La simulación consiste en seleccionar valores aleatorios para las dimensiones de entrada independientes, de sus respectivas distribuciones probabilísticas, y calcular las dimensiones resultantes de la función ensamblaje. El proceso se realiza de forma iterativa si la función es implícita.
Si la función vectorial de ensamblaje es explícita además de utilizar el método de Monte Carlo, se puede utilizar el método de DLM (Direct Linearization Method), que utiliza las matrices algebraicas y restricciones cinemáticas, para estimar la variación de las variables cinemáticas o de ensamblaje y predecir el número de piezas rechazadas.
Si se utiliza el método Monte Carlo, estimamos la media, la desviación típica y coeficiente de curtosis, pudiendo compararse las características del ensamblaje a las de una muestra.
Los ensamblajes rechazados por estar fuera de los límites, pueden ser contados durante la simulación, o sus percentiles en las salidas del método de Monte Carlo, pudiendo estimar los rechazos. La distribución más utilizada es la normal o de Gauss, cuando no se conoce su distribución. El número requerido para el muestreo es función de la exactitud en la variable de salida. [Gao, 1995] Realizó un estudio de siete mecanismos en 2D, uno en 3D, incluyendo en dos de ellos control de tolerancias geométricas, además de las dimensionales. Comparó el método Monte Carlo con el método DLM, obteniendo los siguientes resultados:
– El método DLM es preciso estimando la variación del ensamblaje. Es también preciso en predecir los rechazos de ensamblajes, en la mayoría de los casos, excepto cuando el número de restricciones cinemáticas no lineales es alto.
– El tamaño de la muestra tiene gran influencia en predecir los ensamblajes rechazados en el método Monte Carlo, pero el efecto es pequeño en la simulación de las variaciones del ensamblaje, para tamaño de muestreo mayor de 1.000 simulaciones.
– Las restricciones no lineales en los ensamblajes, pueden causar un cambio significativo en el resultado de las dimensiones cinemáticas del ensamblaje y en la simetría de la distribución.
– Para muestreo superior a 30.000, es más preciso el método Monte Carlo, que el método DLM en predecir la variación del ensamblaje.
– Para muestreo superior a 10.000 es más preciso el método Monte Carlo, que el método DLM en predecir los ensamblajes rechazados. Por debajo de este muestreo la predicción de rechazos da peor resultado
– Para muestreo de 100.000 o superior los resultados son razonablemente precisos. Posteriormente [Cvetko, 1998] comprueba la influencia del tamaño de la muestra en la simulación por el método Monte Carlo, comparando el error cometido en un ensamblaje entre muestras de 1.000 y 10.000 ensamblajes, con intervalo de confianza de ( (?(68%). Comprobando que:
– Las medias y las variaciones son suficientemente próximas.
– Los momentos de tercer y cuarto orden (simetría y curtosis), pueden no ser próximos.
Utilización del CAD para calcular la tolerancia de ensamblaje.
El cálculo de las tolerancias de ensamblaje se realiza esqueletizando los modelos de CAD 3D con herramientas de CAT, integrados en paquetes de CAD. El coste del conjunto de estos softwares es muy elevado actualmente para la mayoría de las medianas y pequeñas empresas, pero con los conceptos teóricos del método DLM y un paquete de CAD standard que tenga geometría variacional asociativa, podemos resolver un gran número problemas. Por ejemplo:
Dado el conjunto denominado regla-horizontal (fig. 7), formado por dos cilindros y dos placas con ranuras en V, se pretende estimar, ¿cual es la tolerancia del ángulo ( del ensamblaje?
Supuestas las tolerancias de cada pieza del ensamblaje, que se adjuntan en la figura 8.
Si queremos definir el procedimiento automatizado para determinar las tolerancias del ensamblaje, debemos seguir los siguientes pasos:
1º.- Estudio funcional del ensamblaje. Donde se definen los sistemas de referencias DRF de cada pieza y se detectan e indican las juntas cinemáticas (fig. 9).
2º.- Creación del diagrama del ensamblaje (fig. 10). Donde cada pieza se representa por un círculo y las juntas cinemáticas entre las distintas piezas se representas por arcos, que unen los distintos círculos. Estas juntas se representan por su símbolo.
3º.- Cálculo del número de bucles o lazos necesarios para determinar la matriz sensitiva.
L = J – P + 1
Donde L es el número de lazos, J el número de juntas y P el número de piezas del ensamblaje. Por lo tanto. L = 7 – 4 + 1 =4
Se necesita 4 lazos para determinar la matriz sensitiva. Algunos de los posibles lazos se representan en la figura 11.
La estimación del ángulo ( ?se determina en el lazo 4. Su cálculo se puede hacer definiendo la matriz sensitiva ( S(o de forma gráfica por medio del CAD. En este ejemplo se estima ( utilizando el CAD y es función de los vectores adjuntos.
(=f(A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N)
Teniendo presente la expresión de la matriz sensitiva y la estimación de la tolerancia por el método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados.
El procedimiento de definición de las condiciones funcionales en las distintas piezas y ensamblajes es un proceso iterativo. Donde en primer lugar, se suponen unas tolerancias dimensionales y geométricas individuales que cumplan con las condiciones de diseño, fabricación e inspección. Posteriormente, se integran los modelos geométricos de las piezas, sus tolerancias y las relaciones entre las uniones de las distintas piezas, dentro de un sistema de CAD comercial. Y por último, por medio de módulos de modeladores y analizadores de CAT totalmente integrados en el CAD, se obtienen de forma estadísticas las tolerancias de las condiciones funcionales del ensamblaje, la contribución de cada tolerancia individual y el número de ensamblajes por millón rechazados.
La integración del CAT en el CAD, aporta una herramienta que permite ahorrar costes de forma rápida, simulando de forma aleatoria, automática e instantánea los distintos ensamblajes. Pudiendo modificar cualquiera de las cotas o tolerancias del ensamblaje dentro de las condiciones de diseño, fabricación e inspección permitidas, y comprobar de forma instantánea su contribución a la variación en las condiciones funcionales del ensamblaje.
Acumulación de tolerancias
Son tres las fuentes principales que deben ser tenidas en cuenta en la variación de las posiciones en los ensamblajes:
1º.- Las variaciones debidas a las tolerancias dimensionales (longitudinales y angulares).
2º.- Las variaciones debidas a las tolerancias geométricas (posición, redondez, planicidad…).
3º.- Las variaciones cinemáticas (pequeños desplazamientos en los acoplamientos de las piezas).
En el siguiente ejemplo (figura 1), vemos cómo las variaciones de la forma y dimensiones del cilindro y la ranura, son consecuencias de la rugosidad y posición de las superficies, y por lo tanto del proceso de fabricación. La variación cinemática es consecuencia de ajustarse a las variaciones dimensionales y geométricas en la unión o acoplamiento de las piezas.
La distancia U1 en el acoplamiento del cilindro con la ranura es función de las dimensiones de A, R y ?. La pregunta clave es ¿Cuál es la tolerancia de Y?, sabiendo que depende de las tolerancias y distribuciones estadísticas de A, R y (. En este ejemplo concreto, el problema se puede resolver analíticamente y por medio de una hoja de cálculo, pero no en los casos generales de mecanismos en 3D. En este último caso, nos tenemos que apoyar en la geometría de los modelos en 3D del CAD o en la esqueletización de sus modelos.
La descripción del problema general de análisis de tolerancias de los conjuntos y mecanismos aun es más compleja ya que además de estudiar las tolerancias dimensionales y el aspecto superficial, del ejemplo anterior, influyen el orden de montaje y las tolerancias geométricas. Para ilustrar el análisis de tolerancias en general, tomaremos el siguiente ejemplo. Suponemos un conjunto formado únicamente por dos piezas. Podemos hacerlo de dos formas: poniendo en contacto primero las caras horizontales y luego las verticales, o al revés. Si ambas piezas fuesen perfectas (fig. 2), el resultado sería el mismo.
Pero las piezas no son ideales y tienen errores de forma en sus superficies y errores dimensionales y geométricos (fig. 3).
Fig. 3.- Piezas con tolerancias teóricas. Piezas reales.
Si realizamos el estudio teniendo en cuenta las tolerancias teóricas. Podemos comprobar como influye el orden de montaje. Si ponemos en contacto primero las caras verticales y luego las horizontales, obtenemos el resultado de la derecha (fig. 4); si ponemos primero las horizontales y luego las verticales, obtenemos el resultado de la izquierda.
Si además estudiamos la influencia real de las superficies, los puntos de apoyo de la superficie horizontal pueden ser distintos, en función de su aspecto superficial, obteniendo distintas posiciones de las piezas (fig. 5).
De los ejemplos anteriores deducimos que en el análisis de tolerancias influyen tanto las tolerancias individuales de cada pieza, como la secuencia y métodos de montaje de cada pieza en el conjunto. Para resolver el problema debemos actuar sobre aquellas tolerancias que realmente influyen en las mediciones finales, y sobre los procesos de montaje.
Conclusión
Como ya vimos la acumulación de tolerancias es muy importante ya que si no la tomamos en cuenta nuestros proyectos a realizar, es muy probable, que salgan con defectos y claramente no queremos esto puesto que nos puede dañar nuestro trabajo que vayamos a realizar y en efecto en algunos casos esto seria muy costoso y nada agradable.
Para evitar todo esto vimos algunos métodos que nos ayudaran y mejoraran los proyectos que realicemos. Estos métodos se pueden realizar tanto a mano como en una computadora con la ayuda de un software que en nuestros tiempos con el avance de la tecnología es lo mas rápido, confiable y costeable que podemos encontrar.
Ya con esto que recabe espero que les sea de mucha utilidad y que realicen un buen trabajo.
Bibliografía
[Chase, 1999]. Kenneth W. Chase, 1999. Tolerance Analysis of 2-D and 3-D
Assemblies. ADCATS Report nº 99-4. Brigham Young University.
[Cvetko, 1998]. Robert Cvetko, Kenneth W., Chase and Spencer P. Magleby, 1998.
New metrics for evaluating Monte Carlo tolerance analysis of assemblies. Mechanical
Engineering Department Brigham Young University, Provo UT.
[Gao, 1995]. Jinsong Gao, Kenneth W., Chase, and Spencer P. Magleby, 1995.
Comparison of Assembly Tolerance Analysis by the Direct Linearization and Modified
Monte Carlo Simulation Methods. Procedings of the ASME Design Engineering
Technical Conferences Buston, Ma, page 350-360. vol. 1.
http://departamentos.unican.es/digteg/ingegraf/cd/ponencias/12.pdf
http://www.3dcs.com Software DCS (Dimensional Control Systems)
http://www.sigmetrix.com Propietario del software CEL/TOL 6?
http://www.dsweb.com Dassault systemes
http://adcats.et.byu.edu/ho
me.html
Association for the Development of Computer-Aided
Tolernacin Systems (ADCATS)
Autor:
Pedro Alberto Marta Martínez
Prof. Ing. Pedro Zambrano Bojorquez
Chihuahua, México
4 de mayo de 2009
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