Medición, números experimentales, operaciones

Medir

Es sabido que el método experimental ha tenido y tiene una importancia relevante en el desarrollo de la Física. En la realización de los experimentos se requiere cuantificar las cantidades con que se trabaja y es allí donde surge la necesidad de contar con instrumentos y procesos para realizar las mediciones. Medir una cantidad significa compararla con otra de su misma especie. Por ejemplo, para medir una longitud se requiere tener definida otra longitud como patrón de medida. Por ejemplo, en el Sistema Internacional de Medidas (S.I.) se ha definido el metro como unidad de longitud. Con esta longitud reproducida en un instrumento adecuado, como ser una regla, huincha, flexómetro, u otro, se puede realizar la comparación. Este proceso entrega como resultado una cantidad acompañada de la unidad correspondiente. Desde la antigüedad se han usado distintos tipos de unidades de medida, las cuales se han ido redefiniendo e incluso han ido desapareciendo por su falta de uso. Es así como han surgido distintos sistemas de unidades adoptados por los países.

Un sistema de unidades está conformado por un conjunto consistente de unidades de medida. En el existe un conjunto básico de unidades a partir del cual se deducen o derivan el resto de las unidades que conforman el sistema.

Con el paso del tiempo se ha visto la necesidad de contar con un sistema único e internacional de unidades. Es así como, después de un siglo y medio de esfuerzos e investigaciones orientadas a simplificar y unificar el uso de unidades de medida, surge el Sistema Métrico Decimal en tiempos de la Revolución Francesa en 1799. Posteriormente, sobre la base del sistema métrico decimal y de las diferentes modificaciones que se fueron introduciendo a lo largo de los años, la 11º Conferencia General de Pesas y Medidas, en 1960, estableció un conjunto de recomendaciones al que se dio el nombre de "Sistema Internacional de Unidades", cuya abreviatura internacional es "SI". El Sistema Internacional de Unidades ha sido adoptado por la mayoría de los países y hoy constituye un lenguaje común en el mundo de las ciencias y la tecnología.

Sistema internacional de unidades: SI

El sistema métrico modernizado es conocido como el Système Internacional d"Unités (Sistema Internacional de Unidades), con la abreviación internacional SI toma como base siete unidades fundamentales, listadas en las tabla siguiente, que por convención son consideradas dimensionalmente independientes.

Unidades SI de las magnitudes básicas o primarias.

Otras unidades del SI denominadas unidades derivadas, resultan de combinaciones formadas coherentemente de las unidades fundamentales, multiplicando y dividiendo unidades dentro del sistema sin factores numéricos. Por ejemplo, al considerar el metro cúbico: m3, como unidad de volumen, y el kilógramo como unidad de masa, se obtiene el kilógramo por metro cúbico: kg/m3, como unidad de densidad.

Ejemplo de unidades derivadas del SI

Una tercera categoría,

Unidades fuera del SI comúnmente aceptadas para el uso con el SI, aunque no pertenecen al SI son aceptadas debido a su uso frecuente.

Unidades fuera del SI comúnmente aceptadas para el uso con el SI

Múltiplos y submúltiplos de las unidades básicas

Las unidades métricas tienen múltiplos y submúltiplos cuyo nombre se forma anteponiendo prefijos al de la unidad correspondiente. Así por ejemplo, al anteponer el prefijo kilo a la palabra gramo se obtiene kilogramo (kg), 1.000 gramos. Si se antepone a la palabra metro se obtiene kilómetro (km), 1.000 metros. Si se antepone el prefijo mili delante de gramo, se obtiene miligramo (mg), la milésima parte de un gramo. Si se antepone el prefijo centi delante de metro se obtiene el submúltiplo centímetro. A continuación se muestra una tabla con algunos prefijos y una tabla con su aplicación.

Algunos prefijos para los múltiplos de las unidades básicas

Normas y recomendaciones acerca de la escritura de unidades

El Comité Internacional de Pesas y Medidas formuló algunas recomendaciones para la escritura del nombre y del símbolo de las diferentes unidades. Se destacan algunas de ellas:

• El nombre de las unidades se escribe siempre con minúsculas. (Ejemplos: metro, ampere, newton, etc.).

• Los símbolos que no se derivan de un nombre propio, se utilizan con letras minúsculas. Una excepción es el símbolo correspondiente a la unidad "litro", que es una "L" mayúscula. (Ejemplos: m, kg, s, etc.).

• Si el símbolo se deriva de un nombre propio, se utilizan letras mayúsculas para la primera letra. (Ejemplos: N para el newton, J para el joule, Hz para el hertz, etc.).

• Los símbolos no van seguidos de puntos y no cambian en plural.

• En el cuociente entre dos unidades se puede usar un trazo inclinado, un trazo horizontal o potencias negativas. (Ejemplos: mediante un trazo inclinado, m/s. Mediante un trazo horizontal, Mediante potencias negativas, ms-1).

Conversión de unidades

En algunos casos para realizar ciertas mediciones se dispone de instrumentos que no están calibrados en las unidades del SI y se requiere expresar los valores obtenidos en unidades del SI. En otras ocasiones el problema es inverso. También se presenta el caso en que las medidas están realizadas en unidades SI, pero queremos expresarlas en función de un múltiplo o submúltiplo de dichas unidades. Entonces, resulta necesario conocer las formas de convertir las unidades de un sistema a otro. En algunos casos la conversión es casi inmediata y se hace en forma intuitiva, sin embargo hay casos en que la conversión requiere de algún procedimiento. Este es el problema que abordaremos a continuación.

Se presentarán dos procedimientos para abordar la conversión de unidades. Obviamente ambas formas requieren que las equivalencias entre las unidades sean conocidas.

Procedimiento por despeje y reemplazo de la unidad

Las unidades se despejan igual que términos algebraicos.

Ejemplo: Se quiere expresar 8 metros [m] en pulgadas [in]. Se sabe que: 1 in = 2,54 cm (1) y 1 m = 100 cm (2) Buscaremos la relación entre metros y pulgadas Entonces, de (1) 1 cm = 1 in/2.54. Reemplazando en (2) se tiene:

1 m = 100 x 1 in/2,54 = 39,37 in. Por lo tanto, 8 m = 8 x 39,37 in = 314,96 in, aproximadamente.

Ejemplo: Se quiere expresar 1 248 cm3 en dm3. Primero se determina la relación entre cm3 y dm3, para luego hacer el reemplazo.

Se sabe que 1 dm = 10 cm. Elevando al cubo se tiene:

1 dm3 = (10 cm)3 = 1000 cm3 Despejando se tiene 1 cm3 = 1 dm3/1000. Por lo tanto, reemplazando cm3 por su equivalente, en la cantidad 1 248 cm3, resulta:

1 248 cm3 = 1 248 x 1dm3/1000 = 1,248 dm3.

Procedimiento multiplicando por cuociente igual a uno

Este procedimiento consiste en establecer, a partir de las equivalencias, un cuociente de unidades que valga 1. Al multiplicar cualquier cantidad por este cuociente la cantidad no altera su valor. Entonces, lo primero que se hace es, a partir de las equivalencias, establecer cuocientes igual a 1 con las unidades involucradas.

Ejemplo: Expresar 50 cm en pulgadas, sabiendo que 1 in = 2,54 cm.

Los posibles cuocientes a utilizar son:

Lo que se ha hecho, ha sido multiplicar 50 cm por una cantidad equivalente a 1, pero esta cantidad está expresada convenientemente de manera que se simplifican las unidades que se quieren eliminar y quedan aquellas en que se quiere expresar el resultado. Específicamente en el ejemplo se ha simplificado cm.

Ejemplo: Expresar 60 m/s en km/h, considerando que 1 km = 1000 m ; 1 h = 3600 s.

Se requiere eliminar m y que aparezca km y eliminar s y que aparezca h, entonces:

Ejemplo: Considerando las equivalencias siguientes:

1 l.y. = 9,461 x 1015 m; 1 pc = 3,086 x 1016 m; 1 AU = 1,496 x 1011 m.

(l.y. = año luz, pc = pársec, AU = Unidad astronómica) Expresar 50 Mpc en: Tm, M l.y., kAU.

Recuerde que los prefijos significan: M = 106, T = 1012 y k = 103.

a) Entonces, procedamos a expresar 50 Mpc en Tm.

50 Mpc = 50 x 106 pc = 50 x 106 x 3,086 x 1016 m = 1,543 x 1024 m = 1,543 x 1012 x 1012 m = 1,543 x 1012 Tm.

Lo que se hizo fue reemplazar los prefijos y la unidad por las equivalencias.

b) Expresemos 50 Mpc en M l.y.

Así: 50 Mpc = 1,63 x 102 x 106 AU = 1,03 x 102 M

En este ejercicio se reemplazaron los prefijos por los equivalentes y se multiplicó por un 1 expresado a partir de las equivalencias, pero de manera que se simplificara la unidad m y apareciera la unidad Al. Posteriormente se separó la potencia de diez en dos factores siendo uno de ellos equivalente al prefijo M (mega).

• c) Finalmente, determinemos 50 Mpc en función de kAU.

En este ejemplo, se expresó el prefijo M (mega) en potencia de diez, luego se reemplazó 1 pc en función de m y después se multiplicó por uno para eliminar m y a la vez apareciera UA. Finalmente se descompuso la potencia de diez en dos factores, donde uno de ellos es ellos equivalente al prefijo k, que es lo que se quería obtener.

Medición directa y medición indirecta

Se dice que se ha realizado una medición directa cuando se ha utilizado un instrumento específico para medir una cantidad. Por ejemplo, al utilizar una huincha para medir una longitud o bien un cronómetro para medir un intervalo de tiempo. Sin embargo, también, podría medirse una longitud de una forma no directa. Por ejemplo, se puede medir la altura de un acantilado o lo profundo de un pozo, utilizando para ello la ecuación de caída libre que da la distancia que recorre un objeto en caída libre en función del tiempo que emplea en hacerlo. En tal caso, basta cronometrar el tiempo que emplea el objeto que se deja caer desde lo alto del acantilado y luego se reemplaza este tiempo en la ecuación, para así obtener la altura del acantilado. Este tipo de medición se denomina medición indirecta. Es decir, una medición indirecta es aquella en que la cantidad a medir se obtiene midiendo otra u otras cantidades que luego se reemplazan en una fórmula para obtener la medida deseada.

Números experimentales y números matemáticos

Los números experimentales son aquellos que resultan de una medición, ya sea que ésta se haya obtenido en forma directa o indirecta. Por otra parte, hay cantidades o números que no resultan de un proceso de medición, como por ejemplo, ½ y 2 en la expresión ½ m v2, que define la energía cinética de una partícula de masa m y velocidad v. Estos tipos de números, reciben el nombre de Números Matemáticos.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS. Las cifras o dígitos que se utilizan para expresar un número experimental, obtenido directa o indirectamente, y de las cuales se está razonablemente seguro, se denominan cifras significativas. Las cifras significativas pueden ser números enteros o decimales. Por ejemplo, al realizar una medición con una regla graduada al milímetro, podría a lo más llegar a estimarse hasta las décimas de milímetros. Si este resultado fuese 24,8 [mm], se dice que el número es incierto en décimas de milímetro y en virtud de que se está razonablemente seguro de las tres cifras se dice que el resultado tiene tres cifras significativas. Obviamente que si se utiliza un instrumento que proporciona o permite obtener hasta las milésimas de milímetro, el resultado tendría más cifras significativas. Por ejemplo, 24,821 [mm]. En este caso se dice que el número experimental tiene cinco cifras significativas y que sólo es incierto en milésimas de milímetro. A continuación se dan algunos ejemplos de números experimentales indicándose el número de cifras significativas.

23,048 [m] : tiene 5 cifras significativas.

0,028 [s] : tiene 2 cifras significativas.

1,6 [kg] : tiene 2 cifras significativas.

1,600 [kg] : tiene 4 cifras significativas.

Note que en primer ejemplo el cero se contabiliza como cifra significativa. No así en el segundo ejemplo, puesto que en este caso los ceros bien podrían obviarse utilizando potencias de diez, o sea 0,0028 se pude expresar 28 x 10-2. Los ceros sólo permiten indicar que la cantidad son 28 milésimas.

El tercero y cuarto ejemplos se refiere a dos números que del punto de vista matemático podrían considerarse equivalentes, pero del punto de vista de las mediciones son diferentes, por cuanto el primero de ellos no entrega información respecto de las centésimas y de las milésimas de kilogramos. En cambio el segundo de ellos sí indica expresamente que las centésimas y milésimas de kilogramos se midieron, y por lo mismo son cifras significativas que deben escribirse.

Al expresar un número experimental en otras unidades se debe tomar en cuenta el orden de su incertidumbre y por lo mismo el número de dígitos con que debe expresarse. Así, el número debe ser escrito con la cantidad de cifras necesarias y suficientes para que la última cifra de la derecha refleje el orden de su incertidumbre, independientemente de las unidades en que se exprese. Ejemplo: El número experimental 408,3 [m], es incierto en la décima de metro, por lo tanto al expresarse en otras unidades, el número resultante debe reflejar este orden de incertidumbre. Por lo mismo se tiene:

408,3 [m] = 0,4083 [km] = 4083 x 10 [cm] = 4083 x 102 [mm].

Observe que en todos los casos el número experimental se ha escrito con cuatro cifras significativas y en ellos la última cifra de la derecha es del orden de las décimas de metro. Además, observe que se han utilizado las potencias de diez para evitar escribir ceros a la derecha que no son del resultado de la medición, y que ello no son significativos.

Lo anterior se generaliza con las siguientes reglas para los números experimentales:

• Los ceros a la derecha se escriben sólo si resultan del proceso de medición y en tal caso se consideran cifras significativas.

• Los ceros a la derecha que no son significativos deben obviarse utilizando para ello las potencias de diez adecuadas.

• Los ceros a la izquierda pueden obviarse o no con potencias de diez. En el caso que se escriban, no se consideran cifras significativas, ya que sólo permiten dar el orden de magnitud de la cantidad.

• Los ceros entre dos cifras distintas de cero son del resultado de la medición y por ellos son significativos.

Otros ejemplos:

0,000405 [s] tiene 3 cifras significativas.

8204,693 [km] tiene 7 cifras significativas.

30,00 [kg] tiene 4 cifras significativas.

3 x 102 [m/s] tiene 1 cifra significativa.

NOTACIÓN CIENTÍFICA.

Una forma de estandarizar la escritura de los números experimentales es escribirlos con una sola cifra entera, dejando el resto como decimales. Para lograr esto se utiliza la potencia de diez adecuada para cada caso. Ejemplos:

0,000405 [s] = 4,05 x 10-4 [s].

8204,693 [km] = 8,204693 x 103 [km].

30,00 [kg] = 3,000 x 10 [kg].

3 x 102 [m/s] = 3 x 102 [m/s].

Operaciones con números experimentales

Al realizar operaciones con números experimentales, es indudable que el orden de la incerteza de cada uno de ellos, que se refleja en sus cifras significativas, influya en el orden de la incerteza del resultado. Por esta razón, el resultado debe escribirse con el número adecuado de cifras significativas de manera que de cuenta o refleje este orden de incerteza.

Con el propósito de lograr lo anterior se ha llegado a establecer algunas reglas que en forma bastante aproximada dan cuenta de ello.

• Suma y resta de números experimentales.

Ejemplo: Consideremos la suma de las cantidades experimentales expresadas en [s]:

18,345 + 234,3 + 0,8294 = 253,4744 [s] Para determinar las cifras significativas del resultado se considera que cada cantidad experimental tiene una incertidumbre de una unidad del orden de su última cifra. Así, la incertidumbre de 18,345 se considera que está en la milésima y es + 0,001. La incertidumbre de 234,3 se considera en la décima, o sea + 0,1 y la de 0,8294 se considera + 0,0001.

De acuerdo a lo anterior, 18,345 representa la medida de una cantidad cuyo valor está acotado por 18,345 + 0,001, o sea que está entre 18,344 y 18,346 segundos.

De la misma forma 234,3 representa una cantidad cuyo valor está acotado por 234,3 + 0,1 y el tercer valor representa una cantidad acotada por 0,08294 + 0,00001. Por lo tanto, considerando la situación más extrema, la suma da las tres cantidades está entre (18,344 + 234,2 + 0,8293) y (18,346 + 234,4 + 0,8295). O sea está acotada por las cantidades 253,4233 y 253,4355 segundos. Al comparar la suma obtenida anteriormente, 253,4744, con las dos cotas anteriores, la diferencia es del orden de las décimas de segundos. Por lo tanto, la suma debe aproximarse a las décimas de segundos. Así, la suma se escribe 253,5 [s]. Si éste procedimiento se aplica a otros casos se puede observar, que en general cumple con la siguiente regla o criterio, que resulta fácil de aplicar y abrevia el análisis realizado anteriormente.

Criterio 1: Al sumar o restar números experimentales el resultado debe escribirse sólo hasta la cifra que refleje el mayor orden de incertidumbre presente en los números a operar. De acuerdo a este criterio, lo primero que debemos hacer es identificar cual es la cantidad con mayor orden de incerteza y después de realizar las operaciones, aproximar el resultado a dicho orden de incerteza.

Ejemplo: Utilizaremos el mismo ejemplo anterior para aplicar la regla dada. 18,345 + 234,3 + 0,8294 = 253,4744 [s] La cantidad 234,3 [s] presenta el mayor grado de incertidumbre, ya que es del orden de la décima de segundo. Por lo tanto, el resultado 253,4744 [s] debe aproximarse a la décima de segundo, o sea a 253,5 [s]. Observe que este resultado coincide con el calculado anteriormente.

En el caso que las cantidades a sumar o restar estén expresadas utilizando potencias de diez, antes de realizar las operaciones se recomienda expresarlas con una misma potencia de diez como factor común, la mayor de ellas, pero sin alterar los dígitos significativos de cada número. Después de ello se procede a realizar las operaciones correspondientes aplicando el criterio 1 establecido.

Ejemplo: Calcule (4,8 x 10-2) + (1,391 x 10) – (2,06 x 10-3) Solución: Entre 10-2, 10 y 10-3, la mayor potencia es 10. Así, todas las cantidades se expresan dejando como factor la potencia 10.

(0,0048 x 10) + (1,391 x 10) – (0,000206 x 10) = (0,0048 + 1,391 – 0,000206) x 10 = 1,396 x 10.

• Multiplicación, división, potenciación, extracción de raíz.

Al efectuar multiplicaciones, divisiones, potenciaciones y extracción de raíz, también se puede llegar a establecer una regla. Para ello se hacen las mismas consideraciones anteriores sobre cada una de las cantidades experimentales a operar, en el sentido que a cada una de las cantidades se les atribuye una incertidumbre en su última cifra. Entonces, al realizar las operaciones con las cotas inferiores de cada cantidad experimental y al hacer lo mismo con las cotas superiores, los resultados presentan una diferencia con el cálculo directo. El orden de estas diferencias indica cuales de las cifras del resultado obtenido directamente, se pueden considerar realmente significativas. Al aplicar el procedimiento descrito se obtiene el siguiente criterio, que permite obviar las operaciones con las cotas inferiores y superiores, y por lo mismo facilita el cálculo.

Criterio 2: Al multiplicar, dividir, elevar a potencia o extraer raíz de una cantidad experimental el resultado debe expresarse con una cantidad de cifras significativas igual a la del número experimental con menos cifras significativas. Entonces, para aplicar este criterio lo primero que debemos realizar es detectar cual o cuales son las cantidades experimentales con el menor número de cifras significativas. Y luego de realizadas las operaciones, el resultado se aproxima a dicho número de cifras significativas.

Ejemplo:

(2,45 x 103) x 0,001936 x (3,107) 1/2) /13,645 = 0,612729… La cantidad con menos cifras significativas es 2,45 x 103, el cual tiene tres cifras significativas. Entonces, el resultado se expresa aproximándolo a sólo tres cifras significativas. Por lo tanto queda: 0,612729… queda 0,613.

• Operaciones que incluyen números matemáticos.

Criterio 3: Al realizar operaciones que incluyen números matemáticos, obviamente se opera con ellos, pero como ellos no van acompañados de incerteza experimental, las reglas se aplican considerando sólo los números experimentales. Ejemplo: Se ha medido el diámetro de un disco CD, d = 12,0 [cm] y se desea determinar la longitud de su contorno. Se aplica la fórmula L = p d. En este caso p no es experimental, pero si lo es d.

Entonces: L = 3,141592654 x 12,0 = 37,69911185 se aproxima de acuerdo al criterio de multiplicación (criterio 2), pero sin considerar las cifras que tiene el número matemático p. Es decir, sólo se toma como referencia el hecho que 12,0 tiene tres cifras significativas. Así, el resultado se expresa d = 37,7 [cm]. Este resultado indica que la incertidumbre está en la última cifra, o sea es de la décima de centímetro.

• Aproximaciones de números matemáticos.

En ocasiones se requiere, antes de realizar las operaciones, aproximar algún número matemático que participa en ella. En tal caso, para que la incertidumbre de la aproximación sea despreciable en el resultado, en relación a las otras incertidumbres, se establece el criterio siguiente:

Criterio 4: La aproximación de un número matemático debe hacerse de manera que el número aproximado tenga a lo menos una cifra significativa más de las que establece el criterio respectivo para la operación a realizar donde interviene dicho el número. Ejemplo: Calcular el área de un disco CD cuyo diámetro es d = 12,0 [cm].

A = p d2/4 = 3,141592654 x (12,0)2 /4 = 3,142 x (12,0)2 /4 = 113,1 [cm].

El número p se ha aproximado a cuatro cifras por cuanto el resultado debe tener tres cifras significativas, que es la cantidad determinada por el número experimental 12,0 (criterio 2).

Observe que operando con todas cifras de p que tiene su calculadora se llega al mismo resultado una vez realizada la aproximación correspondiente.

Operaciones combinadas. Generalmente hay que realizar operaciones que combinan sumas con restas, multiplicaciones, divisiones y otras operaciones. En tal caso se aplican los criterios ya establecidos, pero cuidando de aplicarlos al caso según corresponda. Usted puede utilizar una calculadora para operar varias cantidades, pero siempre que a ellas les sea aplicable un determinado criterio.

Ejemplo: A continuación se presenta un ejemplo donde aparecen operaciones en que deben combinarse los criterios dados anteriormente. Se ha medido el diámetro d y altura h de un cilindro y se desea determinar el área de su superficie.

Se sabe que el área se puede calcular mediante la expresión: A = 2 ( d2/4 + ( d h.

Los números o navidades experimentales son: d = 3,25 [cm] y h = 12,28 [cm]. Las otras cantidades son matemáticas. Así se tiene:

A = ( (3,25)2/2 + ( 3,25 x 12,28 La expresión numérica de la derecha tiene dos términos. Primero debe aplicarse a cada uno de estos términos los criterios correspondientes a las operaciones a realizar. ( y 2 son números matemáticos, se opera con ellos, pero no se les aplican los criterios 1 y 2. Por lo tanto, se tiene:

A = 16,6 + 125 = 142 [cm2] Comentarios: En ambos términos se aplicó el criterio 2 y el criterio 3, y a continuación para realizar la suma entre 16,6 y 125 se aplicó el criterio 1.

• Aproximaciones en el cálculo de promedios.

Ejemplo: Se desea determinar el promedio de las cantidades experimentales siguientes, que corresponden a varias medidas realizadas para determinar el diámetro de un rodamiento:

Al calcular el promedio se obtiene el valor: 2,3138 [cm]. Valor que tiene diez milésimas de centímetros. Como todas las medidas se han realizado sólo a la milésima de centímetros se aproxima el resultado a la milésima. Se aplica este criterio para hacer compatible el cálculo con criterios que se verán más adelante. Entonces el resultado queda como sigue: D = 2,314 [cm]. Para formalizar lo aplicado en el ejemplo anterior, se establece el criterio siguiente: Criterio 5: Al calcular el promedio de dos o más números experimentales el resultado debe expresarse hasta la cifra que indica la o las cantidades con mayor incertidumbre. Orden de magnitud. El orden de magnitud de una cantidad se define como la potencia de diez más cercana a dicha cantidad. A continuación se citan algunos ejemplos en los que se indica el orden de magnitud de ciertas cantidades.

300.000.000 = 3,00000000 x 108 es del orden de magnitud de 108.

93.000 = 9,3000 x 104 es del orden de magnitud de 105 0,00015 = 1,5 x 10-4 es del orden de magnitud de 10-4 0,0083 = 8,3 x 10-3 es del orden de magnitud de 10-2 0,05 = 5 x 10-2 es del orden de magnitud 10-2 o 10-1

Bibliografía: Si el alumno desea saber algo más sobre el tema y dispone de tiempo para informarse, se recomienda la siguiente bibliografía.

• D. C. Baird. "Experimentación: Una Introducción a la teoría de mediciones y al diseño de experimentos". Pearson Educación.

• Alan M. Portis, Hugo D. Young. "Matemáticas y estadísticas" Berkeley physics laboratory. Editorial Reverté, S. A.

Preguntas sobre el tema.

• 1. ¿Qué es medir?

• 2. ¿Cuál es la diferencia entre una medición directa y una medición indirecta? De ejemplos diferentes a los de estos apuntes.

• 3. Indique cuál es la diferencia entre un número matemático y un número experimental.

• 4. ¿A qué se les denomina cifras significativas?

• 5. ¿Cómo se interpreta que la incertidumbre del número experimental 24,37 [s] sea de una centésima de segundo?

• 6. ¿Qué se entiende por orden de magnitud de un número?

Ejercicios sobre el tema.

• 1. Indique cuántas cifras significativas tiene cada uno de los siguientes números experimentales:

a) 8 ; b) 80 ; c) 8000,0 ; d) 0,08 ; e) 0,080 ; f) 808 ; g) 4,16221 h) 8,1609 ; i) 7,28 ; j) 9,80.

• 2. Realice las siguientes operaciones con números experimentales y exprese el resultado con las cifras significativas correspondientes.

a) (4 x 105) x (2,56 x 104) b) (4,6 x 10-5) – (6 x 10-6) c) (5,4 x 102) + (3,2 x 10-3) d) (4,84 x 10-5)/(2,42 x 10-7) e) 48,6 x (0,524 x 10-2)/(2,2 x 10-3).

• 3. Exprese en notación científica las siguientes cantidades:

a) 4,59 b) 0,0035 c) 45 900 800 d) 0,0000597 e) 345 700 000 f) 0,03 x 105.

• 4. ¿Cuántas cifras significativas deben aparecer en los resultados de las siguientes operaciones?

a) 5 x 0,006 b) 0,05 x (9,5 x 102) c) 100 x 6 d) 0,5/0,02 e) 0,08/(2 x 10-2).

• 5. El tiempo transcurrido desde que los primeros animales habitaron el mundo sobre tierra seca es de unos 12 000 000 000 000 000 segundos. Expresar este tiempo como potencia de diez aproximándolo a una sola cifra significativa. ¿Cuál es el orden de magnitud?

• 6. La velocidad de propagación de la luz en el vacío es c = 2,99774 x 105 [km/s], ¿cuál es el orden de magnitud de esta cantidad?

• 7. Efectúe las siguientes operaciones expresando los resultados en cifras significativas.

a) (1,29 x 105) + (7,56 x 104); b) (4,59 x 10-5) – (6,02 x 10-6); c) (5,4 x 102) x (3,2 x 10-3).

• 8. Exprese en notación científica las siguientes cantidades experimentales:

a) 45,9 b) 0,00359 c) 45 967 800 d) 0,0005976 e) 345 690 000 000 f) 0,00011 x 105.

• 9. Cuatro personas han medido por tramos consecutivos el largo de una cuadra. Los resultados obtenidos son: 24,8 m, 14,34 m, 51m y 70 m. Obtenga el largo de la cuadra con el número adecuado de cifras significativas.

• 10. Con el propósito de determinar el volumen de una placa rectangular se han obtenido las medidas siguientes: largo = 30,28 cm, ancho = 17,21 cm y espesor 2,1 mm. Calcule el volumen de la placa y expréselo en cm3.

• 11. La altura h y el diámetro D de un cilindro son respectivamente 10,24 cm y 7,32 cm.

Calcule: a) Su volumen

y b) Su superficie total

• 12. Para determinar la densidad de una bolita de rodamiento se ha medido una vez su masa, siendo su valor M = 42,3 [g], y nueve veces su diámetro, obteniéndose las medidas que se indican.

Calcule el diámetro promedio y con dicho valor y el de la masa M calcule la densidad de la bolita utilizando la expresión:

(Obs.6 y ??son números matemáticos).

• 13.  Un vehículo recorre una distancia de 8,4 [km] en 11,7 minutos. Determine su rapidez media v aplicando criterios de cifras significativas. Exprese el resultado en [m/s].

• 14. En un experimento de un carro que se mueve a lo largo de un eje X se obtiene el siguiente registro de las posiciones x del carro para cada instante t que indica el cronómetro.

Calcular para cada pequeño tramo de 0,015 [m] la rapidez media del carro y considerándola como instantánea adjudíquesela a cada instante medio del intervalo correspondiente. Anote sus resultados en una tabla de valores v/t.

• 15. Considere la tabla dada en el problema anterior y calcule: a) la distancia total recorrida por el carro, y b) La rapidez media para todo el recorrido.

Resultados a los ejercicios propuestos.

1.- a) 1 b) 2 c) 5 d) 1 e) 2 f) 3 g) 6 h) 5 i) 3 j) 3.

2.- a) 1 x 1010 b) 4,0 x 10-5 c) 5,4 x 102 d) 200 e) 1,2 x 102 .

3.- a) 4,59 b) 3,5 x 10-3 c) 4,5900800 x 107 d) 5,97 x 10-5 e) 3,45700000 x 108 f) 3 x 103 4.- a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1.

5.- 1 x 1016, orden de magnitud 1016 [s].

6.- 105 [km/s].

7.- a) 2,05 x 105 b) 3,99 x 10-5 c) 1,7.

8.- a) 4,59 x 10 b) 3,59 x 10-3 c) 4,5967800 x 107 d) 5,976 x 10-4 e) 3,45690000000 x 1011 f) 1,1 x 10. 9.- 160 [m].

10.- 11 x 10 [cm3].

11.- a) 431 [cm3] b) 319 [cm2].

12.- D promedio = 2,181 [cm] y d = 7,79 [g/cm3].

13.- 12 [m/s].

14.-

15.- a) 0,090 [m]. b) 0,20 [m/s].