200 y se obtiene resto 65 que es el número aleatorio rectificado correspondiéndole la edad de 44 años en la población, a continuación presentaremos la tabla de las tres columnas a la cual nos referimos anteriormente como una vía fácil y práctica para obtener la muestra deseada.

Nota: Obsérvese que en la muestra existen edades que se repiten esto puede pasar si el muestreo es con reemplazo si el muestreo es sin reemplazo debemos seguir buscando de la misma manera en la tabla de números aleatorios seguido del número 001, hasta lograr tener la muestra con 10 valores de la población no repetidos.

Valor Esperado

El valor esperado es el promedio esperado de largo plazo que resultará di la variable es objeto de muestreo muchas veces. El valor esperado de la población no se conoce exactamente, puesto que la población misma no se conoce por completo, de manera que &µ se estima mediante E (X) de una distribución o mediante X, la media de la muestra, la ecuación 1 se utiliza para calcular E (X) de una distribución de probabilidad y la ecuación 2, es la media de la muestra, llamada también promedio muestral:

Asimismo, en estadística la esperanza matemática (o simplemente esperanza) o valor esperado de una variable aleatoria es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso. Por ejemplo, en un juego de azar el valor esperado es el beneficio medio. Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmética.

Por otra parte, el valor esperado es un concepto fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad. Desde hace muchos años este concepto ha sido aplicado por otros profesionales que casi siempre toman decisiones en condiciones de incertidumbre.

Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, se multiplica cada valor que ésta pueda asumir por la probabilidad de ocurrencia de ese valor y luego se suma los productos. Es un promedio ponderado de los resultados que se esperan en el futuro.

Desviación Estándar

Cuando hay varios resultados posibles y estos están muy dispersos se ve claramente que hay inseguridad en el resultado final de un proyecto, mientras más concentrados estén los resultados habrá más confianza en el resultado final y mientras más dispersos estén los resultados más desconfianza habrá en el resultado final.

La desviación estándar es la medida más adecuada para esta clase de dispersiones y según la estadística se puede calcular con la siguiente fórmula:

Donde:

XK= Valor del resultado K

XE= Probabilidad del resultado K

PK= Número total de resultados

En casi todos los proyectos financieros la asignación de probabilidades se hace de forma subjetiva.

Muestreo Montecarlo y Análisis Mediante Simulación

EL método de Montecarlo es una técnica para obtener muestras aleatorias simples de una v.a. X, de la que conocemos su ley de probabilidad (a partir de distribución F). Con este método, el modo de elegir aleatoriamente un valor de X siguiendo usando su ley de probabilidad es:

Usando una tabla de números aleatorios se toma un valor u de una v.a. .

Si X es continua tomar como observación de X, la cantidad x= f-1 (u). En el caso en que X sea discreta se toma x como el percentil 100 – u de X, es decir el valor más pequeño que verifica que F (x) = u.

Este proceso se debe repetir n veces para obtener una muestra de tamaño n.

Ejemplo:

Si queremos extraer n= 10 muestras de una distribución N (0,1) podemos recurrir a una tabla de números aleatorios de k = 5 cifras, en las que observamos las cantidades (por ejemplo).

Su dispersión con respecto al valor central es pequeña, lo que implica que probablemente el valor medio estará muy próximo a o, como se puede calcular:

Se observa que si el problema fuese el inverso, donde únicamente se conociera las observaciones xi y que el mecanismo que generó estos datos hubiese sido una distribución normal de parámetros normal desconocidos, con obtenida se hubiese tenido una buena aproximación del "parámetro desconocido" &µ.

Por otra parte, se puede decir que el Método Monte Carlo es una herramienta de investigación y planeamiento; básicamente es una técnica de muestreo artificial, empleada para operar numéricamente sistemas complejos que tengan componentes aleatorios.

Gracias a la constante evolución de las microcomputadoras, en lo que se refiere a su capacidad de procesamiento de la información, el Método Monte Carlo es cada vez más frecuente utilizado.

Esta metodología provee como resultado, incorporada a los modelos financieros, aproximaciones para las distribuciones de probabilidades de los parámetros que están siendo estudiados.

Para ello son realizadas simulaciones donde, en cada una de ellas, son generados valores aleatorios para el conjunto de variables de entrada y parámetros del modelo que están sujetos a incertidumbre. Tales valores aleatorios generados siguen distribuciones de probabilidades específicas que deben ser identificadas o estimadas previamente.

Por otra parte, el concepto de simulación descrito en los Estudios de Robert E. Shannom, es el siguiente: "Simulación es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo computarizado de un sistema o proceso y conducir experimentos con este modelo con el propósito de entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias con las cuales se puede operar el sistema". El conjunto de resultados producidos a lo largo de todas las simulaciones, podrán ser útiles en la evaluación de la dispersión total de las apreciaciones del modelo, causado por el efecto combinado de las incertidumbres de los datos de entrada y en la evaluación de las probabilidades de ser violados los patrones de las proyecciones financieras.

Automatización del Modelo de Montecarlo

De forma simplificada, se puede aplicar el Modelo de Monte Carlo en Excel de la siguiente forma:

• Estimar la escala de valores que podría alcanzar cada factor, y la probabilidad de ocurrencia asociada a cada valor.

• Elegir aleatoriamente, uno de los valores de cada factor y dependiendo de la combinación seleccionada, computar la tasa de rendimiento resultante.

• Repetir del mismo proceso una y otra vez, la cantidad de veces que sea necesaria, que permita definir y evaluar la probabilidad de ocurrencia de cada posible tasa de rendimiento. Como existen millones de posibles combinaciones de factores, se necesita efectuar un número de pruebas suficientemente grande para que pueda apreciarse la posibilidad de ocurrencia de las varias tasas de rendimiento. El resultado a que se llegará será una lista de distintas tasas de rendimiento que podrían lograrse, que puede variar desde una pérdida (si los factores son adversos) hasta la ganancia máxima que sea posible lograr conforme con los pronósticos que se hayan efectuado.

• Se calcula la tasa media esperada, que es el promedio ponderado de todas las tasas resultantes de las sucesivas pruebas realizadas, siendo la base de ponderación la probabilidad de ocurrencia de cada una.

• También se determina la variabilidad de los valores respecto al promedio, lo que es importante porque la igualdad de otros factores, la empresa presumiblemente preferirá los proyectos de menor variabilidad.

Dependiendo de la política de decisión, al proceso se le puede aplicar a la tasa interna de retorno o al valor actual neto.

Ejemplos:

Se presentaran dos ejemplos uno para distribuciones discretas y otro para distribuciones continuas.

Para distribuciones discretas:

Bastaría colocar la distribución discreta basada en la función de probabilidad acumulada (entre 0% y 100%), generar un aleatorio ( por la función =aleatorio()) y , por ejemplo, a través de una función de búsqueda y referencia (buscarv()) identificar el valor correspondiente.

Usando una función de buscar y referencia, como buscarv. del Excel, podríamos generar aleatorios y así aseguramos la aleatoriedad de las cantidades obtenidas, y que luego de "n" simulaciones ("n" no debería ser menor a 1.000) , permitiría calcular el promedio y el riesgo de la distribución.

Veamos un ejemplo para distribuciones Discretas y uno para Distribuciones Continuas.

Distribución Discreta:

Si hacemos mil simulaciones encontraremos que el promedio y el riesgo tienden a estabilizarse próximos a los valores poblacionales anteriormente calculados. Recuerde que para activar la fórmula aleatorio debe presionar la tecla F9.

Para realizar una tabla de estas simulaciones se puede realizar una macro; la cual valla tomando los valores, los lleve a otra hoja ( use el pegado especial para pasar las fórmulas a valores); para esta misma macro debe usar las posiciones relativas para que se vallan incorporando los registros.

Plotenado el gráfico de los números de simulaciones con los valores del promedio y el desvío, puede percibirse que próximo a las 200 simulaciones, los valores se tienden a estabilizar.

Distribuciones Continuas:

En nuestro modelo de simulación estocástico, existen varias variables aleatorias interactuando. Y estas variables, siguen distribuciones de probabilidad teóricas o empíricas distintas a la distribución uniforme. Por esta razón, para simular este tipo de variables, es necesario contar con un generador de números uniformes y una función que a través de un método específico, transforme estos números en valores de distribución normal.

Existen varios procedimientos para lograr este objetivo, en este trabajo se adoptó el siguiente procedimiento especial para generar números al azar que sigan la distribución de probabilidad.

Para cada tipo de distribución continua, se puede montar una función estocástica; en nuestro caso, una distribución normal puede ser expresado por: 

para expresar la distribución acumulada de la distribución normal en forma explícita, utilizamos el teorema del límite central, el cual establece que la suma de n variables aleatorias independientes se aproxima a una distribución normal a medida que n se aproxima a infinito.

Que expresado en forma de teorema sería:

Si x1,x2,…….xn es una secuencia de n variables aleatorias independientes con E(x)=&µi y var (x)= ð2i (ambas finitas) y Y= a1x1+a2x2+…..+anxn, entonces bajo ciertas condiciones generales:

Tiene una distribución normal estándar a medida que n se aproxima a infinito. Si las variables que se están sumando son uniformes en el intervalo (0;1) entonces:

donde R es un número aleatorio.

Tiene una distribución normal estándar. Puesto que la normal estándar de una variable aleatoria x distribuida normalmente se obtiene como:

entonces, la simulación de la variable aleatoria x se haría de acuerdo a la siguiente expresión:

Finalmente, utilizando un valor de n=12, la confiabilidad de los valores simulados es bastante aceptable. Y utilizando un valor de n=12, la última expresión se simplifica a:

Para hacer esta operación en el Excel, se debe usar la función =aleatorio().

=((((ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO())-6)*Desvío + Promedio))

A continuación se presenta un ejemplo de la utilización del método de Monte Carlo en la planilla de Microsoft Excel. Estos son los datos del Ejercicio:

Luego se comienza a construir el Modelo.

Para cada tipo de gaseosa se calcula:

El Acumulando de las probabilidades.

El promedio y el riesgo.

Se aplica la función aleatrorio() y buscarv()

Se aplica la función estocástica para determinar la cantidad.

Luego y en función de estos valores se procede al cálculo del Valor Actual Neto, utilizando la función predeterminada del Excel VNA; recuerde que la inversión inicial correspondiente al momento 0, va leteando a esta función.

Una vez que se tiene la estructura para el cálculo del Valor Actual Neto, se puede realizar una macro que valla acumulando los registros de cada valor puntual que correspondan al Valor Actual Neto, a medida que se activa la función aleatoria para cada simulación. Además se puede ir calculando los valores correspondientes del promedio y del desvío, a fin de poder estudiar el comportamiento del modelo.

Se puede construir el Histograma correspondiente a los valores del Valor Actual Neto, para ello se recurre a la opción Histograma localizada en el Análisis del datos, que se encuentra en Herramientas del asistente; utilizando la función de Análisis de datos.

Con los datos de la tabla que se encuentran el promedio y el riesgo del Valor Actual Neto, se construye el gráfico del Promedio y del desvío muestral por número de simulaciones.

  Al construir el Histograma se cuenta con la opción de realizar el gráfico automáticamente y además adicionar el porcentaje acumulado. El resultado se muestra en la siguiente imagen.

Conclusión Cuando se parte de un modelo simple, se cuentan con las herramientas necesarias y se posee el suficiente conocimiento como para poder utilizarlas; el administrador tiene en sus manos todos los elementos que se requieren para poder crear buenos Sistemas de Soporte de Decisiones. En este artículo también se deja demostrando, que no se precisan ni grandes recursos, ni grandes equipos de trabajo para llevar adelante un Proyecto Informático.

Conclusiones

La evaluación de un proyecto es una herramienta, la cual al comparar flujos de beneficios y costos, permite determinar si conviene realizar un proyecto o no; es decir, si es o no rentable, además si siendo beneficioso, convienen postergar su inicio. Sin embargo, al no tener certeza sobre los flujos futuros de caja que ocasionará cada inversión, el analista de proyectos se verá enfrentado ante una situación de riesgo o incertidumbre.

El riesgo es la dispersión de la distribución de la probabilidad del elemento que se está estimando o del (los) resultado (s) que se está (n) considerando.

En tanto que la incertidumbre es el grado de falta de confianza de que la distribución de probabilidad estimada sea correcta.

Entre las principales causas de Riesgo e incertidumbre se encuentran: Una cantidad insuficiente de inversionistas similares, la tendencia en los datos y su valoración, cambio en el ambiente económico externo, invalidando experiencias anteriores, la mala interpretación de los datos, los errores de análisis, disponibilidad y énfasis del talento administrativo, liquidabilidad de la inversión y obsolescencia.

Asimismo, algunas decisiones comerciales son tan difíciles e importantes como para justificar el uso, no sólo de análisis teórico correspondiente, si no también que requieran el estudio experimental que reflejen el comportamiento de un Sistema Real mediante la utilización de modelos matemáticos como se aplica en el proceso de Simulación Montecarlo, que permite experimentar escenarios con incertidumbre y por lo tanto donde existe un riesgo asociado a la toma de decisión.

Bibliografía

Blank, Lean y Anthony Tarquin. Ingeniería Económica. Sexta Edición. Editorial Mc. Graw Hill. México 2.006.

http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node88.htm

http://www.cyta.com.ar/ta0102/finanzas.htm

http://www.mitecnologico.com/im/Main/EvaluacionDeAlternativasBajoCondicionesDeRiesgoEIncertidumbre

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

"ANTONIO JOSÉ DE SUCRE"

VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ

DEPARTAMENTO DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO

MAESTRÍA EN INGENIERÍA INDUSTRIAL

ANÁLISIS ECONÓMICO DE DECISIONES

PUERTO ORDAZ, JULIO DE 2008.

Profesor:

MSc. Ing. Andrés Blanco.

(Grupo 2)

Autor:

Antúnez, Diana.

Freites, José.

Ortuño, Leonardo.