Teoría del error (página 2)

MULTIPLICACIÓN

En este caso se tiene

Suponemos que los errores son mucho mas pequeños que las aproximaciones, e ignoramos el producto de los errores. Entonces:

y

DIVISIÓN

Tenemos

Multiplicando el denominador por y reacomodando términos obtenemos

El factor en paréntesis puede desarrollarse en serie mediante una división:

Efectuando la multiplicación y despreciando todos los términos que contienen productos o potencias de orden superior al primero de eX y eY tenemos

por lo tanto

Debe observarse que rara vez conocemos el signo de un error. Por ejemplo, no se debe inferir que la suma incrementa siempre el error y que la resta siempre lo disminuye simplemente porque los errores se suman en la adición y se restan en la substracción. Si los errores tienen signos diferentes ocurrirá precisamente lo contrario.

Como tenemos ahora fórmulas para la propagación de los errores absolutos en las cuatro operaciones aritméticas básicas, podemos fácilmente dividir y obtener los errores relativos. Para la suma y la resta los resultados han sido reacomodados para mostrar explícitamente el efecto de los errores en los operandos:

Suma

Resta

Multiplicación

División

El Error Absoluto en una cantidad es la diferencia entre el valor verdadero, suponiendo que se conoce, y una aproximación al valor verdadero.

Así, si:

X = cantidad verdadera.una aproximación a la cantidad verdadera.eX = error absoluto.

Tenemos que:

X = eX

De acuerdo a nuestra definición:

eX = X –

El Error Relativo se define como el cociente del error absoluto entre la aproximación

Parecería más razonable definirlo como el error absoluto dividido entre el valor verdadero, pero generalmente no conocemos éste. Todo lo que tenemos, generalmente, es un valor aproximado y una estimación del error o un límite al tamaño máximo del error.

El error absoluto y el error relativo son aproximadamente iguales para números cercanos a uno. Para números no cercanos a uno puede haber una gran diferencia.

Existen tipos básicos de errores en una computación numérica: inherentes, por truncamiento, y por redondeo, entre otros. Cada uno se puede expresar en forma absoluta o en forma relativa.

• Errores inherentes

Son errores que existen en los valores de los datos, causados por incertidumbre en las mediciones, por verdaderas equivocaciones, o por la naturaleza necesariamente aproximada de la representación, mediante un número finito de dígitos, de cantidades que no pueden representarse exactamente con el número de dígitos permisible.

Por ejemplo, si necesitamos usar en un cálculo, podemos escribirlo como 3.14, 3.1416, 3.1415926535589793…, etc. En muchos casos aún una fracción simple no tiene representación decimal exacta, por ejemplo 1/3, que puede escribirse solamente como una sucesión finita de números 3. Muchas fracciones que tienen representación finita en un sistema no la tienen en otro, el número 1/10 es igual a 0.1 en decimal y en binario es 0.000110011001100…

• Errores por truncamiento

Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos. Note que el error de truncamiento, a diferencia del error de redondeo, no depende directamente del sistema numérico que se emplee

Por ejemplo podemos utilizar la serie infinita de Taylor para calcular el seno de cualquier ángulo X, expresado en radianes:

Por supuesto que no podemos usar todos los términos de la serie en un cálculo, porque la serie es infinita; entonces, los términos omitidos introducen un error por truncamiento.

• Errores por redondeo

El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada número (real) se reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto significa que todos los números en un intervalo local están representados por un solo número en el sistema numérico de punto flotante.

En otras palabras, estos errores se introducen en los procesos de computación por el hecho de que los computadores trabajan con un número finito de dígitos después del punto decimal y tienen que redondear.

Como nos interesa el redondeo de punto flotante, revisaremos la forma de representación de un número de punto flotante.

Recordando que cada número lo podemos representar por una fracción generalmente llamada Mantisa, la cual está multiplicada por una potencia del número base, llamada generalmente el Exponente. Entonces tenemos números como los siguientes:

• Error significativo

Tener presente este tipo de error significa que el número de cifras significativas (es decir, que tengan sentido y sean válidas) es algunas veces menor de lo esperado. Ocurre con mayor frecuencia cuando se restan números casi iguales, pero también puede ocurrir cuando varios números de magnitud y signo diferentes se suman o cuando se emplea un divisor relativamente pequeño. 

• Error propagado

Puede definirse como el error de salida provocado por un error en la entrada, suponiendo que todos los cálculos intermedios se efectúan exactamente (en particular, sin error de redondeo). Incluye la evaluación de funciones cuando el valor del dominio es aproximado, raíces de polinomios cuyos coeficientes se han redondeado o aproximado, etc. Por supuesto, en una situación realista todos los tipos de error pueden intervenir, de modo que la salida de un proceso contendrá el error propagado más los errores generados en el proceso.

Se puede determinar un límite al error relativo máximo que puede ocurrir en un resultado aritmético obtenido con redondeo truncado. El error relativo máximo ocurre cuando gY es grande y fY es pequeño. El valor máximo posible de gY es menor que 1.0; el valor mínimo de fY es 0.1, por lo que el valor absoluto del error relativo es:

Entonces se observa que el máximo error relativo por redondeo en el resultado de una operación aritmética de punto flotante no depende del tamaño de las cantidades, sino del valor numérico de dígitos que se manejen.

El tipo mas conocido de redondeo, que se denomina generalmente redondeo simétrico, puede describirse como sigue.

Dadas las dos partes de un resultado como en el caso anterior, la aproximación redondeada a Y está dada por:

en que Y tiene el mismo signo que fY. La adición en el segundo renglón de la ecuación corresponde a sumar 1 al último dígito retenido si el primer dígito que se pierde es igual o mayor que 5. Se describen los símbolos de valor absoluto para indicar que las mismas fórmulas se aplican a cantidades positivas y negativas.

Si gY < 1/2, el error absoluto es

Si el error absoluto es

De cualquier manera, tenemos la siguiente ecuación multiplicado por un factor cuyo valor absoluto no es mayor que 1/2. El valor absoluto del error absoluto es, por lo tanto

y el valor absoluto del error relativo es entonces

Si f representa la mantisa de un número de punto flotante, y e el exponente podemos expresar en forma general un número de punto flotante en base decimal como:

En donde sabemos que f no puede ser menor que 1/10 puesto que los números han sido normalizados y no puede llegar a ser la primera ecuación porque la mantisa es una fracción propia.

Ahora si realizamos la suma de los números:

El computador se encarga de la colocación del punto y compara los exponentes para desplazar hacia la derecha el punto para alinearlos. Entonces para el ejemplo hace lo siguiente:

Así se pueden sumar directamente las dos mantisas. Obviamente, la mantisa de la suma tiene mas de cuatro dígitos. Antes de redondear, el resultado puede mostrarse como dos cantidades de punto flotante:

Cualquier resultado proveniente de la realización de las cuatro operaciones aritméticas puede indicarse, antes de ser redondeado, por la forma general:

en donde t es el número de dígitos de fY.

El intervalo de valores posibles de fY es:

y el intervalo de variación de gY es:

Para un ejemplo de la diferencia entre las dos reglas de redondeo, considérese el siguiente resultado de alguna operación aritmética:

Para redondeo truncado

y

( aproximadamente igual a)

Para la operación que llamamos redondeo simétrico,

y

Hay magnitudes que no se miden directamente, sino que se derivan de otras que sí son medidas en forma directa. Por ejemplo, para conocer el área de un rectángulo se miden las longitudes de sus lados, o para determinar el volumen de una esfera se tiene que medir el diámetro. La pregunta que queremos responder aquí es cómo los errores en las magnitudes que se miden directamente se propagarán para obtener el error en la magnitud derivada. Sólo daremos los resultados. Supongamos, para fijar ideas, que la magnitud V, es una función de los parámetros, x, y, z, etc., o sea:

y que x, y, z, etc., sí se midieron directamente y que conocemos sus errores, a los que designamos en el modo usual como etc. Entonces se puede demostrar que el error en V vendrá dado por:

En rigor las derivadas involucradas en esta ecuación son derivadas parciales respecto de las variables independientes x, y, z, etc. En el caso especial que la función V(x,y,z,..) sea factorizable como potencias de x, y, z, etc., la expresión anterior puede ponerse en un modo muy simple. Supongamos que la función en cuestión sea:

Entonces:

Para cálculos preliminares, esta expresión puede aproximarse por:

Esta última expresión para la propagación de los errores se conoce con el nombre de aproximación de primer orden, mientras que la expresión se la denomina usualmente aproximación de segundo orden.

Otro caso particular de interés es Z = x ± y. Obtenemos

El error en el método de Newton

Definición: Si se dice que () tiene orden de convergencia si

Si la convergencia es lineal.

Si la convergencia es cuadrática.

Teorema: la sucesión de Newton-Raphson tiene orden de convergencia cuadrática.

Teorema: Sea una raíz de tal que . Supongamos que existen y tales que y Entonces si () es la sucesión de Newton-Raphson y converge a se tiene

Nota: Otros procedimientos de paro que se van a poder aplicar a cualquier técnica iterativa es que dado un cierto pararemos cuando

Ejemplo

Aplicando el método de Newton-Raphson resolver la ecuación

El error de interpolación en el proceso de interpolación polinómica de Lagrange

Soporte: formado por (n+1) puntos distintos de (a, b)

Función que se interpola: f(x)

Valores de la función en el soporte:

Polinomio interpolador de Lagrange:

Teorema

Si entonces

a) Si x* ?el teorema es evidente.

b) Si x* ?

Sea

Se verifica que

F(x) tiene al menos (n+2) raíces distintas en (a,b).

Aplicando n veces el teorema de Rolle,

tiene al menos una raíz

E(x*)=

Ejemplo

Sea la función f : x ? 2.x

a) Calcular y representar gráficamente los polinomios de base de Lagrange asociados al soporte {0.2, 1.0}

b) Hallar el polinomio p(x) que interpola f(x) en el sentido de Lagrange sobre el soporte {0.2, 1}

c) Obtener la expresión del error de interpolación

d) Hallar una cota de error válida en todo (0.2, 1)

Representación Gráfica de Lagrange

Polinomio interpolador de Lagrange

Expresión del error

Aplicamos la expresión

Como el número de puntos es n+1=2, se deriva dos veces f(x)

Cota de error

g(x) = f''(x)

Dado que la función g(x) es continua en [0.2, 1], su mayor valor absoluto en [0, 2] será el mayor de los siguientes:

Valor de |g(x)| en las abscisas de [0.2, 1] para las que g"(x) = 0.

De donde g(0.75) 0.0539

Valor de |g(0.2)|y de |g(1)| (extremos del intervalo)

g(0.2) 0.5838 = 0.5838

g(1) 0.0397 = 0.0397

El mayor valor absoluto de entre las anteriores respuestas es: 0.5838 (obtenido para x = 0.2)

Error en la regla de los trapecios

Recordando la fórmula para el error en la interpolación, se tiene que si es el polinomio de interpolación lineal de Lagrange para la función en los nodos y entonces para el error al aproximar mediante es

Y entonces x

Donde es un número que depende de y

Luego, el error en la aproximación obtenida al usar la regla de los Trapecios en el intervalo que se denomina error local, es

Como no cambia ningún signo en el intervalo entonces por el teorema del valor medio ponderado para integrales, se tiene que

Para algún

El error total al aplicar la regla de los Trapecios, es decir, el error que se comete al aplicar la regla de los Trapecios sobre todo el intervalo [a,b], es

Para algún

(*) la igualdad se debe a la aplicación del teorema del valor intermedio a la función f "", que suponemos continua en el intervalo [a,b].

La fórmula anterior del error en la regla de los Trapecios indica que si f es una función lineal, entonces la regla de los Trapecios es exacta, es decir, para todo k=0,1,…, N-1, ya que si f(x)=cx+d, entoncesy para todo

Volviendo a la fórmula para el error total, tenemos que si

para toda

Entonces

(h=(b-a)/N)

Error en la regla de Simpson

Como el término que aparece en la fórmula de error al interpolar por un polinomio de interpolación de Lagrange (de grado menor o igual que 2) usando los nodos cambia de signo en el intervalo [], no es posible obtener una fórmula para el error al aplicar la regla de Simpson, sin embargo se puede demostrar que el error al emplear la regla de Simpson en el intervalo [], llamado error local, está dada por

Donde h=(b-a)/N y k=0,2,…,N-2.

Entonces el error al aplicar la regla de Simpson sobre todo el intervalo [a,b], es decir, el error total,

( (*) La igualdad se debe al cambio de variable k=2p: si k=0, entonces p=0, y si k=N-2, entonces p=(N-2)/2)

Esto implica que la regla de Simpson es exacta cuando se aplica a polinomios de grado menor o igual que 3, que es un grado más de lo que era de esperarse, ya que estamos aproximando la función f por medio de polinomios de grado menos o igual que dos.

Si para toda entonces

Ejemplo

Use las reglas de los Trapecios, Simpson con N ??6 , para estimar Cuál es la cota de error en la estimación para cada caso?

En este ejemplo f(x)= que es continua en todo R, por tanto se satisfacen las hipótesis para que se puedan aplicar las reglas de integración numéricas vistas.

Si N=6, entonces h=(b-a)/N= y los puntos de partición son

Entonces,

i) Regla de los Trapecios

En este caso el error es

para algún y como entonces

Lo que garantiza una precisión de por lo menos una cifra decimal exacta en la aproximación calculada.

ii) Regla de Simpson

Según esta regla

El error en la aproximación es

para algún y como

y para toda entonces

lo que garantiza una precisión de por lo menos cuatro cifras decimales exactas en la aproximación calculada.

El error en el método de Taylor de orden superior

Para obtener un método de orden 2 podemos considerar el desarrollo de Taylor truncado en el término de h2. Más concretamente, usando la aproximación

se obtiene un nuevo método de aproximación; a saber:

donde los valores de e que aparecen en la expresión anterior se calculan desde la ecuación diferencial del P.V.I. como sigue:

Supongamos que la función es veces derivable en el intervalo y con ésima derivada continua en y derivable en y sea el polinomio de Taylor de la función definido por

Entonces, el error de Taylor se expresa de la siguiente forma:

• Fórmula del resto de Taylor en forma de Lagrange.

• Fórmula del resto de Taylor en forma de Cauchy.

EJEMPLO

Encuentre un valor aproximado para sen(35º) utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y estime el error.

a) f(x) = sen(x)

b) xo = p /6                30º en radianes

f (x) = sen(x)                 f(p /6) = 0.5

f ' (x) = cos(x)               f ' (p /6) = 0.8660254

f '' (x) = -sen(x)             f '' (p /6) = -0.5

f (3) (x) = -cos(x)           f ' (p /6) = -0.8660254

f (4) (x) = sen(x)

Que sustituyendo,

Para x = p /6 +

sen(35º) = 0.5 + 0.0755749 – 0.001903858 – 0.000095922 + E3

sen(35º) = 0.57357512 + E3

En la expresión para el error al aproximar con un polinomio de grado 3

E3 = (0.00000241)sen(c)

Si

para x en el intervalo (a,b)

entonces

Se ve que si | x – xo | 1 , cuando n crece indefinidamente el numerador de la fracción anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito, por lo que la fracción tenderá a cero, es decir, En 0 cuando n En general

para todo valor real de k

por lo que si | x – xo | > 1 también se cumplirá que En 0 cuando n

Definiciones

• Exactitud: la cercanía con la cual la lectura de un instrumento de medida se aproxima al valor verdadero de la variable medida.

• Precisión: una medida de la repetibilidad de las mediciones. Dado un valor fijo de una variable, la precisión es la medida del grado con el cual, mediciones sucesivas difieren una de la otra.

• Incertidumbre: grado de exactitud, seguridad o confianza con que fue hecha la medición.

• Error: la desviación del valor verdadero al valor medido.

Bibliografía

• 1. Introducción a la Teoría de Errores. Taylor E. Ed. MIR. Moscú. 1985.

• 2. Teoría de los Errores. Giamberardino Vincenzo. Ed. Reverté. México. 1986.

• 3. "Teoría de errores", Alexander Canela Rincón, http://newton.javeriana.edu.co/articulos/cifra

• 4. Error en la Interpolación Polinómica de Lagrange, Arturo Hidalgo López, Alfredo López Benito, Carlos Conde Lázaro, marzo del 2007, www.iafe.uba.ar/e2e/metodosnumericos/lagrange/lagrange.html.

• 5. Metodo de Taylor, error. http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soltaylor/soltaylorHTML/taylor. Métodos numéricos, platon.itchihuahua.edu.mx/course/category.php.

• 6. Teoría de errores, luda.uam.mx/curso2/tema1/error02.html.

• 7. Teorema de Taylor,

• 8. Apuntes de J. Lorente, http://www.ugr.es/~lorente/APUNTESMNQ/cap22.pdf

Autoras:

Ana María González Urueta

Tatiana Alejandra Oquendo G.

Análisis Numérico

Prof.: Eduardo Estrada Kassir

Ingeniería de Sistemas

Pontificia Universidad Javeriana

11 de Junio de 2008