6=0110(2)
7=0111(2)
8=1000(2)
9=1001(2)
10=1010(2)
11=1011(2)
12=1100(2)
13=1101(2)
14=1110(2)
15=1111(2)
Sencillamente, cada vez que querramos agregar una cifra, debemos correr un uno a la izquierda y según su posición tomará un valor, luego agregamos 1 a los correspondientes 0 de la derecha y así es posible escribir cualquier número sólo con dos dígitos. En el sistema binario este modelo llevaría la siguiente secuencia:
0000 0 0 0 0
23 22 21 20
Y así seguiría el 24 , 25, etc.
En el sistema decimal, la posición del 1 y los 0 a la derecha corresponden a las potencias de 10,es decir,10,100,1000,10000,100000,1000000,etc.En el sistema binario, cada posición relativa de un 1 corresponde a las potencias de 2,es decir;1,2,4,8,16,32,64,128,etc.
Una vez comprendida la diferencia entre ambos sistemas, se puede abordar el estudio de sistemas diferentes. Por ejemplo, veamos el sistema ternario.
Sistema ternario
Esta vez, sólo podemos usar las cifras 0,1 y 2.Veamos qué se puede hacer con esto. Expresando los primeros 15 números naturales en sistema ternario tenemos:
0=0(3)
1=1(3)
2=2(3)
3=10(3)
4=11(3)
5=12(3)
6=20(3)
7=21(3)
8=22(3)
9=100(3)
10=101(3)
11=102(3)
12=110(3)
13=111(3)
14=112(3)
15=120(3)
Al igual que en el sistema binario, el número 1 respecto a una posición nos dará el valor las potencias de 3.¿Qué ocurre al llegar al número 5?Tenemos un 1 que indica la cantidad 3 y un número dos que indica 3+2 unidades=5.Si queremos escribir un 6,debemos colocar un 2 en la posición de valor 3,lo cual nos indica que tenemos la cantidad 3 pero en el segundo orden, donde las unidades valen 3 cada una. Y así sucesivamente.
Comprendidos ya los conceptos de representación de valores y cantidades según los dígitos o símbolos, queda claro que nuestro sistema decimal no es más que un artificio del hombre para simplificar los cálculos, y no un único método de contar y representar cantidad y números. Es de suponer que desde sus inicios el hombre tendió a usar el sistema decimal debido a tenemos 10 dedos en nuestras manos y era la manera mas fácil de contar.
Es importante mencionar que a veces la gente común, al estar acostumbrada al uso diario del sistema decimal, da por hecho que un número colocado a la izquierda de otro representa siempre múltiplos de 10;y da por hecho que 10+90 es 100, por poner un ejemplo cualquiera, y a veces no son posibles de concebir otro tipo de representar las cantidades mediante el uso de otros sistemas de numeración.
Sistema Quinario
0=0(5)
1=1(5)
2=2(5)
3=3(5)
4=4(5)
5=10(5)
12=22(5)
20=40(5)
131=511(5)
3008=44013(5)
Queda claro que el proceso es el mismo para cualquier base. Lo que hay que tener en cuenta es la posición relativa de los números: siempre la posición de los números indicarán la potencia de la base según la posición sea la primera, segunda, tercera, etc. multiplicado por la cantidad (dígito) en esa posición. Dicho de otro modo, se puede decir que cada unidad escrita la izquierda de otra unidad, vale n veces cada unidad de la derecha, siendo en la base. Y que en cada orden o posición relativa, un número de unidades igual a la base nos dará siempre una unidad del orden o posición inmediata superior(a la izquierda).
Es por eso que en nuestro sistema decimal escribimos 10.El 1 representa una vez la cantidad 10, el 2 del 20 representa dos veces 10 y así. Si queremos escribir 10 decenas ya no podemos escribir en el segundo orden, sino que escribimos un 1 en el tercer orden que representan esas 10 decenas, o sea 100.En el número 555, un 5 representa 5 veces 10 ^2, es decir=500;el otro 5 representa 5 veces 10^1,y el último 5 representa 5 veces 10^0.
Cabe recalcar que siempre con el número 10 escribiremos el número que corresponda a la base que estamos usando. Es decir el 4 en base 4 siempre se escribirá 10, el 5 en base 5 se escribirá 10, el 9 en base 9 se escribirá 10,y así sucesivamente.
Para representar los dígitos mayores a 9 se usan las letras del alfabeto, según sea la base. Se puede deducir entonces, que usando un sistema alfanumérico, podríamos trabajar máximo hasta la base 36.Pasada dicha base, necesitaríamos nuevos símbolos o dígitos para representar las cantidades.
Sistema Hexadecimal
Este sistema utiliza letras para representar cantidades arriba del 9.Estas son:
A=10
B=11
C=12
D=13
E=14
F=15
Es importante en informática debido a que la unidad básica de información es el bit, el cuál representa a un dígito del sistema binario, ya sea 1 ó 0.Si tenemos un bit, la cantidad total de valores que puede tomar es de dos. Si son 2 en cambio, puede tomar los valores de 0,1,10 ó 11 es decir 4.La cantidad de valores que puede tomar un bit viene dada por la sencilla fórmula 2^n,siendo n el número de bits.
Al agrupar 8 bits tenemos un byte, u octeto. Los bytes son la unidad en la que se almacena información en las memorias, de ahí su importancia. La cantidad de valores que puede tomar un byte es por tanto 2^8, que es igual a 16 x16.Por lo tanto, cada byte se puede expresar con un solo número hexadecimal, que sería 100 con base 16 como máximo. Cada byte se puede expresar con dos dígitos hexadecimales, o dos nibbles (un nibble es un grupo de 4 bits).Esto con la finalidad de "empacar" las cantidades y así no expresar todo en números binarios,lo que significa mayor espacio de almacenamiento y una escritura más tediosa. El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito de la computación por primera vez por IBM en 1963. Algunos números decimales expresados como números hexadecimales:
1283=503(hex)
1036=40F(hex)
2008=7D8(hex)
Se utiliza como subíndice la palabra "hex" en vez de el número 16,aunque vale recalcar que hex significa 6 y no 16.
Sistema Octal
Es el sistema de base 8.Su importancia radica en que el 8 es una potencia exacta de 2 al igual que en 16.Esto se puede usar en informática para representar cantidades de 3 o 6 bits utilizando 1 ó 2 cifras octales respectivamente,en vez de utilizar el sistema binario.Otra ventaja es que no utiliza letras como el sistema hexadecimal,puesto que utiliza los dígitos del 0 al 7.Si tenemos en cuenta que en algunos contextos informáticos un byte puede valer 6 bits,este sistema cobra importancia en la "empaquetación" de cantidades binarias,al igual que ocurre con el sistema hexadecimal.
Sistema Alfanumérico
Este sistema debe su importancia a que utiliza no sólo todos los dígitos(0-9),sino
también todas las letras del alfabeto latino(A-Z),a excepción de la letra ñ.La base de este sistema es el 36.Se puede utilizar en informática,en situaciones que requieren un almacenamiento de data especial en base 36,tales como almacenamiento de caracteres alfanuméricos o simplemente como simplificación de largos números decimales que pueden ser más fácilmente identificables como una corta sucesión de caracteres alfanuméricos.
Conversiones entre Sistemas de Numeración
De Base Decimal a cualquier Base
Se divide la cantidad entre la base del sistema al que se desea convertir, de esta manera:
Deseamos convertir 1453 a base 8:
1453/8=181
Residuo:5
181/8=22
Residuo:5
22/8=2
Residuo:6
El número sería 2655(8)
Este método de divisiones sucesivas se usa diviendo el número decimal inicial entre la base,para posteriormente dividir los cocientes entre la base hasta que ya no se pueda divivir de manera natural.Luego se coge el último cociente y se cuenta junto con todos los residuos empezando por el último.Ese número final será el número decimal inicial convertido al sistema de la base.
Otro ejemplo:
Deseamos convertir 3829 a base 2:
3829/2=1914
Residuo:1
1914/2=957
Residuo:0
957:2=478
Residuo:1
478/2=239
Residuo:0
239/2=119
Residuo:1
119/2=59
Residuo:1
59/2=29
Residuo:1
29/2=14
Residuo:1
14/2=7
Residuo:0
7/2=3
Residuo:1
3/2=1
Residuo:1
El número final será: 1110 1111 0101(2)
De cualquier Base a Decimal
Si se tiene un numero en base n,por ejemplo 163,el proceso es el siguiente:
163(7)
1×7=7 7+6=13
13×7=91 91+3=94
Entonces 163(7) equivale a 94 en base decimal.
Si tenemos 1001 1001(2):
1×2=2 2+0=2
2×2=4 4+0=4
4×2=8 8+1=9
Entonces 1001 1001(2) equivale a 9 en base decimal.
Este método es útil para números grandes, ya que para números pequeños se puede utilizar el cálculo mental según las potencias de la base, como se explicó anteriormente. De ser los números muy grandes, habría que conocer las tablas de multiplicar de las diferentes bases, lo que resultaría tedioso. De ahí la utilización de éste sencillo método de multiplicaciones y sumas.
De todos modos, es altamente recomendable conocer las tablas de multiplicar del 2,del 8,y del 16;debido al amplio uso que se le da a éstos sistemas en informática y sistemas de computación.
Operaciones Básicas
Adición
Por ejemplo en el sistema binario:
1101+
0100
10001(2)
1010+
1111
11001(2)
En otros sistemas:
Base 4:
32+
33
131(4)
Este es el llamado método del acarreo. Se suman el 2 y 3 y nos da 5,luego la diferencia con la base será de 1 por lo tanto se coloca esa diferencia en el primer orden, y se lleva el 4 a la izquierda porque el número en la primera posición contiene 4 unidades del primer orden, esto equivale a llevar en la izquierda una unidad.,es decir, una unidad del orden inmediato superior. unidad .Luego tendremos 1+3+3 unidades del segundo orden, pero su diferencia con la base es de 3,puesto que 7-4=3.Luego se coloca esa diferencia en el segundo orden y se lleva una unidad a la izquierda, puesto que tenemos 4 unidades del segundo orden pero éstas equivalen a una unidad del tercer orden. Este proceso es el mismo para todos los sistemas.
Conviene resaltar que se lleva una unidad a la izquierda mas allá de la diferencia entre la suma en un orden y la base. Es decir si por ejemplo la suma diera exactamente el número de la base y la diferencia fuera 0,igual se lleva una unidad a la izquierda porque como ya se ha explicado el máximo número de dígitos que se puede usar en una base cualquiera es n-1,siendo n la base. Esto puede observarse mejor en el ejercicio siguiente:
Base 5:
21+
24
100(5)
El 4 y el 1 se suman y nos da 5,pero como su diferencia con la base es 0,se coloca 0 en la primera posición u orden, y se lleva un 1 a la izquierda puesto que si bien la diferencia es 0,el número contiene 5 unidades del primer orden que pueden escribirse como 5,sino como una unidad del orden superior, que deben llevarse al segundo orden como una unidad. Entonces en el segundo orden tenemos 5 unidades, pero por la misma razón se escribe uno y se lleva una unidad al orden inmediato superior, en éste caso el tercer orden.
Base 8:
66+
47
135(8)
El mismo proceso:6+7=13,se escribe la diferencia con el 8 en el primer orden o sea 5,y llevamos 8 unidades del primer orden a la izquierda, lo que equivale a una unidad del segundo orden. En el segundo orden tenemos ahora 1+6+4 unidades.
Escribimos la diferencia, que sería 3 y llevamos 8 unidades a l izquierda, lo cuál equivale una unidad del orden superior, en éste caso tercer orden.
Sustracción
Por ejemplo en el sistema binario:
1010-
0101
0101(2)
1101-
1011
0010(2)
En base 7:
45-
32
13(7)
603-
233
340(7)
Para la sustracción, se opera de forma similar a la sustracción en base decimal. Sólo se debe tener en cuenta que cuando hay una resta de un número menor y otro mayor, por ejemplo 0-2 o 4-6;el número inmediato de la izquierda "prestará" una unidad pero ésta tomará siempre el valor numérico de la base. En el último ejemplo:3-3=0,luego el 6 le presta una unidad al 0 y éste se convierte en 7(0+7)y se resta con el 3.Luego el 6 queda con 5 unidades y se resta con el 2 para dar 3.El mismo proceso se utiliza en cualquier sistema.
Un ejemplo más:
Base 9:
7068-
6860
108(9)
Multiplicación
Se procede de forma similar a la multiplicación decimal.Así:
0110x
10
0+
0110
1100(2)
24x
12
103+
24
343(5)
66x
6
561(7)
68x
32
147
226
2407(9)
Al igual que en la multiplicación decimal,se opera cada cifra por separado y luego se suman las cantidades. La diferencia es que cada vez que se tiene un número superior a la base luego de multiplicar, se coloca el residuo y se "lleva" las unidades a la izquierda, de manera similar al proceso de suma. En realidad, no se trata de una diferencia, ya que en el sistema decimal se utiliza exactamente el mismo proceso, sólo que al estar tan acostumbrados al uso de este sistema no nos damos cuenta del mecanismo real de este proceso.
En el segundo ejemplo simplemente se multiplica 2×4=8 pero como la base es 5 se coloca el residuo y se lleva 1.Luego 2×2=4 pero como llevamos 1,es 5.Como estamos en base 5 se coloca 0 y se lleva 1 a la izquierda. Los números al final se suman como si estuvieran en base decimal.
En el tercer ejemplo al multiplicar 6*6=36, se pueden crear confusiones ya que nuestra mente puede pensar en el 36 decimal en un inicio. Entonces, se piensa en el 36 en base 7 que sería 51 y se coloca 1, llevando el 5 a la izquierda. Luego de nuevo 6×6=51(7)+5=56 colocado a la izquierda del 1 inicial, lo que nos da 561(7).
Este método es a mi parecer mas sencillo que el que se suele enseñar normalmente. Simplemente requiere tomar los números en parejas, multiplicar primero
en decimal y luego usar el cálculo mental para hallar su valor según la base que estemos usando. Luego se unen los números para hallar el número final.
Para finalizar el presente trabajo, he aquí un resumen de algunos sistemas de numeración usados por culturas antiguas:
Numeración Romana
La numeración romana es importante actualmente más por cuestiones de cultura general que prácticas. Su uso está limitado a la escritura de capítulos de libros, inscripciones históricas, en la notación de siglos, en las sucesiones de los reyes, en algunos relojes antiguos y para fijar algunas fechas.
Los símbolos que emplea son:
I que vale 1
V que vale 5
X que vale 10
L que vale 50
C que vale 100
D que vale 500
M que vale 1000
Reglas
1)Todo número colocado a la derecha de otro, que sea igual o menor que éste, será sumado con ese otro número. Así:
CL=150
LX=60
XI=11
2)Todo número colocado a la izquierda de otro, que sea menor a éste, será restado con ese otro número. Así:
IX=9
CM=900
VL=45
3)No se pueden escribir más de 3 números iguales seguidos aislados, o a la derecha de otra cifra mayor; ni más de uno a la izquierda de otra mayor. Así, el 40 no se escribe XXXX sino XL; el 19 no se escribe XVIIII, sino XIX; el 70 no se escribe XXXC, sino LXX
Numeración Egipcia
Los egipcios usaban un sistema de numeración de tipo no posicional, que se llama sistema aditivo. Usaban ciertos símbolos(jeroglíficos) para representar 1 unidades, una decena, una centena, un millar, y así sucesivamente. De aquí se deduce que su sistema tenía base decimal. Los jeroglíficos usados eran los siguientes:
Esto implicaba que para representar las cantidades,por ejemplo un 92,debían usar 9 jeroglíficos de decenas y 2 jeroglíficos de unidades.Si querían escribir el número 1345 debían escribir 1 vez el jeroglíficos que representa millares,3 jeroglíficos de centenas,4 de decenas y uno de unidades.
El orden de los símbolos, por tanto, no era importante; y solían disponerse de forma estética según el caso y a veces iban acompañados de otros símbolos que representaban el tipo de objetos que representaba esa cantidad. Aquí se muestran unos jeroglíficos hallados en una estela en karnak:
Numeración Griega
Usaban un sistema bastante similar al de los egipcios, siguiendo el mismo principio de numeración aditiva. Tenían distintos símbolos para representar el 1,el 5,el 10,el 100,el 1000,etc.
Se puede observar cierto principio multiplicativo en este sistema. Observar por ejemplo que para representar un 50 se utiliza el símbolo del 5 con el símbolo del 10 en su interior, lo que significaba 10 veces 5.Para representar un 5000 se utilizaba también el símbolo del 5 con el símbolo del 1000 en su interior, lo que significaba 1000 veces 5.Este sistema ático fue finalmente reemplazado por el jónico, que utilizaba las 24 letras del alfabeto griego y algunos otros símbolos para representar las cantidades:
Con el presente trabajo he querido dar una visión completa del concepto de los sistemas de numeración y sus usos. Normalmente, en las escuelas y universidades se suele enseñar directamente la manera de representar los números y las operaciones básicas, sin dar una explicación completa de lo que significa un sistema de numeración y de lo que ha sido la evolución histórica de la manera de contar del hombre. Entonces, espero que el presente trabajo sea de ayuda para los interesados en el tema y los que ya conociendo algunas nociones deseen aprender un poco más.
Bibliografía
Baldor, Aurelio-"Baldor de Aritmética"
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Base_(matem%C3%A1tica)
http://en.wikipedia.org/wiki/Hindu-Arabic_numeral_system
Autor:
José María Carreras González
Lima – Perú
2008
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