Determinación de la densidad de un cuerpo, y su expresión con sentido físico (página 2)

            Decimos que dos o más mediciones son comparables si sus intervalos de indeterminación coinciden en al menos un punto. Por último, convenimos que adoptaremos una sola cifra significativa para nuestras mediciones e incertezas

Materiales

            Mediremos la altura y el diámetro de un cilindro metálico utilizando distintos métodos:

1)     Calibre marca Vernier, y mínima división de 0,02 mm.

2)     Regla de 20 cm. y mínima división 0,1 cm.

3)     Probeta graduada de 250 cm3, y mínima división de 2 cm3.

Y la masa de cuerpo con balanza electrónica de 0,5 g de incerteza.

[1]

Desarrollo y resultados

            En primer lugar, queremos calcular el volumen y la densidad del cilindro (mediciones indirectas) a través de ciertas mediciones directas. Medimos el objeto, altura y diámetro, varias veces con cada uno de los instrumentos, para luego calcular el volumen, y de esta forma, poder obtener su densidad. En primer lugar con calibre, y luego con regla, cada integrante del grupo se encargó de realizar una medición de esas dos magnitudes, con la finalidad de tener más de un valor y de esta forma, obtener mediciones más exactas, y conseguir un intervalo de indeterminación en el que podemos arriesgar que se encuentra la medida exacta.  Finalmente, se llenó de agua la probeta hasta un volumen conocido, se introdujo el cilindro y se midió de manera directa el volumen del mismo, como la diferencia de volumen que sufre el agua.

            Por último, pesamos el cilindro en la balanza electrónica, medición directa que fue de (189,0 ± 0,5)g.

1) Calibre.

Como valor representativo del diámetro tomamos la moda, y de esta forma, su expresión nos queda:

d ± Δd = (26,00 ± 0,04) mm.

            Para calcular el Δd hicimos la semidiferencia entre el valor máximo medido más la mínima división del instrumento y el valor mínimo menos la mínima división del instrumento (ver apéndice).

            Para el valor representativo de la altura decidimos despreciar  una de las mediciones (43,90 mm) por parecernos alejadas de las otras, y entre las restantes, buscamos el valor medio, que en este caso, coincidió con el promedio. Para la incerteza, el criterio fue el mismo que en el caso del diámetro. Lo obtenido:

            h ± Δh = (43,68 ± 0,04) mm.

            La ecuación para el cálculo del volumen es: V = p* r2 * h = p * d2 * h / 4

            Tomando la segunda ecuación de volumen, la propagación de errores nos queda eV = ep + 2 ed + eh + e4.

                        e4 es igual a cero, y, como luego será explicado en el apéndice, ep también.

            El volumen finalmente queda: V = (23,2 ± 0,1) cm3.

            Definida la densidad como d = m/V, la ed = em + eV. Por lo tanto, la densidad queda:

d = (8,15 ± 0,06) g/cm3.   á Error porcentual 0,74%

2) Regla

            Tanto para el diámetro como para la altura, los valores medidos se repitieron, así que fueron los adoptados como representativos. La incerteza absoluta de dicho valor es la misma que la de cada uno de dichos valores. De esta forma:

d ± Δd = (2,6 ± 0,1) cm 

h ± Δh = (4,3 ± 0,1) cm

            Utilizando los mismos elementos que para la parte 1:

V  = (22,8 ± 2,3) cm3

d = (8,3 ± 0,9) g/cm3.    á Error porcentual 10,8%

3) Probeta:

Vcilindro = (|Vi-Vf| ± ΔV)= (22 ± 4) cm3

d= (8,6 ± 1,6) g/cm3     á error porcentual 18,6 %

Conclusiones

Al medir con regla, todos los integrantes medimos lo mismo, porque el error de clase de la regla es mucho mayor que la deformación del cilindro. Al medir con calibre en cambio, las mediciones fueron más diversas, ya que su error de clase es menor. Sin embargo, al realizar una medición hay que tener en cuenta también los costos y la utilidad práctica de ella, y es por esto que dependiendo del fin podrá convenirnos o no el uso del calibre en vez de la regla o la probeta.

En cuanto a las incertezas, podemos citar varias que seguro nos afectaron. Entre ellas, las variaciones medioambientales durante las mediciones y por lo tanto la deformación del cilindro, las imperfecciones que ya de por sí tenía el mismo, error de clase de los instrumentos, errores visuales al leer los instrumentos y/o al colocarlos inadecuadamente. 

Mediante el análisis de los gráficos adjuntados, podemos comparar los resultados de cada medición indirecta (densidad, volumen) vemos que los intervalos coinciden en algunos puntos, y por esta razón podemos decir que son mediciones comparables. Por lo tanto cualquiera de los tres procedimientos es válido. A la hora de buscar precisión, analizando los intervalos de medición, el método del calibre es el que posee un intervalo de incerteza más chico, y por lo tanto éste es el método más preciso de los tres. Por ejemplo, para la medición de la densidad, se puede apreciar las diferencias entre los métodos mediante el error porcentual: el resultado con el calibre arroja un error de 0,74%, el de la regla, 10,8 %, y el de la probeta, 18,6 %.

Según datos de tabla, el metal que tiene densidad más parecida a la que obtuvimos es el latón, cuya densidad es de aproximadamente 8,45 g/cm3. [2]

Apéndice

1) Calibre:

            Δd = [(26,00 + 0,02) mm – (25,96 – 0,02) mm] /2  = 0,04 mm

            Δh = [(43,70 + 0,02) mm – (43,66 – 0,02) mm] /2 = 0,04 mm

            V = p* 43,68 mm / 4 * (26,00 mm)2 = 23191 mm3 = 23,2 cm3

                        ΔV = 23,2 cm3 * [(0,04 / 43,68) + 2 * (0,04 / 26,00)] = 0,1 cm3

Hay que aclarar acá por qué podemos despreciar la incerteza de p. Consideramos que podemos despreciarla si el error relativo de p es menor que la décima parte del error relativo de lo demás.

            ep * 10 < 2 * ed + eh

            10 * (Δp / p) < 2 * (0,04 / 26,00) + (0,04 / 43,68)

            (Δp / p) < 3,99 x 10 -4

Y ahora probamos cuántas cifras decimales hay que tomar de p para que esa desigualdad se cumpla: si tomamos p = 3,141 entonces Δp=0,001, y por lo tanto (Δp / p) = 3,18 x 10 -4 y la desigualdad no se cumple. Si tomamos p = 3,1415, Δp=0,0001 y entonces Δp / p = 3,18 x 10 -5  < 3,99 x 10 -4. Con lo cual con tomar a p con al menos 4 cifras decimales ya podemos despreciar su incerteza, y es justamente lo que hicimos al momento de realizar los cálculos.

d = 189,0 g / 23,2 cm3 = 8,15 g/cm3

Δd = 8,15 g/cm3 * [(0,5 / 189,0) + (0,1 / 23,2) ] = 0,06 g/cm3

2) Regla:

            V = p* 4,3 cm / 4 * (2,6 cm)2 = 22,8 cm3  

ΔV = 22,8 cm3 * [2 * (0,1 / 2,6) + (0,1 / 4,3)] = 2,3 cm3

d = (189,0 g / 22,8cm3) = 8,3 g/cm3

Δd = 8,3 g/cm3 * [(0,5 / 189,0) + (2,3 / 22,8)] = 0,9 g/cm3

3) Probeta:

            ΔV = ΔVi + ΔVf = 4 cm3

                        d = 189,0 g / 22 cm3 = 8,6 g/cm3

            Δd = 8,6 g/cm3 * [(0,5 / 189,0) + (4 / 22)] = 1,6 g/cm3

Bibliografía

[1] Imagen obtenida de: http://es.wikipedia.org/wiki/Calibre_%28instrumento%29

[2] Información obtenida de:

Trabajo práctico I "Parte B" "Estudio de un movimiento"

Introducción teórica

Velocidad media: "Se define velocidad media de la partícula vm, como el cociente entre el desplazamiento ∆X y el intervalo de tiempo  ∆T= Tf -Ti" [1]:

Expresión matemática:

Vm = Xf -Xi   =   ∆X

         Tf – Ti        ∆T

Velocidad instantánea: "A primera vista puede parecer imposible definir la velocidad de la partícula en un solo instante, es decir, en un tiempo específico. En un instante t1, la partícula está en un solo punto x1. Si está en un solo punto ¿cómo puede estar moviéndose? Por otra parte, si no se está moviendo, ¿no debería permanecer en el mismo punto? Esto constituye una antigua paradoja que puede resolverse cuando nos damos cuenta que para observar el movimiento y así definirlo, debemos observar la posición del objeto en más de un instante. Entonces resulta posible definir la velocidad en un instante mediante un proceso de paso al límite. La velocidad instantánea es el límite del cociente  ∆X cuando ∆T tiende a cero". [2]

                                                     ∆T

Expresión matemática:

lim       ∆X

                                   ∆T→0       ∆T

Trayectoria: lugar del espacio en el que se encuentra el móvil a cada instante.

Materiales

• Carril
• Móvil con rozamiento
• Sensor de posición Pasco modelo CI-6742
• Interfaz de adquisición de datos ScienceWorkshop 500
• PC

Desarrollo y resultados

La segunda parte de este trabajo práctico consiste en intentar estimar la velocidad de un móvil a partir de mediciones hechas con un sensor de posición. La experiencia consiste en lanzar un móvil, existiendo rozamiento con el carril y el sensor mide 20 veces por segundo la posición del móvil.

Gráficos

Velocidad media:                             Cálculo de incerteza absoluta por derivadas parciales:

Vm = Xf -Xi                                 ∆V = ∆xf + ∆xi  +  (∆tf + ∆ti)(xf – xi)

          Tf – Ti                                             Tf – Ti                 (Tf – Ti)2        

V (A,B1) = -0,65 m/s                        ∆V = 0,53 m/s

V (A,B2) = -0,52 m/s                        ∆V = 0,16 m/s

V (A,B3) = -0,43 m/s                        ∆V = 0,08 m/s

V (A,B4) = -0,35 m/s                        ∆V = 0,06 m/s

Conclusiones

Luego de analizar los valores obtenidos, se llega a la conclusión de que no son comparables las velocidades obtenidas ya que mediante la observación del intervalo no son comparables los resultados. Gráficamente se puede observar mediante la representación en la recta real y ver que los intervalos no coinciden. Físicamente, no tendría sentido que den valores similares de velocidad ya que el móvil lanzado va cambiando su velocidad a medida que se acerca al final de su recorrido: la va disminuyendo.

Observando los resultados vemos que a medida que desminuye la velocidad el error de medición es cada vez menor: notar la diferencia entre las incertezas absolutas de la velocidad medida entre el tiempo 0,2 segundos y 0,4 segundos y la velocidad medida entre el intervalo de tiempo 0,2 y 1,6 segundos.

De todas las velocidades calculadas la mejor medida de la velocidad instantánea en t = 2 segundos es la primera: -0.65m/s ya  que al aplicar la definición de velocidad instantánea (que es el límite del cociente entre ∆X/∆T cuando ∆T tiende a cero) se observa que es la que mejor se ajusta, aunque de con mayor error absoluto.

Los gráficos muestran (tendiendo en cuenta los ejes coordenados): el primero la posición respecto del tiempo y el segundo la velocidad respecto del tiempo. En el segundo podemos observar como varia la velocidad y su relación con los datos obtenidos con los cálculos de velocidades medias. A medida que aumenta el tiempo vemos que la velocidad se va acercando a cero: parte de aproximadamente -0.65 m/s cuando el tiempo es cero y cuando se acerca a 2 segundos la velocidad también se acerca a 0 m/s. Hay aceleración de distinto signo de la velocidad, es decir aceleración positiva, por lo tanto va frenando. Observamos que mediante el calculo de velocidades medias también se observa que a medida que aumenta el tiempo la velocidad se acerca a 0 m/s.

Apéndice

Cálculo de velocidades medias:

 Vm = Xf -Xi                                 ∆V = ∆xf + ∆xi  +  (∆tf + ∆ti)(xf – xi)

          Tf – Ti                                             Tf – Ti                 (Tf – Ti)2        

V (A, B1):         (1,08 – 1,21) m    =  – 0,65 m/s

                      (0.40 – 0.20) s

∆V (A, B1):       0,04m +  (0,10) s (0,13) m   =   0,53 m/s

                        0,20 s              (0,2 s) 2

V ± ∆V = (-0,65 ± 0.53) m/s

V (A, B2):         (0,90 – 1,21) m   =   -0,52 m/s

            (0,80 – 0,20) s

  ∆V (A, B2):      0,04 m   +  (0,10) s (0,31) m   =    0,16 m/s

                        0,60 s                (0,6 s) 2

V ± ∆V = (-0,52 ± 0,16) m/s

V (A, B3):         (0,78 – 1,21) m   =   -0,43 m/s

            (1,20 – 0,20) s

  ∆V (A, B3):      0,04 m   +  (0,10) s (0,43) m   =    0,08 m/s

                        1,00 s                (1,00 s)2

V ± ∆V = (-0,43 ± 0,08) m/s

V (A, B4):         (0,72 – 1,21 )m   =   -0,35 m/s

            (1,60 – 0,20) s

  ∆V (A, B4):      0,04 m   +  (0,10) s (0,49) m   =    0,06 m/s

                        1,40 s                (1,40 s)2

V ± ∆V = (-0,35 ± 0,06) m/s

Bibliografía

[ 1 ] "Fisica. Paul A. Tipler" Editorial Reverté

[ 2 ] "Fisica. Paul A. Tipler" Editorial Reverté

Autor:

Agustín Binora