11 EJERCICIO 26 : Formula y plantea mediante programación lineal el siguiente caso de una oficina de correos que desea minimizar el número de empleados de tiempo completo que hay que contratar sabiendo que necesita un número diferente de empleados a tiempo completo, para cada día de la semana. Empleados Día Requeridos Día 1 = Lunes 17 Día 2 = Martes 13 Día 3 = Miércoles 15 Día 4 = Jueves 18 Día 5 = Viernes 14 X2 : Trabajarán martes, miércoles, jueves, viernes y sábado y descansarán domingo y lunes. X3 : Trabajarán miércoles, jueves, viernes, sábado y domingo y descansarán lunes y martes. X4 : Trabajarán jueves, viernes, sábado, domingo y lunes y descansarán martes y miércoles. X5 : Trabajarán viernes, sábado, domingo, lunes y martes y descansarán miércoles y jueves. X6 : Trabajarán sábado, domingo, lunes, martes y miércoles y descansarán jueves y viernes. X7 : Trabajarán domingo, lunes, martes, miércoles y jueves y descansarán viernes y sábado. Día 6 = Sábado Día 7 = Domingo 16 Para visualizar mejor la situación planteada y las variables que vamos a utilizar se puede fabricar una tabla donde se indiquen los días Los reglamentos sindicales señalan que cada empleado de tiempo completo tiene que trabajar durante cinco días consecutivos, y después descansar dos días. Por ejemplo, un que trabaja cada equipo y ver la relación existente entre ellos (coincidencia de equipos por día de trabajo en la semana) : empleado que trabaja de lunes a viernes, tiene que descansar el sábado y el domingo. La oficina de correos quiere cumplir con sus requerimientos diarios y utilizar solamente empleados de tiempo completo. Solución : Atendiendo los reglamentos sindicales se pueden formar equipos de trabajo bajo las siguientes condiciones : X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Empleados Requeridos Lun. 1 1 1 1 1 17 Mar. 1 1 1 1 1 13 Mié. 1 1 1 1 1 15 Jue. 1 1 1 1 1 18 Vie. 1 1 1 1 1 14 Sáb. 1 1 1 1 1 16 Dom. 1 1 1 1 1 11 X1 : Trabajarán lunes, martes, miércoles, jueves y viernes y descansarán sábado y domingo. EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Ahora se pueden identificar las variables de decisión o incógnitas como : Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 1 – )
X1LUN ; Miembros del equipo 1 que trabajan el lunes X1MAR ; Miembros del equipo 1 que trabajan el martes X1MIE ; Miembros del equipo 1 que trabajan el miércoles X1JUE ; Miembros del equipo 1 que trabajan el jueves X1VIE ; Miembros del equipo 1 que trabajan el viernes X2MAR ; Miembros del equipo 2 que trabajan el martes X2MIE ; Miembros del equipo 2 que trabajan el miércoles X2JUE ; Miembros del equipo 2 que trabajan el jueves X2VIE ; Miembros del equipo 2 que trabajan el viernes X2SAB ; Miembros del equipo 2 que trabajan el sábado X3MIE ; Miembros del equipo 3 que trabajan el miércoles X3JUE ; Miembros del equipo 3 que trabajan el jueves X3VIE ; Miembros del equipo 3 que trabajan el viernes X3SAB ; Miembros del equipo 3 que trabajan el sábado X3DOM ; Miembros del equipo 3 que trabajan el domingo X4JUE ; Miembros del equipo 4 que trabajan el jueves X4VIE ; Miembros del equipo 4 que trabajan el viernes X4SAB ; Miembros del equipo 4 que trabajan el sábado X4DOM ; Miembros del equipo 4 que trabajan el domingo X4LUN ; Miembros del equipo 4 que trabajan el lunes X5VIE ; Miembros del equipo 5 que trabajan el viernes X5SAB ; Miembros del equipo 5 que trabajan el sábado X5DOM ; Miembros del equipo 5 que trabajan el domingo X5LUN ; Miembros del equipo 5 que trabajan el lunes X5MAR ; Miembros del equipo 5 que trabajan el martes EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) X6SAB ; Miembros del equipo 6 que trabajan el sábado X6DOM ; Miembros del equipo 6 que trabajan el domingo X6LUN ; Miembros del equipo 6 que trabajan el lunes X6MAR ; Miembros del equipo 6 que trabajan el martes X6MIE ; Miembros del equipo 6 que trabajan el miércoles X7DOM ; Miembros del equipo 7 que trabajan el domingo X7LUN ; Miembros del equipo 7 que trabajan el lunes X7MAR ; Miembros del equipo 7 que trabajan el martes X7MIE ; Miembros del equipo 7 que trabajan el miércoles X7JUE ; Miembros del equipo 7 que trabajan el jueves Identificadas las variables ya podemos elaborar el Modelo matemático de Programación Lineal : Función Objetivo : MINIMIZAR Z = X1+ X2 + X3 + X4+ X5 + X6 + X7 Restricciones : Tomando en cuenta los empleados requeridos cada día y observando la tabla que construimos : 1) X1LUN + X4LUN + X5LUN + X6LUN + X7LUN 2) X1MAR + X2MAR + X5MAR + X6MAR + X7MAR 3) X1MIE + X2MIE + X3MIE + X6MIE + X7MIE 4) X1JUE + X2JUE + X3JUE + X4JUE + X7JUE 5) X1VIE + X2VIE + X3VIE + X4VIE + X5VIE 6) X2SAB + X3SAB + X4SAB + X5SAB + X6SAB 7) X3DOM + X4DOM + X5DOM + X6DOM+ X7DOM Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 2 – )
8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) Como cada equipo debe tener la misma cantidad de miembros trabajando cada uno de los 5 días continuos : X1LUN = X1MAR = X1MIE = X1JUE = X1VIE X2MAR = X2MIE = X2JUE = X2VIE = X2SAB X3MIE = X3JUE = X3VIE = X3SAB = X3DOM X4JUE = X4VIE = X4SAB = X4DOM = X4LUN X5VIE = X5SAB = X5DOM = X5LUN = X5MAR X6SAB = X6DOM = X6LUN = X6MAR = X6MIE X7DOM = X7LUN = X7MAR = X7MIE = X7JUE Cuando un problema de programación lineal tiene tantas incógnitas es recomendable solucionarlo en EXCEL utilizando la “tabla” del método de transporte : Los resultados se leen : 1) Se contratarán 6 empleados para el equipo 1 2) Se contratarán 5 empleados para el equipo 2 3) Se contratarán 7 empleados para el equipo 4 4) Se contratarán 4 empleados para el equipo 6 En total se contratarán 22 empleados. Sea muy cuidadoso cuando analice los resultados que arroja EXCEL, en este caso en particular el resultado de la función objetivo refleja un valor de 110 empleados; en realidad se refiere al total de empleados que laboran tomando en cuenta el subtotal diario de ellos. Si tomamos en cuenta que cada empleado trabaja 5 días a la semana, es lógico inferir que el total a contratar EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 3 – )
25 34 67 50 117 134 50 EJERCICIO 27 : El Sheraton opera los 7 días de la semana. Las mucamas son contratadas para trabajar 6 horas diarias. El contrato colectivo especifica que cada mucama debe trabajar 5 días consecutivos y descansar 2. Todas las mucamas reciben el mismo sueldo semanal. El Sheraton requiere como Para determinar cuántas mucamas se necesitan cada día se dividen las horas de servicio necesarias entre las 6 horas de trabajo diario de cada mucama : Por tratarse de personas, se trabajará con números enteros y se aproximará por exceso. mínimo las siguientes horas de servicio: lunes 150, martes 200, miércoles 400, jueves 300, viernes 700, sábado 800 y domingo 300. El administrador desea encontrar un plan de programación de empleos que satisfaga estos requerimientos y a un costo mínimo. Solución : Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Horas de servicio Requeridas 150 200 400 300 700 800 300 Mucamas Requeridas 25 33,33 66,67 50 116,67 133,33 50 Atendiendo lo contemplado en el contrato colectivo se pueden formar equipos de trabajo bajo las siguientes condiciones : X1 : Trabajarán lunes, martes, miércoles, jueves y viernes y descansarán sábado y domingo. X2 : Trabajarán martes, miércoles, jueves, viernes y sábado y descansarán domingo y lunes. X3 : Trabajarán miércoles, jueves, viernes, sábado y domingo y descansarán lunes y martes. X4 : Trabajarán jueves, viernes, sábado, domingo y lunes y descansarán martes y miércoles. X5 : Trabajarán viernes, sábado, domingo, lunes y martes y descansarán miércoles y jueves. X6 : Trabajarán sábado, domingo, lunes, martes y miércoles y descansarán jueves y viernes. X7 : Trabajarán domingo, lunes, martes, miércoles y jueves y descansarán viernes y sábado. EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Para visualizar mejor la situación planteada y las variables que vamos a utilizar se puede fabricar una tabla donde se indiquen los días que trabaja cada equipo y ver la relación existente entre ellos (coincidencia de equipos por día de trabajo en la semana) : Lun. Mar. Mié. Jue. Vie. Sáb. Dom. X1 1 1 1 1 1 X2 1 1 1 1 1 X3 1 1 1 1 1 X4 1 1 1 1 1 X5 1 1 1 1 1 X6 1 1 1 1 1 X7 1 1 1 1 1 Mucamas Requeridas Ahora se pueden identificar las variables de decisión o incógnitas como : Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 4 – )
X1LUN ; Miembros del equipo 1 que trabajan el lunes X1MAR ; Miembros del equipo 1 que trabajan el martes X1MIE ; Miembros del equipo 1 que trabajan el miércoles X1JUE ; Miembros del equipo 1 que trabajan el jueves X1VIE ; Miembros del equipo 1 que trabajan el viernes X2MAR ; Miembros del equipo 2 que trabajan el martes X2MIE ; Miembros del equipo 2 que trabajan el miércoles X2JUE ; Miembros del equipo 2 que trabajan el jueves X2VIE ; Miembros del equipo 2 que trabajan el viernes X2SAB ; Miembros del equipo 2 que trabajan el sábado X3MIE ; Miembros del equipo 3 que trabajan el miércoles X3JUE ; Miembros del equipo 3 que trabajan el jueves X3VIE ; Miembros del equipo 3 que trabajan el viernes X3SAB ; Miembros del equipo 3 que trabajan el sábado X3DOM ; Miembros del equipo 3 que trabajan el domingo X4JUE ; Miembros del equipo 4 que trabajan el jueves X4VIE ; Miembros del equipo 4 que trabajan el viernes X4SAB ; Miembros del equipo 4 que trabajan el sábado X4DOM ; Miembros del equipo 4 que trabajan el domingo X4LUN ; Miembros del equipo 4 que trabajan el lunes X5VIE ; Miembros del equipo 5 que trabajan el viernes X5SAB ; Miembros del equipo 5 que trabajan el sábado X5DOM ; Miembros del equipo 5 que trabajan el domingo X5LUN ; Miembros del equipo 5 que trabajan el lunes X5MAR ; Miembros del equipo 5 que trabajan el martes EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) X6SAB ; Miembros del equipo 6 que trabajan el sábado X6DOM ; Miembros del equipo 6 que trabajan el domingo X6LUN ; Miembros del equipo 6 que trabajan el lunes X6MAR ; Miembros del equipo 6 que trabajan el martes X6MIE ; Miembros del equipo 6 que trabajan el miércoles X7DOM ; Miembros del equipo 7 que trabajan el domingo X7LUN ; Miembros del equipo 7 que trabajan el lunes X7MAR ; Miembros del equipo 7 que trabajan el martes X7MIE ; Miembros del equipo 7 que trabajan el miércoles X7JUE ; Miembros del equipo 7 que trabajan el jueves Identificadas las variables ya podemos elaborar el Modelo matemático de Programación Lineal : Función Objetivo : MINIMIZAR ) Z = X1+ X2 + X3 + X4+ X5 + X6 + X7 Restricciones : Tomando en cuenta los empleados requeridos cada día y observando la tabla que construimos : 1) X1LUN + X4LUN + X5LUN + X6LUN + X7LUN 2) X1MAR + X2MAR + X5MAR + X6MAR + X7MAR 3) X1MIE + X2MIE + X3MIE + X6MIE + X7MIE 4) X1JUE + X2JUE + X3JUE + X4JUE + X7JUE 5) X1VIE + X2VIE + X3VIE + X4VIE + X5VIE 6) X2SAB + X3SAB + X4SAB + X5SAB + X6SAB 7) X3DOM + X4DOM + X5DOM + X6DOM+ X7DOM Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 5 – )
8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) Como cada equipo debe tener la misma cantidad de miembros trabajando cada uno de los 5 días continuos : X1LUN = X1MAR = X1MIE = X1JUE = X1VIE X2MAR = X2MIE = X2JUE = X2VIE = X2SAB X3MIE = X3JUE = X3VIE = X3SAB = X3DOM X4JUE = X4VIE = X4SAB = X4DOM = X4LUN X5VIE = X5SAB = X5DOM = X5LUN = X5MAR X6SAB = X6DOM = X6LUN = X6MAR = X6MIE X7DOM = X7LUN = X7MAR = X7MIE = X7JUE Cuando un problema de programación lineal tiene tantas incógnitas es recomendable solucionarlo en EXCEL utilizando la “tabla” del método de transporte : Los resultados se leen : 1) Se contratarán 67 mucamas para el equipo 3 2) Se contratarán 67 mucamas para el equipo 5 En total se contratarán 134 mucamas. Sea muy cuidadoso cuando analice los resultados que arroja EXCEL, en este caso en particular el resultado de la función objetivo refleja un valor de 670 mucamas; en realidad se refiere al total de mucamas que laboran tomando en cuenta el subtotal diario de ellas. Si tomamos en cuenta que cada mucama trabaja 5 días a la semana, es lógico inferir que el total a contratar EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 6 – )
? ? ? ? ? ? ? ? EJERCICIO 28 : Una firma comercial fabrica dos Solución : tipos de mermelada. Para la mermelada de fresa utiliza la fruta y el azúcar en proporciones 2 a 3, y para la mermelada de manzana la proporción es de 1 a 1. Se dispone de 1000 kg de fresas, de 1500 kg de manzanas y de 3000 kg de azúcar. La mermelada se elabora en una caldera y posteriormente es envasada, disponiendo para ello de dos calderas y de dos envasadoras. Las horas necesarias para fabricar 1 kg de mermelada son: Sea muy cuidadoso a la hora de identificar las incógnitas o variables de decisión. El “estudiante apresurado” puede erróneamente decir que serán dos variables : 1) Cantidad de kilogramos de mermelada de fresa a producir y 2) Cantidad de kilogramos de mermelada de manzana a producir. Sin embargo, al leer detenidamente el problema podemos inferir que las mermeladas pueden fabricarse de varias maneras y a diferentes Mermelada de Fresa Mermelada de Manzana costos al poder utilizar la combinación de 2 calderas y 2 envasadoras, luego las incógnitas serán : Caldera A Caldera B Envasadora A Envasadora B 0,6 0,9 0,01 0,04 0,9 0,9 0,02 0,03 FAA : Cantidad de kilogramos de mermelada de fresa elaborada en la caldera “A” y la envasadora “A”. FAB : Cantidad de kilogramos de mermelada de fresa elaborada en la caldera “A” y la envasadora “B”. FBA : Cantidad de kilogramos de mermelada de fresa El número total de horas disponibles así como el coste de su uso por hora son: elaborada en la caldera “B” y la envasadora “A”. FBB : Cantidad de kilogramos de mermelada de fresa elaborada en la caldera “B” y la envasadora “B”. MAA : Cantidad de kilogramos de mermelada de manzana Caldera A Caldera B Envasadora A Envasadora B Horas disponibles 1.000 5.000 100 50 Coste por hora (€) 8 4 90 40 elaborada en la caldera “A” y la envasadora “A”. MAB : Cantidad de kilogramos de mermelada de manzana elaborada en la caldera “A” y la envasadora “B”. MBA : Cantidad de kilogramos de mermelada de manzana elaborada en la caldera “B” y la envasadora “A”. MBB : Cantidad de kilogramos de mermelada de manzana elaborada en la caldera “B” y la envasadora “B”. Si el precio de venta es de 15€ por kg de mermelada de fresa y de 12€ por kg de mermelada de manzana, ¿qué cantidades de los dos tipos de mermelada se han de producir para que se maximice el beneficio de la firma? EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Conocidas las variables es necesario determinar los costos de cada una de ellas para poder calcular la utilidad de las mismas y poder utilizar dichos datos en la función objetivo (Se pide maximizar utilidad o beneficio = precio de venta menos costos). Generalmente en estos costos se incluye el precio de adquisición de cada kilo de fresa y cada kilo de manzana (En este problema no se suministran estos datos) Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 7 – )
Cálculo de los costos de producir cada tipo de mermelada : Los Costos estarán representados por el tiempo utilizado en la caldera multiplicado por el costo de su uso más el tiempo utilizado en la envasadora multiplicado por el costo de su uso. FAA : Cantidad de kilogramos de mermelada de fresa elaborada en la caldera “A” y la envasadora “A”. (0.6).(8) + (0,01).(90) = 4,8 + 0,9 = 5,7 FAB : Cantidad de kilogramos de mermelada de fresa elaborada en la caldera “A” y la envasadora “B”. (0,6).(8) + (0,04).(40) = 4,8 + 1,6 = 6,4 FBA : Cantidad de kilogramos de mermelada de fresa elaborada en la caldera “B” y la envasadora “A”. (0,9).(4) + (0,01).(90) = 3,6 + 0,9 = 4,5 FBB : Cantidad de kilogramos de mermelada de fresa elaborada en la caldera “B” y la envasadora “B”. (0,9).(4) + (0,04).(40) = 3,6 + 1.6 = 5,2 MAA : Cantidad de kilogramos de mermelada de manzana elaborada en la caldera “A” y la envasadora “A”. (0,9).(8) + (0,02).(90) = 7,2 + 1,8 = 9 MAB : Cantidad de kilogramos de mermelada de manzana elaborada en la caldera “A” y la envasadora “B”. (0,9).(8) + (0,03).(40) = 7,2 + 1,2 = 8,4 MBA : Cantidad de kilogramos de mermelada de manzana elaborada en la caldera “B” y la envasadora “A”. (0,9).(4) + (0,02).(90) = 3,6 + 1,8 = 5,4 MBB : Cantidad de kilogramos de mermelada de manzana elaborada en la caldera “B” y la envasadora “B”. (0,9).(4) + (0,03).(40) = 3,6 + 1,2 = 4,8 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Cálculo del beneficio de cada tipo de mermelada : FAA : Precio de venta – costos = 15 – 5,7 = 9,3 FAB : Precio de venta – costos = 15 – 6,4 = 8,6 FBA : Precio de venta – costos = 15 – 4,5 = 10,5 FBB : Precio de venta – costos = 15 – 5,2 = 9,8 MAA : Precio de venta – costos = 12 – 9 = 3 MAB : Precio de venta – costos = 12 – 8,4 = 3,6 MBA : Precio de venta – costos = 12 – 5,4 = 6,6 MBB : Precio de venta – costos = 12 – 4,8 = 7,2 La función objetivo quedará expresada como : MAXIMIZAR Z = 9,3 FAA + 8,6 FAB + 10,5 FBA + 9,8 FBB + 3 MAA + 3,6 MAB + 6,6 MBA + 7,2 MBB Conocidos todos estos elementos es recomendable construir una tabla donde se muestren todos los datos del problema: Para evitar errores es bueno analizar la información relacionada a las proporciones de la preparación de cada mermelada : “Para la mermelada de fresa utiliza la fruta y el azúcar en proporciones 2 a 3, y para la mermelada de manzana la proporción es de 1 a 1” De la información anterior se deduce que cada Kg. de mermelada de fresa contiene kg. de fresa y kg. de azúcar (0,4 Kg. de fresa y 0,6 kg. de azúcar). De la información anterior se deduce que cada Kg. de mermelada de manzana contiene kg. de manzana y kg. de azúcar (0,5 Kg. de manzana y 0,5 kg. de azúcar). Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 8 – )
? ? ? ? Se deben fabricar 1666,7 kilogramos de mermelada de manzana utilizando la Caldera “B” y la Envasadora “B” La venta de estos productos generará un beneficio máximo de 47.050,00 € Una vez construida la tabla anterior resulta extremadamente fácil indicar las restricciones (prácticamente la tabla y las restricciones poseen la misma estructura). Restricciones : 1) 0,4 FAA + 0,4 FAB + 0,4 FBA + 0,4 FBB = 1000 2) 0,5 MAA + 0,5 MAB + 0,5 MBA + 0,5 MBB = 1500 3) 0,6 FAA + 0,6 FAB + 0,6 FBA + 0,6 FBB + 0,5 MAA + 0,5 MAB + 0,5 MBA + 0,5 MBB = 3000 4) 0,6 FAA + 0,6 FAB + 0,9 MAA + 0,9 MAB = 1000 5) 0,9 FBA + 0,9 FBB + 0,9 MBA + 0,9 MBB = 5000 6) 0,01 FAA + 0,01 FBA + 0,02 MAA + 0,02 MBA = 100 7) 0,04 FAB + 0,04 FBB + 0,03 MAB + 0,03 MBB = 50 Los resultados se leen : Se deben fabricar 2500 kilogramos de mermelada de fresa utilizando la Caldera “B” y la Envasadora “A” Se deben fabricar 1333,3 kilogramos de mermelada de manzana utilizando la Caldera “B” y la Envasadora “A” EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 9 – )
= = = = – EJERCICIO 29 : En una empresa se está discutiendo la composición de un comité para negociar los 3) Al menos un 40% del comité serán sindicalistas sueldos con la dirección. En el comité habrá sindicalistas e independientes. El número total de miembros no deberá ser inferior a 10 ni superior a 20. Al menos un 40% del comité serán sindicalistas. El número de independientes será como S = 40% (S + i) S = 0,40 S + 0,40 i = S = 0,40 (S + i) S – 0,40 S – 0,40 i = 0 poco una cuarta parte del de sindicalistas. a. ¿Qué combinaciones de miembros de cada tipo puede tener el comité?. Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Puede haber 4 sindicalistas y 16 independientes?. 0,60 S – 0,40 i = 0 4) El número de independientes será como poco una cuarta parte del de sindicalistas. i = S = 4 i = S b. Si se quiere que el número de independientes sea el mayor posible, ¿cuál será la composición del comité? Solución: Se definen las incógnitas o variables de decisión : S = Cantidad de sindicalistas que conformarán el comité. i = Cantidad de independientes que conformarán el comité. La función objetivo quedará definida como : Z=S+i Restricciones : 1) El número total de miembros no deberá ser inferior a 10 S + i = 10 2) El número total de miembros no deberá ser superior a 20 S + 1 = 20 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) 4i – S = 0 Con esta información se construye la gráfica donde se pueda visualizar el área factible de soluciones (se recomienda leer la guía adjunta “COMO GRAFICAR LA DESIGUALDAD”) Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 10 – )
; ; La zona sombreada representará el “área factible de soluciones”, en ella se encontrarán todos aquellos pares ordenados que cumplen simultáneamente con TODAS las cuatro restricciones. Este par ordenado (S,i) indicará en su parte izquierda los miembros sindicalistas (S) que conformarán el comité y en su parte derecha (i) los miembros independientes. En relación a uno de los aspectos contenidos en la pregunta “a” : Al observar el par ordenado (4,16) notamos que está ubicado arriba y a la izquierda de la recta (3). Esta recta representa “la frontera” de la restricción tres (0,60 S – 0,40 i = 0 ). Dicha restricción nos indica que los pares ordenados que cumplen con ella estarán contenidas en la recta (3) ó a la derecha y debajo de la misma. Si sustituímos los valores (S=4 , i=16) en la restricción 3 obtendremos : ¿Puede haber 4 sindicalistas y 16 independientes?. Se recomienda ubicar el par ordenado en la gráfica y ver si está ubicado o (0,60).(4) – (0,40).(16)i = 0 2,4 – 6,4 = 0 –4 = 0 no en el área sombreada. Cómo – 4 NO es mayor ni igual a cero se afirma que el par ordenado (4,16) no cumple con la restricción (3) y por lo tanto el comité no puede estar conformado por 4 sindicalista y 16 independientes. b. Si se quiere que el número de independientes sea el mayor posible, ¿cuál será la composición del comité? El valor más alto que puede tener la variable “i” en el área factible de solución estará representado por la intersección de las rectas (2) y (3) Se puede visualizar fácilmente que el par ordenado (4,16) está fuera del área factible de solución, podemos afirmar que el comité no puede estar conformado por 4 sindicalista y 16 independientes. Para confirmar lo expresado anteriormente daremos una breve explicación para que nuestros estudiantes tengan una visión más clara de los conceptos estudiados. EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 11 – )
Yn Ye Ys Cn = = = = Luego para calcular dicho par ordenado se construye un sistema con las ecuaciones (2) y (3). Formule el problema como programación lineal y determine el programa óptimo de producción para cada herramienta. S + i = 20 0,60 S – 0,40 i = 0 Que al ser resuelto arroja los siguientes resultados : S = 8 ; i = 12 (8,12) Lo que nos indica que el mayor número de miembros independientes se logrará cuando el comité esté conformado por 20 miembros; 8 sindicalistas y 12 independientes (8,12). Solución : Se definen las variables de decisión : Cantidad de llaves producidas en tiempo normal. Cantidad de llaves producidas en tiempo extra. Cantidad de llaves subcontratadas. Cantidad de cinceles producidos en tiempo normal. Ce Cs = = Cantidad de cinceles producidos en tiempo extra. Cantidad de cinceles subcontratados. EJERCICIO 30 : La empresa “SURTIDORA” contrató a EL MARTILLO como proveedor de llaves y cinceles en sus tiendas de artículos automotrices. La demanda semanal de Surtidora consiste en al menos 1.500 llaves y 1.200 cinceles. La capacidad actual de “El Martillo”, en un turno, no basta para producir las unidades que se le piden, y debe recurrir a tiempo extra y, quizás, a subcontratar en otros proveedores de herramientas. El resultado es un aumento en el costo de producción por unidad, como se ve en la siguiente tabla. La demanda del mercado limita la producción de cinceles a llaves a un mínimo de 2 : 1. Para definir la función objetivo debo tomar en cuenta el costo unitario de cada variable de decisión. MINIMIZAR Z = 2 Yn + 2,8 Ye + 3 Ys + 2,1 Cn + 3,2 Ce + 4,2 Cs Sujeta a las siguientes restricciones : a) Demanda semanal : La demanda semanal consiste en al menos 1500 llaves Restricción 1 : Yn + Ye + Ys = 1.500 La demanda semanal consiste en al menos 1200 Cinceles Restricción 2 : Cn + Ce + Cs = 1.200 b) Producción semanal : EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 12 – )
? ? ? ? ? ? Los resultados se leen : Restricción 3 : Restricción 4 : Restricción 5 : Restricción 6 : Yn = 550 Yn + Ye = 800 Cn = 620 Cn + Ce = 900 Se fabricarán 550 llaves en tiempo normal (Yn) Se fabricarán 250 llaves en tiempo extra (Ye) Se subcontratarán 700 llaves (Ys) Se fabricarán 620 cinceles en tiempo normal (Cn) Se fabricarán 280 cinceles en tiempo extra (Ce) Se subcontratarán 2100 cinceles (Cs) c) La demanda del mercado limita la proporción de cinceles a llaves a un mínimo de 2:1. Esta expresión una vez simplificada quedará conformada como : Restricción 7 : Solución usando EXCEL EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) El costo total mínimo para cumplir con este programa óptimo de producción es de $ 14.918,00 EJERCICIO 31 : La empresa ESETEC SAC se dedica a la fabricación de dos tipos de productos A y B, en la que utiliza los insumos X y Y. Para la elaboración del producto A se necesita 01 unidad del insumo X y una unidad del insumo Y; para el producto B se necesita 03 unidades del Insumo X y 01 del insumo Y. Los informes de los proveedores indican que se debe adquirir como mínimo 600 unidades del insumo X y 400 del insumo Y. El taller puede fabricar 1000 unidades del Producto A o 1200 del producto B, o cualquier combinación de estos. El área de acabado tiene disponible 5.600 minutos, de los que cada unidad del producto A utiliza 04 minutos y cada unidad de producto B consume 07 minutos. El área de ventas informa que pueden vender cualquier cantidad del producto A; sin embargo, del producto B a lo máximo se pueden vender 600 unidades. Los costos variables de producción son de $. 24.00 para el producto A y $.16.00 para el producto B. ¿Cuál es la forma más productiva para fabricar estos productos, si sabemos que los precios de venta son $ 32.00 y $ 23.00 del producto A y B respectivamente? Indique: 1) Cantidad óptima que se debe producir de A y B. y 2) Ganancia máxima. Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 13 – )
A 4 B 7 A 1 B 3 Solución : El taller puede fabricar 1200 unidades del producto “B” Se definen las variables como : Restricción 4 : B = 1200 A = Cantidad de productos “A” a producir. B = Cantidad de productos “B” a producir. Para definir la función objetivo es necesario conocer la utilidad de cada producto, para lo cual debemos recordad que : Utilidad = Precio de venta menos costo de producción. O cualquier combinación de estos Restricción 5 : Para simplificar la expresión anterior podemos utilizar como mínimo común múltiplo a 1200 y la restricción quedará indicada como Utilidad de A = 32,00 – 24,00 = $ 8,00 Utilidad de B = 23,00 –16,00 = $ 7.00 Restricción 5 : 1,2 A + B = 1200 Luego, Z = 8A + 7B c) Area de acabados : Estudiando las restricciones : a) Utilización de insumos : Minutos utilizados Restricción 6 : Minutos disponibles 5600 4A + 7B = 5600 Insumo X Adquirir como mínimo 600 d) Area de ventas : Insumo Y 1 1 400 Pueden vender cualquier cantidad del producto A Restricción 1 : Restricción 2 : 1A + 3B = 600 1A + 1B = 400 Restricción 7 : A = 0 Del producto B a lo máximo se pueden vender 600 unidades. b) Capacidad de producción : Restricción 8 : B = 600 El taller puede fabricar 1000 unidades del producto “A” Utilizando la hoja de cálculo Excel y aplicando SOLVER el Restricción 3 : A = 1000 resultado será : EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 14 – )
EJERCICIO 32 : Tres sustancias X, Y y W contienen cuatro ingredientes A, B, C y D. En la siguiente tabla están dados los porcentajes de cada ingrediente y el costo por onza (en centavos de dólar) de las tres sustancias: Sustancia X Y W A 20% 20% 10% B 10% 40% 20% C 25% 15% 25% D 45% 25% 45% Costo/Onza 25 35 50 1) ¿ Cuántas onzas se deben combinar de cada sustancia para obtener, con un costo mínimo, 20 onzas de la mezcla con un contenido de al menos.14% de A. 16% de B y 20% de C ? Tomando en cuenta que los resultados deben ser enteros por tratarse de “unidades de producto”, el resultado será : Se deberán producir 636 productos “A” y 436 productos “B” y se obtendrá una ganancia máxima de $ 8.140,00 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) 2) ¿Con cuántas se maximiza? SOLUCIÓN : Definición de Variables : X = Cantidad de onzas de la sustancia “X” que se debe mezclar. Y = Cantidad de onzas de la sustancia “Y” que se debe mezclar. W = Cantidad de onzas de la sustancia “W” que se debe mezclar. Función Objetivo : Z = 25 X + 35 Y + 50 W Restricciones : 1) Se deben obtener 20 onzas de la mezcla : Esto nos obliga a inferir que la suma de las tres sustancias debe ser igual a 20. X + Y + W = 20 Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 15 – )
2) La mezcla debe contener al menos 14% de “A” : El 14% de las 20 onzas = (0,14)*(20) = 2,80 0,20 X + 0,20 Y + 0,10 W = 2,80 3) La mezcla debe contener al menos 16% de “B” : El 16% de las 20 onzas = (0,16)*(20) = 3,20 0,10 X + 0,40 Y + 0,20 W = 3,20 4) La mezcla debe contener al menos 20% de “C” : El 20% de las 20 onzas = (0,20)*(20) = 4,00 0,25 X + 0,15 Y + 0,25 W = 4,00 Nota : No se toman en cuenta los valores del ingrediente “D” porqué no tiene limitación alguna. MINIMIZACIÓN : MAXIMIZACIÓN : EJERCICIO 33 : A un joven matemático se le pidió que entreviste a un visitante en su empresa durante tres horas, el pensó que sería una excelente idea que el huésped se emborrachara. Se le dieron al matemático 50 dólares para comprar la bebida. El joven sabía que al visitante le gustaba mezclar sus tragos pero que siempre bebía menos de 8 vasos de cerveza, 10 de ginebra, 12 de whiskys y 24 de martinis. El tiempo que empleaba para beber era de 10 minutos por cada vaso. El costo de bebidas son: $1.00 el vaso de cerveza, $2.00 el vaso de ginebra, $4.00 el vaso de whiskys y $3.00 el vaso de martini. El matemático pensó que el objetivo sería maximizar el consumo alcohólico del huésped. Logró que un amigo químico le diese el contenido alcohólico de las bebidas en forma cuantitativa, siendo las unidades alcohólicas de 8, 15, 16 y 7 por EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 16 – )
vaso de cerveza, ginebra, whisky y martini respectivamente. El visitante siempre bebía un mínimo de 2 whiskys. ¿Cómo resolvió el problema el joven? SOLUCIÓN : Definición de las variables C = Cantidad de vasos de cerveza a servir al visitante. G = Cantidad de vasos de ginebra a servir al visitante. W = Cantidad de vasos de whisky a servir al visitante. M = Cantidad de vasos de martini a servir al visitante. Función objetivo : El matemático pensó que el objetivo seria maximizar el consumo alcohólico del huésped. MAXIMIZAR Z = 8 C + 15 G + 16 W + 7 M Restricciones : 1) Se le dieron al matemático 50 dólares para comprar la bebida….. El costo de bebidas son: $1.00 el vaso de cerveza, $2.00 el vaso de ginebra, $4.00 el vaso de whiskys y $3.00 el vaso de martini. 1 C + 2 G + 4 W + 3 M = 50 2) El joven sabía que al visitante le gustaba mezclar sus tragos pero que siempre bebía menos de 8 vasos de cerveza, 10 de ginebra, 12 de whiskys y 24 de martinis C = 8 G = 10 W = 12 M = 24 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) 3) A un joven matemático se le pidió que entreviste a un visitante en su empresa durante tres horas….(3 horas = 180 minutos)…. El tiempo que empleaba para beber era de 10 minutos por cada vaso. 10 C + 10 G + 10 W + 10 M = 180 4) El visitante siempre bebía un mínimo de 2 whiskys. W = 2 Los resultados se leen : El joven matemático le ofrecerá al visitante 1 vaso de cerveza, 10 vasos de ginebra y 7 vasos de whisky. Esto le suministrará al visitante 270 unidades alcohólicas. Se gastarán $ 49. El visitante pasará todos los 180 minutos (3 horas) consumiendo las bebidas alcohólicas Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 17 – )
Utilidad por Nivel de Proyecto peso Clasificación del Proyecto 3 4.1 250 EJERCICIO 34 : Una oficina federal cuenta con un Solución presupuesto de mil millones de pesos para otorgarlo como subsidio destinado a la investigación innovadora en el campo de la búsqueda de otras formas de producir energía. Un equipo gerencial integrado por científicos y economistas efectuó una reseña preliminar de 200 solicitudes, reduciendo los candidatos a seis finalistas. Los seis proyectos han sido evaluados calificados en relación con los beneficios que se espera conseguir de ellos en los próximos 10 años. Los beneficios estimados se dan en la siguiente tabla: financiamiento (en invertido millones de pesos) 1 Solar 4.4 220 2 Solar 3.8 180 Combustibles sintéticos 4 Carbón 3.5 150 5 Nuclear 5.1 400 6 Geotérmico 3.2 120 Así el valor 4.4 asociado al proyecto 1, indica que por cada Definiendo las variables : ? S1 = Cantidad de dinero que se otorgará al proyecto 1 de energía solar (millones de pesos) ? S2 = Cantidad de dinero que se otorgará al proyecto 2 de energía solar (millones de pesos) ? Cs = Cantidad de dinero que se otorgará al proyecto de Combustible sintético (millones de pesos) ? CA = Cantidad de dinero que se otorgará al proyecto de Carbón (millones de pesos) ? N = Cantidad de dinero que se otorgará al proyecto Nuclear (millones de pesos) ? G = Cantidad de dinero que se otorgará al proyecto Geotérmico (millones de pesos) peso que se invierta en ese proyecto, se obtendrá una utilidad de 4.40 durante los próximos diez años. La tabla muestra, además, Función Objetivo : MAXIMIZAR BENEFICIOS (utilidades) el nivel requerido de financiamiento (en millones de pesos). Esas cifras representan la cantidad máxima de que se dispone para cada proyecto. La oficina federal puede conceder a cada proyecto una suma que no rebase esa cifra. Observando estas disposiciones, el presidente ha ordenado financiar el proyecto nuclear por lo menos en el 50% de la suma solicitada. El administrador de la dependencia gubernamental tiene mucho interés en el proyecto solar y ha pedido que la cantidad combinada que se conceda a estos proyectos sea como mínimo de 300 millones de pesos. El problema consiste en determinar las sumas de dinero que se otorgaran a cada proyecto con objeto de maximizar los beneficios. EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Z = 4,40 S1 + 3,80 S2 + 4,10 CS + 3,50 CA + 5,10 N + 3,20 G Restricciones : 1) Una oficina federal cuenta con un presupuesto de mil millones de pesos para otorgarlo como subsidio S1 + S2 + CS + CA + N + G = 1.000 2) Nivel de financiamiento : S1 = 220 Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 18 – )
S2 CS CA N G = = = = = 180 250 150 400 120 Los resultados se leen : ? S1 = Cantidad de dinero que se otorgará al proyecto 1 de energía solar (millones de pesos) = 220 3) El presidente ha ordenado financiar el proyecto nuclear por lo menos en el 50% de la suma solicitada (50% de 400 = 200) N = 200 4) El administrador de la dependencia gubernamental tiene mucho interés en el proyecto solar y ha pedido que la cantidad combinada que se conceda a estos proyectos sea como mínimo de 300 millones de pesos. S1 + S2 = 300 Solución en la hoja de cálculo EXCEL : EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) ? S2 = Cantidad de dinero que se otorgará al proyecto 2 de energía solar (millones de pesos) = 130 ? Cs = Cantidad de dinero que se otorgará al proyecto de Combustible sintético (millones de pesos) = 250 ? CA = Cantidad de dinero que se otorgará al proyecto de Carbón (millones de pesos) = 0 ? N = Cantidad de dinero que se otorgará al proyecto Nuclear (millones de pesos) = 400 ? G = Cantidad de dinero que se otorgará al proyecto Geotérmico (millones de pesos) = 0 Los beneficios que se lograrán con esta inversión asciende a : Z máxima = 4.527 millomes de pesos Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 19 – )
EJERCICIO 35 : Una compañía se dedica a la fabricación de 4 productos : P1, P2, P3 y P4, utilizando para ello 2 materias primas : M1 y M2, cuyas disponibilidades semanales están limitadas a 1000 y 1200 unidades respectivamente. La materia prima que precisa la fabricación de una unidad de cada una unidad de cada uno de los productos se muestra en la siguiente tabla : Además, los costos de fabricación de cada unidad de producto (que incluyen los costos de la materia prima y otros) se han evaluado en 75, 60, 40 y 30 unidades monetarias respectivamente. La próxima semana la compañía debe atender un pedido de 100 unidades de P1, 110 de P2, 120 de P3 y 90 de P4, lo que supera claramente su capacidad de producción. Por esta razón, está considerando la posibilidad de adquirir algunos de estos productos a un competidor, cuyos productos tienen las mismas características que los que fabrica la compañía. Este competidor sólo puede suministrar unidades de los productos P1, P2 y P3, y los ofrece a 85, 65 y 30 u.m. por unidad, respectivamente. Plantear un modelo que permita determinar cuántos productos de cada tipo debe elaborar la compañía y cuántos debe comprar para satisfacer la demanda de este pedido de manera que se minimicen los costos totales. Solución : Primero se identifican las variables de decisión : P1f = Cantidad de producto P1 a fabricar. P2f = Cantidad de producto P2 a fabricar. EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) P3f = Cantidad de producto P3 a fabricar. P4f = Cantidad de producto P4 a fabricar. P1c = Cantidad de producto P1 a comprar. P2c = Cantidad de producto P2 a comprar. P3c = Cantidad de producto P3 a comprar. La función objetivo quedará representada por los costos de fabricación y los costos de adquisición de las variables : MINIMIZAR Z = 75.P1f + 60.P2f + 40.P3f + 30.P4f + 85.P1c + 65.P2c + 30.P3c Restricciones : a) Uso y disponibilidad de la materia prima M1 6.P1f + 3.P2f + 5.P3f + 4.P4f = 1000 b) Uso y disponibilidad de la materia prima M2 4.P1f + 7.P2f + 2.P3f + 5.P4f = 1200 c) Pedidos de productos : P1f + P1c = 100 P2f + P2c = 110 P3f + P3c = 120 P4f = 90 Solución con Excel : Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 20 – )
? ? ? ? ? ? ? Los resultados se leen : P1f = Cantidad de producto P1 a fabricar = 100 P2f = Cantidad de producto P2 a fabricar =13 P3f = Cantidad de producto P3 a fabricar = 0 P4f = Cantidad de producto P4 a fabricar = 90 P1c = Cantidad de producto P1 a comprar = 0 P2c = Cantidad de producto P2 a comprar = 97 P3c = Cantidad de producto P3 a comprar = 120 Z mínima = 20.885,00 u.m. Como se trata de Unidades de Productos es recomendable que los resultados se expresen en números enteros, no se recomienda hacer aproximaciones, se recomienda utilizar PROGRAMACION LINEAL ENTERA EJERCICIO 36 : Un fabricante tendrá que atender cuatro pedidos de producción, A, B, C, y D, en este mes. Cada trabajo puede ser llevado a cabo en cualquiera de los tres talleres. El tiempo necesario para completar cada trabajo en cada uno de esos talleres, el costo por hora y la cantidad de horas disponibles que tendrá cada taller durante este mes aparecen en la siguiente tabla. EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 21 – )
1.1.- 1.2.- 1.3.- 3.1.- 3.2.- 3.4.- También existe la posibilidad de dividir cada uno de los trabajos entre los distintos talleres, en cualquier proporción que se desee. Por ejemplo, una cuarta parte del trabajo A puede hacerse en 8 horas en el taller 1. El fabricante desea determinar la cantidad de horas de cada trabajo que deberán realizarse en cada taller, para minimizar el costo total de terminación de los cuatro trabajos. Identifique las variables de decisión, formule un modelo de PL para este problema y finalmente resuélvalo. Restricciones : 1) Tiempo disponible en cada taller T1A + T1B + T1C + T1D = 160 T2A + T2B + T2C + T2D = 160 T3A + T3B + T3C + T3D = 160 2) Tiempo requerido en cada taller para cada producto : 2.1.- T1A = 32 Definición de variables T1A = Cantidad de horas en el taller 1 para el trabajo A T1B = Cantidad de horas en el taller 1 para el trabajo B T1C = Cantidad de horas en el taller 1 para el trabajo C T1D = Cantidad de horas en el taller 1 para el trabajo D T2A = Cantidad de horas en el taller 2 para el trabajo A 2.2.- 2.3.- 2.4.- 2.5.- 2.6.- 2.7.- 2.8.- 2.9.- 2.10.- 2.11.- 2.12.- T1B T1C T1D T2A T2B T2C T2D T3A T3B T3C T3D = = = = = = = = = = = 151 72 118 39 147 61 126 46 155 57 121 T2B = Cantidad de horas en el taller 2 para el trabajo B T2C = Cantidad de horas en el taller 2 para el trabajo C 3) Posibilidad de dividir cada uno de los trabajos entre l
Página siguiente  |