Introducción corta a las matemáticas

Plan de elaboración

Campo: CONOCIMIENTOS MATEMATICOS

Área: MATEMATICAS

Aspecto FUNDAMENTO Y METODO

TEMA: PROPIEDADES DE LAS MATEMATICAS

PROBLEMA: ¿COMO HACER QUE LOS JOVENES TENGAN UN PENSUM DE MATEMATICAS APROPIADO?

DELIMITACION DEL PROBLEMA:

Tiempo: ACTUALIDAD

Espacio: GUAYAQUIL-ECUADOR. ALBOHISPANO HIGH SCHOOL

Clasificación: PROBLEMA CIENTIFICO

Contenido: DIVERSAS PROPIEDADES MATEMATICAS

OBJETIVO GENERAL

• Determinar los diferentes tipos de propiedades matemáticas

OBJETIVOS ESPECIFICOS

• 1. Estudiar y conocer el proceso de los ejercicios

• 2. Conocer los mecanismos necesarios para la realización de los mismos

Metodología

1.-TIPO DE INVESTIGACIÓN

Se realizara una investigación Bibliográfica, es decir,  aquella etapa de la investigación científica donde se explora qué se ha escrito en la comunidad científica sobre un determinado tema o problema.

2.- METODO

Se ha utilizado el método de análisis. El método de análisis es aquel que consiste en la descomposición de un todo en sus elementos. El método analítico consiste en la separación de las partes de un todo para estudiarlas en forma individual, por separado, así como las relaciones que las une. El tema será separado para estudiarlo mejor en diferentes partes, todas relacionadas entre sí.

3.- TECNICAS

Las técnicas que se utilizaron durante esta monografía fueron:

1.- Observación

2.- Fichas

Resumen

La matemática es una actividad humana y, como tal, no puede ser ajena a las virtudes y los defectos de los seres que la crean. Aunque no utilizan la palabra, algunos tratan de presentarla como algo "santo"; quiero decir: limpio y apartado, pues esto significa la palabra "santo". Pero esa asepsia que le quieren atribuir es una imagen irreal.

En realidad, no puede estar apartada de los seres humanos, porque son ellos los que la engendran y la paren; no es el producto de una revelación divina ni existe independientemente del hombre. Tampoco puede ser del todo "limpia", porque se tiñe inevitablemente de todo lo que sus creadores creen, sienten; por acción o por omisión.

El producto de la actividad matemática creativa de una persona es en parte similar a una obra de arte; no puede agradar a todos y no es un asunto de consenso; sale como sale; sale como uno es. Más allá de que todo matemático debe respetar las reglas de la lógica, esto resulta análogo a lo que hace un pintor cuando mezcla azul y amarillo: sabe que obtiene verde; pero cómo y dónde ubica ese color es un asunto personales el que nadie puede intervenir

Argumentación

En el aspecto formativo, la finalidad fundamental de las matemáticas es el desarrollo de la facultad de razonamiento y abstracción. Una sólida formación en Matemáticas contribuye a reflexionar sobre los distintos aspectos de una situación, a afirmar el espíritu de análisis y a reforzar el poder de síntesis.

De esta forma los adolescentes de forma lógica y razonada, lo esencial de lo accesorio, las consecuencias de las causas, los medios de los objetivos, etc.

En el aspecto funcional el objetivo de las Matemáticas ha sido siempre proporcionar un instrumento eficaz para desenvolverse en la vida cotidiana. Actualmente, en nuestra sociedad la información se presenta cada vez con mayor frecuencia en términos matemáticos, por lo que es necesario en multitud de ocasiones tomar decisiones en los mismos términos.

Es por ello que se hace necesaria una formación matemática que facilite la correcta comprensión de información, potencie el sentido crítico constructivo y facilite la toma de decisiones.

El hecho de que hoy la Matemática sea una ciencia en sí misma no debe olvidar que el pensamiento matemático se ha desarrollado, debido a las necesidades de otras ciencias para explicar los diferentes fenómenos (tanto físicos como sociales) del medio en que nos movemos.

Por esta razón las Matemáticas proporcionan la base necesaria de estructurar y comprender otras ramas de la Ciencia y profundizar en el desarrollo de nuestra Cultura.

CAPITULO I

El conjunto de números

1.1.- Números reales

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por R:

1.2.- La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

1.3.-Números naturales

Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

El conjunto de los números naturales está formado por:

La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.

La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo.

Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la raíz es exacta.

1.4.-Números enteros

Los números enteros son del tipo:

Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al nivel del mar, etc.

La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número entero.

El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero , sólo ocurre cuando la división es exacta.

1.5.-Números racionales

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.

Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales; pero los números decimales ilimitados no.

La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números racionales es otro número racional.

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero.

La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo.

1.6.-Regla de los signos para la multiplicación y la división

+ Por – = – 2 · (-5) = – 10

– Por + = – = (-2) · 5 = – 10

+ Por + = + = 2 · 5 = 10

– Por – = + = (-2) · (-5) = 10

1.7.-Signo de una potencia

Las potencias de exponente par son siempre positivas.

Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la base.

1.8.-Los números irracionales

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459…

CAPITULO II

Trigonometría

2. 1.-Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

2.2-Área de un Triángulo

El área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente.

El área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2.

La altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

2.2.1.-Área de un Triángulo Rectángulo

El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos partido por 2.

2.2.2.-Semiperímetro

El semiperímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados partido por 2.

Se nombra con la letra p.

2.2.3.-Fórmula de Herón

La fórmula de Herón se utiliza para hallar el área de un triángulo conociendo sus tres lados.

2.3.-Ley de senos

La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.

La ley de senos nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a él en todo triángulo es constante. Si observamos la figura 1, la ley de senos se escribirá como sigue:

2.3.1.-Resolución de Triángulos por la Ley de los Senos

Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos.

Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de senos y/o la ley de cosenos. Todo dependerá de los valores conocidos.

2.3.2.-Usando la Ley de Senos para conseguir los lados de un Triángulo

Ejemplo 1:

Resolver el triángulo si se sabe que las medidas de los ángulos son las siguientes: A=52°, B=58°, B=70° y que el lado opuesto al ángulo C mide 26.7 unidades.

Solución:

Sabemos que la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180°, por lo tanto para hallar el ángulo C, utilizamos los ángulos A y B .

C=180°-(52°+70°)

C = (180°-122)° =58°

 Encontrar el lado opuesto al ángulo A, llamémoslo " a ":

sen ( 58° ) 26.7 = sen ( 52° ) a a = 26.7 sen ( 52° ) sen ( 58° ) a = 24.8

Encontrar el lado opuesto al ángulo B, llamémoslo " b ":

sen ( 70° ) b = sen ( 58° ) 26.7 b = 26.7 sen ( 70° ) sen ( 58° ) b = 29.6

Solucion

sen ( 30° ) 11 = sen ( A ) 20 sen ( A ) = 20 ( 1 2 ) ( 1 11 ) sen ( A ) = 10 11 A = arcsen ( 10 11) A = 65.38°

La función seno tiene el mismo valor para el ángulo 180°-65.38°=114.2°, por lo tanto A tiene dos posibles valores: 65.38° o 114.2°

Entonces, para el ángulo B también tenemos dos posibles soluciones:

2.4.-Ley de Cosenos

La ley de cosenos se puede considerar como una extensión del teorema de Pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura 1 obtenemos tres ecuaciones:

Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos.

Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo dependerá de los valores conocidos.

2.4.1.-Usando la Ley de Cosenos para Conseguir un lado de un Triángulo

Ejemplo 1:

En el triángulo de la figura, hallar la longitud del lado rotulado con x

Solución:

Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos C

x 2 = 10 2 + 6 2 - 2 ( 10 ) ( 6 ) cos 120°

x 2 = 100 + 36 - 120 - 1 2

x 2 = 100 + 36 - 120 - 1 2

x 2 = 100 + 36 + 60

x 2 = 196

x = 14

Ejemplo 2:

En el triángulo de la figura, hallar la longitud del lado rotulado con x

Solución:

Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c cos B

x 2 = 6 2 + 10 2 - 2 ( 6 ) 10 cos 45°

x 2 = 36 + 100 - 120 2 2

x 2 = 136 - 602

x 2 = 136 - 602

x 2 = 136 - 602

"Cuando conocemos dos lados del triángulo y el ángulo entre ellos, siempre es posible encontrar el tercer lado aplicando la Ley de Cosenos."

Es importante notar que cuando aplicamos la ley de cosenos no hay ambigüedad en el resultado del ángulo. Como sabemos, un ángulo de un triángulo puede medir a lo más 180°. Así, si el coseno del ángulo es positivo sabemos que está en el primer cuadrante, es decir, entre 0° y 90°. Si el coseno del ángulo es negativo sabemos que está en el segundo cuadrante, es decir, entre 90° y 180°.

2.4.2.-Usando la Ley de Cosenos para Conseguir los Ángulos del Triángulo

Ejemplo 1:

En el triángulo de la figura, hallar los ángulos x y y

Solución:

Como conocemos los tres lados del triángulo, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

Hallando x

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos A

12 2 = 6 2 + 14 2 - 2 ( 6 ) ( 14 ) cos x

144 = 36 + 196 - 168 cos x

168 cos x = 36 + 196 - 144

cos x = 88168

x ˜ 58.41°

Hallando y

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos C

14 2 = 12 2 + 6 2 - 2 ( 12 ) ( 6 ) cos y

196 = 144 + 36 - 144 cos y

144 cos y = 144 + 36 - 196

cos y = -16144

2.5.-Razones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo

2.5.1.-Seno

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por sen B.

2.5.2.-Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. La función Coseno se obtiene de dividir el cateto adyacente de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa. En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

2.5.3.-Tángente

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

Se denota por tg B.

2.5.4.-Secante

La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

2.5.5.-Cosecante

La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.

Se denota por cosec B.

2.5.6.-Cotangente

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B. Se denota por cotg B.

2.6.-FÓRMULAS DE ÁNGULOS

2.7.-FUNCIONES MATEMÁTICAS

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x.

En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.

Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".

2.7.1.-Función

Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.

Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio. 

Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contradominio o imagen.

Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La entrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí la función y la salida sería el contradominio.

Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio.

Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con una letra, digamos o o cualquier otra.

2.7.2.-Diferencias entre Función y Relación

Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados, o cualquier correspondencia entre conjuntos y una función es la que da exactamente un valor a la variable dependiente (y) para cada valor de la variable independiente (x) en el dominio.

Una relación entre 2 conjuntos A y B es cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB, incluso el vacío. Una función de A en B debe cumplir que para todo elemento de A exista un único elemento de B (que se suele llamar f(a)) relacionado con él. Una forma de clasificar las relaciones es la siguiente: se dice que R es reflexiva si para todo elemento de A (a, a) está en la relación. Se dice que es simétrica si cada vez que (a, b) está en la relación, (b, a) está en la relación, anti simétrica si cada vez que (a, b) y (b, a) están en la relación, a=b y transitiva si cada vez que (a, b) y (b, c) están en la relación, (a, c) está en la relación.

Si una relación es reflexiva, simétrica y transitiva, se dice que es de equivalencia. Si una relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva se dice que es de orden.

No se puede decir que una relación es creciente o decreciente, porque cada elemento puede estar relacionado con varios o con ningún elemento. De las funciones (si son de R en R) si se pueden decir si son crecientes o decrecientes (o ninguno de los 2 casos, como pasa con la función sen x).

En cuanto a la continuidad, hay que recordar que una función puede ser continua en un punto y no en otro.

La definición de función continua en un punto es la siguiente: para todo epsilon positivo existe un delta >0 de tal forma que para todo x /este a menos de delta de x0, la distancia de (f(x)a f(x0) es menor que epsilon y una función se dice continua a secas si es continua en todo a una función se dice discontinua si existe al menos un punto donde no es continua.

2.7.3.-Dominio

En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien.

2.7.4.-Rango

Son todos los valores posibles de f(x) o sea de Y. Si tenemos f(X) = sen (X) El rango va de -1 a +1.

Si F(X) = una parábola cóncava en forma de U. El rango va del vértice da la parábola hacia arriba hasta + infinito.

2.8.- ¿Para qué se representa una Gráfica?

Una gráfica es la representación de datos, generalmente numéricos, mediante líneas, superficies o símbolos, para ver la relación que esos datos guardan entre sí. También se representan para plasmar coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno.

La representación gráfica también es una ayuda para el estudio de una función. Una función con una variable dependiente y otra independiente se puede representar gráficamente en un eje de ordenadas y abscisas correspondiendo el valor de cada variable a la posición en los ejes.

2.9.-Tipos de funciones

2.9.1.-Función Constante

Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma:

F(x)=a donde a pertenece a los números reales y es una constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x y, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

Y=F(x) entonces Y=adonde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

para valores de a iguales:Y=8Y=4,2Y=-3,6

La función constante como un polinomio en x es de la forma 

Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le corresponde siempre el valor a.

El Dominio de la función constante va hacer igual siempre a "Todos los Reales"Mientras que la imagen tan solo va hacer el valor de a.

Es una Función Continua.

¿Qué significa la recta representa por la función y=0?

Representa que la recta pasara por todo el eje X.

2.9.2.-Función lineal

Es aquella que satisface las siguientes dos propiedades:

• Propiedad aditiva (también llamada propiedad de superposición): Si existen f(x) y f(y), entonces f(x + y) = f(x) + f(y). Se dice que f es un grupo isomorfista con respecto a la adición.

• Propiedad homogénea: f (ax) = af(x), para todo número real a. Esto hace que la homogeneidad siga a la propiedad aditiva en todos los casos donde a es racional. En el caso de que la función lineal sea continua, la homogeneidad no es un axioma adicional para establecer si la propiedad aditiva esta establecida.

En esta definición x no es necesariamente un número real, pero es en general miembro de algún espacio vectorial.

El concepto de linealidad puede ser extendido al operador lineal. Ejemplos importantes de operaciones lineales incluyen a la derivada considerada un operador diferencial y muchos construidos de él, tal como el La placiano. Cuando una ecuación diferencial puede ser expresada en forma lineal, es particularmente fácil de resolver al romper la ecuación en pequeñas piezas, resolviendo cada una de estas piezas y juntando las soluciones.

Las ecuaciones no lineales y las funciones no lineales son de interés en la física y matemáticas debido a que son difíciles de resolver y dan lugar a interesantes fenómenos como la teoría del caos.

2.9.3.-Función Cuadrática

La función cuadrática responde a la fórmula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:

Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo.

Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.

Eje de simetría: x = xv.

Intersección con el eje y.

Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.

2.9.4.-Función Logarítmica

Se llama función logarítmica a la función real de variable real:

La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*+ en R :

• La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos.

• Los números negativos y el cero no tienen logaritmo

• La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a.

• Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2"718281…

Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la forma

Se hallan por medio de la fórmula:

2.9.5.-Función Exponencial

La función exponencial (de base e) es una función real que tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural.

2.9.6-Cuadro Comparativo entre las Funciones

2.9.7.-Función Ramificada

Es aquella que sirve para encontrar los puntos límites de los intervalos en los cuales se divide el dominio.

Ejemplo:

Respuesta:

Observemos que el dominio de esta función está dividido, y el punto de división es x = 1.

2.9.8.-Relevancia de las Funciones en el Cálculo

Las funciones juegan un papel esencial en el desarrollo del cálculo, las funciones son generalmente del tipo:

En otras palabras, "x" es una variable, "y" es otra variable, y el valor que tome "y" depende del valor que esté tomando "x". Por ejemplo, en la función "2x = y", pues cuando "x" tome el valor de 5, "y" va a tomar el valor de 10 (porque 2*5 es 10).

Las funciones son importantes para realizar fórmulas simplificadas de las operaciones que se realizan comúnmente, como una sumatoria, un promedio, etc. Es decir, de manera más sencilla.

2.9.9.-Diferencia y Semejanza entre Dominio y Rango

CAPITULO III

Casos de factorización 

3.1.-Regla de Ruffini (división algebraica)

Ahora se divide por regla de Ruffini, donde se toma como dividendo los coeficientes del enunciado y como divisor los posibles ceros y se prueba con la regla de Ruffini hasta que salga la división exacta (es decir de residuo cero).

Se puede notar que al probar con menos dos, la división salió exacta.

Dos términos

Ahora, nuestra respuesta consta de 2 términos

Primer término

El -2 salió de un x+2 porque si x+2=0, saldría x=-2 . Eso quiere decir que nuestro primer término es x+2

Nota: Siempre se iguala a cero y siempre los primeros términos son de la forma x+a .

Segundo término

El segundo término es el coeficiente de nuestra división por Ruffini, es decir, el segundo término es x2-x-3

Nota: En el segundo término, a veces todavía se puede descomponer por aspa simple; si ese es el caso, se debe descomponer.

Resultado final

El resultado final es el el siguiente:

Nota: Se debe dejar así, no se debe multiplicar, puesto que eso sería retroceder todos los pasos.

3.2.-Factor común (CASO I)

Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. 3.2.1.-Factor común por agrupación de términos 

ab + ac+ ad = a (b + c + d) 

ax + bx + ay + by = (a + b) (x + y) 56

3.2.2.-Factor común polinomio 

Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente) para luego operar; ejemplo: 

ab-bc=b(a-c) 3.3.-Factor común por agrupación de términos (Caso II) 

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir: 

ab+ac+bd+dc=(ab+ac)+(bd+dc) =a(b+c)+d(b+c) =(a+d)(b+c) 

3.4.-Trinomio cuadrado perfecto (Caso III)

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signos que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. Ejemplo: 

EJEMPLO 1: (Con los tres términos positivos)

Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo.

Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2

3.4.1.-EXPLICACIÓN:

1) ENCONTRAR DOS TÉRMINOS QUE SEAN "CUADRADO":

Los términos de este trinomio que son "cuadrado" de algo son la x2 y el 9 (¿qué es un "cuadrado"?). Ya que x2 "es el cuadrado" de x. Y 9 "es el cuadrado" de 3 (ya que 32 es igual a 9). (¿Por qué?) 

El término "6x" nunca podría ser cuadrado de algo, ya que 6 no tiene raíz cuadrada, y x no es una potencia par. (más explicación sobre esto).

2) "BAJAR" LAS BASES: (¿a qué se llama las "bases"?)

Bajo la "x" y el "3", ya que son "las bases" de los cuadrados de ese polinomio, como dice en el paso anterior.

Nota: Las bases se suelen poner debajo de sus cuadrados respectivos, a modo de anotación, más que nada para guiarse uno mismo, o como planteo para que el profesor vea lo que quisimos hacer. Pero en realidad no es parte del resultado, y no sería obligación ponerlo en caso de que no nos estén evaluando (serviría como "justificación" en ese caso).

3) VERIFICAR EL "DOBLE PRODUCTO DE LAS BASES": 

Una vez que tengo las bases (x y 3), multiplico de esta manera:

2.x.3      ("Dos por x por 3")

Eso es "el doble producto de las bases" (¿"doble producto"?). Y el resultado es: "6x"

2.x.3 = 6x      (¿por qué?). 

Ahora miro el polinomio y veo que en él "está 6x".  (x2 + 6x + 9). Es decir, que el término que no es cuadrado, es 6x. Coincide con el doble producto de las bases. Esto tiene que ser así para que se pueda factorizar con este Caso.Acabo de verificar que el polinomio que me dieron es un Trinomio Cuadrado Perfecto, porque cumple con lo que tiene que tener un Trinomio Cuadrado Perfecto: "dos cuadrados", y "el doble producto de las bases". Y eso viene de la fórmula (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2. Pero en esta parte sólo trato de explicar "cómo se hace" y no "de dónde viene". (Si les interesa saber más acerca de esto, pueden consultar en los CONCEPTOS)

4) EL RESULTADO DE LA FACTORIZACIÓN:

(x+3)2

El resultado es "la suma de las bases, elevada al cuadrado". Es decir, pongo "x" y "3" sumando entre paréntesis, y elevado a la potencia 2.

Más ejercicios resueltos,  parecidos al Ejemplo 1:

3.5.-Diferencia de cuadrados (Caso IV)

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. Ejemplo: 

(9y^2)-(4x^2)=(3y-2x)(3y+2x)

EJEMPLO 1: (Fácil)

x2 - 9 = (x + 3).(x – 3)

x     3 

Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".

EJEMPLO 2: (Con dos letras)

x2 - y2 = (x + y).(x – y)

x     y

Las dos bases son letras 

EJEMPLO 3: (Con el "1")

b2 - 1 = (b + 1).(b – 1)

b     1

No hay que olvidar que el número 1 es un cuadrado.

EJEMPLO 4: (Con fracciones) 

x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x – 3/5)

x      3/5

9/25 es cuadrado. Porque 9 es cuadrado (de 3), y 25 también (de 5)

EJEMPLO 5: (Con potencias distintas de 2)

x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)

x3   2

x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6

EJEMPLO 6: (Con términos "compuestos")

36×2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x – a3b2) 

6x       a3b2

Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una sola letra o número. Pero todos deben ser cuadrados.

EJEMPLO 7: (Con números decimales)

x2 - 0,16 = (x + 0,4).(x – 0,4)

x     0,4

También se puede hacer pasando los números decimales a fracción (Ver en la EXPLICACIÓN) 

EJEMPLO 8: (Con la resta "al revés")

-x2 + 4 = 4 – x2 = (2 + x).(2 – x)

x       2 El primer término es negativo y el segundo es positivo. Pero puedo escribirlos "al revés", y ahí tengo la resta que necesito.

EJEMPLO 9: (Uno "con todo")