¿Cuándo la implicación en el cálculo proposicional es verdadera? La implicación (y toda constante lógica) es una idea a la que se le puede atribuir veracidad o falsedad (o cualquier valor veritativo) según la veracidad o falsedad del juicio resultante o juicio complejo que se forma del uso de la constante en cuestión. Comúnmente, para definir esto se usan tablas de veracidad o matrices. Denotemos a "verdadero" por "v" y a "falso" por "f". Supongamos que tenemos los juicios "a" y "b", y la forma "aIb". Dentro del cálculo de la lógica bivalente, el juicio "aIb" será verdadero si:
"a" es "v" y "b" es "v",
"a" es "f" y "b" es "f",
"a" es "f" y "b" es "v",
Lo que no puede pasar es que siendo "a" verdadero, sea "b" falso. En tal caso el juicio "aIb" resultará falso también. El supuesto de que verdadero implica falso contradice el sentido de la implicación. La idea de la implicación es que del juicio "a" se infiere "b", en el sentido de "b" como verdadero por necesidad Si "b" es falso, siendo "a" verdadero; contradice el sentido de la implicación. En forma matricial esta idea puede expresarse de la tabla siguiente:
a | b | aIb |
v | v | v |
v | f | f |
f | v | v |
f | f | v |
¿Cómo pueden darse, entonces situaciones paradójicas? Se presentan con relación a algunos juicios que aparentemente tienen una implicación material y contradicen el sentido fundamental de la implicación. Por ejemplo, en el lenguaje natural decimos: "Si conectamos el interruptor, entonces la lámpara se enciende". Este juicio tiene aparentemente la forma "aIb", es decir, la de la implicación. Según la matriz de la implicación "a" puede ser "f" siendo el juicio "b" del tipo "v", y "aIb" será verdadero; pero en el juicio anterior no puede pasar que se encienda la lámpara ("b" sea "v") sin que se conecte el interruptor ("a" sea "f"). Evidentemente, si no conectamos el interruptor, la lámpara no se encenderá. Esto contradice el sentido de la implicación.
¿Realmente el juicio "si conectamos el interruptor, entonces la lámpara se enciende" se corresponde con el de la implicación material, teniendo ésta la misma forma que la implicación formal o lógica? ¿No se tratará de dos tipos distintos de constantes lógicas? Evidentemente, es necesario investigar a fondo los distintos tipos de constantes lógicas.
Supongamos que tenemos los juicios "a" y "b". ¿Cuántas relaciones por medio de constantes lógicas pueden existir entre ellos? Dos juicios con dos valores veritativos ("v" y "f") suman cuatro. El número de combinaciones será dos elevado a la cuatro, es decir, 16. Representemos en una matriz lo dicho. Sea:
a b | 01 | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
v v | v | v | v | v | f | v | v | f | f | f | v | v | f | f | f | f |
v f | v | v | v | f | v | v | f | f | v | v | f | f | v | f | f | f |
f v | v | v | f | v | v | f | f | v | v | f | v | f | f | v | f | f |
f f | v | f | v | v | v | f | v | v | f | v | f | f | f | f | v | f |
Evidentemente, no existen otras posibles combinaciones. Al mismo tiempo, cada una de estas posibles 16 combinaciones pudiera tener determinado sentido lógico. Así, por ejemplo, la columna 04 se corresponde con los valores veritativos de la implicación.
Definamos, en estos términos, el resto de las constantes más importantes conocidas. Se puede constatar que la conjunción (denotémosla por C) se corresponde con la columna 12; la disyunción no rigurosa (denotémosla por D), con la 02; la disyunción rigurosa (denotémosla por R), con la 09; la equipolencia (denotémosla por E), con la 07; etc. Construyendo por separado sus matrices de veracidad, tenemos:
a | b | aCb |
v | v | v |
v | f | f |
f | v | f |
f | f | f |
a | b | aDb |
v | v | v |
v | f | v |
f | v | v |
f | f | f |
a | b | aRb |
v | v | f |
v | f | v |
f | v | v |
f | f | f |
a | b | aEb |
v | v | v |
v | f | f |
f | v | f |
f | f | v |
¿Qué sentido lógico tienen estas 16 relaciones? ¿Se corresponderán con determinadas constantes lógicas? Supongamos que alguien nos dice: "Es necesario que arranque la locomotora, para que el tren eche a andar". Al parecer hay aquí una constante lógica. Tiene la forma "Es necesario que "a", para que "b"", donde por "a" debe tomarse "arranca la locomotora" y por "b" debe tomarse "el tren echa a andar". ¿Por qué es una constante lógica?, porque es una idea que une dos ideas o juicios de forma estable. Analicemos su matriz de veracidad. Veamos:
Si arranca la locomotora y el tren echa a andar; entonces mi juicio complejo será verdadero, pues se cumplen las premisas de la que parte la idea (verdadero y verdadero, da verdadero).
Si arranca la locomotora pero el tren no echa a andar, entonces mi juicio complejo sigue siendo verdadero. Lo que afirma es que es necesario, pero no suficiente que arranque la locomotora para que el tren eche a andar (verdadero y falso, da verdadero).
Si no arranca la locomotora ni el tren echa a andar, entonces mi juicio complejo sigue siendo verdadero. No contradice la idea que en él está instalada (falso y falso, da verdadero).
Pero si el tren echa a andar sin que arranque la locomotora, entonces es porque la forma "Es necesario que…, para que…" es falsa. Este supuesto contradice la idea de que es condición necesaria que arranque la locomotora para que el tren eche a andar. Claro que un tren puede echar a andar sin que arranque su locomotora. Esto sucede si dicho tren, por ejemplo, está en una pendiente y se le quitan los frenos. Pero este no es el caso de que hablamos. Mi juicio ("Es necesario que arranque la locomotora para que el tren eche a andar") se refiere a un tren que porta esta necesidad. Por tanto, si "a" es falso y "b" verdadero, entonces mi juicio complejo será falso (es decir, falso y verdadero da falso).
Designemos esta constante por N y construyamos su matriz de veracidad. Sea:
a | b | aNb |
v | v | v |
v | f | v |
f | v | f |
f | f | v |
Se puede ver que esta constante se corresponde con la columna 03 de la matriz de posibilidades, es decir, que no se puede confundir con la de la implicación que es la 04. Se trata de la relación de condición necesaria, pero no suficiente. Se trata de la modalidad de necesidad. Pero el lenguaje puede enmascarar este hecho. Veamos.
Al juicio "Es necesario que arranque la locomotora, para que el tren eche a andar" le podemos dar la vuelta y decir: "Para que el tren eche a andar, es necesario que arranque la locomotora". Cambiemos ahora la nomenclatura. Sustituyamos "el tren echa a andar" por "a" y "arranca la locomotora" por "b". El juicio anterior toma la forma "Para que "a", es necesario que "b"". ¿Cuándo el juicio complejo anterior es falso?, sólo cuando "b" es falso y "a" verdadero, es decir, que el tren eche a andar sin que arranque la locomotora. Construyendo la matriz de veracidad para el juicio anterior, tenemos:
a | b | aNb |
v | v | v |
v | f | f |
f | v | v |
f | f | v |
¡Pero esta matriz es la 04, es decir, la de la implicación! Por tanto, los giros idiomáticos pueden movernos de una constante a otra, de una matriz a otra. El problema estriba en que la relación de condición necesaria, pero no suficiente; puede moverse de la columna 03 a la 04 y viceversa según el orden que se les de a los factores causa y consecuencia. Convengamos en aceptar la forma 03 como la normal.
Analicemos, ahora, el juicio "Si conectamos el interruptor, entonces la lámpara se enciende". Parecería por la forma idiomática como que se trata de la implicación, pero podemos decir "Es necesario conectar el interruptor, para que la lámpara se encienda". Como puede verse, ambos juicios (los dos anteriores) encierran la misma lógica. Se trata de la condición "necesaria pero no suficiente". Incluso, podemos darle la vuelta al primero y decir "Si se enciende la lámpara, entonces es porque conectamos el interruptor". A la implicación no podemos a gusto darle la vuelta. Por tanto, se trata de dos constantes lógicas distintas: una, la implicación; la otra, la condición necesaria pero no suficiente. El hecho que la constante lógica típica de la condición "necesaria pero no suficiente" pueda dársele la forma idiomática "Si "a", entonces "b" crea las premisas para la confusión.
Dejemos a un lado el problema de la paradoja de la implicación material. Ella ha sido solo el motivo para adentrarnos en el tema de la diversidad de las constantes lógicas. Hemos encontrado que existen más constantes que las comúnmente aceptadas. Surge la cuestión por saber: ¿Cuántas constantes lógicas como mínimo pueden añadirse al conjunto anterior?
Para simplificar el asunto, definamos la negación. Convengamos en denotar la negación de un juicio, digamos "a", alternativamente por los signos "/a" ó "a". En lógica bivalente el valor veritativo de un juicio puede ser "v" o "f". En estos términos, la negación de un juicio puede ser definida como el proceso que me lleva del valor verdadero del juicio al falso y viceversa, según la matriz de veracidad siguiente:
a | a |
v | f |
f | v |
Fácil es ver que en la matriz de posibilidades hay columnas que se corresponden con negaciones de las constantes lógicas definidas anteriormente. Por ejemplo, la columna 05 se corresponde con la negación del juicio "a conjunción b", es decir, /(aCb).
Construyamos la matiz en cuestión con la añadidura de estas constantes y sus negaciones. Sea:
La matriz anterior es ilustrativa. Por ejemplo, nos muestra que la negación de la equipolencia nos trae a la disyunción rigurosa y viceversa, y nos muestra que las columnas 01 y 16 se corresponden con las tautologías y sus negaciones respectivamente. Pero nos muestra, además que faltan dos constantes lógicas:
Las columnas 06 y 08 son negaciones recíprocas una de la otra, lo que se corresponde con una constante lógica que no conocemos.
Las columnas 10 y 11 son negaciones recíprocas una de la otra, lo que se corresponde con una constante lógica que no conocemos.
Podemos añadir estas dos constantes a la matriz anterior. Denotemos la columna 10 por la matriz de una constante que llamaremos U, la cual no conocíamos aún; y la columna 06 por la matriz de una constante que llamamos A, que es la otra que no conocemos aún. Completando la matriz de posibilidades, tenemos:
¿Qué interpretación empírica, es decir, en el lenguaje natural puede tener estas constantes, es decir, la U y la A? Veamos.
Supongamos que alguien nos dice: "El revolver está cargado, por ello puede ser que se dispare" Evidentemente, aquí hay una constante lógica. Denotemos al juicio "el revolver está cargado por "a" y "se dispare" por "b". El juicio complejo toma la forma ""a", por ello puede ser que "b"" (ó "a, por ello es posible b"). Se trata de la modalidad de posibilidad. Analicemos la matriz de veracidad de esta constante:
Si es verdadero que el revolver está cargado y es verdadero que se dispara, entonces mi juicio complejo es verdadero también. Aquí no hay nada que objetar.
Si es verdadero que el revolver está cargado pero no es verdadero que se dispara, entonces mi juicio complejo sigue siendo verdadero también. Él sólo acusa la posibilidad, pero no la realidad.
Si es falso que el revolver está cargado y es supuestamente verdadero que se dispara, entonces mi juicio complejo es falso. Esta circunstancia contradice mi juicio de posibilidad. La posibilidad existe sólo en virtud de estar cargado.
Si es falso que el revolver está cargado y es falso que se dispar, entonces mi juicio complejo es falso también. No puede existir la posibilidad de que se dispare sin estar cargado.
Fácil es ver que esta es la constante A. Construyendo la matriz de veracidad para esta constante, tenemos:
a | b | aAb |
v | v | v |
v | f | v |
f | v | f |
f | f | f |
Como puede verse, la matriz de esta constante se corresponde con la columna 06 en la matriz de posibilidades.
Supongamos, por último, que alguien nos dice: "Es posible que venga a mi casa, porque quiere algo de mí". Denotemos "que venga a mi casa" por "a" y "quiere algo de mi" por "b". De este modo tenemos la forma "Es posible "a", porque "b". Parece ser que aquí hay una constante lógica. Se trata de la modalidad de posibilidad también. Analicemos:
Si viene a mi casa y quiere algo de mí, entonces mi juicio complejo es verdadero. Aquí no hay nada que objetar.
Si viene a mi casa, pero no quiere algo de mí; entonces mi juicio complejo es falso. Puede ser que venga a mi casa, pero sin querer algo de mí. Pude ser que vengador casualidad. Pero en tal caso mi juicio sigue siendo falso. El acusa la posibilidad de que venga a mi casa por querer algo de mí. Se trata de que venga a mi casa por querer algo de mí y no por casualidad.
Si no viene a mi casa pero quiere algo de mí, entonces mi juicio complejo sigue siendo verdadero. Él no ha venido, pero quiere algo de mí. Por eso la posibilidad existe. Él no ha venido a mi casa por X motivos, pero cave la posibilidad de que venga porque quiere algo de mí.
Si no viene a mi casa y no quiere algo de mí, entonces mi juicio complejo es falso. La posibilidad en estos términos no existe. Se niega en los hechos.
¿Cuál es la constante en la matriz de posibilidades que tiene esta matriz de veracidad?, la constante U de la columna 10. Construyamos la matriz de veracidad de esta constante por separa. Tenemos:
a | b | aUb |
v | v | v |
v | f | f |
f | v | v |
f | f | f |
Como puede verse, se trata de la columna 10.
Hemos tratado de interpretar (de dar sentido a) las constantes A y U en el cálculo proposicional de la lógica bivalente. No importa para el caso que esta interpretación no sea del todo correcta, lo que vale es el intento. De hecho las constantes existen, independientemente de su interpretación.
En este cálculo debiera prestársele más atención al análisis de las constantes lógicas que aparecen en los distintos giros del lenguaje natural. Se debe usar más bien el sentido de lo que se dice o escribe antes que la forma gramatical o lexical. De este modo evitamos que surjan situaciones paradójicas. El análisis concreto del giro del lenguaje natural puede mostrar cuál es la matriz de veracidad que hay en un juicio complejo de este lenguaje, es decir, en la relación que se forma por la vinculación de dos juicios simples por medio de una constante lógica. Esta forma de abordar el lenguaje natural puede inscribirse como principio del enfoque concreto del lenguaje, o ley del estatus concreto del lenguaje. Ya V. I. Lenin apuntaba que "la verdad abstracta no existe, la verdad es siempre concreta" (1).
Según la lógica modal, estos giros del lenguaje natural, como por ejemplo, "es necesario…", "es posible…", es casual…", "se prohíbe…", "está bien…", etc., son formas (conceptos u operadores) modales. La lógica modal se construye, como norma, separadamente del cálculo proposicional clásico, es decir, del cálculo de proposiciones asertóricas. La tabla anterior muestra que las formas modales pueden tener una interpretación (representación, análisis, etc.) dentro del mismo campo que el del la implicación, disyunción, conjunción, etc., es decir, del cálculo clásico.
La verdad es concreta, pero el lenguaje tiene una dimensión abstracta. Los signos del lenguaje son abstracciones. Por eso, sólo en la contextualidad puede asumirse el sentido de lo que se escribe o dice. Supongamos que alguien nos dice: "la mesa es de madera". ¿A qué mesa se refiere? Puede ser esta mesa en la que estoy ahora escribiendo. Puede ser la que se encuentra en una habitación de su casa, etc. Es el contexto el que nos da la respuesta. Lo mismo acontece con el uso de las constantes lógicas. Sólo el contexto puede darnos el sentido exacto de lo que se quiere decir. Pero cualquiera que sea la matriz de las posibilidades, será siempre una de estas 16 posibilidades, mejor dicho, una de las 14 intermedias, pues la 01 y la 16 quedan excluidas.
Supongamos ahora que construimos la misma matriz de posibilidades, pero un poco más compleja. Incorporemos los valores veritativos no sólo de "a" y "b", sino también de "a" y "b", e incorporemos las fórmulas correspondientes. Como las columnas 01 y 16 no nos interesan, las omitiremos. Coloquemos directamente los resultados. Veamos:
La matriz anterior nos permite obtener un sistema de equivalencias. Consideremos por el término "equivalencia" el fenómeno por medio del cual dos fórmulas ocupan en la matriz de posibilidades una misma columna, y denotémosla por el signo "=". Aquí es factible diferenciar la equivalencia de la equipolencia. Así, tenemos:
El sistema anterior constituye una buena generalización de las leyes de Morgan.
Supongamos que queremos conocer el conjunto de fórmulas fundamentales asociadas a todas estas constantes. Introduzcamos un axioma. Ya definíamos que "a" es la negación de "a". Supongamos axiomáticamente entonces que "/a = a" ó "a = /a". Sustituyamos, entonces, en el sistema anterior a "b" por los valores de "a" y "a" distintamente tenemos:
I.- Sustituyendo por "a":
II.- Sustituyamos por "a" y tomemos en cuenta que "/a = a":
Fácil es darse cuenta que se obtiene las misma series que cuando sustituimos por "a". Sustituyendo por "a", tenemos que: En tal caso la 02 se convierte en la 03, y la 03 en la 02. La 04 se convierte en la 05, y la 05 en la 04. La 12 se convierte en la 13, y la 13 en la 12. La 14 se convierte en la 15, y la 15 en la 14. La 07 se convierte en la 09, y la 09 en la 07. La 06 sigue siendo la 06. La 08 sigue siendo la 08. Y la 10 se convierten la 11, y la 11 en la 10. Por tanto, vasta con el sistema de series I.02-I.15.
Consideremos, entonces, solamente el sistema I.02-I.15.
Fácil es darse cuenta que en el sistema I.02-I.15 hay dos tipos de fórmulas: las que son compatibles con las leyes de la lógica clásica bivalente y las que no lo son. Agrupémoslas por el empleo que se hace en cada una de ellas de cada constante lógica. Veamos:
Del sistema de series anteriores, son leyes de la lógica (tautologías) el subconjunto:
Este se puede demostrar acudiendo a las matrices donde se verifican las fórmulas.
Es curioso que en las series
No hay ninguna fórmula que sea tautología.
El sistema de series III.O1-III.06 recoge la expresión formal de las leyes fundamentales de la lógica bivalente. Notemos que el sistema de series II recoge la totalidad de fórmulas fundamentales de esta rama de la lógica, pues no existiendo otras posibilidades. Por ello, el sistema III agota el conjunto de estas leyes.
Comúnmente, las fórmulas III.02 y III.06 se identifican con la ley de la identidad; las fórmulas III.01 y III.05, con la ley del tercero excluido; y las fórmulas III.03, con la ley de la no contradicción. En este espíritu, las fórmulas III.04 se deberán corresponder con una ley fundamental de la lógica (desconocida hasta ahora). Al mismo tiempo, pudiera considerarse que cada serie en el sistema III es una ley en sí, con lo que tenemos 6 leyes fundamentales.
Tratemos de encontrar el máximo racional posible de constantes lógicas que puede existir en el marco de la bivalencia. Ya no se trata de las ocho que como mínimo podemos encontrar, sino del máximo racional posible. Supongamos que cada columna de la matriz de posibilidades, con excepción de la 01 y la 16, se corresponde con una y sólo una constante. Denotemos estas nuevas constantes de la forma siguiente: la 05 por H; la 08 por K; la 11 por M; la 13 por B; la 14 por F; y la 15 por G. Llevando los resultados a la tabla de posibilidades, tenemos:
En otras palabras, son como máximo racional posibles las constantes D, N, I, H, A, E, K, R, U, M, C, B, F y G, es decir, catorce. Este resultado era de esperar: son 14 las columnas de la matriz, lo que se corresponde cada una con una constante en particular. Lo que se añade aquí son sus negaciones, es decir, la relación con otras variables. Se omiten las fórmulas más complejas.
Por tanto, en los marcos de la bivalencia, estas son sí y sólo sí las relaciones posibles. Este es un hecho objetivo. Por supuesto, fuera del marco de la bivalencia la lógica es otra. Pero también será objetiva. Veamos:
Supongamos que nos trasladamos al campo de la lógica polivalente, en particular al sistema de la lógica trivalente. Sabemos que: "Toda hipótesis polivalente incluye;
La formulación de un conjunto de valores veritativos sobre el cual se definen toman valores las fórmulas proposicionales del lenguaje lógico en cuestión. Conjunto de cardinal mayor o igual que dos.
El que se admita que una misma fórmula no puede tomar al mismo tiempo dos valores veritativos diferentes. Esta segunda cuestión no siempre se hace explícita, en tanto que la misma queda implícita en la misma forma de definir las fórmulas proposicionales" (2).
Por eso, en tal caso, tres serán los valores veritativos de las proposiciones. La designación de estos valores: el que sea 1, ½ y 0; ó 1, 2 y 3; etc. No es significativo. Nosotros los designaremos por "verdadero" (v), "falso" (f) e "indeterminado" (i). Lo sustancial es que son tres los valores veritativos de las proposiciones. La interpretación gnoseológica de los valores "v", "i" e "f" puede sustentarse en la crítica que de la ley de la exclusión del tercero se hace desde los tiempos aristotélicos y epicúreos. Supongamos que existen juicios que su valor veritativo es objetivamente indeterminado, que no son objetivamente ni verdaderos ni falsos. Por ello, tenemos estos tres valores. Lo que hay que recalcar es que esta indeterminación tiene que ser objetiva
Lo primero que hay que definir es la operación de negación del juicio o proposiciñon "a". Ya aquí hay que proceder con objetividad. Ser objetivo significa, en primer lugar, agotar las posibilidades. Una de las lógicas trivalentes que con mayor grado de generalidad abordó el asunto fue la de Hans Reichenbach. El construyó su lógica trivalente para aplicarla a la mecánica cuántica. Pero la mayoría de las operaciones de este sistema ya fueron introducidas por Post, aunque Reichenbach le agregó algunas nuevas. Él introdujo tres negaciones: La cíclica, la diametral y la completa. Por eso es que tiene cierto grado de generalidad. Pero: ¿Cuántas negaciones pueden existir por posibilidades? Construyamos la matriz de posibilidades para la negación. Como 3 son los valores de "a", la cantidad de combinaciones son tres elevado a la tres, es decir, 27. Sea:
La matriz anterior recoge todas las posibles combinaciones de los valores "v", "i" e "f" para la negación de la proposición "a". Según Guétmanova, "pese a las diferencias de las formas de la negación en lógica polivalente, en todas las negaciones se impone una limitación única que refleja la regularidad de la negación bivalente: La negación de la verdad no puede dar verdad y la negación de la falsedad no puede dar falsedad, pues de lo contrario desaparece la diferencia entre la falsedad y la verdad… La afirmación sobre la oposición de un juicio no verdadero al verdadero, de no falso al falso caracteriza la operación definidas por tablas en las lógicas tanto bivalente como polivalente…Las propiedades comunes señaladas permiten unir numerosas variedades de negación en un solo concepto… La negación en la lógica formal (si se quiere examinar su papel funcional común) es una operación lógica que opone al juicio verdadero otro no verdadero, al juicio falso otro juicio no falso" (3). Si tomamos en cuenta este criterio, en la matriz anterior quedan las siguientes negaciones:
Así, por ejemplo, en Hans la 04 es la negación completa, la 09 es la negación cíclica y la 11 es la negación diametral. Otro ejemplo es 02, que se corresponde con la negación de Heyting. También, por poner otro ejemplo, tenemos la 11, que se corresponde con la negación de Lukasiewicz. ¿Qué derecho hay para considerar unas y no otras, si todas son posibles? Para ser objetivos, hay que admitir estas 12 (sí y sólo sí) posibles negaciones.
Simplifiquemos la matriz anterior. Supongamos que definimos la posibilidad de que un juicio o proposición tome los valores veritativos "f" o "i" por la variable "y"; los valores veritativos "v", "i" o "f", por "x"; y los valores "v" o "i", por "z". Con esta sustitución, la matriz anterior toma lo forma:
a | /a |
v | y |
i | x |
f | z |
Notemos algo. El criterio que formula más arriba Guétmanova no nos satisface del todo. La negación debe considerarse también en relación a los juicios indeterminados. La negación de un juicio indeterminado nos da un juicio no indeterminado, es decir, determinado. Y el valor veritativo "determinado" es "v" ó "f". Por tanto, la negación de un juicio con valor "i", deberá arrojar un juicio con valor "v" ó "f". De este modo, en la matriz de posibilidades de la negación anterior habría que excluir las columnas 06, 07, 11 y 12. Nótese que en tal caso se excluye la de Lukasiewicz. Tomando este criterio, y designando la alternativa "v" ó "f" por "j; la negación puede ser definida en la matriz:
a | /a |
v | y |
i | j |
f | z |
Este criterio es más exacto. Pero por cuanto contradice definiciones anteriores, nos quedaremos con el punto de vista de Guétmanova, que es también el de Lukasiewicz.
Trasladémonos, ahora, al problema de la definición de las constantes lógicas para el caso de la trivalencia. ¿De qué forma podemos definir estas constantes de manera que se agote todas las posibilidades, es decir, de forma tal que todas las lógicas trivalentes construidas resulte un caso particular de esta lógica trivalente general? Por ejemplo, en lógica trivalente hay muchos tipos de implicación: La de Post, la de Lukasiewicz, la de Heyting, las de Reichenbach (que son más de una), etc. ¿Cómo construir una lógica trivalente que contenga todas estas lógicas? ¿Qué debe conservarse en relación a las constantes en toda generalización de la lógica bivalente? En general, ¿qué debe conservarse en toda generalización de un sistema lógico por otro?
Este es un problema interesantísimo. Fue Nikolái Vasíliev (1880- 1940), filósofo y médico ruso, uno de los primeros en plantearlo (aunque no lo planteara en forma del todo correcta). Vasíliev promovió la idea de la pluralidad de las lógicas, por analogía con la pluralidad de los sistemas geométricos. Él afirmaba: "Nos habituamos a la idea de una sola lógica, igual para todos, hasta el punto de no poder imaginar algo contrario…" (4). Según él, la lógica se compone de un núcleo constante y absolutamente necesario de leyes que denomina metamatemática y de un conjunto cambiantes de leyes lógicas dependientes de las cosas materiales que se conocen. Para hacer esta delimitación revisó los postulados lógicos existentes. Por ejemplo, encontró que "un mismo juicio no puede ser simultáneamente verdadero y falso; si renunciamos a esta ley, la lógica se hace imposible porque no somas capaces de distinguir la verdad de la falsedad" (5). Denominó esta conclusión ley de la autocontradicción y la catalogó en la metalógica, es decir, entre las leyes obligatorias para todo ser pensante, las cuales no pueden ser quitadas de la lógica sin que deje de ser lógica. Como puede verse, Nikolái plantea el problema de la conservación.
La ciencia moderna tiene muchos ejemplos de generalización de una teoría por otra en los términos de la conservación. La física no clásica, por ejemplo, la relativista, conserva como un caso particular la mecánica clásica (newtoniana). La geometría no euclidiana contiene como caso particular la geometría euclidiana. La generalización de una teoría tiene sentido si se realiza sobre la base de cierta conservación. ¿Qué sentido tiene generalizar el concepto de número, si el nuevo concepto de número no admite el cálculo clásico? La aritmética con los números complejos conserva las leyes del cálculo con los números reales. Las operaciones con los números complejos son generalizaciones de las mismas operaciones conocidas con los números reales.
Supongamos que asumimos este principio: el de conservación. ¿En los términos de la lógica formal, en qué consistirá? Supongamos que introducimos la hipótesis: Las constantes lógicas, para cualquier cantidad de valores veritativos deberán conservar su esencia de veracidad, es decir, las relaciones en las cuales toman el valor veritativo "verdadero" deberá conservarse. En otras palabras, las constantes lógicas deberán conservarse, para cualquier forma de la constante el valor "verdadero". Aquí debemos asumir las 14 constantes destacadas anteriormente, es decir, D, N, I, H, A, E, K, R, U, M, C, B, F y G, pues de lo contrario se complican las cosas. Para que se entienda mejor lo dicho, expresemos este enunciado por medio de una matriz. Utilicemos la forma de la matriz empleada por Reichenbach.
En esta matriz, construida para los valores veritativos "v", "i" e "f" de "a" y "b" las constantes lógicas, que como máximo racional existen en la lógica bivalente clásica, conservan en la lógica trivalente su valor "v".
El problema estriba en que la verdad es única (no así necesariamente la falsedad). De este modo, en relación a las constantes lógicas, lo que es verdad en la lógica bivalente deberá de ser verdad en la lógica trivalente. El pensamiento humano no puede renunciar al principio de la unicidad de la verdad, pues entonces no hay forma de distinguir entre la verdad y la no verdad, es decir, la falsedad o la incertidumbre. Hoy día se ha puesto de moda la idea de que la verdad es múltiple, diversa. Esta idea contradice la ciencia de la lógica formal.
Supongamos, entonces, que queremos completar la matriz anterior, es decir, llenar las casillas vacantes. ¿Cómo comportarnos en relación a los cuadrantes (casillas) donde en la lógica bivalente los valores veritativos son "f"? Debemos extender el principio de conservación hacia estas nuevas relaciones. Supongamos que introducimos la hipótesis: Los valores veritativos que toma la lógica trivalente en los lugares donde la lógica bivalente toma "f" es ahora "y", es decir, "f" o "i".
El problema estriba en que por "f" debemos asumir, ahora, el concepto de no- veracidad. La no-veracidad es parte de la veracidad, es su continuación. Hay que conservar, también, la no- veracidad. Coloquemos, para que se entienda mejor, estos valores en una nueva matriz que contiene la anterior.
Esta es la matiz de veracidad y no veracidad de la lógica trivalente. Ya no hay nada más que conservar. Si ahora a la matriz anterior le añadimos los valores "x", tal y como la definimos anteriormente (es decir, "x" por "v", "i" o "f"), tenemos:
Esta matriz es la matriz general de las constantes lógicas, que como mínimo existen en la lógica trivalente general. Quizá se pudiera demostrar que, con sentido lógico no existe otra combinación cualquiera para cualquier lógica trivalente.
Por ejemplo, la columna 04, que se corresponde con la implicación, se puede degradar en algunas de las implicación conocidas. Sea que:
La implicación de Post es la I de la matriz anterior, la II es la de Lakasiewicz, la de Heiting es la III y las de Reichenbach son la IV y la V (la normal y la alternativa respectivamente), etc.
Notemos que Reichenvach define una constante, que él le llama "casi implicación" (denotémosla por L) de la forma siguiente:
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