Apuntes y Ejercicios de Cinemática

Introducción

La Física es una ciencia fundamental que tiene profunda influencia en todas las otras ciencias. Por consiguiente, no solo los estudiantes de física e ingeniería, sino todo aquel que piense seguir una carrera científica (biología, química y matemática) debe de tener una amplia comprensión de sus ideas fundamentales.

La palabra Física proviene del vocablo griego que significa naturaleza, y por ello la Física debe ser una ciencia dedicada al estudio de los fenómenos naturales. De hecho, hasta principios del siglo XIX se entendió a la Física en un sentido amplio, y se denomino "Filosofía natural". Sin embargo, a partir del siglo XIX y hasta el presente, La física se ha restringido al estudio de un grupo más limitado de fenómenos, designados por el nombre de fenómenos físicos.

Las partes de la física clásica

El hombre es poseedor de una mente investigadora, tiene una curiosidad acerca de cómo funciona el mundo que lo rodea. Al principio sus fuentes de información fueron sus sentidos y por ello clasifico los fenómenos observados de acuerdo a la manera en que percibía la luz esta a su vez fue relacionada con la visión y la óptica inicio a partir de esta idea. El sonido fue relacionado con la audición que dio origen a la acústica. El calor fue relacionado a otro tipo de sensación física y con la aparición de la Revolución Industrial se dio un fuerte impulso al desarrollo de la termodinámica. El movimiento, evidentemente es el más común de todos los fenómenos observados cotidianamente, y la ciencia del movimiento, la mecánica, se desarrollo más temprano que cualquier otra rama de la física. El movimiento de los planetas causado por sus interacciones gravitatorias, así como la caída libre de los cuerpos, fue satisfactoriamente explicado por las leyes de la mecánica; El electromagnetismo, no estando relacionado tan directamente con los sentidos, aparece como una parte organizada de la física hasta el siglo XIX.

De esta manera desde el siglo XIX la física aparecía dividida en las siguientes partes "clásicas":

a) Mecánica.- Estudio del movimiento de los cuerpos

b) Calor (termodinámica).- Estudio del calor y sus interacciones con otros tipos de energía.

c) Acústica.- Estudio las propiedades y propagación del sonido.

d) Óptica.- Estudio de la luz

e) Electromagnetismo.- Estudio de los fenómenos eléctricos y magnéticos.

En el siglo XX se amplia el conocimiento de los fenómenos físicos y se enriquece la física con la denominada física moderna.

La relación de la física con otras ciencias

Se puede decir que el objetivo de la física es capacitarnos para comprender los principios básicos de la materia y sus interacciones, y explicar así los fenómenos naturales. La química trata básicamente de la aplicación de las leyes de la física a la formación de moléculas y ayuda a la explicación de los variados métodos de transformación de ciertas moléculas en otras. La biología se basa fundamentalmente en la física y la química para explicar los procesos que ocurren en los seres vivos. La aplicación de los principios de la física a problemas prácticos, en la investigación de alto nivel, así como en la vida profesional. La practica moderna de la ingeniería al igual que la investigación en el área de ciencias naturales sería imposible sin la comprensión de las ideas fundamentales de las ciencias físicas.

Pero la física no es solo importante porque proporciona la base conceptual y la estructura teórica sobre la cual se fundan las otras ciencias naturales. Desde el punto de vista practico es importante porque proporciona técnicas que pueden utilizarse casi en cualquier área de la investigación pura o aplicada. El astrónomo requiere de técnicas ópticas, de radio y espectroscópicas, El geólogo utiliza en sus investigaciones métodos gravimétricos, acústicos, nucleares y mecánicos. Lo mismo puede decirse del oceanógrafo, el meteorólogo, el sismólogo, etc. Un hospital moderno esta equipado con laboratorios en los cuales se usan la técnicas más refinadas de la física. En resumen, casi todas las actividades de investigación incluyendo campos como la arqueología, paleontología, historia y arte utilizan técnicas modernas de la física en sus investigaciones.

El método experimental

A fin de cumplir con sus objetivos la Física, como todas las ciencias experimentales, dependen de la observación y de la experimentación.

La observación consiste en un examen crítico y cuidadoso de los fenómenos, notando y analizando los diferentes factores y circunstancias que parecen influenciarlos. Este proceso generalmente no es inmediato y requiere de un proceso de análisis cuidadoso y profundo.

La experimentación consiste en la observación del fenómeno pero en condiciones controladas de antemano por el experimentador. De esta manera el científico puede variar los parámetros del experimento para conocer como estos afectan los procesos que ocurren en dicho fenómeno.

Sin la experimentación la ciencia moderna nunca habría alcanzado los avances actuales. Por tal razón los laboratorios son esenciales para el científico.

Aunque hasta hace algunos años un científico podía trabajar en forma más o menos aislada, la ciencia moderna, debido a su complejidad, es principalmente el resultado de trabajo interdisciplinario, en el cual teóricos y experimentales piensan y trabajan juntos.

Mediciones

La observación de un fenómeno es en general incompleta a menos que, dé lugar a un información cuantitativa. Para obtener dicha información se requiere la medición de una propiedad física, y así la medición constituye una buena parte de la rutina diaria del investigador experimental.

La medición es una técnica por medio de la cual asignamos un número a una propiedad física, como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se ha adoptado como unidad. La mayor parte de las mediciones realizadas en el laboratorio se reducen esencialmente a las mediciones de longitud, tiempo, masa, corriente eléctrica y temperatura. Utilizando estas mediciones y ciertas convecciones expresadas en formulas obtenemos la cantidad deseada. Cuando el investigador mide su objeto de estudio debe de tener gran cuidado de modo de no producir una perturbación mínima del sistema que esta bajo su observación. Por ejemplo, cuando medimos la temperatura de un cuerpo, lo ponemos en contacto con un termómetro. Pero al ponerlos juntos, algo de energía o calor se intercambia entre el cuerpo y el termómetro, dando por resultado un pequeño cambio en la temperatura del cuerpo afectando así la misma cantidad que deseábamos medir. Además todas las medidas son afectadas en algún grado por el error experimental debido a las imperfecciones inevitables del instrumento de medida o a las limitaciones impuestas por los sentidos que deben de registrar la información. Por lo tanto cuando un investigador diseña su técnica de medición procura que la perturbación de la cantidad a medirse tenga un error experimental lo más pequeño posible.

Cantidades físicas fundamentales y unidades

Antes de efectuar una medición, debemos de seleccionar una unidad para cada cantidad física a medirse. Para propósitos de medición hay cantidades fundamentales y derivadas. El físico en general reconoce cinco cantidades fundamentales: longitud, tiempo, masa, carga eléctrica y temperatura.

Son tres los sistemas de unidades que se usan comúnmente. Estos son:

a) Sistema metro-kilogramo-segundo conocido también como sistema (MKS) o sistema internacional.

b) Sistema centímetro-gramo-segundo conocido como sistema (CGS).

c) Sistema pie-libra-segundo llamado sistema ingles.

Una vez escogidas las cantidades fundamentales automáticamente quedan determinadas las unidades de las cantidades derivadas.

Preguntas

1) ¿Qué es una medida patrón?

2 Si un desconocido le dijera que todas las dimensiones de todos los objetos se habían reducido a la mitad que tenían un día anterior ¿ Cómo refutaría Ud. esta afirmación, explique?

Problemas

1) En competencias de pista se usan 100 yardas y 100 metros como distancias de carreras:

a) ¿Que longitud es mayor?

b) ¿En cuantos metros es mayor?

2) 48 X 10-89 litros equivale a que cantidad de cm3

3) 6 x 1090 segundos equivale a cuantos días.

4) Considere que se han construido cajas cúbicas iguales de volumen tal, que en cada caja se acomodan 10-12 partes de moléculas de aire. ¿Cuántas cajas de este tipo se necesitan para almacenar 1097 partes de moléculas de aire?

Mecánica

La Mecánica, la más antigua de las ciencias físicas, es el estudio del movimiento de los cuerpos. Entre algunos de sus problemas está el cálculo de la trayectoria de proyectiles, la trayectoria de un satélite de telecomunicaciones o de exploración enviado a Marte o el análisis de las trayectorias formadas en una cámara de burbujas, que representan las interacciones de partículas elementales.

La Mecánica se divide en tres partes:

a) Cinemática, en donde se define como la parte de la Mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos sin importar las causas que produce dicho movimiento.

b) Dinámica estudia las fuerzas que intervienen en el movimiento.

c) Estática estudia los sistemas mecánicos en donde las fuerzas que intervienen se encuentran en equilibrio, formalmente se puede demostrar que la Estática es un caso particular de la Dinámica.

Cinemática

Un objeto real puede girar al ir moviéndose. Por ejemplo, una pelota de béisbol puede girar mientras va en movimiento como un todo describiendo alguna trayectoria. Análogamente, un cuerpo puede vibrar al ir moviéndose, como por ejemplo una gota de agua al caer. Estas complicaciones se pueden evitar considerando el movimiento de un cuerpo muy pequeño llamado partícula. Matemáticamente, una partícula se considera como un punto, como un objeto sin tamaño, de manera que no hay hacer consideraciones de rotaciones y vibraciones durante su trayectoria. En realidad no existe en la naturaleza nada que pueda considerarse un objeto sin extensión. Sin embargo, el concepto de partícula es muy útil porque los objetos reales a menudo se comportan, con una gran aproximación, como si fueran partículas.

3.1.1 Rapidez media

La rapidez media es la rapidez con que un cuerpo cambia de posición al transcurrir el tiempo y su definición operacional esta dada por:

3.1.2 Aceleración media

A menudo la velocidad de un móvil cambia, ya sea en magnitud, dirección, o sentido en algunas de ellas o en todas. Entonces se dice que el cuerpo lleva una aceleración. La aceleración de un móvil es la rapidez con que cambia su velocidad al transcurrir el tiempo. La aceleración media se define por:

3.1.3 Rapidez promedio

La rapidez promedio como lo indica su nombre es el promedio de la rapidez inicial y la rapidez final del móvil definiéndose por:

En particular considerando el movimiento de un móvil que se desplaza con un movimiento rectilíneo horizontal con aceleración constante se considera las siguientes relaciones de movimiento:

Las ecuaciones (1) a (6) permiten resolver una gran cantidad de problemas en cinemática.

PREGUNTAS DE CINEMATICA.

3) Un conejo avanza cada segundo la mitad de la distancia que hay de su nariz a una lechuga ¿Podrá llegar hasta la lechuga? Justifique su respuesta.

4) Puede un cuerpo no adquirir una aceleración y sin embargo llevar una velocidad diferente de cero. Justifique su respuesta.

PROBLEMAS DE CINEMATICA

1 Un automóvil viaja a una velocidad constante de 60 Km/h. ¿Qué distancia recorrerá el automóvil en un periodo de 1.5 h.?

Soluciones:

Método a: El automóvil se desplaza sin cambios de su velocidad con respecto al tiempo transcurrido en su viaje. Por consiguiente siempre recorre 60 Km en 1 h que representa 60 Km/h, entonces para 1.5 h habrá recorrido la distancia de 1h más la distancia de .5 h pero como cada hora recorre 60 Km por lo tanto en 1.5h recorrerá 60 km + 30 Km cuyo resultado es de 90 Km.

Método b: Utilizando la expresión formal 1 que se muestra a continuación:

Observe que h se cancela y queda simplemente Km que efectivamente corresponden a unidades de distancia. Si se pide el resultado en el sistema de unidades internacional se realizaría la conversión de unidades de Km a m, en este caso particular, si sabemos la siguiente equivalencia: 1 Km = 1000 m, entonces 90 Km corresponden a 90 000 m. Es decir 90 Km = 90 000 m. son dos cantidades iguales con diferentes unidades.

2) Un auto viaja hacia el Este con una rapidez constante de 70 km/h ¿Calcular el valor de su aceleración?

Considerando el modelo:

3 Un auto desacelera desde una rapidez de 25 m/s hasta el reposo en una distancia de 120 m ¿Cuál es su desaceleración, suponiendo que es constante?

Considerando el modelo:

4 Un auto logra una aceleración de 3.2 m/s2: A esta razón ¿Cuánto tiempo le llevara acelerar de 85 km/h a 100 km/h?

Considerando el modelo:

5 Un auto viaja de noche a 72 km/h y de repente se encuentra un camión estacionado a 30m de distancia, en ese instante frena con una desaceleración de 5 m/s2. Calcular a) El tiempo que tarda el auto en detenerse. b) Choca el auto con el camión?

a)

Considerando el modelo:

b)

La distancia que recorre el auto en su frenado esta dada por la relación:

Es decir la distancia que recorre el auto en el frenado antes de detenerse es de 40m, por lo tanto el auto si choca con el camión.

6 Dos automóviles que viajan en el mismo sentido y dirección, ambos se desplazan con velocidad constante y se encuentran a una distancia de 126 km. Si el mas lento va a 42 km/h. Calcular la velocidad del más rápido, sabiendo que lo alcanza en 6h.

Considerando la relación de distancias entre el auto A y B expresada por:

Es decir la velocidad del auto más rápido es 63 km/h

7 Un deportista sale de su casa en bicicleta a las 6 de la mañana. Al llegar a un cierto lugar, se le estropea la bicicleta y ha de volver andando. Calcular a que distancia ocurrió el percance sabiendo que las velocidades fueron constantes y han sido de 30 km/h en bicicleta y 6 km/h andando y que llega a su casa al medio día.

Considerando la relación de los tiempos que tardaron en recorrer el deportista con bicicleta y andando se establece la relación:

Es decir:

Es decir la distancia que ocurrió el percance es de 30 km

Para determinar la distancia que recorre el tren A desde que el maquinista aplica los frenos hasta que el tren se detiene, se considera la relación:

Es decir la distancia que recorre el tren A desde que frena hasta detenerse es: 631.9 m

Para determinar la distancia que recorre el tren B desde que el maquinista aplica los frenos hasta que el tren se detiene, se considera la relación:

Por lo tanto los trenes A y B no chocan.

9 En el momento en que se enciende la luz verde de un semáforo de transito, arranca un automóvil con aceleración constante ax de 1 m/s2 en ese mismo instante, un camión que lleva una rapidez constante de 30 m/s alcanza y rebasa al automóvil.

a) ¿A que distancia del punto de partida alcanzara el automóvil al camión?

b) ¿A que rapidez ira el automóvil en dicho instante?

a)

La ecuación de movimiento para el automóvil esta dada:

Es decir en 60 s el automóvil alcanza al camión.

A partir del modelo:

Por lo tanto el automóvil alcanza al camión a una distancia de 1800 m del semáforo

b)

En este caso la ecuación de movimiento del automóvil esta dada por:

Por lo tanto la rapidez del automóvil cuando alcanza al camión es de 60 m/s.

Movimiento vertical: Caída libre

El ejemplo más común de movimiento con aceleración constante es el de un cuerpo que cae hacia la superficie de la tierra. No habiendo resistencia sobre el cuerpo, independientemente de su tamaño, peso o composición, Es decir si la resistencia del aire es despreciable todos los cuerpos caen con la misma aceleración desde una cierta altura sobre la superficie de la tierra. Este movimiento ideal, se llama caída libre.

La aceleración de un cuerpo que cae libremente se llama aceleración debida a la gravedad y se representa por el símbolo g. Cerca de la superficie de la tierra su magnitud es aproximadamente de 9.81 m/s2, y está dirigida hacia abajo, hacia el centro de la tierra.

Las ecuaciones de movimiento de caída libre son:

Donde h es la altura en que esta ubicado el cuerpo con respecto a la superficie de la tierra.

Note la simetría de las ecuaciones (2), (4) y (6) con (7), (8) y (9).

PREGUNTAS

5) ¿La aceleración de caída libre de un cuerpo es igual en la superficie terrestre que en la superficie lunar? Explique.

PROBLEMAS

6) ¿La velocidad que debe lanzarse verticalmente una pelota hacia arriba para que llegue a una altura de 12.5 m? ¿Cuánto tiempo estará en el aire?

7) Un balín de plomo se deja caer a un lago desde un trampolín que esta a 5 m del agua. Pega en el agua a una cierta rapidez y después se hunde hasta el fondo con esa misma rapidez constante. Llega al fondo 5 seg después que se soltó.

a) ¿Qué profundidad tiene el lago?

b) Supóngase que se extrae toda el agua del lago. El balín se arroja desde el trampolín, de manera que llega nuevamente al fondo en 5 seg ¿Cuál es la velocidad inicial del balín?

PROBLEMAS DE CAIDA LIBRE

1 a) ¿Cuánto tarda una piedra en llegar al piso si se soltó a una altura de 65 m?

b) ¿Cuál será su rapidez al llegar al piso?

En este problema conviene resolver primero el inciso b

b)

Considerando el modelo:

a)

A partir del modelo:

2 Se lanza una pelota verticalmente hacia abajo desde la cornisa de un edificio, imprimiéndole la mano de una persona una velocidad de 15 m/s.

a) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido durante 3 s?

b) ¿Qué distancia descenderá en 3s?

c) ¿Cuál será su rapidez después de haber descendido 20 m?

d) Si la pelota se lanzo desde un punto a 50 m sobre el piso ¿En que tiempo llega la pelota al piso?

e) En el caso del inciso anterior ¿Cuál será su velocidad al llegar al piso?

a)

Considerando el modelo:

b)

Considerando el modelo:

c)

Considerando el modelo:

d)

Considerando el modelo:

Aplicando a la formula general para las soluciones de ecuaciones de segundo grado:

d)

Considerando el modelo:

3 Un objeto se lanza horizontalmente con una velocidad de 10 m/s desde la parte superior de un edificio de 20 m de altura. ¿ A que distancia de la base del edificio el objeto toca el piso.?

Considerando el modelo:

Es decir la distancia que el objeto toca el piso y la ubicación del edificio es: 20 m.

4 La velocidad mínima debe de salir del agua un salmón para brincar hasta el borde de una caída de agua de 2.1 m de altura.

Considerando el modelo:

5 Un helicóptero asciende verticalmente con una rapidez de 8 m/s; a una altura de 120 m sobre la superficie, se suelta un paquete por una ventanilla: ¿Cuánto tardara el paquete en llegar al piso?

Considerando el modelo:

Movimiento en un plano: Tiro parabólico

El ejemplo más común de movimiento de proyectiles en un plano, corresponde a la trayectoria que describe el balón de fútbol americano que sale con una cierta rapidez Vo y a un cierto ángulo ( cuando es golpeado por el jugador. Si se desprecia la resistencia del aire, entonces se dice que la única aceleración que actúa sobre el balón es constante y corresponde a la aceleración de la gravedad, por lo tanto las ecuaciones de movimiento de describen dicho movimiento, también llamadas ecuaciones de tiro parabólico (dado que el perfil de su trayectoria corresponde a una parábola) son:

PROBLEMAS DE TIRO PARABOLICO

1 Un bateador golpea a una pelota que viaja a una altura de 1.45 m sobre el piso de tal manera que la lanza con un ángulo de inclinación con respecto a la horizontal de 500 y con una rapidez inicial de 35 m/s. En su trayectoria la pelota tiene que sobrepasar una barda de 6 m de altura, situada a una distancia de 96 m del bateador. ¿Podrá la pelota sobrepasar la barda?

Para determinar el alcance:

Para calcular la altura que alcanza la pelota cuando llega a la barda.

Por lo tanto la pelota sobrepasa la barda.

2 Un cazador dispara su arco de manera que sale disparada una flecha con una velocidad de 30 m/s e inclinación de 300 con respecto a la horizontal en el preciso instante en que se le lanza un puma desde una distancia de 17.22 m. El puma avanza con una velocidad rectilínea uniforme: Vp. ¿Calcula el valor de Vp si la flecha le pega al puma?

3 Un cañón dispara un proyectil con una velocidad inicial de 360 m/s. Se desea batir un blanco situado a una distancia horizontal de 1000 m del cañón y elevado a 300 m por encima de el. ¿Cuál debe de ser el ángulo de elevación del disparo?

Partiendo de las relaciones de alcance y altura del disparo:

Despejando t de la expresión de alcance resulta:

Aplicando la formula general para ecuaciones de segundo grado:

Por consideraciones físicas el ángulo de elevación es: ( = 19o.

4 Se deja caer una bomba de un aeroplano que vuela horizontalmente con una rapidez de 100 km/h y a una altura de 500 m.

a) ¿Cuánto avanzara la bomba antes de llegar al piso?

b) ¿La rapidez y dirección de la bomba al momento de llegar al piso?

c) ¿Cuánto tiempo tardara el llegar al piso?

Conviene resolver primero el inciso c)

Considerando el modelo:

El tiempo que tarda la bomba en llegar al piso es t = 10.1 s

b)

Dado que:

La dirección esta dada por:

5 El pateador de un equipo de fútbol americano le pega al balón y este sale con una rapidez de 25 m/s. (Considere que la resistencia del aire es despreciable).

¿Cuáles son los ángulos máximo y mínimo que debe de ser pateado el balón con respecto a la horizontal para que se anote gol?, Si la línea de meta se localiza a 50 m del lugar en donde se efectúa la patada. La barra horizontal sobre la cual debe de pasar el balón esta a 3.44 m sobre el nivel del campo.

Considerando la ecuación::

Entonces:

Sustituyendo en la ecuación general para la solución de ecuaciones de segundo grado resulta:

Por lo tanto:

6 ¿Calcular el ángulo de elevación con el que debe de ser lanzado un proyectil que parte con una rapidez de 350 m/s para alcanzar un blanco situado en el mismo nivel que se encuentra a 4000 m de distancia?

Considerando la relación:

Resulta:

Bibliografía

– Tippens P. E., Física, conceptos y aplicaciones, México, 2a edición, Mc. Graw-Hill Interamericana, 1989.

– Stollberg R. y Hill F., Física, fundamentos y fronteras, México, Publicaciones Cultural, 1967.

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– Blackwood, O.H., Física General, México, Edit. Continental, 1990.

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– Hecht E., Física en perspectiva, México, Mc. Graw-Hill, 1993.

– Hewitt P.G., Conceptos de física, México, Limusa, 1993.

Autor:

José Jesús Mena Delgadillo