Secciones cónicas y sus aplicaciones

Introducción

Las figuras cónicas, se puede obtener como intersección de una superficie cónica con un plano.Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje, mientras que denominamos simplemente cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano, las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.

La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones simples.

La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas que estos siguen orbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa ley de la Gravitación Universal de no haber conocido ampliamente la geometría de las elipses.

La orbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parábola. Así, la línea que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vert9ical, es una parábola.

Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de la distancia del punto al centro de la Tierra. En realidad la curva que describe el móvil es una elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la Tierra.

OBJETIVOS

• Conocer y aplicar las propiedades a cada una de las cónicas, definidas como lugares geométricos.

• Reconocer las cónicas como variantes de un mismo modelo geométrico.

• Fomentar el interés por las matemáticas.

• Comprender los diversos usos de la teoría de las secciones conicas en la realidad.

Historia de cónicas

– Menecmo (350 A.C.) descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía.

– Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas.. Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión.

– Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos.

En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada.

– René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física.

Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica.

– Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón.. Más tarde el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica.