Interés simple

INTERÉS SIMPLE

En este tema estudiaremos los métodos y técnicas que se utilizan en la matemática financiera. Todos ellos son básicos para el desarrollo del presente texto y, además, nos permitirán aplicar un enfoque analítico de los aspectos financieros. De este modo lograremos la optimización de los recursos económicos los cuales, al final, vienen a ser nuestro objetivo fundamental.

DEFINICION DE INTERÉS

El interés es el rédito que hay que pagar por el uso del dinero prestado. Resulta ser lo mismo que pagar un arriendo, por el uso de una casa dada en alquiler; por esta razón, todas las actividades financieras tienen como norma cobrar un interés, cuando se presta un dinero.El interés depende de tres factores fundamentales: el capital, la tasa de interés y el tiempo.

Interés

Es el pago que se hace por el alquiler de un dinero; lo representaremos por I.

Tasa de interés

Es la cantidad de dinero que se paga por el alquiler de $100 o por el alquiler de $1. En el primer caso se denomina tasa porcentual y en el segundo, tasa por uno. En ambos casos se representará por i. Por ejemplo si tengo que pagar $3, de interés por un préstamo de $100, entonces la tasa será del 3 por ciento que se escribe 3% y si tengo que pagar 3 centavos por el préstamo de $1 la tasa será 0,03 por uno que también se puede escribir como 3% desde que 3% = 3/100 = 0,03.

Mientras no se dé ninguna especificación en contrario, la tasa de interés se entenderá anual.

Tiempo

Es la duración del préstamo; normalmente, la unidad de tiempo es el año y lo representaremos por t.

Capital inicial

Es la cantidad de dinero que se presta; también se le conoce con el nombre de valor actual, valor presente o, simplemente, presente. Lo representaremos por P.

Fórmula del interés simple

El interés es una función directa del tiempo, la tasa y el capital inicial, lo cual podremos representar por:

Clases de interés simple

Hay personas que usan el año de 360 días y llaman ordinario al interés. Otros usan un año de 365 o 366 días y lo llaman exacto al interés. Cuando se mide el tiempo por el cual se presta el dinero y éste es inferior a un año, también hay divisiones; unos siempre usan 30 días en todos los meses, es decir, calculan un tiempo aproximado. Otros usan, para el mes, los días que señale el calendario; por lo tanto, podemos afirmar que existen cuatro clases de interés simple. Podremos aclararlos con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1

Calcular el interés en cada caso, suponiendo un préstamo de $80.000, el cual se hace para el mes de enero, si la tasa que se cobra es del 30%.

Solución. En todos los casos, se utiliza la misma fórmula I = P i t en la cual P = 80.000, i = 30% = 30/100 = 0.3 y la aplicación de t puede hacerse de diferentes formas:

• (1) Se conoce con el nombre de interés bancario; por ser el más costoso es el de más amplio uso, obviamente el más beneficioso para el prestamista y el más perjudicial para el prestatario.

• (2) Se conoce con el nombre de interés comercial; muy utilizado porque los cálculos manuales se facilitan debido a la posibilidad de hacer simplificaciones.

• (3) Comúnmente llamado interés racional, exacto o verdadero, produce un resultado exacto, las otras clases de interés producen un error debido a las aproximaciones, las cuales no tienen importancia si el valor del préstamo no es muy grande, pero si se trata de un capital grande las diferencias vienen a ser significativas por lo que es necesario hacer los cálculos lo más exactos posibles con el fin de no perjudicar ni al prestatario ni al prestamista.

• (4) No tienen nombre. Solamente existe en teoría, es el más barato de todos y no tiene utilización.

Monto Simple

Se denomina monto al capital inicial, más los intereses y lo representaremos por S, por lo tanto, la fórmula del monto simple será S = P + Pit = P(1+i t)

El monto también se conoce con los nombres de: valor final, capital final o valor futuro.

Ejemplo 2

Si se invierten hoy $65.000, ¿cuál será su monto al final de 90 días? Suponga una tasa del 32% bancario.

Solución.

Ejemplo 3

Calcular el monto de $80.000 en 4 meses, con una tasa del 30% comercial.

Solución.

VALOR PRESENTE

Si de la fórmula del monto se despeja P se tiene la siguiente ecuación, la cual es considerada como otra fórmula:

Ejemplo 4

Un documento tiene un valor al vencimiento de $90.000 ¿Cuál será su valor presente 60 días antes del vencimiento, suponiendo un interés racional del 28%?

Solución.

En la práctica, la clase de interés que se utiliza en un momento dado viene a determinarse por el tipo de operación que se vaya a realizar.

TABLA DE DIAS

La tabla de días nos será de gran ayuda, cuando necesitamos conocer, en forma exacta, los días que transcurren entre una fecha y otra. Esto ocurre en el interés bancario y en el interés racional. La elaboración de la tabla de días consistente en asignarle a cada día del año un número en forma consecutiva; esta asignación va desde el número 1, que corresponde al día primero de enero, hasta el número 365, que corresponde al 31 de diciembre (cuando el año sea bisiesto, habrá que agregar un día a partir del primero de marzo, entonces, el 31 de diciembre sería el día 366). Es necesario aclarar, que por facilidad, utilizaremos la siguiente clave para identificar fechas: el primer número indicará los días del mes, por tanto variará entre 1 y 31; el segundo número, indicará el mes y podrá variar entre 1 y 12, y el tercer número señalará el año. La separación entre esos números se hará utilizando guiones. Por ejemplo el 13 de mayo de 1991 se podrá representar por 13-5-91.

LÍNEA DE TIEMPO

Para facilitar la comprensión de un problema, es conveniente representar el tiempo sobre una línea que se le denomina línea del tiempo en la cual se ubican las fechas de las operaciones financieras y sus correspondientes valores.

Se acostumbra representar con flecha que parte de la línea hacia arriba a los ingresos y con flecha que parte de la línea hacia abajo a los egresos. Naturalmente que el dibujo que se construya para el prestamista será inverso al que se construya para el deudor.

Al dibujo así obtenido se le suele llamar diagrama de flujo de caja.

Ejemplo 5

Calcular los días transcurridos entre el 18 de marzo y el 20 de noviembre del mismo año.

Solución. Los días que hay entre el inicio del año y el 20 de noviembre, según la tabla del anexo 1, corresponde al 324, los días que hay entre el principio del año y el 18 de marzo son 77, entonces, por diferencia 324 – 77 = 247 días.

Ejemplo 6

Calcular los días transcurridos entre el 16-10-87 y el 20-2-88.

Solución. Como la tabla está hecha para un año, debemos calcular, por separado, los días que hay en cada año y sumarlos.

31-12-28 = 365

16-10-87 = -289

———-

76 Total de días 76+51 = 127

Ejemplo 7

Hallar la fecha de vencimiento y el valor final de un documento con valor inicial de $25.000, fechado el 23 de junio, a un plazo de 130 días: a) con un interés racional del 30%, b) con un interés bancario del 30%.

Solución. Para ambos casos la fecha de vencimiento será:

23-6=174

+130

————–

31-10=304

Y el valor al vencimiento, será:

a)

b)

DESCUENTO

En la práctica comercial, muy frecuentemente encontramos la negociación de documentos antes de su vencimiento. Por ejemplo, es el caso de un fabricante que vende sus productos a varios minoristas con un plazo de tiempo para el pago y, en respaldo de la deuda, se entrega algún documento negociable como un cheque, una letra, un pagaré, etc. Sin embargo, en un momento dado, el fabricante puede tener su capital de trabajo representado en estos documentos y no tener liquidez para pagos urgentes como sueldos, primas, compra de materia prima, pago de impuestos, etc. Por esta razón, puede verse obligado a vender estos documentos; es decir, a negociar su cartera o parte de ella, para obtener liquidez inmediata. Estos documentos pueden ser negociados con particulares, con entidades bancarias, o bien, con ciertas compañías de financiamiento comercial denominadas Factoring. La función principal de estas empresas es comprar estos documentos y cobrarlos, a su vencimiento. Naturalmente, nadie va a pagar por el documento el mismo valor que va a cobrar al vencimiento del mismo, sino que quieren ganar algo al hacer el negocio; es decir, van a hacer un descuento.

El descuento puede hacerse de varias maneras, pero aquí sólo trataremos el descuento bancario, por ser el que corresponde al interés simple y puede ser considerado como una línea de crédito.

DESCUENTO BANCARIO

Al descuento bancario, simplemente se le denomina descuento y consiste en cobrar intereses por anticipado, calculados sobre el valor final del documento (debemos advertir que el descuento bancario usa el interés bancario).

Si representamos por:

D = Descuento (la cantidad desconocida)

d = Tasa de descuento (naturalmente, esta tasa es anticipada, la cual significa que el interés se cobra al principio).

S = Valor final del documento (valor al vencimiento)

t = tiempo que transcurre entre la fecha de negociación (venta) y la fecha de vencimiento.

De las definiciones anteriores, podemos concluir que:

El valor de la transacción es el valor del documento al vencimiento, menos el descuento y lo representaremos por VT, en consecuencia:

Ejemplo 8

Un documento con valor inicial de $50.000 es fechado el 7 de diciembre, con un plazo de 75 días e intereses al 30%. Va a ser descontado el 15 de enero del siguiente año, al 40% Determinar el valor de la a transacción.

Solución.

El documento inicia su vigencia el 7 de diciembre y dura 75 días, en consecuencia, el vencimiento se cumplirá en el siguiente año. El número de días que faltan, para terminar el año (365 – 341) es de 24. Por lo tanto, el documento tomará 75 – 24 = 51 días del nuevo año que, según la tabla del anexo 1 corresponde al 20 de febrero.

Como el documento va a ser negociado (vendido) el 15 de enero, el tiempo de la transacción será:

20 febrero 51

15 Enero -15

———–

36 días

Ahora procedemos a calcular el valor final del documento:

A continuación, calculamos el descuento.

Finalmente, el valor de la transacción será:

En consecuencia, el vendedor del documento recibe $51.000, el día 15 de enero y el comprador recibirá $53.125, el día 20 de febrero, por lo tanto su utilidad será de $2.125.

REDESCUENTO

Un documento que ya ha sido negociado, es decir que fue vendido, el comprador puede volverlo a vender, pero se conserva constante el valor final del documento, puesto que el girador siempre responderá por la suma que desde un principio se comprometió a pagar

Por disposiciones del banco emisor, un porcentaje de los dineros que reciba un banco en calidad de consignaciones en cuenta corriente, captaciones por depósitos a término fijo o por otros conceptos, deben ser depositados en el banco emisor (en Colombia se le denomina Banco de la República), esta consignación se conoce como encaje bancario y tiene por objeto controlar el crecimiento del circulante, es decir la cantidad de dinero que está en p0oder del público con el fin de restringir el consumo y con ello reducir la inflación.

Cuando se decide aumentar el encaje bancario es casi seguro que los bancos no tienen toda la cantidad de dinero para cumplir con esta medida debido a que está dado en préstamo a sus clientes y en tal caso, se ven en la necesidad de negociar con el banco emisor parte de los documentos que ellos habían adquirido previamente mediante una operación de descuento, ésta segunda operación recibe el nombre de redescuento y como se hace entre bancos se denomina redescuento bancario.

Ejemplo 9

Un documento de valor final $70.000 vence el 17 de octubre, fue descontado al 45% el 10 de agosto y fue vuelto a descontar el 20 de septiembre al 30%. Hallar la utilidad obtenido por el primer comprador.

Solución. Tiempo transcurrido entre el 10-8 y el 17-10 = 68 días. Entonces el valor descontado en la operación de descuento

Si el primer comprador se hubiera quedado con el documento hasta su vencimiento hubiera ganado $5.950, pero como lo vende, en esta segunda operación de descuento, es decir en el redescuento perderá:

Tiempo que transcurre entre el 20-9 y el 17-10 = 27 días

Utilidad obtenida por el primer comprador $5.950 – 1.575 = $4.375

DESCUENTO EN CADENA

Con frecuencia, un documento puede acumular varios descuentos, esto recibe el nombre de descuentos en cadena. En este caso, el siguiente descuento se aplica sobre el saldo anterior, y así sucesivamente.

Ejemplo 10

Un almacén ofrece los siguientes descuentos, sobre una mercancía cuyo costo es de $200.000:

30% por venta al por mayo

5% por pago al contado

10% por temporada

• a) ¿Cuál es el valor final de la factura?

• b) ¿Cuál es el descuento promedio que se otorga?

Solución.

El descuento total es de 200.000 – 119.700 = $80.300, que equivale a:

80300/200000=0.4015=40.15%

Del ejemplo anterior, podemos deducir la siguiente fórmula:

La tasa promedio de descuento será:

Factorizando y simplificando a A, tenemos:

El producto (1 – d1) (1 – d2) … (1 – dn) puede ser escrito en cualquier orden sin que se altere el resultado, puesto que "el orden de los factores no altera el resultado". Por tanto, podemos concluir que no tienen ninguna importancia el orden en que se tomen los descuentos.

Ejemplo 11

Aplicando la fórmula del descuento en cadena al ejemplo anterior, calcular el descuento promedio.

Solución. d = 1 – (1 – 0.3)(1 – 0.05)(1 – 0.1) = 0.4015 = 40.15%

PAGOS PARCIALES

Hay ocasiones en que se otorga un crédito y se conviene en que cada vez que el deudor se presente a hacer un pago a la deuda se liquidan los intereses causados hasta la fecha y el excedente del pago se utiliza para abonar a la deuda. Este sistema, utilizado con frecuencia por el comercio, se le conoce con el nombre de pagos parciales.

Ejemplo 12

Se compra un artículo el día 20 de abril a un costo de $400.000 y se conviene en cancelarlo así: $150.000 de cuota inicial, $200.000 el 17 de junio y el saldo el 25 de julio. Con un interés del 30% bancario determinar el saldo insoluto el 25 de julio (saldo insoluto es el mismo saldo de la deuda).

Solución:

Saldo el 20 de abril ………………………………………………………………………………… $250.000

Intereses causados entre el 20 de abril y el 17 de junio

I = P i t = 250.000 x 0.3 x 58/360 = …………………………………………………………. 12.083,33

Abono el 17 de junio 200.000 – 12.083,33 = …………………………………………….. 187.916.67

Saldo el 17 de junio ………………………………………………………………………………. 62.083.33

Intereses causados entre el 17 de junio y el 25 de julio

I = P i t = 62.083,33 x 0.3 x 38/360 = ……………………………………………………….. 1.965.97

Saldo el 25 de julio ……………………………………………………………………………….. 64.049.30

ECUACIONES DE VALOR

Es muy frecuente encontrar una o varias obligaciones, que van a ser canceladas mediante uno o varios pagos, operación que se le denomina refinanciación de deudas; pero, debido a que el poder adquisitivo del dinero cambia con el tiempo, la solución de este problema no es tan elemental y, por ello, se hace necesario el uso de las llamadas ecuaciones de valor, que son igualdades de valores ubicados en una sola fecha, denominada fecha focal.

La fecha focal (representada porƒƒ) es la fecha en que hacemos la comparación de ingresos con egresos y se representa por una línea a trazos, la ubicación de la fecha focal puede ser escogida de común acuerdo entre las partes, pero usualmente es el acreedor (dueño del dinero) quien determina la posición de la fecha focal.

El principio fundamental de una ecuación de valor establece que:

Es decir que la suma de los ingresos es igual a la suma de los egresos, pero puestos todos en la misma fecha, la cual se denomina fecha focal.

Naturalmente, el traslado de cualquier ingreso o de cualquier egreso a la fecha focal deberá hacerse usando las fórmulas del monto o del valor presente a una tasa de interés llamada de rendimiento, la cual es fijada generalmente de común acuerdo entre las partes.

El principio fundamental de una ecuación de valor, según el caso, puede ser enunciado en estas otras formas:

Ejemplo 13

Debe cancelarse un pagaré por $30.000 en 3 meses; otro, por $50.000, con vencimiento en 5 meses y un tercero por $80.000 con vencimiento en un año. Si se ofrece pagar hoy $25.000 y el resto en 8 meses, ¿cuál debe ser el valor del pago, para que las deudas queden canceladas? Suponga un interés del 30% y la ff en 5 meses.

Solución.

El 0 representa el día de hoy, los demás números en la línea del tiempo representan las fechas de los vencimientos de las deudas o de los pagos.

Obsérvese que hemos colocado las deudas a un lado de la línea del tiempo y los pagos en el otro lado de la misma línea.

Para el planteamiento de la ecuación del valor, debemos trasladar todas las deudas y pagos a la fecha focal usando la tasa del 30%.

El pagaré de $30.000 debe ubicarse ene l mes 5, es decir, que si no se paga en el mes 3 sino en el mes 5 ¿cuál hubiese sido su valor? Por tanto este pagaré se convertirá en 30.000 (1 + 0.3 x 2/12). El segundo pagaré está sobre la fecha focal, en consecuencia no debe sufrir ningún cambio; pero el tercer pagaré deberá trasladarse desde el mes 12 hasta el mes 5, es decir, que si no se pagara en el mes 12, sino en el mes 5 ¿cuál hubiese sido su valor?

Por tanto, este pagaré se convertirá en:

Si aplicamos el principio fundamental tenemos:

Entonces despejamos y se obtiene X = $130.569,61

Esto significa que en el mes 8 deberá pagarse exactamente $130.569.91, si se paga antes o después la cantidad varía.

Ejemplo 14

Una persona tiene dos deudas caracterizadas así: $60.000 con vencimiento en 10 meses e intereses del 25% y $100.000 con vencimiento en 24 meses e intereses del 28%. Si las va a cancelar con un pago de $20.000 el día de hoy y $X en 12 meses, determine el valor del pago con rendimiento del 20%. Poner ff en 12 meses.

Solución

Como las deudas devengan interés, entonces, a los 10 meses no se deben $60.000 sino

En igual forma a los 24 meses se deberá

Y la gráfica será

La deuda de $72.500 debe ser puesta en 12 así:

La deuda de $156.000 debe ser puesta en 12 así:

El pago de $20.000 se convierte en:

La ecuación de valor será

74.916.67 + 130.000 = 24.000 + X

de donde X = $180.916.67

Obsérvese que cada deuda se coloca en la línea de tiempo con su correspondiente interés, es decir, se colocan los respectivos montos; sin embargo, los traslados de los montos a la ff se hacen al rendimiento.

Ejemplo 15

¿A qué tasa de interés $20.000 con vencimiento en 3 meses y $50.000 con vencimiento en 10 meses será equivalente a $90.000 con vencimiento en 15 meses? Coloque la ff en 15 meses.

Solución.

Eliminando los paréntesis se tiene:

20.000 + 20.000 i + 50.000 + 20.833.33 i = 90.000

despejando i se tiene: i = 0.4898 = 48.98%

Observación. En una ecuación de valor se pueden presentar pequeñas diferencias en la respuesta cuando se cambia de sitio a la ff, por esta razón, y solamente en interés simple, es indispensable indicar el sitio donde se deberá colocar la ff.

Autor:

Briceño, Francisco

Delgado, Erika

López, Roberto

PROFESOR:

Ing. Andrés Eloy Blanco

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

"ANTONIO JOSÉ DE SUCRE"

VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

CÁTEDRA: INGENIERÍA ECONÓMICA

PUERTO ORDAZ, JULIO DE 2006