puede considerarse que el espacioteimpo M4 S1 constituye una solución de la ecuación de campo 5D. Ahora bién, las componentes de la métrica g (x ;y) deben de descomponerse en Fourier o modos KK, ya que actuan como un campo escalar. Para la teoría efectiva a baja energía, los modos masivos no son relievantes, por lo tanto es su ciente introducir sólo la dependencia con x : Pero el hecho importante es identi car que la acción anterior es invariante bajo una transformación general de coordenadas 5D la cual se puede parametrizar por funciones (x;y); pero como estamos considerando una teoria efectiva sólo es relievanteladependenciaconxyseesperaquelatransformación general de coordenadas 4D quede parametrizada por (x); lo cual hace que la función 5(x) juegue el rol de los parámetros de la transformación gauge, con esto se puede identi carse con con una traslación local en la dimensión adicional. Por consiguiente, atendiendo a lo anterior, se propone para la teoría efectiva la siguiente métrica 2
3' g ^ dx dx + e 3'(dy + A dx )2 , 1 2' 10 n 16 mm , (10) G4+n 1+n , (7) p p Revista Colombiana de Astronomía Vol. 01, No. 01 de 2010 4 MODELO RANDALL-SUNDRUM ds2 = e 2 4 (5) entonces si se lleva a la acción anterior se obtiene, la acción efectiva dada por 2 Sef = mp Z dx4 g p ^ ^[R 4 ^ 2 e F 2 3 ^ (@')2] , (6) 2 uli. En teorías KK los modulos que parametrizan el tamaño del espacio extra son conocidos como dilatón. siones y si tomamos radios r o distancias menores que el radio de compacti cación R; es decir r < < R; el potencial Newtoniano entre dos partículas de masa m1 y m2 es m1m2 VN(r) = r donde G4+n es la constante de Newton en 4D, por lo tanto VN(r) decrece más rápido que la interacción 4D localizada sobre la brane. Igualmente, para distancias mayores r >> R; el comportamiento del potencial es En términos de la masa de Planck en 4+n dimensiones 2 M y de la masa de Planck en 4D mp = 16 1 GN ; se obtiene la siguiente relación 2 mp VnM2+n (MR)nM2 , (9) esto muestra que el tamaño del bulk tiene que ser mayor en 1 comparación con la longitud fundamental M , de tal modo que el mecanismo ADD media entre la jerarquía entre la gravedad y las interacciones gauge y la jeraquía impuesta por el tamño del bulk. De otra parte la anterior ecuación sudonde podemos identi car mp = 2 RM3; F = @ A giere una solución al problema de la inestabilidad cuántica @ A : Junto con el término electromágnetico, tenemos un modo cero ' relacionado con g55 el cual está parametriz- R no son conocidos, existe la esperanza de que el límite ando el radio físico del círculo S1: Si se considera una compacti cación más general de la forma si se escoge M TeV se puede encontrar que el forma M4 , este parámetro describe la geometría interna valor de R necesario para obtener la masa de Planck de mp efectiva 4D como un escalar, genericamente llamado mod 32 R de tal modo que para n = 1; se obtiene R 1016mm por lo tanto esto sería de orden astronómico, en el caso n 2 se 3 Modelo ADD obtienene radios de compacti cación sub-milimétricos, en consecuencia haría que la investigación de la desviación de Los primeros elementos fenomenológicos del escenario la ley de gravitación de Newton parezca muy complicada. Brane World fueron presentados por Arkani-Hamed, Dimopoulos, y Dvali, en su modelo conocido como ADD creando un modelo de brane con dimensiones adicionales grandes. 4 Modelo Randall-Sundrum Para ilustrar algunas consecuencias de esto no se considera ningun modelo especí co. En lugar de esto, se asume que El escenario BraneWorld de Randall-Sundrum consiste de , donde es una variedad un espacio de cinco dimensiones con dos branes inmersas suave, compacta de n-dimensiones y de radio R, con una en él. Especi camente, se considera la acción de Einsteinbrane cuadridimensional (3-brane) localizada en el bulk. De Hilbert en cinco dimensiones más el término de tensión de este modo, si consideramos la ley de Gauss en 4+n dimen- la brane S = Z d4x Z dy p g 2M3R + Z
+ d4x g(b1) [Vb1 + Lb1] Z d4x g(b2) [Vb2 + Lb2] , (11) donde g(b1), g(b2) son las métricas inducidas en cada brane por la métrica del bulk g (x;y). La tensión de cada una de las branes es Vb1; Vb2 y Lb1; Lb2 son los lagrangianos de la materia localizada sobre ellas. G4+n m1m2 m1m2 La métrica propuesta para el modelo RS es VN(r) = = GN Vn r r ds2 = a2(y) dx dx + dy2 , (12) n y donde además se ha identi cado la constante de Newton con a2(y) = e kjyj que constituye un factor conformal G4+n
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12M k . (13) = p p d x Z Z 2M3 ( g) , 2M3 ( g)guvRuv + ul , Revista Colombiana de Astronomía Vol. 01, No. 01 de 2010 5 ECUACIÓN DE CAMPO PARA RSI la constante cosmológica se puede expresar como 3 2
Ahora bién, se integra la ecuación de Einstein en una vecindad de la brane, se obtienen las condiciones de frontera de de Israel[6], esto es K K = ( 1 2M3 )S , (14) donde K es la curvatura extrínseca, K K (y0+") K (y0 ") , con " ! 0 , esto surge de la discontinuidad cuando se atraviesa la brane, y S es el tensor momemtum energía generado por la brane. Por, lo tanto para que se satisfagan las condiciones de frontera se debe cumplir
Vb1 = Vb2 = 12M3k , (15) de este modo, se obtiene una solución si < 0 y ajustamos los parámetros , Vb1; Vb2 en la acción de acuerdo a Vb1;2 = 12M3 . (16) Debido a la presencia de las branes gravitantes, la dimensión adicional puede considerarse compacta asumiendo que tienen una topológia de orbifold S1=Z2, similar a la teoría de Orava-Witten. Puede demostrarse, que la distan 4D, en términos técnicos llamado radión. Bajo algunas consideraciones puede demostrarse que la masa de planck está dada por 2 mp = M3 k (1 e 2kd ) , (17) A diferencia de la teoría KK y del modelo ADD, el valor real de la masa de Planck efectiva en 4D mp depende marginalmente de d , lo cual signi ca que el mecánismo RS no está basado sobre el efecto del volumen del bulk. 5 Ecuación de campo para RSI de esta forma no describen el producto directo de espacios, a que la coordenada y es períodica y = +2 ; lo cual con ; con esto se puede escribir como se puede deducir de la métrica de una esfera unitaria duce a dy = d , con 0 ds2 = d 2 + sen2 d 2: Puede, demostrarse que la métrica la acción como anterior es una soluen ción de la euación de Einstein, donde S = Z d4x Z d p g 2M3R + Z
+ d4x g(b1) [Vb1 + Lb1] Z d4x g(b2) [Vb2 + Lb2] , (18) aplicando una variación a la primera integral SB (se re ere a la acción en 5D), se obtiene SB = Z 4 Z d p g 2M3R , (19) lo cual conduce a la siguiente expresión
4 p p SB = d x d gR) ( (20) donde el escalar de curvatura se puede expresar como R = guvRuv; con lo cual se obtiene SB = Z d4x Z d p gguvRuv) Z d4x Z d p ( g) , (21) cia interbrane d es una constante de integración de la solución. Esto corresponde a una región plana del potencial, que tomando la variación en el primer integrando, se encuentra puede asimilarse a un escalar sin masa en una teoría efectiva p ( gguvRuv) = p ( p uv g (g )Ruv + p gg uv (22) (Ruv) , ahora bién, si se desarrolla cada una de las variaciones, encontramos p gguv (Ruv) l uv p = @l @v gguv p gg uv l (23) (guv) = gupgvs gps , (24) p 1p ( g) = 2 p acción considerada anteriormente en el modelo RSI. Debido obtiene
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gguv guvR + p gguv ul , (26) gguvR guv gRuv guv (27) p p gguv gguv ul , +@l @v Z Z d 2M3 Z 1 p Z 1 p 4 3 1p uv gRuv guv + @l gguv p gguv @v ul )] Z Z , (28) Z Z d 2M3 Z Z 1 1 guv) guv d x d ( ) p Z Z g(b1)g(b1)Vb1 g(b1) d4x g(b2)g(b2)Vb2 g(b2) , (34) Z Z Z Z d4x gguv guv , (29) Z d4x d 2M3 g(b1)g(b1)Vb1 g(b1) g(b2)g(b2)Vb2 g(b2) , (35) guv) guv , (30) p Z d4x g(b1)g(b1)Vb1 g(b1) , (31) Z Z d4x d (2M3 g(b1)g(b1)Vb1 g(b2)g(b2)Vb2 guv , (36) p Revista Colombiana de Astronomía Vol. 01, No. 01 de 2010 5 ECUACIÓN DE CAMPO PARA RSI p 1p ( gR) = 2 g( gupgvs gps)Ruv + p l @l uv p uv l @v gg simpli cando esta expresión y aplicando la idea de índices mudos llegamos a
p 1p p ( gR) = 2 l l uv mensiones se puede expresar de forma amplia como
Z Z SB = d x [d 2M ( gguvR g 2 p p l uv l 4 1 p uv d x d gguv g 2 4 3 1p uv SB = d x d 2M ( gguvR g 2 p uv gR guv) 1 p d 2 simpli cando la expresión anterior resulta SB = Z d4x Z d 2M3 p g( 1 2 guvR 1 +Ruv 4M3 ahora, efectuando la variación para la acción que describe las branes tenemos
1 Sb1 = 2 Sb2 = 1 2 Z d4x g(b2)g(b2)Vb2 g(b2) , (32) entonces la variación de la acción completa queda de la siguiente forma
4 p 1 S = d x g( guvR + Ruv 2 1 guv) guv 4M3 d4x g(b1)g(b1)Vb1 g(b1) 2 d4x g(b2)g(b2)Vb2 g(b2) , (33) 2 expresando las variaciones para las branes en cinco dimensiones con ayuda de la función delta y tomando en consid entonces la variación completa para la acción en cinco di- eración su localización en el orbifold, obtenemos S = 4 p 1 2 4 1 2 d ( ) d x g( guvR + Ruv
4M3 2
p aplicando el teorema de Gauss y como las variaciones del simpli cando la expresión anterior, resulta campo son nulas en los límites de integración se obtiene S = Z p 1 2 g( guvR + Ruv 1 guv) guv 4M3 1 p ( ) 2 1 p ( ) 2 ahora, se puede expresar cada g(bi) de la siguiente forma g(bi) = u v guv; con lo que se obtiene S = p 1 2 g( guvR 1 +Ruv guv) 4M3 1 p ( ) u v 2 1 p ( ) u v) 2 y como la variación debe ser igual a S = 0 , entonces el integrando debe ser igual a cero 5
g(b1)g(b1)Vb1 u v g(b2)g(b2)Vb2 u v = 0 , (37) p (38) u v ( )) . g(b2)g Revista Colombiana de Astronomía Vol. 01, No. 01 de 2010 2 4M3 2M3 1 ( 2 1 2 p 1 1 g( guvR + Ruv guv) p ) p ( ) p g(Ruv 1 2 guvR) = p 1 ( 4M3 +Vb1 p +Vb2 gguv
(b2) Puede observarse el carácter singular de las dos branes, igualmente la intervención directa de las tensiones o energía de vacio de cada una de las branes. Importante resaltar que este modelo es el que permite resolver el problema de jararquías y además el que permite realizar las aproximaciones cuánticas, como la estabilización del radión[9]. 6 Conclusiones Finalmente podemos concluir con los siguientes elementos, entre otros muchos más que pueden ser deducidos del modelo teórico: 1. Los escenarios multidimensionales permiten explorar nuevas fenomenologías físicas ya que permite aumentar los grados de libertad de una teoría lo cuál se traduce un los nuevos términos incorporados en los modelos que mediante ajustes e interpretaciones adecuadas permiten explicaciones alternas. 2. El escenario ADD, es muy importante ya que permite de forma análitica resolver el problema de jeraquias, pero se di culta enormemente su veri cación experimental. 3. El escenario RS, hace consideraciones diferentes, soluciona el problema de jerarquías y su posible veri cación experimental esta en el orden de los TeV, permite igualmentereinterpretarlamasadePlanck, lasinteracciones gauge, o el graviton. REFERENCES
4. Se recobra, en los escenarios multidimensionales, la teoría clásica de KK, quizá en un escenario multidimensional general la teoría quede totalmente incorporada, y sus elementos aporten en la construcción de un esquema mucho más general y veri cable. 5. Puede proponerse una generalización del modelo RS, es decir podemos considerar un mayor número de branes, incorporar en cada brane dimensiones compactas, back nalmente se obtiene la ecuación de campo en el escen- graund más general que el AdS5; todo ello con el n de ario Randall-Sundrum explorar nuevas consecuencias, formas alternas de veri c ación experimental, y talvez un mayor entendimiento de la estructura y leyes del universo.
g(b1)g(b1) u v ( )References [1] T. Kaluza, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin Math. Phys. Kl. 33 (1921) 966. [2] O. Klein, Z. Phys. 37 (1926) 895; O. Klein, Nature (London) 118 (1926) 516. [3] B. S. De Witt in Relativity, Groups and Topology, eds C. and B. S. De Witt (Gordan and Breach, New York, 1964). [4] R. Kerner, Ann. Inst. Poincare, Sec. A9 (1968) 29. [5] E. Witten, Fermion Quantum Numbers In Kaluza Klein, The Proc. of Second Shelter Island Meeting (1983) 227. [6] J. Polchinski, “String Theory. Vol 1: An Introducction To the Bosonic String, ” Cambridge, UK: Pr. (1998) 402 p. “String Theory. Vol: Superstring Theory And Beyond,” Cambridge, UK: Unive. Pr. (1998) 531 p. [7] Randall, L., andSundrum, R., “AnAlternativetoCom pacti cation”, Phys. Rev. Lett., 83, 4690-4693, (1999) [8] Randall, L., and Sundrum, R., “ Large Mass Hierarchy from a Small Extra Dimension”, Phys. Rev. Lett., 83, 3370-3373, (1999). [9] J. Garrga, O. Pujolas and T. Tanaka, “Radion effective potential in the braneworld,” Nucl. Phys. B 605, 192 (2001) [arXiv:hep-th/0004109] 6
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