Ejercicios resueltos de programación lineal (3era parte) (página 2)

El costo total mínimo de terminación de los cuatro trabajos será : Z mínima = $ 29.726,74 EJERCICIO 37 : Web Mercantile vende muchos productos para el hogar mediante un catálogo en línea. La compañía necesita un gran espacio de almacén para los productos. Ahora planea rentar espacio para los siguientes 5 meses. Se sabe cuánto espacio necesitará cada mes; pero como varía mucho, puede ser más económico rentar sólo la cantidad necesaria cada mes con contratos mensuales. Por otro lado, el costo adicional de rentar espacio para meses adicionales es menor que para el primero, y puede ser menos costoso rentar el espacio máximo los 5 meses. Otra opción es el enfoque intermedio de cambiar la cantidad total de espacio rentado (con un nuevo contrato y/o la terminación del anterior) al menos una vez pero no cada mes. El espacio requerido y los costos para los periodos de Los resultados se leen : T1A = Cantidad de horas en el taller 1 para el trabajo A = 32 T1B = Cantidad de horas en el taller 1 para el trabajo B = 0 T1C = Cantidad de horas en el taller 1 para el trabajo C = 0 T1D = Cantidad de horas en el taller 1 para el trabajo D = 5,4 T2A = Cantidad de horas en el taller 2 para el trabajo A = 0 T2B = Cantidad de horas en el taller 2 para el trabajo B = 147 T2C = Cantidad de horas en el taller 2 para el trabajo C = 0 T2D = Cantidad de horas en el taller 2 para el trabajo D = 13 T3A = Cantidad de horas en el taller 3 para el trabajo A = 0 T3B = Cantidad de horas en el taller 3 para el trabajo B = 0 T3C = Cantidad de horas en el taller 3 para el trabajo C = 57 T3D = Cantidad de horas en el taller 3 para el trabajo D = 103 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) arrendamiento son los siguientes: El objetivo es minimizar el costo total de arrendamiento para cumplir con los requerimientos. a) Formule un modelo de PROGRAMACION LINEAL. b) Resuelva este modelo utilizando SOLVER. Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 23 – )

SOLUCIÓN: Definiendo las variables: La función objetivo quedará definida como: MINIMIZAR Antes de analizar las restricciones consideramos necesario elaborar un cuadro donde se represente a cuales meses “afectan” cada uno de los contratos; esto nos permitirá visualizar eficientemente cuales incógnitas debe contener cada ecuación de restricción: Z = 65 A1 + 100 A2 + 135 A3 + 160 A4 + 190 A5 + 65 B1 + 100 B2 + 135 B3 + 160 B4 + 65 C1 + 100 C2 + 135 C3 + 65 D1 + 100 D2 + 65 E1 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 24 – )

Al analizar el enunciado del problema notamos que una de las alternativas de solución es que podemos arrendar el espacio máximo por los cinco meses; esta consideración nos permite inferir que mensualmente debemos alquilar “por lo menos” el espacio indicado en la tabla del enunciado del problema (las restricciones serán del tipo “ = ” a excepción del mes 5 que será del tipo “ = ” ). Para ser mas detallistas podemos indicar cuatro nuevas restricciones, una por cada uno de los primeros cuatro meses, donde se indique que el espacio máximo a rentar es de 50.000 ft2. MES 1: A1 + A2 + A3 + A4 + A5 = 50.000 MES 2: A2 + A3 + A4 + A5 + B1 + B2 + B3 + B4 = 50.000 MES 3: A3 + A4 + A5 + B2 + B3 + B4 + C1 + C2 + C3 = 50.000 MES 4: A4 + A5 + B3 + B4 + C2 + C3 + D1 + D2 = 50.000 Al desplegar este Modelo Matemático en la Hoja de Cálculo EXCEL y utilizar SOLVER obtendremos los siguientes resultados: A5 = 30.000 C1 = 10.000 E1 = 20.000 Zmínimo = $ 7.650.000,oo Este resultado se lee: El primer mes se deben arrendar 30.000 pies cuadrados por un período de 5 meses (A5 = 30.000 ), en el tercer mes se deben arrendar 10.000 pies cuadrados adicionales por un mes (C1 = 10.000) y en el quinto mes se deben arrendar 20.000 pies cuadrados adicionales por un mes (E1 = 20.000), generando un gasto total de $ 7.650.000,oo. EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 25 – )

60 A EJERCICIO 38 : Don K-NI es el presidente de una Restricciones : firma de inversiones personales, que maneja una cartera de valores de un cierto número de clientes. Un cliente nuevo ha solicitado recientemente que la firma le maneje una cartera de $100.000,00. Al cliente le gustaría limitar su cartera a una combinación de las tres acciones que se muestran en la tabla. + 25 B + 20 C <= 100.000 A <= 1.000 B <= 1.000 C <= 1.500 Formular un programa de programación lineal que permita tomar la mejor decisión para maximizar las utilidades totales que se obtengan de la inversión. SOLUCIÓN: Definiendo las variables: A = Cantidad de acciones Gofer Crude a adquirir. B = Cantidad de acciones Can Oil a adquirir. C = Cantidad de acciones Sloth Petroleum a adquirir. Los resultados se leen : A = Cantidad de acciones Gofer Crude a adquirir = 750 B = Cantidad de acciones Can Oil a adquirir = 1000 C = Cantidad de acciones Sloth Petroleum a adquirir = 1500 Función Objetivo : Z MAXIMIZAR = 7 A + 3 B + 3C La utilidad obtenida será de : Z máxima = $ 12.750,00 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 26 – )

EJERCICIO 39 : Una fábrica de aparatos EJERCICIO 40 : Rich Oil Company, cerca de electrónicos puede tener una producción diaria de televisores de pantalla plana mínima de 300 y máxima de 600; en lo que se refiere a televisores con pantalla de cristal liquido la producción diaria fluctúa entre 200 y 500 unidades. Para mantener una calidad optima en su producto debe de fabricar un máximo de 900 unidades entre ambos tipos de televisor. El costo de producción de un televisor de pantalla plana es de $ 3,400.00. y el de pantalla de cristal liquido es de $ 5,600.00. Cada televisor de pantalla plana se vende a $ 6000.00, y cada televisor de pantalla de cristal liquido se vende a $ 10800.00. La fábrica desea maximizar las utilidades. En base a dicha información: escriba un planteamiento para resolver por programación lineal. EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Cleveland, suministra gasolina a sus distribuidores en camiones. La compañía recientemente recibió un contrato para iniciar el suministro de 800.000 galones de gasolina por mes a distribuidores de Cincinnati. La compañía tiene $.500.000 disponibles para crear una flota consistente en 3 tipos diferentes de camiones. En la siguiente tabla se muestra la capacidad relevante, costo de compra, costo operativo y número máximo de viajes por cada tipo de camión. Sobre la base del mantenimiento y la disponibilidad de conductores, la compañía no desea comprar más de 10 vehículos para su flota. Asimismo, la compañía desearía asegurarse que se compren al menos 3 de los camiones del tipo 3. Finalmente, la compañía no desea que más de la mitad de la flota sea de camiones del tipo 1. Como gerente de operaciones, formule un modelo para determinar la composición de la flota que minimice los costos operativos mensuales al tiempo que satisfaga las demandas, no saliéndose del presupuesto y satisfaciendo los requerimientos de las otras compañías. Solución : Se definen las variables : C1 = Cantidad de camiones del tipo 1 a adquirir. C2 = Cantidad de camiones del tipo 2 a adquirir. C3 = Cantidad de camiones del tipo 3 a adquirir. Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 27 – )

tipo 3, La función objetivo reflejará los costos de operación de cada camión durante un mes : Restricción 5 : C1 – C2 – C3 = 0 Nota: Como se refiere a camiones se aplica la PROGRAMACION Minimizar Z = 800C1 +600 C2 + 500 C3 LINEAL ENTERA Sujeto a : a) Suministrar 800.000 galones de gasolina al mes. Se debe tomar en cuenta la capacidad de carga de cada tipo de camión y el máximo de viajes que pueden realizar. Restricción 1 : (20)(600)C1 +(25)(300)C2 +(30)(2000)C3 = 800.000 b) La compañía tiene $ 500.000 disponibles para crear una flota. Restricción 2 : 50.000C1 +40.000C2 +25.000C3 = 500.000 c) La compañía no desea comprar más de 10 camiones. Restricción 3 : C1 + C2 + C3 = 10 Se deben comprar : d) La compañía quiere que se compren al menos 3 camiones del Restricción 4 : C3 = 3 e) La compañía no desea que más de la mitad de la flota sea de camiones del tipo 1. Restricción 5 : C1 = ½ (C1 + C2 + C3 ) Al simplificar la restricción 5 quedará expresada como EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) ? 4 camiones del tipo 1 ? 2 camiones del tipo 2 ? 3 camiones del tipo 3 Los costos operativos mensuales serán de $ 5.900,00 Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 28 – )

EJERCICIO 41 : Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero solo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista “A” envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista “B” envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista “A” se encuentra a 150 km. de distancia y el mayorista “B” a 300 km. Obtener el modelo de programación lineal y calcular cuántos contenedores habrá que comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado. Solución : Se definen las variables : A = Cantidad de contenedores a comprar al mayorista A B = Cantidad de contenedores a comprar al mayorista B La función objetivo reflejará los kilómetros de distancia de cada mayorista. Minimizar Z = 150 A + 300 B Cuadro que se elabora para visualizar fácilmente las restricciones: Contenedor Contenedor Los resultados se leen : Se comprarán 3 contenedores al mayorista “A” Se comprarán 2 contenedores al mayorista “B” Se recorrerán 1050 kilómetros. Realizando dicha compra, el frutero obtendrá 28 cajas de naranjas, 5 cajas de plátanos y 20 cajas de manzanas. A B Necesidad Cajas de naranjas Cajas de plátanos Cajas de manzanas 8 1 2 2 1 7 16 5 20 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 29 – )

EJERCICIO 42 : El dietista de un hospital desea preparar un platillo de maíz y calabazas que proporcione al 3) Para un buen sabor se necesitan al menos 2 onzas de maíz M = 2 menos 3 gr de proteínas y no cueste más de US $0.36 por ración. 4) y la misma cantidad de calabaza que de maíz Una onza de maíz con crema proporciona 0.5 gr. de proteína y cuesta US $0.04. una onza de calabazas proporciona 0.25 gr. de proteínas y cuesta US $0.03. Para un buen sabor se necesitan al menos 2 onzas de maíz y la misma cantidad de calabaza que de maíz, es importante que el número de onzas por ración sea lo más pequeño posible. Halle la combinación de maíz y calabaza que hace mínimo el tamaño de la ración. Solución : Se definen las variables : M = Cantidad de onzas de maíz agregada a una ración del platillo C = Cantidad de onzas de calabaza agregada a una ración del platillo Los resultados se leen : M=C Función objetivo : MINIMIZAR Z = M + C Se agregarán 4 onzas de maíz a cada ración del platillo. Restricciones : Se agregarán 4 onzas de calabaza a cada ración del 1) El dietista de un hospital desea preparar un platillo de maíz y calabazas que proporcione al menos 3 gr de proteínas 0,5 M + 0,25 C = 3 2) y no cueste más de US $0.36 por ración. 0,04 M + 0,03 C = 0,36 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) platillo. La ración del platillo tendrá 8 onzas (Z = 8). Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 30 – )

EJERCICIO 43 : El “Estampado SA”, una tintorería Solución : textil que se dedica a hacer trabajos por pedidos, cuenta con dos tipos de estampadoras: rápidas y lentas. Dispone de 60 estampadoras rápidas y 40 lentas. Aclaremos que estampar consiste en imprimir dibujos con colores sobre tela cruda, de modo que el rollo de tela cruda va pasando por la estampadora y ésta le va imprimiendo el dibujo con los colores y formas seleccionados. Estampado SA ha tomado dos trabajos para hacer: Dibujo Snoopy y dibujo Scooby. Cada uno de estos estampados se puede hacer en una máquina de cualquiera de los dos tipos, sólo que la eficiencia será distinta según el tipo. Una máquina rápida estampa 12 m de dibujo Snoopy por hora. Una máquina lenta estampa 6 m de dibujo Snoopy por hora. Una máquina rápida estampa 8 m. de dibujo Scooby por hora. Una máquina lenta estampa 4 metros de dibujo Scooby por hora. Una misma estampadora (sea rápida o lenta) no puede destinarse en el Se definen las variables : ER1 = Cantidad, de estampadoras rápidas a producir dibujos Snoopy ER2 = Cantidad, de estampadoras rápidas a producir dibujos Scooby EL1 = Cantidad, de estampadoras lentas a producir dibujos Snoopy EL2 = Cantidad, de estampadoras lentas a producir dibujos Scooby Conocidas las variables es necesario determinar la utilidad que generan las mismas y poder utilizar dichos datos en la función objetivo (Se pide maximizar utilidad o beneficio = ingreso por venta menos costos). Generalmente en estos costos se incluye el precio de adquisición de la tela cruda (En este problema no se suministran estos datos). Los datos relevantes del problema pueden ser incluídos en una tabla para visualizarlos fácilmente e incluirlos en los cálculos de los ingresos y costos. mismo día a trabajar en dos tipos distintos de dibujo. Snoopy Scooby Costo Energía El costo por hora de energía para las máquinas rápidas y lentas son $4 y $3, respectivamente. El costo para la máquina rápida es mayor debido a que ésta requiere una mayor potencia. Los costos de tintes para Snoopy y Scooby son de $2.2 y $3.2 por metro de tela cruda, respectivamente. Cada metro de tela estampada con Snoopy se vende a $6 y un metro de tela estampada con Scooby se vende a $8. Estampadora Rápida Estampadora Lenta Costo Tintes Precio Venta Demanda Total Horas 12 m/h 6 m/h 2,2 $/m 6 $/m 3000 m 8h 8 m/h 4 m/h 3,2 $/m 8 $/m 3100 m 8h 4 $/h 3 $/h Para mañana le han pedido a Estampado SA que entregue 3000 metros de tela Snoopy y 3100 metros de Scooby. Tiene todo el día de hoy (ocho horas) para trabajar. Formule el problema de programación lineal para determinar: Si se puede o no cumplir el pedido. Y ¿Cómo sería la distribución del estampado de tela en los dos tipos de máquinas para maximizar los beneficios del pedido? EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Ingresos que genera cada estampadora diariamente : ER1 = Cantidad, de estampadoras rápidas a producir dibujos Snoopy (12 m/h) x (8 horas de trabajo diario) x (6 $/m) = $ 576 ER2 = Cantidad, de estampadoras rápidas a producir dibujos Scooby (8 m/h) x (8 horas de trabajo diario) x (8 $/m) = $ 512 Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 31 – )

Z EL1 = Cantidad, de estampadoras lentas a producir dibujos Snoopy (6 m/h) x (8 horas de trabajo diario) x (6 $/m) = $ 288 EL2 = Cantidad, de estampadoras lentas a producir dibujos Scooby (4 m/h) x (8 horas de trabajo diario) x (8 $/m) = $ 256 Costos que genera cada estampadora diariamente : ER1 = Cantidad, de estampadoras rápidas a producir dibujos Snoopy Energía = (4 $/h) x (8 horas de trabajo diario) = 32 $ Tinte = (2,2 $/m) x (12 m/h) x (8 h) = 211,2 $ Total = 32 + 211,2 = 243,2 $ ER2 = Cantidad, de estampadoras rápidas a producir dibujos Scooby Energía = (4 $/h) x (8 horas de trabajo diario) = 32 $ Tinte = (3,2 $/m) x (8 m/h) x (8 h) = 204,8 $ Total = 32 + 204,8 = 236,8 $ EL1 = Cantidad, de estampadoras lentas a producir dibujos Snoopy Energía = (3 $/h) x (8 horas de trabajo diario) = 24 $ Tinte = (2,2 $/m) x (6 m/h) x (8 h) = 105,6 $ Total = 24 + 105,6 = 129,6 $ EL2 = Cantidad, de estampadoras lentas a producir dibujos Scooby Energía = (3 $/h) x (8 horas de trabajo diario) = 24 $ EL1 = Cantidad, de estampadoras lentas a producir dibujos Snoopy EL2 = Cantidad, de estampadoras lentas a producir dibujos Scooby Función objetivo : MAXIMIZAR = 332,8 ER1 + 275,2 ER2 + 158,4 EL1 + 129,6 EL2 Restricciones : Para mañana le han pedido a Estampado SA que entregue 3000 metros de tela Snoopy y 3100 metros de Scooby. Una máquina rápida estampa 12 m de dibujo Snoopy por hora. Una máquina lenta estampa 6 m de dibujo Snoopy por hora. Una máquina rápida estampa 8 m. de dibujo Scooby por hora. Una máquina lenta estampa 4 metros de dibujo Scooby por hora (se trabajarán 8 horas por día) : Dibujos de Snoopy por día : (12 x 8 = 96……………6 x 8 = 48) Tinte = (3,2 $/m) x (4 m/h) x (8 h) = 102,4 $ Total = 24 + 102,4 = 126,4 $ 1) 96 ER1 + 48 EL1 = 3000 Dibujos de Scooby por día : (8 x 8 = 64……………4 x 8 = 32) Utilidad que genera cada estampadora diariamente : 2) 64 ER2 + 32 EL2 = 3100 ER1 = Cantidad, de estampadoras rápidas a producir dibujos Snoopy ER2 = Cantidad, de estampadoras rápidas a producir dibujos Scooby EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Dispone de 60 estampadoras rápidas y 40 lentas: 3) ER1 + ER2 = 60 4) EL1 + EL2 = 40 Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 32 – )

? ? ? Por tratarse de máquinas se debe utilizar el Método de Programación Lineal Entera : SI se puede cumplir el pedido, las máquinas estampadores deben ser utilizadas de la siguiente manera : ? 12 estampadoras rápidas produciendo dibujos de Snoopy 48 estampadoras rápidas produciendo dibujos de Scooby 39 estampadoras lentas produciendo dibujos de Snoopy 1 estampadora lenta produciendo dibujos de Scooby La utilidad máxima será de $ 23.510,40 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 33 – )

13 8 4 : ÍNDICE EJERCICIO 26 (página 1) : Formula y plantea mediante programación lineal el siguiente caso de una oficina de correos que desea minimizar el número de empleados de tiempo completo que hay que contratar sabiendo que necesita un número diferente de empleados a tiempo completo, para cada día de la semana. Empleados Día Requeridos Día 1 = Lunes 17 un plan de programación de empleos que satisfaga estos requerimientos y a un costo mínimo. EJERCICIO 28 (página 7) : Una firma comercial fabrica dos tipos de mermelada. Para la mermelada de fresa utiliza la fruta y el azúcar en proporciones 2 a 3, y para la mermelada de manzana la proporción es de 1 a 1. Se dispone de 1000 kg de fresas, de 1500 kg de manzanas y de 3000 kg de azúcar. La mermelada se elabora en una caldera y posteriormente es envasada, disponiendo para ello de dos calderas y de dos envasadoras. Las horas necesarias para fabricar 1 kg de mermelada son: Día 2 = Martes Mermelada de Fresa Mermelada de Manzana Día 3 = Miércoles Día 4 = Jueves 15 18 Caldera A Caldera B 0,6 0,9 0,9 0,9 Día 5 = Viernes 14 Día 6 = Sábado Día 7 = Domingo 16 11 Envasadora A Envasadora B 0,01 0,04 0,02 0,03 Los reglamentos sindicales señalan que cada empleado de tiempo completo tiene que trabajar durante cinco días El número total de horas disponibles así como el coste de su uso por hora son: consecutivos, y después descansar dos días. Por ejemplo, un Horas disponibles Coste por hora (€) empleado que trabaja de lunes a viernes, tiene que descansar el sábado y el domingo. La oficina de correos quiere cumplir con sus Caldera A Caldera B 1.000 5.000 requerimientos diarios y utilizar solamente empleados de tiempo completo. Envasadora A Envasadora B 100 50 90 40 Si el precio de venta es de 15€ por kg de mermelada de EJERCICIO 27 (página 4) El Sheraton opera fresa y de 12€ por kg de mermelada de manzana, ¿qué cantidades de los dos tipos de mermelada se han de producir los 7 días de la semana. Las mucamas son contratadas para trabajar 6 horas diarias. El contrato colectivo especifica que cada mucama debe trabajar 5 días consecutivos y descansar 2. Todas las mucamas reciben el mismo sueldo semanal. El Sheraton requiere como mínimo las siguientes horas de servicio: lunes 150, martes 200, miércoles 400, jueves 300, viernes 700, sábado 800 y domingo 300. El administrador desea encontrar EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) para que se maximice el beneficio de la firma? EJERCICIO 29 (página 10) : En una empresa se está discutiendo la composición de un comité para negociar los sueldos con la dirección. En el comité habrá sindicalistas e independientes. El número total de miembros no deberá ser inferior a 10 ni superior a 20. Al menos un 40% del comité Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 34 – )

serán sindicalistas. El número de independientes será como poco una cuarta parte del de sindicalistas. a. ¿Qué combinaciones de miembros de cada tipo puede tener el comité?. Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Puede haber 4 sindicalistas y 16 independientes?. b. Si se quiere que el número de independientes sea el mayor posible, ¿cuál será la composición del comité? EJERCICIO 30 (página 12) : La empresa “SURTIDORA” contrató a EL MARTILLO como proveedor de llaves y cinceles en sus tiendas de artículos automotrices. La demanda semanal de Surtidora consiste en al menos 1.500 llaves y 1.200 cinceles. La capacidad actual de “El Martillo”, en un turno, no basta para producir las unidades que se le piden, y debe recurrir a tiempo extra y, quizás, a subcontratar en otros proveedores de herramientas. El resultado es un aumento en el costo de producción por unidad, como se ve en la siguiente tabla. La demanda del mercado limita la producción de cinceles a llaves a un mínimo de 2 : 1. EJERCICIO 31 (página 12) : La empresa ESETEC SAC se dedica a la fabricación de dos tipos de productos A y B, en la que utiliza los insumos X y Y. Para la elaboración del producto A se necesita 01 unidad del insumo X y una unidad del insumo Y; para el producto B se necesita 03 unidades del Insumo X y 01 del insumo Y. Los informes de los proveedores indican que se debe adquirir como mínimo 600 unidades del insumo X y 400 del insumo Y. El taller puede fabricar 1000 unidades del Producto A o 1200 del producto B, o cualquier combinación de estos. El área de acabado tiene disponible 5.600 minutos, de los que cada unidad del producto A utiliza 04 minutos y cada unidad de producto B consume 07 minutos. El área de ventas informa que pueden vender cualquier cantidad del producto A; sin embargo, del producto B a lo máximo se pueden vender 600 unidades. Los costos variables de producción son de $. 24.00 para el producto A y $.16.00 para el producto B. ¿Cuál es la forma más productiva para fabricar estos productos, si sabemos que los precios de venta son $ 32.00 y $ 23.00 del producto A y B respectivamente? Indique: 1) Cantidad óptima que se debe producir de A y B. y 2) Ganancia máxima. EJERCICIO 32 (página15): Tres sustancias X, Y y W contienen cuatro ingredientes A, B, C y D. En la siguiente tabla están dados los porcentajes de cada ingrediente y el costo por onza (en centavos de dólar) de las tres sustancias: Sustancia A B C D Costo/Onza Formule el problema como programación lineal y determine el programa óptimo de producción para cada herramienta. X Y W 20% 20% 10% 10% 40% 20% 25% 15% 25% 45% 25% 45% 25 35 50 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 35 – )

3 4 5 6 1) ¿ Cuántas onzas se deben combinar de cada sustancia para obtener, con un costo mínimo, 20 onzas de la mezcla con un contenido de al menos.14% de A. 16% de B y 20% de C ? 2) ¿Con cuántas se maximiza? Proyecto 1 Clasificación del Proyecto Solar Utilidad por peso invertido 4.4 Nivel de financiamiento (en millones de pesos) 220 EJERCICIO 33 (página 16): A un joven matemático se le pidió que entreviste a un visitante en su empresa durante tres horas, el pensó que sería una excelente idea que el huésped se emborrachara. Se le dieron al 2 Solar Combustibles sintéticos Carbón Nuclear Geotérmico 3.8 4.1 3.5 5.1 3.2 180 250 150 400 120 matemático 50 dólares para comprar la bebida. El joven sabía que al visitante le gustaba mezclar sus tragos pero que siempre bebía menos de 8 vasos de cerveza, 10 de ginebra, 12 de whiskys y 24 de martinis. El tiempo que empleaba para beber era de 10 minutos por cada vaso. El costo de bebidas son: $1.00 el vaso de cerveza, $2.00 el vaso de ginebra, $4.00 el vaso de whiskys y $3.00 el vaso de martini. El matemático pensó que el objetivo sería maximizar el consumo alcohólico del huésped. Logró que un amigo químico le diese el contenido alcohólico de las bebidas en forma cuantitativa, siendo las unidades alcohólicas de 8, 15, 16 y 7 por vaso de cerveza, ginebra, whisky y martini respectivamente. El visitante siempre bebía un mínimo de 2 whiskys. ¿Cómo resolvió el problema el joven? Así el valor 4.4 asociado al proyecto 1, indica que por cada peso que se invierta en ese proyecto, se obtendrá una utilidad de 4.40 durante los próximos diez años. La tabla muestra, además, el nivel requerido de financiamiento (en millones de pesos). Esas cifras representan la cantidad máxima de que se dispone para cada proyecto. La oficina federal puede conceder a cada proyecto una suma que no rebase esa cifra. Observando estas disposiciones, el presidente ha ordenado financiar el proyecto nuclear por lo menos en el 50% de la suma solicitada. El administrador de la dependencia gubernamental tiene mucho interés en el proyecto solar y ha pedido que la cantidad combinada que se conceda a estos proyectos sea como mínimo de 300 millones de pesos. El problema consiste en determinar las sumas de dinero que se otorgaran a cada proyecto con objeto de maximizar los beneficios. EJERCICIO 34 (página 18): Una oficina federal cuenta con un presupuesto de mil millones de pesos para otorgarlo como subsidio destinado a la investigación innovadora en el campo de la búsqueda de otras formas de producir energía. EJERCICIO 35 (página 20) : Una compañía se Un equipo gerencial integrado por científicos y economistas efectuó una reseña preliminar de 200 solicitudes, reduciendo los candidatos a seis finalistas. Los seis proyectos han sido evaluados calificados en relación con los beneficios que se espera conseguir de ellos en los próximos 10 años. Los beneficios estimados se dan en la siguiente tabla: EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) dedica a la fabricación de 4 productos : P1, P2, P3 y P4, utilizando para ello 2 materias primas : M1 y M2, cuyas disponibilidades semanales están limitadas a 1000 y 1200 unidades respectivamente. La materia prima que precisa la fabricación de una unidad de cada una unidad de cada uno de los productos se muestra en la siguiente tabla : Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 36 – )

: Además, los costos de fabricación de cada unidad de producto (que incluyen los costos de la materia prima y otros) se han evaluado en 75, 60, 40 y 30 unidades monetarias respectivamente. La próxima semana la compañía debe atender un pedido de 100 unidades de P1, 110 de P2, 120 de P3 y 90 de P4, lo que supera claramente su capacidad de producción. Por esta razón, está considerando la posibilidad de adquirir algunos de estos productos a un competidor, cuyos productos tienen las mismas características que los que fabrica la compañía. Este competidor sólo puede suministrar unidades de los productos P1, P2 y P3, y los ofrece a 85, 65 y 30 u.m. por unidad, respectivamente. Plantear un modelo que permita determinar cuántos También existe la posibilidad de dividir cada uno de los trabajos entre los distintos talleres, en cualquier proporción que se desee. Por ejemplo, una cuarta parte del trabajo A puede hacerse en 8 horas en el taller 1. El fabricante desea determinar la cantidad de horas de cada trabajo que deberán realizarse en cada taller, para minimizar el costo total de terminación de los cuatro trabajos. Identifique las variables de decisión, formule un modelo de PL para este problema y finalmente resuélvalo. productos de cada tipo debe elaborar la compañía y cuántos debe comprar para satisfacer la demanda de este pedido de EJERCICIO 37 (página 23) : Web Mercantile manera que se minimicen los costos totales. vende muchos productos para el hogar mediante un catálogo en línea. La compañía necesita un gran espacio de almacén para los productos. Ahora planea rentar espacio para los siguientes 5 meses. Se sabe cuánto espacio necesitará cada mes; pero como EJERCICIO 36 (página 21) Un fabricante varía mucho, puede ser más económico rentar sólo la cantidad necesaria cada mes con contratos mensuales. Por otro lado, el tendrá que atender cuatro pedidos de producción, A, B, C, y D, en este mes. Cada trabajo puede ser llevado a cabo en cualquiera de los tres talleres. El tiempo necesario para completar cada trabajo en cada uno de esos talleres, el costo por hora y la cantidad de horas disponibles que tendrá cada taller durante este mes aparecen en la siguiente tabla. EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) costo adicional de rentar espacio para meses adicionales es menor que para el primero, y puede ser menos costoso rentar el espacio máximo los 5 meses. Otra opción es el enfoque intermedio de cambiar la cantidad total de espacio rentado (con un nuevo contrato y/o la terminación del anterior) al menos una vez pero no cada mes. El espacio requerido y los costos para los periodos de arrendamiento son los siguientes: Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 37 – )

: EJERCICIO 39 (página 27) Una fábrica de aparatos electrónicos puede tener una producción diaria de televisores de pantalla plana mínima de 300 y máxima de 600; en lo que se refiere a televisores con pantalla de cristal liquido la producción diaria fluctúa entre 200 y 500 unidades. Para mantener una calidad optima en su producto debe de fabricar un máximo de 900 unidades entre ambos tipos de televisor. El costo de producción de un televisor de pantalla plana es de $ 3,400.00. y el de pantalla de cristal liquido es de $ El objetivo es minimizar el costo total de arrendamiento 5,600.00. para cumplir con los requerimientos. Cada televisor de pantalla plana se vende a $ 6000.00, y a) Formule un modelo de PROGRAMACION LINEAL. b) Resuelva este modelo utilizando SOLVER. cada televisor de pantalla de cristal liquido se vende a $ 10800.00. La fábrica desea maximizar las utilidades. En base a dicha información: escriba un planteamiento EJERCICIO 38 (página 26) : Don K-NI es el para resolver por programación lineal. presidente de una firma de inversiones personales, que maneja una cartera de valores de un cierto número de clientes. Un cliente nuevo ha solicitado recientemente que la firma le maneje una cartera de $100.000,00. Al cliente le gustaría limitar su cartera a una combinación de las tres acciones que se muestran en la tabla. EJERCICIO 40 (página 27) : Rich Oil Company, cerca de Cleveland, suministra gasolina a sus distribuidores en camiones. La compañía recientemente recibió un contrato para iniciar el suministro de 800.000 galones de gasolina por mes a distribuidores de Cincinnati. La compañía tiene $.500.000 disponibles para crear una flota consistente en 3 tipos diferentes de camiones. En la siguiente tabla se muestra la capacidad relevante, costo de compra, costo operativo y número máximo de viajes por cada tipo de camión. Formular un programa de programación lineal que permita tomar la mejor decisión para maximizar las utilidades totales que se obtengan de la inversión. EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 38 – )

: Sobre la base del mantenimiento y la disponibilidad de conductores, la compañía no desea comprar más de 10 vehículos para su flota. Asimismo, la compañía desearía asegurarse que se compren al menos 3 de los camiones del tipo 3. Finalmente, la compañía no desea que más de la mitad de la flota sea de camiones del tipo 1. Como gerente de operaciones, formule un modelo para determinar la composición de la flota que minimice los costos operativos mensuales al tiempo que satisfaga las demandas, no saliéndose del presupuesto y satisfaciendo los requerimientos de las otras compañías. Halle la combinación de maíz y calabaza que hace mínimo el tamaño de la ración. EJERCICIO 43 (página 31) : El “Estampado SA”, una tintorería textil que se dedica a hacer trabajos por pedidos, cuenta con dos tipos de estampadoras: rápidas y lentas. Dispone de 60 estampadoras rápidas y 40 lentas. Aclaremos que estampar consiste en imprimir dibujos con colores sobre tela cruda, de modo que el rollo de tela cruda va EJERCICIO 41 (página 29) : Un frutero necesita pasando por la estampadora y ésta le va imprimiendo el dibujo con los colores y formas seleccionados. 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero solo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista “A” envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista “B” envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista “A” se encuentra a 150 km. de distancia y el mayorista “B” a 300 km. Obtener el modelo de programación lineal y calcular cuántos contenedores habrá que comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado. Estampado SA ha tomado dos trabajos para hacer: Dibujo Snoopy y dibujo Scooby. Cada uno de estos estampados se puede hacer en una máquina de cualquiera de los dos tipos, sólo que la eficiencia será distinta según el tipo. Una máquina rápida estampa 12 m de dibujo Snoopy por hora. Una máquina lenta estampa 6 m de dibujo Snoopy por hora. Una máquina rápida estampa 8 m. de dibujo Scooby por hora. Una máquina lenta estampa 4 metros de dibujo Scooby por hora. Una misma estampadora (sea rápida o lenta) no puede destinarse en el mismo día a trabajar en dos tipos distintos de dibujo. El costo por hora de energía para las máquinas rápidas y lentas son $4 y $3, respectivamente. El costo para la máquina rápida es mayor debido a que ésta requiere una mayor potencia. Los costos de tintes para Snoopy y Scooby son de $2.2 y $3.2 por metro de tela cruda, respectivamente. EJERCICIO 42 (página 30) El dietista de un Cada metro de tela estampada con Snoopy se vende a $6 y un metro de tela estampada con Scooby se vende a $8. hospital desea preparar un platillo de maíz y calabazas que proporcione al menos 3 gr de proteínas y no cueste más de US $0.36 por ración. Una onza de maíz con crema proporciona 0.5 gr. de proteína y cuesta US $0.04. una onza de calabazas proporciona 0.25 gr. de proteínas y cuesta US $0.03. Para un buen sabor se necesitan al menos 2 onzas de maíz y la misma cantidad de calabaza que de maíz, es importante que el número de onzas por ración sea lo más pequeño posible. EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL (3era parte) Para mañana le han pedido a Estampado SA que entregue 3000 metros de tela Snoopy y 3100 metros de Scooby. Tiene todo el día de hoy (ocho horas) para trabajar. Formule el problema de programación lineal para determinar: Si se puede o no cumplir el pedido. Y ¿Cómo sería la distribución del estampado de tela en los dos tipos de máquinas para maximizar los beneficios del pedido? Ing. José Luis Albornoz Salazar ( – 39 – )