Medición, números experimentales, operaciones (página 2)

Introducción. Respecto del tema que a continuación se expone, se debe hacer notar que existen apuntes muy diversos en la bibliografía que se refieren a él. Esto es por cuanto no se ha consensuado una única forma de abordarlo. Algunos autores se inclinan por ser muy rigurosos del punto de vista matemático y estadístico, en cambio otros presentan el tema de una forma más simple, considerando que el apunte va dirigido a un lector que por primera vez se introduce en el tema. En este apunte, el tema se ha desarrollado tratando de conciliar un poco ambos aspectos, talvez con un énfasis mayor en la última orientación indicada.

De acuerdo a lo anterior, estos apuntes deben considerarse sólo como una pincelada al tema y en ningún caso se pretende cerrar la discusión en torno a los tópicos tratados.

Por otra parte, debe indicarse que aunque el tema puede estar tratado, por los diferentes autores, con más o menos profundidad, existe coincidencia en lo esencial del tema abordado.

Incertidumbre. Errores. Cuando en el apunte anterior se hizo referencia a las mediciones y a las llamadas cifras significativas, se mencionó que es imposible obtener el valor verdadero de lo que se quiere medir, ello debido a los múltiples factores que intervienen en el proceso de medición, como ser, la calidad del instrumento de medida, la experiencia del experimentador, lo adecuado del procedimiento de medición y en general todos aquellos factores presentes imposibles de controlar totalmente, como lo son los factores ambientales. Además, se debe agregar que aunque estos factores no estuvieran presentes, la esencia de la naturaleza le quita sentido referirse al valor de una cantidad, teniendo más sentido hablar de la probabilidad de obtener un valor representativo de la cantidad a medir, aspecto que se hace presente a nivel microscópico.

En virtud de que toda medida es incierta, siempre habrá una diferencia entre ella y la cantidad a medir. Esta diferencia es la incertidumbre o error de la medida, que obviamente tampoco puede conocerse en forma exacta.

Exactitud y precisión. En la vida cotidiana estos términos suelen usarse indistintamente, sin embargo en el lenguaje científico se hace una clara diferencia entre ambos.

La exactitud de una medida está relacionada con qué tan cerca se encuentra ésta del valor verdadero. En cambio, la precisión de una medida guarda relación con que tan dispersas pueden resultar las medidas respecto de su valor medio, sin tomar en cuenta si dicho valor medio está o no cerca del valor verdadero. Una situación análoga a esto la grafica el siguiente ejemplo: Una persona dispara a un blanco, con un rifle de excelente calidad, pero al cual le han desviado la mira. En tal caso, todos los disparos estarán muy poco dispersos entre sí, pero desviados del centro del blanco. Se dice que los disparos son muy precisos, pero poco exactos. En cambio, si la misma persona utiliza un rifle de menor calidad, pero que no tiene la mira desviada, los disparos se distribuirán en torno al blanco, sin embargo, se encontrarán más dispersos que en el caso anterior. En este caso, se dice que los disparos resultaron más exactos que los otros, pero menos precisos. En los experimentos es deseable que las medidas sean tanto exactas como precisas. Sin embargo, ello puede requerir gastos y tiempos mayores, por lo que normalmente se realizan las mediciones teniendo en cuenta el propósito o uso que se le va a asignar al resultado.

Errores Sistemáticos y Errores Aleatorios. A pesar que los errores en las mediciones pueden deberse a múltiples factores, se suelen clasificar en dos tipos: Errores sistemáticos y Errores aleatorios o accidentales. Los errores sistemáticos son aquellos donde todas las medidas resultan mayores que el valor verdadero; o bien todas resultan menores que el valor verdadero. Por ejemplo, si se utiliza un cronómetro que se atrasa, todos los tiempos resultarán menores. En cambio, todos los tiempos serán mayores si el reloj se adelanta. En general, estos errores tienen su origen en la calidad del instrumento o del procedimiento para medir. Este tipo de errores, aunque a veces suelen ser difíciles de descubrir, una vez detectados se pueden corregir. Los errores aleatorios o accidentales, son aquellos que se deben a múltiples factores fortuitos y a limitaciones del experimentador, tales como su capacidad para discriminar algunas lecturas del instrumento. También se incluyen factores no controlados o difíciles de controlar y que cambian en el tiempo. Por ejemplo, cambios de temperatura, cambios de presión, etc. Los errores aleatorios hacen que algunas medidas sean mayores y otras sean menores que el valor verdadero o exacto. Su carácter azaroso o aleatorio hace imposible conocer exactamente la magnitud del error y si su influencia en la medida hace que ésta sea mayor o menor que el valor verdadero. Por lo mismo, los errores aleatorios no pueden evitarse ni corregirse. Más adelante veremos que lo que se hace es estimar su magnitud.

Se debe tener cuidado al clasificar un error en sistemático o aleatorio, ya que un afinamiento de la medición puede mostrar que un error clasificado como sistemático era aleatorio y viceversa. Como el proceso de medición consiste en estimar el valor exacto de una cantidad, se hace necesario tratar de detectar y eliminar las fuentes de errores sistemáticos, de manera que sólo estén presentes los errores aleatorios. Además, como la magnitudes de los errores aleatorios no se pueden determinar, también el proceso busca estimar la magnitud del error, el cual acompaña a la medida precedido del signo + . El procedimiento o forma de hacer las estimaciones está relacionada con el número de medidas directas que se realizan.

El valor que estima al error se designa por E y se denomina error absoluto de la medida. Por ejemplo, si se mide una cantidad cuyo valor exacto y por cierto desconocido es Qexac, y se ha obtenido una estimación Qest de la cantidad, con un error absoluto E, esto se escribe como se indica: Q = Qest. + E Considerando que E corresponde sólo a errores aleatorios y no sistemáticos, debe ocurrir que:

Qest. – E < Qexac. < Qest. + E La estimación del error de una medida resulta muy necesaria por cuanto proporciona mayor información de la medida y además, permite manejar ésta con más o menos cuidado en virtud de la incertidumbre o error que la acompaña. Estimación del valor exacto en mediciones directas. La estimación tanto de la medida como su error en mediciones directas depende del número de medidas que se hayan realizado.

En el caso de mediciones directas, si se realiza una sola medida, ésta será la estimación del valor exacto. De realizarse más de una medición se considera el promedio aritmético de las medidas como valor representativo o estimador de la medida. Ello en virtud de que el promedio aritmético resulta ser la cantidad que hace que la suma de las desviaciones o diferencias cuadráticas de las medidas, respecto de él, como estimador, sea mínima en comparación con cualquier otro estimador. En efecto, esto se demuestra a continuación.

Si las medidas son x1, x2 … xn, y si el estimador de las medidas se designa por entonces la suma de las diferencias cuadráticas de cada medida respecto del valor representativo de éstas será: Derivando esta cantidad respecto del estimador y haciendo cero dicha derivada se puede determinar el valor del estimador que minimiza o maximiza a la suma. Así:

Puede reemplazarse el promedio en la suma inicial y constatar que efectivamente la minimiza.

Cálculo del error absoluto E en mediciones directas. En general, el cálculo del error absoluto en mediciones directas se realiza utilizando consideraciones estadísticas, lo cual se aplica cuando se tiene una cantidad adecuada de medidas. En caso contrario, sólo se calcula utilizando un criterio aceptado como razonable.

Cálculo de E en el caso de una sola medida: error instrumental. Si el experimento no permite o no tiene sentido tomar más de una medida, se considera como error absoluto de ésta el error instrumental, el cual se define como un tercio de la sensibilidad S del instrumento, o sea la tercera parte de la cantidad más pequeña que mide el instrumento.

Ejemplo: Al realizar una sola medida con una regla calibrada al milímetro, estimándose la décima de milímetro, se ha obtenido el valor 213,3 [mm]. Entonces, el error absoluto que acompaña a esta medida debe ser 1/3 de su sensibilidad S = 1 [mm]. Así, el error instrumental es S/3 = 0,33… [mm]. Por lo tanto, el resultado se escribe:

L = ( 213,3 + 0,3 ) [mm]. ( 1 ) Se debe hacer notar que el error se ha escrito en ( 1 ) con una sola cifra significativa y la medida se ha escrito hasta la décima de milímetro, acorde con la escritura del error.

Cálculo de E en el caso de dos a cuatro medidas. El error se estima con la relación siguiente:

( 2 ) Ejemplo: Se han realizado cuatro mediciones del diámetro de un buje con un instrumento que entrega hasta la centésima de [cm], obteniéndose los valores siguientes:

Determinar el valor que estima a D y estimar su error.

Solución: 0,00375 [cm] y = 0,00333 [cm].

Por lo tanto, se toma como error 0,003750 [cm], por ser mayor que 0,00333 [cm]. Como el error debe escribirse con una sola cifra significativa, se aproxima a 0,004 [cm]. Por otra parte, el promedio aritmético de las medidas estima a D, que este caso es 2,0075 [cm]. Este valor se aproxima a la milésima, que es el orden del error absoluto. Así, el resultado se expresa: D = ( 2,008 + 0,004 ) [cm].

Cálculo de E en el caso de más de cuatro medidas. En el caso de más de 4 medidas se utiliza como representativo del error de las medidas, el máximo valor entre el error cuadrático o desviación estándar de las medidas, o sea y el error instrumental.

O sea. ( 3 ) Observación: En el caso de más de treinta medidas es prácticamente igual a

con Nota:

El valor de se pueden obtener directamente en una calculadora científica, bastando sólo introducir las n medidas.

Ejemplo: Se ha medido diez veces el diámetro de una bolita y se desea obtener el diámetro promedio acompañado de su error absoluto. Las medidas son las siguientes:

La calculadora entrega el resultado siguiente: 0,009 [mm], el cual se ha aproximado a una sola cifra. Este valor se compara con S/3, o sea con 0,003 [mm], tomándose el máximo entre ambos, en este caso 0,009 [mm]. Conforme a ello d se expresa como sigue:

d = ( 18,323 + 0,009 ) [mm]. Observe que en todos los casos el error absoluto E tiene las mismas dimensiones de las medidas y por ello se expresa en las mismas unidades que éstas.

Al examinar la bibliografía existente en el tema usted podrá encontrar que se dan argumentos para expresar el error absoluto tanto con una como con dos cifras significativas. Al respecto, vamos a convenir en escribir el error con una sola cifra significativa y acorde con él, se aproxima la medida. Por ejemplo, si se ha determinado una medida, x = (23,456 + 0,029) [s] El error debe aproximarse a 0,03 [s] y la medida debe aproximarse acorde con la magnitud del error, o sea a la centésima de segundo.

Así, x = (23,46 + 0,03) [s]. Cálculo del error absoluto en el caso de mediciones indirectas. Si la medida indirecta z es una función de n variables, o sea:

z = f (x1, x2, x3, …,xn).

Se puede aplicar la siguiente expresión para el cálculo del error absoluto de z.

(5) Expresión que se evalúa reemplazando x1, x2, x3,…,etc , por los respectivos valores promedios y donde E1, E2, E3, …,etc., son respectivamente los errores que acompañan a las medidas. La relación (5) es aplicable sólo si se cumple que las variables son estadísticamente independientes. O sea, el valor de una de ellas no afecta al valor de la otra. Por ejemplo, la estatura de una persona no es independiente de su peso, ya que si se mide la estatura y el peso de un gran número de personas se observa que en general las personas más altas pesan más. Algunos autores utilizan expresiones particulares específicas para cierto tipo de operaciones, como ser para la suma, la resta, la multiplicación, la división, etc. De dos o más variables. Estas expresiones se deducen aplicando la expresión general. Por ejemplo, si x e y son dos variables con errores Ex y Ey, respectivamente. El error de z = x + y se determina como sigue:

Sea z = x + y, entonces, No es necesario conocer todas estas expresiones particulares, basta aplicar la expresión general cualquiera sea el caso. Sin embargo, hay que tener presente algunas observaciones, que a continuación se indican. Observaciones:

• Si por ejemplo, se calcula el perímetro de una placa rectangular de lados a y b. La propagación de error se aplicará a la suma P = a + a + b + b, si es que las medidas para cada lado opuesto se han realizado en forma independiente, o sea cada una tiene un valor estimado acompañado de su respectivo error. En caso contrario, o sea si se toma un único valor representativo para cada lado, la propagación de error deberá aplicarse a P = 2 a + 2 b = 2 (a + b).

• El significado estadístico de

• 

• donde Ex se ha estimado con la desviación estándar de las medidas sx, es que si se realiza un nuevo proceso de medición en iguales condiciones (mismo experimentador, instrumentos, etc.) existe aproximadamente un 68% de probabilidad de que las medidas estén en el intervalo

• 

Discrepancias entre medidas. La discrepancia entre dos conjuntos de medidas se refiere a la concordancia o no que puede haber entre los resultados de dos procesos de medición cuando éstos se han realizado por procedimientos diferentes o por diferentes observadores.

Con la finalidad de determinar si la discrepancia entre los dos resultados es significativa o no se suele proceder de la siguiente manera, considerando que los dos conjuntos de mediciones son independientes: Sean los resultados de las mediciones los siguientes:

Medición 1: Medición 2: Se define Entonces, se dice que los dos resultados son distintos, con un límite de confianza de un 68% si

Error relativo y error porcentual. Si bien es cierto el error absoluto nos indica la confianza que se puede tener de la medida, por si mismo no nos da una idea clara de que tan buena sea ésta. Para ello se debe considerar qué parte es el error en relación a la medida. Por ejemplo, si se miden dos longitudes y ambas medidas tienen igual error absoluto de 0,1 [cm], siendo una de ellas de 1000,0 [cm] y la otra 1,0 [cm]. Resulta indudable que la primera medida se considera mejor, ya que en ésta el error constituye 1/10000 de la medida, en cambio en la segunda el error es 1/10 de la medida. Este ejemplo pone de manifiesto que para dimensionar la bondad de una medida es necesario considerar su error respecto de ella. Ello da origen al llamado error relativo. En otras palabras, el error relativo de una medida se define como el cuociente entre su error absoluto y la medida. Obviamente este error se expresa sin unidades. También este error se suele expresar en porcentaje, recibiendo el nombre de error porcentual. O sea, el error relativo multiplicado por una potencia de diez. Para el ejemplo propuesto, al multiplicar por 100, los errores porcentuales serían 0,01% y 10%, respectivamente para la primera y segunda medida. Estos errores pueden expresarse en el porcentaje más adecuado, ya sea en tanto por ciento, tanto por mil o tanto por diez mil, etc. El error relativo se designa por ?.

Ejemplos. 1.- Se mide 10 veces el diámetro de una bolita de rodamiento, utilizando un tornillo micrométrico. Los valores obtenidos se presentan en la tabla siguiente. Determine el diámetro de la bolita acompañado de su error absoluto.

Como se trata de 10 medidas, E se calcula con sn-1. Así, se tiene sn-1 = 0,00516…[cm]. Este valor debe compararse con S/3 = 0,003 [cm]. Como sn-1 > 0,005 se toma su valor como error absoluto, pero tiene que aproximarse a una sola cifra. Así, finalmente se tiene E = 0,005 [cm].

El promedio de las medidas resulta 2,166 [cm], valor que debe aproximarse de acuerdo a la magnitud del error. En este ejemplo queda igual, por lo tanto la medida se expresa:

D = ( 2,166 + 0,005 ) [cm].

2.- Para determinar la densidad ? de la bolita de rodamiento del ejercicio anterior, se mide su masa M y se considera el diámetro D obtenido anteriormente.

Como la densidad d = masa / volumen, y considerando que la bolita es esférica, se tiene:

La masa M se mide una sola vez resultando 42,1 [g], valor obtenido en una balanza cuya precisión es de 0,1 [g]. En principio su error sería la mitad de la sensibilidad S del instrumento, o sea la mitad de 0,1 [g], pero como se requiere el error para aplicarlo en la propagación de errores, se debe tomar 1/3 de S. Por lo tanto, el error absoluto de M, aproximado a una cifra significativa, es 0,03 [g], así:

M = (42,10 +0,03) [g].

Ahora, para aplicar la propagación de errores, primeramente se calcula el error de la densidad, para lo cual se utiliza la expresión (5), aplicada a

Así el error resulta:

La densidad se estima con la expresión

reemplazando en ella los valores que estiman a M y D.

Así: g/cm3].

Valor que se aproxima a la centésima de [g/cm3], de acuerdo al error obtenido. Resultando finalmente:

? = ( 7,91 + 0,06 ) [g/cm3].

3.- Determinar la expresión del error de la densidad ? de una golilla de masa M, diámetro exterior D, diámetro interior d y espesor o altura h. Considere la golilla como un cilindro con una cavidad cilíndrica coaxial.

En este caso el volumen de la golilla estará dado por la expresión:

Entonces la densidad es:

Así, al aplicar la expresión (5) se obtiene:

Desarrollando las derivadas se llega a:

Para el cálculo del error con la expresión anterior, los valores de D, d, M y h corresponden a los valores promedios o estimados de dichas cantidades. Preguntas sobre el tema.

• 1. ¿Es posible obtener el valor verdadero o exacto de lo que se quiere medir?

• 2. ¿Es lo mismo exactitud que precisión? ¿Por qué?

• 3. ¿Qué son los errores sistemáticos? Dé un ejemplo.

• 4. ¿Qué son los errores aleatorios? Dé un ejemplo.

• 5. ¿Se pueden corregir los errores aleatorios? ¿Y los sistemáticos?

• 6. ¿A qué se le llama Error Absoluto de una medida?

• 7. ¿Por qué es necesario conocer el error absoluto de una medida?

• 8. ¿Con qué cantidad se estima el valor de una cantidad cuando se han realizado varias medidas directas de ella?

• 9. ¿Qué propiedad cumple el promedio aritmético de varias mediciones?

• 10. ¿En el caso de mediciones directas, de qué depende la forma de calcular el error absoluto?

• 11. ¿Con cuántas cifras significativas se ha convenido escribir el error absoluto?

• 12. ¿Cuál es la expresión que se utiliza para determinar el error absoluto de una medición indirecta z, donde z = f(x1, x2, x3, …xn)?

• 13. ¿Cómo se define o calcula el error relativo y el error porcentual de una medida?

Relación entre variables – rectificación

Una de las formas más cómodas de visualizar la posible relación que pudiera existir entre dos variables es hacer un gráfico de los valores que las relacionan. Las situaciones que pueden darse al hacer los gráficos se podrían agrupar en los tres tipos, que a modo de ejemplo se ilustran en la Figura 1.

El gráfico (a) de la Figura 1 muestra una situación que indica que las variables no guardan ninguna relación o vínculo. En este caso se dirá que entre las variables no hay correlación.

El gráfico (b) de la misma figura se interpreta diciendo que las variables están correlacionadas estadísticamente. O sea, hay un vínculo entre ellas, pero en este vínculo están presentes otros factores no controlados, generalmente desconocidos. Un ejemplo de este tipo de relaciones se observa en los pesos y estatura de una población. Si bien es cierto tiende a observarse que a mayor estura las personas en general tienen un peso mayor, tampoco es desconocido que esta relación no es tan clara dado que intervienen otros factores tales como los hereditarios, la práctica de deportes, el tipo de alimentación, etc.

El gráfico (c) muestra que las variables están relacionadas de manera que a un valor de una de ellas corresponde un único valor de la otra. Se dice que entre las variables existe una relación funcional. Lo cual se expresa diciendo que y es función de x, lo cual se escribe y = f (x) o simplemente y = y (x). En lo que sigue nos referiremos a este último tipo de relaciones, o sea a la relación funcional.

El objetivo de este apunte es mostrar cómo a partir de un experimento, en el que están involucradas dos variables de interés que se suponen vinculadas funcionalmente, se puede llegar a establecer la relación existente entre ellas, expresando la relación en forma analítica. Por ejemplo, se podría estudiar cómo varía la temperatura del aceite de un motor cuando este trabaja a un ritmo constante. En este caso las variables a medir y para las cuales se establecería la relación serían la temperatura del aceite y el tiempo.

La técnica a desarrollar se puede aplicar a situaciones muy diversas, teniendo en cuenta que para llegar a establecer la relación entre las variables, los demás parámetros involucrados en el estudio deben permanecer constantes. De esta manera los cambios de una variable pueden atribuirse a las variaciones de la otra variable.

Primeramente se expondrá la forma de establecer la relación entre dos variables relacionadas linealmente: relación lineal. Posteriormente la proyección de este estudio se aplicará a dos variables cuya relación sea del tipo relación no lineal común (logarítmica, potencial y exponencial). Aún más, si usted llega a compenetrarse debidamente en este tema es posible que por su cuenta sea capaz de establecer relaciones de otros tipos. De las dos variables a considerar, aquella que el experimentador controla a su arbitrio se denomina variable independiente o controlada, la otra variable, que va tomando valores dependiendo de aquellos que se tomaron para la primera, se denomina variable dependiente. Se acostumbra a graficar la variable independiente en el eje horizontal y la variable dependiente en el eje vertical.

Con el propósito de ver la magnitud de los datos con que se va a trabajar se suele hacer un experimento de prueba. Además, esto sirve para elegir los instrumentos adecuados para la precisión requerida en los datos. Este paso se puede obviar si es que se posee algún antecedente que permita calcular o conocer a priori la magnitud de los valores involucrados.

Antes de realizar el experimento se debe preparar una Tabla de valores, en la cual se ordenaran los pares de datos ha obtener. Esta Tabla debe llevar un número de orden y un título que sea acorde con el estudio, de tal forma que la tabla sea auto explicativa.

En algunos casos la tabla de valores da una información fácil de interpretar, pero resulta más claro ordenar estos pares de valores en un gráfico. La ubicación de estos puntos en un gráfico comúnmente se denomina "ploteo", término que se deriva del vocablo inglés plot (que significa hacer el gráfico). Una vez ubicados los puntos o pares ordenados en el gráfico, se pueden unir éstos por trazos rectos, lo cual significa que sólo se están considerando los puntos graficados. En cambio, si se traza una línea suave que pase por los puntos, significa que se están estimando puntos intermedios. Esto último se llama "interpolación". Si la línea se extiende fuera del rango de los puntos, esta estimación se denomina "extrapolación". En esto último se recomienda ser cuidadoso, considerando bien todos los antecedentes que se tienen del fenómeno en estudio.

Funciones lineales. En el caso que la relación funcional entre las variables quede representada por un conjunto de puntos ordenados en torno a una recta, se supone una relación de tipo lineal. Vale decir se puede asociar una recta al conjunto de puntos. Al asociar una línea (conjunto infinito de puntos) a un conjunto finito de puntos (los del gráfico), se está haciendo una interpolación cuando la línea está acotada por los puntos más extremos del gráfico, y se está haciendo una extrapolación cuando la línea se extiende más allá de los puntos extremos.

En cualquiera de estos dos casos, si se denominan x e y las variables lineales se puede escribir:

y = m x + b donde m (pendiente) y b (punto de corte con eje el Y) son los parámetros que la definen.

Un problema que surge ante un ploteo de tipo lineal, es determinar cuál es la recta más representativa del conjunto de puntos, dado que los puntos no resultan perfectamente alineados. Este es un problema resuelto si se considera la recta de mejor ajuste mínimo cuadrático. Esta recta surge de aplicar a los puntos el método de los mínimos cuadrados.

Método de los mínimos cuadrados. Sean los n pares de puntos: (x1, y1), (x2, y2), …(xn, yn). Supongamos lo siguiente:

• y = m x + b es la recta que mejor se ajusta de acuerdo a cierto criterio.

• Los puntos que no coinciden con la recta se atribuyen a errores en los valores y, no a los valores de x, que se consideran exactos. Los valores de x no tiene error y los puntos que no coinciden con la recta Los puntos no coinciden con la recta debido a errores en la variable y. La variable x se considera sin error.

• Sean d1, d2, …,dn las diferencias entre el y de cada punto experimental y el valor y de la recta. En general, di = y – y (Figura 2).

• La recta a ajustar al conjunto de puntos será la recta de los mínimos cuadrados, o sea aquella que hace que la suma de los d1, considerando los n puntos, sea mínima. En otras palabras, para cualquier otra recta la suma será mayor. Este es el criterio a aplicar.

De acuerdo a lo anterior:

Esta suma debe ser mínima. O sea, si se consideran varias rectas, debe considerarse aquella que tiene los valores de m (pendiente) y b (punto de corte con el eje Y) que hacen mínimo el valor de S.

Para encontrar los valores de m y b que cumplan con el requisito indicado anteriormente, se deriva S parcialmente respecto a m y respecto a b, haciéndose cero las expresiones resultantes de estas derivadas.

De (i) y (2i) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Donde las sumatorias se extienden de 1 hasta n, siendo n el número total de pares de valores.

Con este sistema de ecuaciones se determinan los valores de m y b en función de los pares de valores experimentales xi, yi. Así:

Estas expresiones de m y b, que corresponden al ajuste lineal mínimo cuadrático, están incorporadas en la mayoría de las calculadoras científicas, de tal forma que ingresando a la función correspondiente basta que usted ingrese los pares de valores de su tabla para obtener los valores de m y b de la recta de ajuste mínimo cuadrático. Al respecto, en los laboratorios usted dispondrá de dos programas que le permiten entre otras operaciones, realizar este tipo de ajustes. Estos programas son el Graphical Analysis y el DATA Studio.

Ejemplo 1 Un resorte se cuelga verticalmente y en su extremo inferior se cuelga una pesa. La fuerza "F" que ejerce la pesa sobre el resorte produce una elongación o alargamiento. Para estudiar esta elongación "d" en relación a la fuerza aplicada, se cuelgan sucesivamente pesas y para cada fuerza total aplicada se mide el correspondiente alargamiento. A medida que se va realizando el experimento se van ordenando los valores en una tabla. Una vez terminada la toma de datos, éstos se llevan a un gráfico utilizando el programa Graphical Analysis. En este caso los puntos quedaron dispuestos en una línea recta por lo que se le ajusta la recta de mínimos cuadrados. La Figura 3 ilustra la situación.

Figura 3 Estiramiento de un resorte: Ley de Hooke

De acuerdo al ajuste lineal realizado y a los valores de m y b obtenidos se puede expresar la relación entre d y F como F = 32,7 d + 0,01 , con expresado F en [N] y d expresado en 10-2 [m].

La cantidad que aparece como correlation se designa por r y recibe el nombre coeficiente de correlación. Esta cantidad toma valores entre -1 y 1. Mientras más cerca está a los valores extremos ( 1 o -1) ello indica que el ajuste es mejor. Los valores positivos se dan cuando la pendiente de la recta es positiva y los valores negativos cuando la pendiente es negativa. En el ejemplo, aparece aproximado a 1 por ser muy cercano a este valor.

Relaciones no lineales comunes. En aquellos casos en que se observa claramente que los puntos no se distribuyen en forma lineal, obviamente no es posible ajustar una recta. Para abordar estos casos existe una gran diversidad de métodos matemáticos que permiten acercarse a la relación funcional entre ellos. Sin embargo, nosotros haremos uso de cierta técnica, partiendo de la base que en Física se presentan una serie de fenómenos en que las variables no se comportan linealmente, pero sí corresponden a las llamadas relaciones no lineales comunes. En estos casos es posible cambiar una o las dos variables por otras, relacionadas con ellas, de manera que al graficarlas se tiene un comportamiento lineal. Este procedimiento se denomina rectificación de la gráfica. Los casos mencionados se refieren a aquellas variables que cumplen una relación potencial, logarítmica o exponencial. El procedimiento en sí consiste en determinar el cambio de variables que hace que la relación pueda expresarse como la ecuación de una recta, a saber Y = m X +b, donde X e Y serían las nuevas variables relacionadas con x e y, respectivamente.

A continuación se presenta el tratamiento matemático que hace ver que para las relaciones mencionadas, siempre es posible realizar un cambio de variables con las cuales la relación adopta la forma de una recta.

Relación potencial: y = a x n Si la relación entre dos variables x e y fuera potencial, o sea y = a x n .

Aplicando Ln se tiene: Ln y = n Ln x + Ln a Expresión que coincide con la ecuación de una recta si se considera o grafica Ln y en función de Ln x. En la práctica, si se sospecha que la relación entre dos variables x e y en estudio es una relación potencial se grafica Ln y en función de Ln x. Si la gráfica es una recta, significa que la relación es efectivamente potencial. Entonces, al aplicar la recta de ajuste mínimo cuadrático a estas nuevas variables se llega a: Ln y = m Ln x + b. A partir de esta relación, utilizando pasos algebraicos se puede llegar a la relación y = a x n.

Relación exponencial: y = a enx Si la relación entre x e y fuera de tipo exponencial, o sea y = aenx Al aplicar Ln se llega a: Ln y = n x + Ln a Esta expresión muestra que Ln y es lineal con x, o sea si la relación es exponencial y se grafica Ln y en función de x se obtendría una recta.

En la práctica, cuando se tiene la sospecha que la relación es de tipo exponencial se grafica Ln y en función de x. Si los puntos de la gráfica se distribuyen linealmente se aplica la recta de mínimos cuadrados a las nuevas variables, o sea a Ln y y a x, obteniéndose para ellas el valor de m y b, así se obtiene la relación: Ln y = m x + b. A partir de esta expresión no es difícil, con algunos pasos algebraicos, llegar a expresar y en función de x en forma exponencial.

Relación Logarítmica: y = Ln ( a x n) En este caso basta desarrollar el segundo miembro, para darse cuenta del cambio de variables a realizar para lograr la rectificación. En efecto: y = Ln a + n Ln x, adquiere la forma de la ecuación donde las variables a considerar son y y Ln x.

Entonces, al suponer que la relación entre las variables puede ser de este tipo, se grafica y en función de Ln x, llegándose a que y = m Ln x + b. A partir de la relación anterior no es complicado llegar a la relación del tipo logarítmico y = Ln(a xn ).

Es conveniente hacer notar que los programas Graphical Analysis y DATA Studio, mencionados anteriormente, permiten realizar automáticamente los cambios de variables y la posterior graficación. Lo primero que usted debe intentar es ver si la relación es lineal. Si esto no es así, se intentan los cambios de variables. Se sugiere intentar aplicando logaritmo a una de las variables. Si no resulta se hace al revés, y si aún no resulta se aplica logaritmo a ambas variables. Ejemplo 2 En el estudio de la relación entre dos cantidades P y Q se ha obtenido la siguiente tabla de valores.

Se introducen estos datos en el programa Graphycal Analysis el que permite no sólo visualizar la gráfica Q/P, sino también realizar los cambios de variables que pueden conducirnos a la rectificación.

La gráfica Q/P no resulta ser una recta. Entonces se realiza el cambio de variables. Para ello el procedimiento a seguir es probar con cada uno de los cambios siguientes: Ln Q/P, Q/LnP y Ln Q/ Ln Q. Si el modelo no lineal corresponde a uno de los descritos en este apunte, el gráfico será una recta.

Para este ejemplo, resulta la rectificación cuando se grafica Ln Q / P. (Gráfico 2 Figura 5).

Entonces, al aplicar la recta de ajuste mínimo cuadrático a los datos Ln Q y P , se tiene: m = 1,207 y b = – 0,85. O sea la relación es:

Ln Q = 1,207 P – 0,85.

El cambio de variables realizado indica que la relación entre ellas es de tipo exponencial. Así, con algunas operaciones algebraicas adecuadas se puede llegar a expresar la relación entre P y Q en forma exponencial. En efecto:

Ln Q = 1,207 P – 0,85 Ln Q = 1,207 P – Ln 2,34 Ln (2,34 Q) = 1,207 P 2,34 Q = e 1,207 P Q = 0,427 e 1,207 P Ejemplo 3 Las medidas para dos variables F y G en estudio se presentan en la tabla adjunta.

Al aplicar el procedimiento explicado en el ejemplo anterior, se logra la rectificación graficando Ln G / Ln F, lo cual indica que la relación es potencial. Al aplicar recta de ajuste mínimo cuadrático a los valores correspondientes a estas variables se obtiene: m = 0,801 y b = 7,389. Por lo tanto, la relación es:

Ln G = 0,801 Ln F + 7,389 Se aplican algunos pasos algebraicos para despejar G en función de F, de manera que esta relación tenga la forma potencial:

Ln G = Ln F 0,801 + Ln 1618 Ln G = Ln 1618 F 0,801 G = 1618 F 0,801 Ejemplo 4 Al estudiar la relación entre dos cantidades H y L se logra la rectificación cuando se grafica L / Ln H, con m = – 4,81 y b = 4,2. Este cambio de variables indica que la relación es del tipo logarítmico. Por lo tanto, a partir de la relación que da el gráfico se debe llegar a expresar ésta forma logarítmica.

El gráfico indica que L = -4,81 Ln H + 4,2 L = Ln H-4,81 + Ln 66,7 L = Ln (66,7 H-4,81) Rectificación: Cálculo de cantidades. Si se conoce la relación teórica entre dos cantidades es posible mediante una comparación de ésta con la relación determinada en forma experimental, llegar a calcular el valor de una de las otras cantidades involucradas en la relación.

Ejemplo 5 Teóricamente se deduce a partir de las ecuaciones dinámicas para un péndulo simple, que para amplitudes pequeñas de oscilación, su período de oscilación P se relaciona con su longitud L mediante la expresión:

( i ) Esto indica que la relación entre P y L no es lineal, y por ello al graficar P en función de L el gráfico no será una línea recta, pero que sin embargo sí puede decirse que P es directamente proporcional a la raíz de L. Así, al graficar P en función de

resultará una recta y por lo mismo la relación entre las variables sera del tipo:

( 2i ) Comparando las relaciones, teórica ( i ) y experimenta ( 2i ) puede concluirse que:

• El valor de b debería ser cercano a cero.

• El valor de la pendiente m corresponde a

Atendiendo a la última conclusión es podemos despejar la aceleración de gravedad g en función del parámetro m, pendiente de la recta ajustada a la relación entre P y Entonces, de , se tiene que: En esta relación m es una cantidad experimental y como tal tiene un error absoluto. Éste puede obtenerse cuando se realiza la rectificación, ya que el programa lo entrega. Por lo tanto, con esta última relación puede por una parte estimarse el valor de g y además, aplicando a ella la propagación de errores se puede obtener el error absoluto de g en función del error absoluto de m. Aplicada la propagación se llega a la expresión:

Con el propósito de que usted ponga en práctica lo explicado en el último ejemplo se le entregan los siguientes valores obtenidos en un experimento donde se hizo oscilar un péndulo simple con pequeñas amplitudes. Se fue variando su largo L (variable independiente) y se fue obteniendo su período P (variable dependiente). Utilice el programa G. A. para obtener la rectificación y en base a los datos obtenidos calcule g (valor estimado acompañado de su error absoluto).

Preguntas sobre el tema.

• 1. ¿Qué es lo que se suele hacer con el propósito de visualizar como están vinculadas dos variables?

• 2. El tema desarrollado trata de correlaciones estadísticas entre dos variables o a relaciones funcionales entre ellas?

• 3. ¿Qué tipo de relaciones funcionales se examinan en este apunte?

• 4. ¿A qué se le denomina variable controlada o independiente?

• 5. ¿De qué depende que en un experimento una variable se denomine dependiente o independiente? Explique.

• 6. ¿Para que sirve un experimento de prueba?

• 7. ¿En qué caso se aplica directamente a las variables el método de mínimos cuadrados?

• 8. Si la relación entre las variables es no lineal, ¿qué es necesario hacer antes de aplicarles el método de mínimos cuadrados?

• 9. ¿Qué es lo que se minimiza en la aplicación del método de mínimos cuadrados y en función de qué parámetros se realiza la minimización?

• 10. ¿Cuáles son las relaciones no lineales más comunes?

• 11. Si dos variables x, y, se relacionan de acuerdo a una función no lineal común, ¿cuáles son los cambios de variables que se sugiere hacer para intentar la rectificación?

• 12. ¿En qué consiste la rectificación de una gráfica?

Ejercicios sobre el tema.

• 1.  A partir de la tabla siguiente determine la relación de Q en función de P y exprese esta relación en la forma correspondiente (exponencial, logarítmica o potencial).

• 2. Exprese G en función de F considerando los datos experimentales obtenidos para estas variables. Escriba la expresión según el modelo no lineal correspondiente.

• 3. Al realizar el estudio experimental para determinar la relación entre dos cantidades H y Q, se obtiene la rectificación graficando ln Q en función de H. Los parámetros de la recta de mejor ajuste en este caso son resultan, m = 4,3 y b = 0,016.

• a) Escriba la relación de ln Q en función de H.

• b) A partir de la relación anterior exprese Q en función de H, acorde con el modelo exponencial, o sea Q = a enH.

• 4. Si ln T = 3,69 lnS + 0,42, exprese T en función de S, de manera que quede en la forma potencial T = a Sn.

• 5. Si P = 2 lnQ + 1,2, exprese P en función de Q, de manera que quede en la forma logarítmica P = ln a Qn.

• 6. Al estudiar la relación entre dos variables A y l se ha obtenido la tabla siguiente:

a) Realice la rectificación considerando que la relación teórica entre las variables el tipo:

l = Q q (1/A) b) Escriba la relación experimental de l en función de A utilizando los valores numéricos de m y b que entrega el método de mínimos cuadrados.

c) Desprecie el valor de b, y compare la relación experimental obtenida con la relación teórica de más arriba y obtenga el valor de Q sabiendo que q = 8,4 [cm].

• 7. La relación entre las variables R y S, obtenida experimentalmente es del tipo R = mS, con un valor de m = 2,00 + 0,01, y la relación teórica es del tipo

• 

• determine:

• a) La relación literal entre m y K.

• b) La expresión literal del error absoluto de K, o sea EK en función de m promedio y del error absoluto de m, o sea Em.

• c) El valor numérico de K, o sea K promedio + Em.

Resultados a los ejercicios propuestos.

1. Q = 4,0 e 0,05 P 2. G = 2 F 0,80 3. a) ln Q = 4,3 H + 0,016 ; b) Q = 1,02 e 4,3 H 4. T = 1,52 S 3,69 5. P = ln 3,32 Q 2 6. b) l = 2480 A-1 – 0,768 ; c) Q = 295,2 [g].

7. a) ; b) c) K = 4,38 + 0,04

Medición. Números experimentales. Operaciones.

Enviado por: Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.

"NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"®

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Santiago de los Caballeros, República Dominicana, 2015.

"DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE"®

Medición. Numeros experimentales. Operaciones.

Autor:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.