Valores Propios y Vectores Propios (Eigenvalores y Eigenvectores)

Introducción

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar ? recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios.

Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

La palabra alemana eigen, que se traduce en español como propio, se usó por primera vez en este contexto por David Hilbert en 1904 (aunque Helmholtz la usó previamente con un significado parecido). Eigen se ha traducido también como inherente, característico o el prefijo auto-, donde se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una determinada transformación lineal. Las denominaciones vector y valor característicos también se utilizan habitualmente

OBJETIVOS:

• Formular la definición de Valor Propio y de Vector Propio (real o complejo).

• Enunciar e interpretar el significado del teorema sobre la condición de subespacio vectorial, de un subconjunto de vectores propios.

• Enunciar e interpretal el significado del teorema relativoa vectores propios pertenecientes a subespacios propios diferentes.

• Aplicarlos resultados de las definiciones y teoremas estudiados, a la determinación de los valores propios y de los subespacios propios.

• Formular la definición de base propia.

• Enunciar e interpretar el significado del teorema sobre la diagonalización, en el caso de que los valores propios sean reales y desiguales y también complejos.

• Formular la definición de matrices simétricas y diagonalización ortogonal.

• Aplicar los conocimientos del capítulo al crecimiento de una población y a las Formas Cuadráticas.

• Aplicar los resultados del teorema anterior a la resolución de ejercicios.

Valores propios y vectores propios (eigenvalores y eygenvectores) de matrices reales y complejas

A continuación se va a desarrollar un tema muy importante dentro del algebra lineal, llamado valor propio y se plantea de la siguiente manera:

Los términos valor propio y vector propio correspondientes a los términos eigenvalor y eigenvector derivados del término alemán Eigenwert cuyo significado es "valor propio"

Interpretación geométrica en el plano R2

VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ

Definición:

A esta ecuación se la denomina ecuación característica de A.

• Ejemplo:

Observaciones:

Si A es una matriz de orden nxn entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

Solución:

La ecuación característica de A es:

3.1.- PROCESOS PARA DETERMINACIÓN DE VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS.

Sea A una matriz nxn:

Observación:

Todo endomorfismo en V donde V es un espacio vectorial de dimensión finita y mayor o igual a 1 sobre el cuerpo de los complejos admite vectores propios.

Pero si el cuerpo no es complejo, entonces no existen vectores propios.

• Ejemplo:

El sistema admite solución no trivial si:

Teorema:

Demostración:

La matriz de f respecto de la base [ V ] se obtiene determinando las imágenes de los vectores de dicha base, y teniendo en cuenta la definición de vector propio

Observación:

POLINOMIO CARACTERISTICO DE UNA MATRIZ

Definición:

PROPIEDADES:

VALORES CARACTERISTICOS PARA MATRICES TRIANGULARES

Si A es una matriz triangular nxn entonces sus valores propios son sus elementos en la diagonal principal.

3.2.- MATRICES SEMEJANTES:

Sean las matrices A y B de orden nxn se dice que la matriz A es semejante a la matriz B si existe una matriz P invertible de orden nxn tal que B = P-1AP

Observación:

La definición dada también se puede expresar así:

Las matrices A y B de orden nxn son semejantes si y solo si existe una matriz invertible P tal que PB = AP

• Ejemplo:

Teorema:

Si A y B son matrices semejantes de orden nxn, entonces A y B tienen elmismo polinomio característico y por lo tanto, tienen losmismos valores propios.

Demostración:

Esto significa que A y B tienen la misma ecuacióncaracterísticay como los valores propios son raíces de la ecuación característica tienen los mismos valores propios.

3.3.- EJERCICIOS

2.- Encuentre los autovalores y autovectores correspondientes a las siguientes transformaciones lineales:

3.- Obtener los eigenvalores y los eigenvectores asociados si existen de la siguiente matriz:

Por lo tanto los eigenvectores de la matriz A son (1,0) (1,1)

Posibles valores: a= 1; d = 1

5.-Determine los valores característicos de la siguiente matriz:

Lo cual implica que los valores característicos de A son -1, 6, -2

6.-Vea si las matrices D y A son semejantes dada la matriz P

Diagonalización de matrices

Se dice que una matriz cuadrada A es diagonizable, si existe una matriz inversible P tal que P-1AP sea diagonal; se dice que la matriz P diagonaliza a la matriz A.

S existe una matriz ortogonal P tal que P-1AP es diagonal, entonces A es diagonizable, y se dice que P diagonaliza ortogonalmente a A.

• Ejemplo:

Teorema:

Una matriz A de orden nxn es diagonizable si y solo si tiene n vectores propios linealmente independientes.

En tal caso la matriz diagonal D semejante a A esta dado por:

Demostración:

Entonces P es invertible ya que sus columnas son linealmente independientes.

Ahora también.

Entonces AP = PD y como P es inversible, se puede multiplicar ambos lados por la izquierda por P-1 para obtener:

D = P-1AP

Nota:

Si A es una matriz de orden nxn, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• A es diagonizable.

• A tiene vectores propios linealmente independientes.

Nota:

Si una matriz A de orden nxn tiene n valores propios diferentes entonces A es diagonizable.

• Ejemplo:

Determinar si la siguiente matriz es diagonizable:

Solución:

Calculando los valores propios de lamatriz A

Poniendo en la forma escalonada en los renglones reducida:

Para verificar la independencia lineal de los vectores se forma la matriz P, cuyas columnas son los vectores propios y se convierte enlaforma escalonada reducida.

4.1.- PASOS PARA DIAGONALIZAR UNA MATRIZ CUADRADA:

Sea A una matriz nxn:

• 1) Determine n vectores propios linealmente independientes v1, v2, v3,…..vn de A, con valores propios correspondientes ?1, ?2, ?3,…….?n. Si no existen n vectores propios linealmente independientes, entonces A no es diagonizable.

• 2) Si A tiene n vectores propios linealmente independientes, entonces sea P la matriz nxn cuyas columnas son tales vectores propios. Es decir:

P = [v1, v2, v3,………vn]

• 3) La matriz diagonal D = P-1AP tendrá los valores propios ?1, ?2, ?3,…….?n en su diagonal principal (y ceros en el resto). Observe que el orden de los vectores propios usados para formar P determina el orden en que aparecen los valores propios sobre la diagonal principal de D.

4.2.- EJERCICIOS

Concluimos que A sí es diagonizable.

2.- Encontrar la matriz P que diagonalice a la matriz A.

Solución:

Buscamos los vectores propios de A. Como es una matriz de 3×3 entonces debe tener tres vectores propios para ser diagonizable.

Como A es una matriz triangular superior, sabemos que los valores propios son los elementos de la diagonal principal.

Finalmente formamos la matriz P que está constituida por los vectores propios como vectores columna.

3.- Demuestre que la matriz dada no es diagonizable.

Por tanto A no tiene dos vectores característicos linealmente independientes, entonces se concluye que Ano es diagonizable.

4.-Demuestre que la matriz dada no es diagonizable.

Por tanto A no tiene dos vectores característicos linealmente independientes, entonces se concluye que Ano es diagonizable.

5.- Calcular A6 donde la matriz A es igual a:

Aquí aplicamos la ecuación del cálculo de las potencias de una matriz.

Matrices simétricas y diagonalización ortogonal

5.1.- MATRIZ SIMETRICA:

Definición:

Una matriz cuadrada es simétrica si:

Observación:

• Una matriz no simétrica puede no ser diagonizable.

• Una matriz no simétrica puede tener valores propios que no sean reales.

• Para una matriz no simétrica, el numero de vectores propios linealmente independientes correspondientes a un valor propio puede ser menor que la multiplicidad del valor propio.

Ninguno de los casos anteriores es posible con una matriz simétrica.

Teorema:

Si A es una matriz simétrica nxn, entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:

Demostración:

La demostración no es posible ya que se requiere conocimientos más avanzados.

• Ejemplo:

5.2.- MATRIZ ORTOGONAL

Definición:

Teorema:

Una matriz P nxn es ortogonal si y solo si sus vectores columna forman un conjunto ortonormal.

Demostración:

Suponga que los vectores columna de P forman un conjunto ortonormal.

Por lo tanto, la matriz compuesta de productos punto es de la forma

Teorema:

Si A es una matriz simétrica nxn. Si ?1 y ?2 son valores propios distintos de A entonces sus vectores propios correspondientes x1 y x2 son ortogonales.

Demostración:

• Ejemplo:

Por consiguiente

X1.x2 = (s, -s). (t, t) = st – st = 0

Y se concluye que x1 y x2 son ortogonales.

5.3.- DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL:

Una matriz es diagonizable ortogonalmente si existe una matriz P tal que

P-1AP = D

Teorema:

Si A es una matriz nxn. Entonces A es diagonizable ortogonalmente y tiene valores propios reales si y solo si A es simétrica.

Demostración:

Por consiguiente, A es simétrica.

Observación:

El conjunto de matrices diagonizable ortogonalmente es precisamente el conjunto de matrices simétricas.

• Ejemplo:

Ahora normalizamos estos vectores:

5.4.- PROCESO DE DIAGONALIZACION ORTOGONAL DE UNA MATRIZ SIMETRICA:

Sea A una matriz simétrica nxn

• a) Determine todos los valores propios de A y la multiplicación de cada uno.

• b) Para cada valor propio de multiplicidad 1, elija un vector propio unitario (Elija cualquier vector propio y después normalícelo).

• c) Para cada valor propio de multiplicidad k2 encuentre un conjunto de k vectores propios linealmente independientes. Si este conjunto no es ortonormal, aplique el método de ortonormalizacion de Gran-Schmidt.

• d) La composición de los pasos b) y c) da un conjunto ortonormal de n vectores propios. Use estos vectores propios para formar las columnas de P. La matriz P-1AP = PTAP = D será diagonal.

5.5.- EJERCICIOS:

1.-Determine si la matriz dada es ortogonal.

2.- Encuentre una matriz ortogonal P tal que PTAP diagonalize a A. Compruebe que PTAP da la forma diagonal correcta.

Ahora hacemos la comprobación:

3.- Encuentre una matriz P que diagonalize ortogonalmente a A.

Los dos vectores son de multiplicidad 1; por los tanto los normalizamos para obtener una base ortonormal.

4.- Encuentre los valores propios de la matriz simétrica dada. Para cada valor propio, determine la dimensión del espacio propio correspondiente.

Solución:

Encontramos los valores propios de A.

Por lo tanto tenemos que la dimension del espacio propio es 2.

5.-Encuentre una matriz ortogonal P que diagonalice a

Potencias de matrices. Ecuaciones en diferencias

6.1.-POTENCIAS DE MATRICES:

Una primera aplicación a la diagonalización de una matriz es que se puede fácilmente encontrar la potencia n-ésima de una matriz.

6.2.- ECUACIONES EN DIFERENCIAS:

Una ecuación en diferencia es una expresión que relacióna distintas sucesiones, siendo una de ellas una sucesión desconocida.

Son similares a las ecuaciones diferenciales, sustituyendo las funciones por sucesiones.

Las combinaciones lineales de soluciones de la forma indicada arriba también son soluciones.

6.3.- EJERCICIOS:

1.- Elevar la matriz dada al cuadrado al cubo y a la cuarta potencia

2.- Elevar la matriz a la n-esima potencia

Dado

Solucion:

Aplicando lo ya antes demostrado obtenemos la potencia hay que tomar en cuenta que si no tenemos la matriz D tenemos que obtenerla mediante la diagonalización. Además de obtener P y P inversa.

3.- Encontrar la matriz potencia de:

Solución:

Para este ejercicio se considera que ya previamente se a realice do la diagonalización y las matrices P y D son:

4.-Utilice la expresión del ejercicio anterior para calcular la potencia cuando

n=5

Solución:

5.- Dado

Calcular la cuarta potencia

Solución:

Realizando la multiplicación tenemos

Matrices unitarias, normales y matrices hermitianas

Los problemas que implican la diagonalización de matrices complejas, así como los problemas asociados de valores característicos, requieren del concepto de matrices unitarias y Hermitianas. Estas matrices corresponden grosso modo a las matrices reales ortogonales y simétricas. Para definir las matrices unitarias y Hermitianas definiremos primero los siguientes conceptos:

Definición de la Transpuesta Conjugada de una MatrizTranspuesta:

La transpuesta conjugada de una matriz transpuesta A, denotada por A*, se define como:

Donde los elementos de A son los conjugados complejos de los elementos correspondientes de A.

Observación:

Hay que tener presente que si A es una matriz real, entonces:

7.1.- MATRICES UNITARIAS:

Una matriz compleja A se denomina unitaria si:

Teorema:

Una matriz compleja A nxn es unitaria si y solo si sus vectores renglón (o columna) forman un conjunto ortogonal en Cn

7.2.- MATRICES NORMALES:

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, anti simétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

7.3.- MATRICES HERMITIANAS:

Se dice que una matriz cuadrada A es hermitiana si:

A = A*

Así como las matrices simétricas, las matrices Hermitianas pueden identificarse fácilmente por inspección. Para probar esto consideremos una matriz de 2×2.

Resultados semejantes pueden obtenerse para matrices Hermitianas de orden nxn. En otras palabras, una matriz cuadrada A es hermitiana si y solo si se cumplen las condiciones siguientes:

• 1. Los elementos de la diagonal principal son reales.

• 2. El elemento aij en la i-esima columna es el conjugado complejo del elemento aji en el j-ésimo renglón y en la i-esima columna.

Teorema: Los valores característicos de una Matriz Hermitiana:

Si A es una matriz Hermitiana, entonces sus valores característicos son números reales.

Demostración:

Teorema: Matrices Diagonalizables Unitariamente

Si A es una matriz hermitiana nxn, entonces:

• 1. A es diagonalizable unitariamente

• 2. A tiene un conjunto de n vectores característicos ortonormales.

Teorema: Vectores característicos de una Matriz Hermitiana

Comparación de las Matrices Hermitianas y las Matrices Simétricas:

7.4.- EJERCICIOS:

1.- Demuestre que la siguiente matriz es unitaria.

2.-Demuestre que la siguiente matriz compleja es unitaria al demostrar que su conjunto de vectores renglón forma un conjunto ortonormal en C3

Solución:Sean r1, r2 y r3 definidos como de la siguiente manera:

De manera semejante r1.r3 = 0 y r2.r3 = 0 y se puede concluir que (r1,r2,r3) es un conjunto ortonormal.

3.- ¿Cuáles de los siguientes matrices son Hermitianas?

Solución:

• a) Esta matriz no es hermitiana porque contiene un elemento imaginario en su diagonal principal.

• b) Esta matiz es simétrica pero no hermitiana porque el elemento en el primer renglón y segunda columna no es complejo conjugado del elemento en el segundo renglón y primera columna.

• c) Esta matriz es hermitiana.

4.- Encuentre los siguientes valores de la siguiente matriz Hermitiana.

Lo cual implica que los valores característicos de A son: -1, 6, -2

Para encontrar los vectores característicos de una matriz compleja se usa un procedimiento semejante al que se emplea en una matriz real.

5.- Demuestre que los siguientes vectores característicos de la matriz hermitiana del ejercicio anterior son mutuamente ortogonales.

6.- Encuentre una matriz unitaria P tal que P*AP sea una matriz diagonal, donde

Solución:

Enel ejercicio anterior encontramos los vectores caracteristicos de A. La matriz P se forma al normalizar estos tres vectores caracteristicos y usar los resultados para crear los renglones de P.

Aplicaciones: crecimiento de una población

Las matrices pueden aplicarse para elaborar modelos que describan el crecimiento de alguna población en clases de edad de la misma duración.

Si el tiempo que vive un miembro de la población es L años entonces las clases de edad se representan por los n siguientes intervalos:

Numero en la clase de primera edad.

Numero en la clase de segunda edad.

Numero en la clase de la n-esima edad.

Durante un periodo de L/n años, la probabilidad de que un elemento de la clase de la i-esima edad sobreviva para convertirse en elemento de laclase de la (i + 1) –esima edad está dada por pi, donde

Al multiplicar esta matriz de transición de edades por el vector de distribución de edades durante un periodo especifico seobtiene el vector de distribución de edades para el siguiente periodo. Es decir:

Axi = xi+1

• Ejemplo:

Una población de conejos criados en un laboratorio tiene las siguientes características:

• a) La mitad de conejos sobrevive el primer año. De estos, la mitad sobrevive el segundo año. La duración máxima de vida es de tres años.

• b) Durante el primer año los conejos no producen descendencia. El número medio de descendencia es 6 durante el segundo año y 8 durante el tercer año.

Actualmente la población de laboratorio consta de 24 conejos en la clase de la primera edad 24 en la segunda y 20 en la tercera. ¿Cuántos habrá en cada clase de edad en un año?

Solución:

El vector actual de distribución de edades es

Si el patrón de crecimiento continúa durante otro año, entonces la población de conejos será:

A partir de los vectores de distribución de edades x1, x2, x3 se observa que el porcentaje de conejos en las tres clases de edad cambia cada año.

8.1.- EJERCICIOS:

1.- Use la matriz A de transición de edades y el vector x de distribución de edades para encontrar los vectores de distribución de edades x2 y x3. Luego encuentre una distribución de edades estable para la matriz dada.

Ahora encontramos una distribución de edades estables. Para ello encontramos los valores propios.

2.- Use la matriz A de transición de edades y el vector x1, de distribución de edades para encontrar los vectores de distribución de edades x2, x3.

3.- Encuentre una distribución de edades estable para la matriz de transición de edades del ejercicio anterior.

Solo trabajamos con el valor propio positivo, y encontramos el vector propio:

4.- Una población presenta las siguientes características:

• a. Un total del 75% de la poblacion sobrevive el primer año. De este 75%, el 25% sobrevive el segundo año. La duración máxima de vida es de 3 años.

• b. El numero medio de de descendencia de cada miembro de la población es 2 el primer año, 4 el segundo y 2 el tercero.

Actualmente la población consta de 120 elementos en cada una de las tres clases de edad. ¿Cuántos habrá en cada clase de edad en un año? ¿Y en dos años?

Solución:

Primero formamos la matriz de transición de edades y el vector de distribución de edades a partir de los datos:

Habrá 960 individuos en la primera clase de edad, 90 en la segunda y 30 en la tercera.

Si el patrón de crecimiento no se altera, entonces el vector de distribución de edades será:

Habrá 2340 individuos en la primera clase de edad, 720 en la segunda y 22 en la tercera.

5.- Una población de conejos criados en un laboratorio tiene las siguientes características:

• a) La mitad de conejos sobrevive el primer año. De estos, la mitad sobrevive el segundo año. La duración máxima de vida es de tres años.

• b) Durante el primer año los conejos no producen descendencia. El número medio de descendencia es 6 durante el segundo año y 8 durante el tercer año.

Actualmente la población de laboratorio consta de 24 conejos en la clase de la primera edad 24 en la segunda y 20 en la tercera. ¿Cuántos habrá en cada clase de edad en un año?

Solución:

Primero tomamos la matriz de transición de edades y el vector de distribución de edades con los datos del problema.

Al cabo de un año en la primera clase de edad habrá 304 conejos, en la segunda clase de edad habrán 12 conejos, y de igual manera en la tercera clase.

Formas cuadráticas

Los valores propios y los vectores propios pueden usarse para resolver el problema de rotación de ejes. Recuerde que la clasificación de la ecuación cuadrática.

Es bastante directa en la medida en que la ecuación no contenga termino xy. Sin embargo, si la ecuación contiene termino xy, entonces la clasificación se logra más fácil al efectuar primero una rotación de ejes que elimine el termino xy. La ecuación resultante (respecto a los nuevos ejes x"y") será entonces de la forma

La matriz A se denomina matriz de la forma cuadrática. Observe que la matriz A es simétrica por definición. Además, la matriz A será diagonal si y solo si su forma cuadrática correspondiente no tiene termino xy.

• Ejemplo:

Encuentre la matriz de la forma cuadrática asociada con cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas.

Para ver como se puede usar la matriz de forma cuadrática para efectuar una rotación de ejes, sea:

Si b = 0 entonces no es necesaria ninguna rotación. Pero si b?0, entonces como A es simétrica se puede aplicar el teorema de Diagonalización ortogonal para concluir que existe una matriz ortogonal P tal que:

Lo anterior sirve como demostración.

Observación:

Nótese que el producto matricial [d e]Px" es de la forma:

• Ejemplo:

Efectúe una rotación de ejes para eliminar el término xy de la ecuación cuadrática

Proceso que se debe seguir:

9.1.- EJERCICIOS:

1.- Obtenga la matriz de la forma cuadrática asociada con la matriz dada:

2.- Obtenga la matriz A de la forma cuadrática asociada con la ecuación dada. Luego encuentre los valores propios de A y una matriz ortogonal P tal que PTAP sea diagonal.

3.-Sea

Buscar un cambio de variables lineal e invertible (y además ortogonal) de manera que se eliminen los productos de dos variables distintas.

Solución:

4.- Efectúe una rotación de los ejes que elimine el término xy en la ecuación cuadrática dada. Identifique la cónica rotada resultante y de su ecuación en el nuevo sistema de coordenadas.

Solución:

Primero formamos la matriz de la forma cuadrática:

Ahora del producto matricial obtenemos:

Pertenece a la ecuación de una parábola.

5.- Efectúe una rotación de los ejes que elimine el término xy en la ecuación cuadrática dada. Identifique lacónica rotada resultante y de su ecuación en el nuevo sistema de coordenadas.

xy + x – 2y + 3 = 0

Solución:

Primero formamos la matriz de la forma cuadrática:

Como a = 0, b = 1 y c = 0, d = 1, e =-2 y f = 3 la matriz de la forma cuadrática será:

Formamos la matriz P.

Pertenece a la ecuación de una hipérbola.

Conclusiones

Una vez concluido el trabajo tenemos una idea clara de temas antes desconocidos como son los valores propios y vectores propios y sus distintas aplicaciones.

Estos conocimientos lo logramos mediante la realización de varios ejercicios donde se explica de manera clara, además los mismos realizan una síntesis de los temas tratados en el presente trabajo.

De igual manera pudimos entender lo que es la Diagonalización de matrices y sobre todo las matrices simétricas y la Diagonalización ortogonal.

Varios de los conceptos aprendidos los pudimos llevar a las aplicaciones como son: crecimiento de una población en la cual con los ejercicios propuestos podemos ver como va a variar el crecimiento de una población a lo largo de los años y formas cuadráticas en la cual podemos resolver mucho más fácil y rápidamente las ecuaciones canónicas.

Recomendaciones

Deberíamos tener presente el cuidado que debemos tener a la hora de resolver los distintos ejercicios ya que es fácil caer en los errores algebraicos sobre todo si estamos trabajando con números complejos.

Además hay que tener presente la teoría ya que sin esta no podremos trabajar en los distintos ejercicios prácticos.

Si después de revisado todo el trabajo queda alguna duda recomiendo revisar la bibliografía que esta al final.

Bibliografía

• Introducción al algebra lineal de Larson- Edwards

• Introducción al algebra lineal de Howard Anton, tercera edición

• Algebra Lineal por Kolman Bernard

• Algebra Lineal por Seymour Lipschutz

• Algebra Lineal por Stanley Grossman

• Algebra Lineal y sus Aplicaciones David C. Lay

Autor:

Mateo Caldas Calle