Ejercicios sobre funciones numéricas para las pruebas de ingreso a la educación superior (página 2)
Enviado por Andrés A. Arocha Gámez
En el caso del Instituto Preuniversitario Vocacional de Ciencias Exactas "Revolución Húngara de 1919" los estudiantes también presentan insuficiencias en el dominio de los contenidos relacionados con las funciones, que se adquieren o debían adquirir en grados anteriores evidenciadas en los distintos controles realizados. Con la aplicación de diferentes instrumentos como la prueba pedagógica de entrada, entrevistas a profesores y encuestas se detecta que los estudiantes presentan dificultades a la hora de trabajar con la representación gráfica de las mismas, de determinar los puntos necesarios para representarlas, a la hora de trazar la curva, no tienen claro las condiciones que cumplen los parámetros que afectan directamente a la "x" y a la "y" en las distintas funciones estudiadas, además aún los estudiantes no dominan el trabajo con las propiedades fundamentales. En el caso de doce grado, se dificulta la sistematización de este contenido debido a la carencia de ejercicios con este fin que hay en los materiales que ellos tienen a su alcance.
Del análisis anterior surge el problema científico de la investigación relativo a ¿Qué características deben poseer los ejercicios de un sistema para desarrollar habilidades en la representación gráfica y determinación de propiedades globales de las funciones en la preparación de los estudiantes de 12. grado del IPVCE "Revolución Húngara de 1919" para la prueba de ingreso a la Educación Superior?
El objeto de investigación es el desarrollo de habilidades matemáticas con funciones y el campo de investigación es el desarrollo de habilidades en la representación gráfica y determinación de propiedades globales de las funciones en la preparación de los estudiantes de 12. grado del IPVCE "Revolución Húngara de 1919" para la prueba de ingreso a la Educación Superior.
La línea de investigación es problemas del aprendizaje en la educación preuniversitaria.
El objetivo de la investigación es proponer un sistema de ejercicios que desarrollen habilidades en la representación gráfica y determinación de propiedades globales de las funciones en la preparación de los estudiantes de 12. grado del IPVCE "Revolución Húngara de 1919" del municipio Melena del Sur para la prueba de ingreso a la Educación Superior.
Definición de la variable
En la presente investigación se declara como variable el desarrollo de habilidades en la representación gráfica y determinación de propiedades globales de las funciones.
Los métodos aplicados en la obtención, procesamiento y análisis de los resultados son los teóricos, empíricos y matemático – estadísticos.
Los instrumentos utilizados en el proceso investigativo fueron los siguientes: guía de observación a clases, cuestionario de encuesta a estudiantes y a docentes, guía de entrevista a estudiantes y a docentes y pruebas pedagógicas (inicial, intermedia y final).
La población la constituyen los 147 estudiantes de 12. grado y la muestra empleada en la investigación se resumen a los 36 estudiantes del grupo 10 de doce grado.
La importancia de esta investigación consiste en darle una posible solución a la insuficiencia de ejercicios para desarrollar habilidades matemáticas con relación a la representación gráfica y determinación de propiedades globales de las funciones, objetivo que ha sido considerado como insuficiente en los resultados de prueba de ingreso de la asignatura y que con esta propuesta se trabajará con mayor profundidad incrementando el nivel de asimilación durante toda la unidad del programa donde se trabaja. Se puede añadir que el sistema permite darle atención diferenciada a aquellos estudiantes que no han podido vencer las dificultades que se observan con la representación de las funciones desde las más simples hasta las más complejas.
El aporte práctico de esta propuesta consiste en que se presenta un sistema de ejercicios para desarrollar habilidades sobre la representación gráfica y determinación de propiedades globales de las funciones, en la preparación de los estudiantes de 12. grado para las pruebas de ingreso a la Educación Superior. Ofrece en sí ejercicios pocos tratados que podrían introducirse en la práctica educativa de los preuniversitarios y contribuir a obtener mejores resultados en este contenido. Los ejercicios que ofrece este sistema son variados, suficientes y diversificados, desarrollados en forma de preguntas cerradas como verdaderos o falsos y seleccionar, así como preguntas abiertas.
Desarrollo
Con una población de 135 estudiantes de duodécimo grado y una muestra empleada en la investigación de 30 estudiantes del grupo 11 de doce grado, se aplicaron instrumentos utilizando diferentes métodos que arrojaron como resultado la existencia real del problema.
La variable de esta investigación es el desarrollo de habilidades matemáticas en la representación gráfica y análisis de propiedades.
Dimensiones Indicadores
Representación gráfica 1.- Determinación de puntos característicos.
2.- Representación gráfica de los puntos.
3.- Esbozo del gráfico.
Análisis de propiedades 4.- Conocimiento de las propiedades.
5.- Aplicación de las propiedades.
La prueba pedagógica de entrada demostró que la variable de desarrollo de las habilidades matemáticas en la representación gráfica y análisis de propiedades se comportaba de forma ineficiente.
La propuesta consiste en un sistema de ejercicios que contiene ejercicios variados, de diferentes niveles de desempeño para desarrollar habilidades en la representación y análisis de propiedades de las funciones lineales, cuadráticas, cúbicas, proporcionalidad inversa, raíz cuadrada, raíz cúbica y modular. Este sistema de ejercicios incluye además el aspecto semántico de las funciones, sus características y sus propiedades.
Desde el punto de vista filosófico la fundamentación de esta propuesta responde a la formación del hombre integral, al darle la posibilidad de prepararlo adecuadamente al enfrentar su futuro como profesional.
Desde el punto de vista pedagógico y psicológico el sistema de ejercicios se refiere a la Zona de Desarrollo Próximo que es cuando el estudiante aprende lo que le falta con la ayuda de sus compañeros, realizándose un aprendizaje consciente.
Desde el punto de vista didáctico el sistema proporciona la posibilidad de motivar a los estudiantes por el desarrollo de estas habilidades al comenzar de lo simple a los más complejo con ejercicios dinámicos y motivadores.
El sistema de ejercicios se apoya en una reseña histórica de las funciones y contiene un resumen de los principales conceptos tratados en la Enseñanza Media sobre el tema en cuestión.
Propuesta
SISTEMA DE EJERCICIOS SOBRE REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y ANÁLISIS DE PROPIEDADES DE LAS FUNCIÓNES NUMÉRICAS.
Reseña histórica de las funciones:
Las correspondencias son tratadas desde que los infantes comienzan a relacionarse con el mundo, así como por ejemplo, reconocen que a cada hijo le corresponde una madre y un padre, que a cada familia le corresponde un hogar y muchas otras que pudieran establecerse. Pero no es hasta que ingresan en la escuela que conocen la importancia que tienen las correspondencias en matemática; para ello basta señalar que con ayuda de estas se puede definir uno de los conceptos más importantes de dicha ciencia, el concepto de función. Este data desde el nacimiento del hombre aunque por muchas décadas no hubo un progreso esencial en su definición el cual está implícito en las matemáticas desde las primeras civilizaciones que datan del año 1900 a.n.e.
Este concepto se conserva a lo largo de la historia de la matemática tal es así que René Descarte (1596 – 1652) en su geometría muestra que tiene la idea intuitiva de la variable y función.
Sin embargo, la palabra función fue introducida, por el matemático alemán G.W.Leibniz (1646 – 1716) quién la utilizó en 1694 para designar la dependencia entre los valores de las abscisas y los puntos de la representación gráfica, así como para designar algunas fórmulas matemáticas. Más tarde la aplicaron los hermanos Jacob y John Bernoulli para describir varios segmentos relacionados con puntos de una curva. En 1718, John Bernoulli planteó una definición de función independientemente de representaciones geométricas, y Euler, quién fue su alumno, precisó esta definición.
En 1837 Dirichlet dio una definición de función que desempeñó un papel importante en la historia del Análisis Matemático. Sin embargo por largo tiempo se ignora que Nikolai I. Lobatchevsky, gran matemático ruso, planteó en 1834 esta idea de una forma reprobable.
En el renacimiento, el desarrollo del simbolismo algebraico y el perfeccionamiento de la trigonometría contribuyen a que los matemáticos se interesaran por estudiar las relaciones entre cantidades de magnitudes como en los estudios de Galileo Galilei (1564 – 1642) sobre el movimiento de los cuerpos materiales puso de manifiesto el interés de estudiar las relaciones que tenían la forma de razón o proporción.
Función es un término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El matemático francés René Descartés lo utilizó para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente.
Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán Meter Dirichlet que entendió la función como una variable, llamada dependiente, cuyos valores son fijados o determinados de una forma definida según los valores que se asignan a la variable independiente x, o a varias variables independientes x1,x2,…, xk.
Un problema muy importante surgido en el siglo XIX relacionado con el movimiento de vibraciones de un muelle fue el de definir el significado de la palabra función. Diferentes matemáticos intervinieron en el problema donde se destacaron Euler, Lagrange y Furrier, pero fue el matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales.
En este sistema de ejercicios repasarás el concepto de función y profundizarás en la representación y análisis de propiedades de las funciones numéricas tratadas en el preuniversitario.
RESUMEN IMPORTANTE
Correspondencias:
Una correspondencia entre un conjunto A y otro conjunto B (B puede coincidir con A) se designará por una letra minúscula en general (f, g, ect.), y es una ley que permite relacionar cada elemento de A con otro u otros de B.
Ejemplos:
Se escribe, por ejemplo, f(A)=8 y se dice que 8 es la imagen de A, y que A es una preimagen o antiimagen de 8.
APLICACIONES O FUNCIONES
Las aplicaciones son un tipo particular, muy utilizado, de correspondencias. Se definen del modo siguiente: Aplicación es toda correspondencia que asigna a cada elemento de A un único elemento de B.
Otra forma de definir las funciones o aplicaciones es la utilizada como pares ordenados la cual plantea que una función f: A(B es un conjunto de pares ordenados ( x ; y ) tal que cada x
X aparece como la primera coordenada de solo un par ordenado.
Al conjunto A se le llama dominio de la función y a sus elementos se les llama elementos o preimágenes. A los elementos de B que son correspondientes de algún elemento de A, se les llama imágenes y al conjunto de ellos se le denomina conjunto imagen o codominio.
Las funciones se pueden representar a través de diagramas de Venn, tablas gráficos cartesianos, ecuaciones y en forma descriptiva.
A las funciones cuyo dominio e imagen son conjuntos numéricos se les llama funciones numéricas.
Las funciones que se estudian en el nivel medio superior son:
Funciones lineales o afines.
Funciones potenciales:
Funciones exponenciales.
Funciones logarítmicas.
Funciones irracionales.
Funciones Trigonométricas.
Clases de aplicaciones:
Inyectivas. Una aplicación es inyectiva si cada elemento del segundo conjunto es imagen como máximo de un elemento del primer conjunto.
Desde el punto de vista algebraico es inyectiva si elementos diferentes tienen imágenes diferentes, en la práctica es cómodo utilizar el contrarrecíproco: es inyectiva si f(x1) =f(x2) se deduce que x1 = x2. Geométricamente esto significa que las paralelas al eje x cortan a la gráfica de f e un único punto.
Exhaustiva, epiyectivas o sobreyectivas. Una aplicación es sobreyectiva si todo elemento del segundo conjunto es imagen de algún elemento del primer conjunto.
Biyectivas. Se llama así a toda aplicación que es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Una aplicación f: N(M es biyectiva si ningún elemento de N es imagen de más de un elemento de M y todos los elementos de N son imagen de algún elemento de M.
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
Conjunto de partida. Conjunto A
Conjunto de llegada. Conjunto B
Dominio: conjunto de elementos del conjunto A que tienen imagen en el conjunto B, o sea, elementos para los cuales está definida la aplicación o función.
Imagen: conjunto de elementos del conjunto B que son preimágenes de algún elemento de A.
El dominio e imagen de una función se pueden determinar a partir de sus representaciones gráficas. Si proyectamos la gráfica en el eje "x" obtenemos el dominio y si la proyectamos en el eje "y" podemos determinar la imagen.
Cero de una función: es el elemento del dominio cuya imagen es cero.
Signo: conjunto de valores del Dominio donde la imagen es positiva o negativa.
Monotonía:
Desde el punto de vista gráfico las funciones se analizan de izquierda a derecha y esto deriva en:
si la función se eleva de izquierda a derecha y en este caso notamos que los valores de la función aumentan a medida que aumentan los valores de x para todo el dominio se dice entonces que la función es creciente.
si la función desciende de izquierda a derecha y en este caso notamos que los valores de la función disminuyen a medida que aumentan los valores de x en todo el dominio se dice entonces que la función es decreciente.
Paridad de una función:
Se dice que una función es par si es simétrica respecto al eje " y " y es impar si es simétrica respecto al origen de coordenadas.
Si f es par se cumple que f(x) =f(-x) y si es impar f(x) =-f(-x).
A continuación se expone un ejemplo de los ejercicios planteados en la propuesta.
1- Determina cuáles de las siguientes correspondencias son funciones y cuáles no. Fundamenta tu respuesta.
a) A cada número real se le asocia su cubo.
b) A cada número natural se le hace corresponder sus múltiplos.
c) A cada número real se le hace corresponder su módulo.
2.- Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique las falsas.
a) ___ El dominio de la función f(x)=3x es los Enteros.
3.- Dadas las siguientes funciones
Esboce su gráfico en el intervalo dado.
3.2 Analice dominio, imagen, monotonía, signo, paridad e inyectividad
Después de aplicada la propuesta se detecta un incremento gradual del desarrollo de las habilidades matemáticas de representación gráfica y análisis de propiedades. La prueba pedagógica de salida (ver anexo 3), constató los avances cualitativos de estas habilidades matemáticas y sus resultados demostraron el comportamiento de los indicadores de la variable utilizada (ver anexo 4 ). Los resultados cualitativos que se recogen se corresponden con los reales objetivos de este contenido en el programa de la asignatura para preparar a estudiantes para prueba de ingreso a la Educación Superior.
Los resultados de esta prueba de salida determinan que 8 estudiantes dominan la habilidad matemática de representación gráfica y análisis de propiedades para un 27%, 19 estudiantes tienen dificultades en tres de los indicadores para un 63% y 3 estudiantes no han desarrollado aún estas habilidades para un 10%.
La aplicación de la propuesta se considera eficiente teniendo en cuenta que aún existen dificultades en el desarrollo de estas habilidades que solo la práctica y la ejercitación controladas, diversificada y suficiente como este sistema de ejercicios puede resolver.
Autor:
Lic. Rotceh del Cueto Delgado
Profesor de Matemática.
IPVCE "Revolución Húngara de 1919".
Enviado por:
Andrés A. Arocha Gámez
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