Para la determinación de las propiedades geométricas de los sólidos existen tanto métodos analíticos como experimentales, en dependencia de la complejidad de forma geométrica de las piezas en cuestión. En este trabajo se persigue como objetivo desarrollar las técnicas operatorias para la determinación experimental de las coordenadas del centro de gravedad y el momento de inercia de volúmenes
Abstract
For the determination of the geometric properties of the solids they exist so much analytic methods as experimental, in dependence of the complexity in geometric way of the pieces in question. In this work it is pursued as objective to develop the operative techniques for the experimental determination of the coordinates of the center of gravity and the moment of inertia of volumes.
Palabras Claves: centro de gravedad, momento de inercia, determinación experimental.
Key words: center of gravity, moment of inertia, experimental determination.
Es vital en el proceso de conformación y forja de piezas, ya sea en frío o en caliente, el conocer previamente las coordenadas del punto donde se aplique toda la fuerza tecnológica de conformado o estampado afín de evitar deformaciones no deseables en la pieza. Ese punto no es más que el centro de gravedad de dicha pieza. ¿Cómo localizar sus coordenadas? Existen diferentes métodos, tanto analíticos como experimentales para la determinación de las coordenadas del centro de gravedad de un sólido rígido.
Para piezas, cuya forma geométrica es común, es factible aplicar las ecuaciones matemáticas que definen claramente las coordenadas del centro de gravedad del sólido rígido que se analice, sin embargo cuando la forma geométrica del cuerpo no es común es más ventajoso emplear métodos experimentales para determinar dichas coordenadas.
Otras de las propiedades geométricas de los sólidos y que reviste gran importancia en el diseño de elementos de máquinas es el Momento de Inercia, ya que esta propiedad da una medida de la resistencia inercial de los cuerpos a la aceleración rotatoria. Esta propiedad permite, a través de los cálculos de resistencia de los cuerpos sometidos a diferentes tipos de fuerzas, conocer con gran claridad las secciones más peligrosas de los cuerpos y las menos riesgosas, lo que trae consigo un diseño más eficiente.
Al igual que en la determinación de las coordenadas del centro de gravedad de los sólidos, para la determinación del momento de inercia existen tanto métodos analíticos como experimentales, en dependencia de la complejidad de forma geométrica de la piezas en cuestión. Para esta propiedad, en el caso de su determinación experimental, los métodos se basan en considerar los parámetros principales de las oscilaciones periódicas. Este trabajo persigue como objetivo desarrollar las técnicas operatorias para la determinación experimental de las coordenadas del centro de gravedad y el momento de inercia de volúmenes.
Centro de gravedad o de masa. Método analítico.
Centro de gravedad de un sólido bidimensional y tridimensional.
La fuerza de atracción de la tierra o fuerza de gravedad está aplicada sobre cada una de las partículas que constituyen los sólidos situados en su superficie o cerca de ella, esta fuerza está dirigida hacia el centro de la tierra. La atracción de la tierra sobre un sólido rígido debe representarse, por tanto, mediante un gran número de fuerzas pequeñas distribuidas sobre el sólido rígido entero.
La mayoría de las dimensiones de los cuerpos que se usan en la ingeniería son pequeñas, cuando se comparan con el radio de la tierra, se puede admitir, entonces, que las fuerzas de gravedad de las partículas del cuerpo son paralelas entre sí y conservan su magnitud constante, a pesar de las rotaciones cualesquiera efectuadas por el cuerpo.
donde:
W: E
s el peso del cuerpo; fuerza con que el cuerpo en reposo que se encuentra en el campo gravitatorio actúa sobre el apoyo que le impide caer verticalmente.
Cualquiera que sea la rotación efectuada por el cuerpo, las fuerzas de gravedad se mantienen paralelas entre sí y están aplicadas a las mismas partículas del cuerpo, varía solo su dirección respecto al cuerpo. Por consiguiente, la resultante W de las fuerzas de gravedad D W, en cualquier posición del cuerpo, pasará por un mismo punto G, que es el c. de g. del cuerpo. |
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"Por tanto el c. de g. de un sólido es el punto ligado invariablemente a él, por el cual pasa la acción de la resultante de las fuerzas de gravedad de las partículas del sólido dado, cualquiera que sea la posición del cuerpo en el espacio", según Massó Vázquez, 1982.
Para obtener las coordenadas del c. de g. se debe aplicar momento de las fuerzas respecto a los ejes X e Y:
Donde:
xn y yn: son las coordenadas de los puntos de aplicación de las fuerzas de gravedad D Wn de las partículas del sólido.
Debemos destacar que el c. de g. puede encontrarse fuera de los límites del sólido dado.
En el caso de un sólido tridimensional las coordenadas del c. de g. del mismo se determinan por:
Centro de gravedad de volúmenes, áreas y líneas.
Para un sólido homogéneo el peso D Wi de cualquier parte de éste es proporcional al volumen Vi, es decir:
y el peso de todo el sólido es proporcional, por tanto, a su volumen:
W = g V
Donde:
g : es el peso específico (por unidad de volumen) del material.
Sustituyendo estos valores de W y D Wi en las ecuaciones 4 y simplificando se obtiene:
Donde:
X, Y y Z son las coordenadas del c. de g. de un volumen.
Aumentando el número de elementos en que se divide el volumen V y disminuyendo a la vez el tamaño de cada uno de ellos, se obtiene, en el límite:
Donde:
es el momento estático o momento de primer orden del volumen con respecto al eje X.
Cuando un volumen posee un plano de simetría su c. de g. está situado en dicho plano, cuando posee dos planos de simetría está situado en la intersección de dichos planos y cuando posee tres planos de simetría estará situado en el punto de intersección de los tres planos.
El c. de g. de un sólido homogéneo es conocido, también, como c. de m. o centroide, por tanto, su determinación es como hasta aquí se ha descrito, pero haciendo la sustitución de 
. No obstante la coincidencia de c. de g. y c. de m. para sólidos homogéneos utilizaremos, comúnmente, (para regiones de habla Hispana) la denominación de c. de g. aun cuando se trate de c. de m.
De igual forma las coordenadas del c. de g. de un área A se determina por las expresiones:
Donde:
A: es el área total.
Ai: es el área de las partes componentes.
De manera análoga se obtienen las fórmulas para las coordenadas del c. de g. de una línea o alambre.
Donde:
L: es la longitud de todo el alambre.
Li: es la longitud de cada parte del alambre.
Las ecuaciones anteriores permiten calcular el c. de g. de artículos tipo alambres fabricados de sección constante.
Momento de inercia másicos. Métodos analíticos.
En la figura se hace que el cuerpo de masa "m" gire alrededor del eje O-O con una aceleración angular a . Un elemento de masa "dm" tiene una componente de la aceleración tangente a su trayectoria circular igual a ra y la fuerza tangencial resultante que actúa sobre este elemento es igual a la fuerza dF =
. El momento de esta fuerza respecto al eje O-O es dM =
.
La suma de los momentos de estas fuerzas extendida a todos los elementos del cuerpo es:
, donde a es la misma para cualquier punto del sólido rígido y puede sacarse de la integral, por tanto:
Donde:
, representa, de forma genérica, el momento de inercia másico del sólido respecto al eje O-O.
Con esta ecuación se puede obtener, por integración, el momento de inercia de cualquier cuerpo volumétrico y con una forma geométrica común. En la literatura consultada están establecidas las fórmulas para la determinación de esta propiedad geométrica de volúmenes conocidos.
Algunas consideraciones sobre movimiento periódicos de sólidos rígidos.
Todo movimiento que se repita al cabo de un tiempo determinado se dice que es periódico. Todas las oscilaciones y vibraciones de los cuerpos caen bajo este título que constituye una de las más importantes aplicaciones de la Dinámica para la determinación de algunas propiedades geométricas de los cuerpos.
Como se conoce de estudios anteriores las vibraciones pueden ser de dos tipos:
- Vibraciones libres, de las cuales se desprenden los movimientos armónicos simples.
- Vibraciones forzadas, una fuerza periódica excitadora provoca la oscilación.
Todas estas oscilaciones se referirán a un solo grado de libertad.
Vibraciones libres de partículas.
Este tipo de vibración, como todas las demás, la define una ecuación diferencial, la cual es obtenida del equilibrio dinámico de la partícula o cuerpo, dicho de otra forma aplicando el Principio de D Alembert. La ecuación diferencial para este caso es del tipo:
Donde:
p: es la frecuencia natural de la vibración (rad/s).
El período (T) de la vibración será el inverso de la frecuencia natural:
Tanto p como T son los parámetros más importantes de los movimientos oscilatorios.
Estos parámetros son los que se utilizan para determinar determinadas propiedades geométricas de los cuerpos.
Vibración torsional.
La figura ilustra un cuerpo plano sujeto a una varilla delgada. En el plano de dicho cuerpo se aplica un par M que producirá una torsión de la varilla, al liberarlo surge la vibración torsional.
La constante o módulo de rigidez de la varilla se representa por k. La ecuación diferencial que define este tipo de vibración será:
Esta es la ecuación vectorial que define la oscilación torsional y como es homogénea (igual a cero) representa un movimiento armónico simple.
I: representa el momento de inercia del cuerpo respecto a G
Para ella:
Entonces:
Donde:
T: es período de la vibración.
Péndulo físico.
En la figura se ilustra el péndulo físico, que también se conoce como péndulo compuesto, entendiéndose como tal a todo sistema material rígido que puede girar alrededor de un eje horizontal fijo que no pase por el centro de gravedad del sistema y sobre el cual solo actúa la fuerza de gravedad.
En la figura se representa la sección en el péndulo producida por un plano perpendicular al eje de suspensión cuya traza sobre el plano es O.
Un cuerpo suspendido de esta manera tomará la posición de equilibrio estable cuando el centro de gravedad reposa en la vertical que pasa por el eje de suspensión. En esta situación se le separa un ángulo q , se le abandona a la acción de la gravedad y se inicia un movimiento oscilatorio alrededor de la posición de equilibrio con iguales características al movimiento del péndulo simple.
Si W es el peso del péndulo, OG = L donde G es el centro de gravedad del cuerpo, IO es el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión, la ecuación diferencial que define este movimiento se obtiene aplicando.
Que se escribe de la forma:
Para oscilaciones de amplitudes pequeñas, la ecuación anterior se convierte en:
Y el período de la oscilación es:
Es de mucha importancia de la ecuación anterior obtener el período T2 del péndulo simple para lo cual se considera que la masa "m" de este péndulo respecto al eje de suspensión tiene el momento de inercia:
Que sustituida en la ecuación de (11) resulta para T2 :
Comparando ambos períodos e introduciendo una longitud L1 = OK, tal que:
Con lo que el período de ambos péndulos es el mismo. Esta longitud L1 se denomina longitud equivalente del péndulo simple, y determina el punto K como se aprecia en la figura. Este nuevo punto se llama punto de oscilación.
Rápidamente se demuestra que L1 > L, ya que si K es el radio de giro del péndulo físico y como 
, que sustituido en la ecuación (13) se obtiene:
De donde:
Siendo Kg el radio de giro del péndulo físico respecto al centro de gravedad de dicho péndulo.
De todo lo anterior se puede concluir que este método de las oscilaciones pequeñas de un péndulo físico puede emplearse en la práctica para la determinación de momentos de inercia y el radio de giro de sólidos que se puedan comportar como un péndulo simple y que, por supuesto, la ecuación diferencial que defina el movimiento sea la ecuación diferencial del movimiento armónico simple, es decir que dicha ecuación sea homogénea.
Técnicas operatorias para la determinación de las propiedades geométricas de los cuerpos.
Determinación de las coordenadas del centro de gravedad de una biela.
Se desea determinar experimentalmente las coordenadas del centro de gravedad de una biela, la cual se muestra en la siguiente figura:
Técnica operatoria:
- Se pesa la biela en una balanza.
- Se mide, con un pie de rey, la distancia "d".
- Se procede a determinar qué parte del peso de la biela cae en A y cuál cae en B, para ello se utiliza la balanza de platillo, tal y como se muestra en las siguientes figuras. En los esquemas se muestra la forma para determinar el peso que recae en B y en A. En este procedimiento hay que tener presente que la línea O-O se mantenga horizontal.
- Es preciso hacer las mediciones varias veces (como mínimo tres) y usar el valor promedio y así el % de errores disminuirá.
- Determinados los pesos que recaen en A y B, se confecciona el diagrama de cuerpo libre de la biela y entonces se aplica la ecuación de equilibrio, por ejemplo:
El diagrama de cuerpo libre de la biela sería:
ó 
Se obtiene el valor h y b y de esta forma se localizan las coordenadas del centro de gravedad.
Materiales:
- Varias bielas pequeñas para varios puestos de trabajo.
- Balanzas de platillo.
- Pie de rey
- Calculadora
Determinación del momento de inercia de una biela.
Para determinar el momento de inercia de una biela se procede a analizar la misma como si fuera un péndulo simple y se aplican las ecuaciones derivadas de la vibración libre resultante.
Técnica operatoria:
- Se pesa la biela.
- Se suspende la biela primero del punto B con un apoyo de cuchilla, tal y como se muestra en la figura. Se espera que esté en la posición de equilibrio estable.
- Se desplaza de la vertical la línea BG un ángulo q pequeño. Se suelta a partir del reposo y cuando comienza a oscilar se mide el tiempo que demora en recorrer un ciclo completo, este será el período de la vibración (TB). Esto se repite al menos tres veces y se toma el valor medio. Se hace la misma operación, pero la biela apoyada en el punto A y se obtiene el valor de (TA).
Con estas operaciones experimentales y las ecuaciones derivadas de las oscilaciones para un péndulo físico se puede determinar, tanto el momento de inercia como el radio de giro.
O lo que es lo mismo:
Donde:
K: es el radio de giro centroidal de la biela
Materiales:
- Varias bielas para varios puestos de trabajo.
- Balanza de platillo.
- Cronómetros.
- Pie de rey.
- Mesas con apoyos de cuchilla.
- Local para las prácticas.
3. Conclusiones y Recomendaciones
Conclusiones.
- Utilizando las metodologías expuestas se pueden determinar propiedades geométricas importantes en los cuerpos rígidos, tales como: coordenadas del centro de gravedad, momento de inercia y radio de giro.
- Se pudo constatar que el desarrollo de estos experimentos no requieren de grandes recursos materiales, ya que los se plantean pueden ser localizados en otros Departamentos Docentes de la carrera.
- Independientemente que se cumplió el objetivo propuesto en el trabajo, el mismo nos ha servido de gran ayuda para nuestra formación integral y poder observar mejor los fenómenos físicos que a diario ocurren a nuestro alrededor.
Recomendaciones.
- Que la Disciplina de Mecánica Aplicada valore la posibilidad de instaurar estas prácticas de laboratorio en próximos cursos,
- Que se estudie la posibilidad de realizar otras prácticas de laboratorio con los recursos mínimos.
1. Agulló Batlle, Joaquín "Mecánica de la partícula y del sólido rígido", Publicaciones OK Punt, 1996
2. Beer, Ferdinand P. y Johnston, E. Russell "Mecánica Vectorial para Ingenieros (Tomos I y II), Ediciones Revolucionarias, 1988
3. Beer, Ferdinand P. y Johnston, E. Russell "Mechanics of Materials", Second Edition, 1992.
4. Massó Vázquez, Francisco "Mecánica Teórica II", Santiago de Cuba, 1982.
5. Merian, J. L. "Mecánica", Ediciones Revolucionarias, 1987.
6. Targ, S. "Curso breve de Mecánica Teórica", Editorial Mir, Moscú, 1976
Autor:
M.Sc. Eusebio González Utria
M.Sc. José A. Martínez Grave de Peralta
M.Sc. Héctor Pupo Leyva
Ing. Johann Mejías Brito
Ing. Geovani Acosta Méndez
Institución: Universidad de Holguín. Departamento de Mecánica Aplicada, Facultad de Ingeniería.
Dirección: Av. XX Aniversario s/n. Piedra Blanca. Holguín. GP 57 .CP 80100. Cuba