Lógica matemática y álgebra de Boole

1. Planteamiento teórico-conceptual
2. Álgebra de Boole
4. Proposiciones compuestas y conectivos lógicos
5. Conectivos lógicos y tabla de verdad
6. Traduciendo del lenguaje natural al lenguaje simbólico
7. Tablas de verdad para proposiciones complejas
8. Laboratorio
9. Bibliografía

1- PLANTEAMIENTO TEÓRICO-CONCEPTUAL:

Según el escritor panameño Moisés Chong, en su obra Lecciones de Lógica e Introducción al Método Científico el concepto de la Lógica se entiende "como una ciencia formal y, de manera más exacta como una disciplina desligada por completo de todo posible contenido o materia. Pero la lógica estudia, también, las estructuras del pensamiento, con lo cual queda entendido que no se ocupa del estudio acerca de qué es el pensamiento sino cómo es, qué formas o estructuras tiene éste. Y como ciencia formal, la Lógica estudia aquello a lo que el conjunto de las ciencias particulares reconoce pero sin estudiarlo, a saber el pensamiento"

Continua Moisés Chong en su obra diciendo "que la Lógica puede ser entendida, también, como aquella ciencia que se ocupa de la determinación y descripción de las formas generales del raciocinio empleado, siempre y cuando se razone atendiendo a los principios legítimos del pensamiento. Aquí hay que tomar en cuenta que las leyes del pensamiento son leyes de orden natural en las cuales no le es posible al hombre intervenir. Este hecho indica el carácter objetivo de las leyes lógicas, las cuales representan las conexiones internas y necesarias y en las que se produce el cambio de los procesos y de las propiedades del pensamiento lógico. Así por ejemplo, dos cosas iguales a una tercera, son iguales entre sí; si se trata de un hecho, de una verdad de carácter objetivo, evidente, natural y simple; y en términos normales todo el mundo admite este principio tan pronto como llega a comprender el significado real que encierra"

Concluye diciendo el citado autor que: "sin embargo, la Lógica tiene un campo de aplicación en la vida diaria. de hecho, las distintas operaciones lógicas son practicadas por el hombre sin que sea indispensable el conocimiento riguroso, exacto de los principios involucrados allí. Por lo que llegamos a esta otra verdad; el hombre aprende a razonar, no en los tratados o textos de la lógica, sino en las distintas ciencias especiales que se sirven de la lógica. Y así ocurre que la Lógica no enseña a razonar, de la misma manera como la fisiología no nos enseña ni el conocimiento; ni el conocimiento de la física a ser buenos corredores. De hecho, la Lógica se aprende en la vida común y corriente, sucediendo con ella algo semejante a lo que ocurre con la gramática, la cual no nos enseña a hablar, pero si nos enseña las reglas para ser más correctos, precisos y exactos en la expresión escrita y hablada. "La Lógica, en su orden de ideas, tiene la cualidad de vigorizar nuestras facultades mentales (Grau)"

• ¿POR QUÉ ESTUDIAR LÓGICA MATEMÁTICA?

Aprender estadística o estudiar economía "es muy difícil": así se expresan la mayoría de los estudiantes de todos los niveles, sin embargo pocas veces se busca una explicación del porqué no aprenden a entender lo que ocurre en el mundo circundante los alumnos o los políticos y gobernantes. Simplemente no entienden lo que pasa en la sociedad porque no saben relacionar los conocimientos que se le proporcionan en las escuelas (leyes, teoremas, formulas) con los problemas que se le presentan en la vida real.

Otro problema grave es que el aprendizaje recibido en un sistema educativo deficiente, tal como el nuestro no es significativo, por tal razón para poder iniciar un curso de teorías de las probabilidades es necesario primero presentar los fundamentos básicos de la lógica matemática, y lograr así que los estudiantes sean capaces de encontrar estos razonamiento entre los diferentes esquemas de aprendizaje, para que de esta manera tenga una buena estructura cognitiva y entender así ¿el porqué ocurren las cosas? Al encontrar una explicación lógica al orden de los fenómenos y relacionar la realidad con las leyes sociales y naturales.

La Lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La Lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, estadística y economía. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo, que se realiza tiene un procedimiento lógica, por ejemplo; para ir de compra al supermercado, se debe tener una necesidad de alguna mercancía, tener dinero para comprar y posibilidades de desplazarse del hogar al supermercado.

La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.

La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad. 

El objetivo de la lógica matemática es cuestionar con el mayor rigor los conceptos y las reglas de deducción utilizados en matemáticas, constituyendo la lógica por ello una verdadera matemática. Una teoría matemática considera objetos definidos (enteros, por ejemplo) y define leyes que relacionan a estos objetos entre sí (los axiomas de la teoría). De los axiomas se deducen nuevas proposiciones (los teoremas), y a veces, nuevos objetos. La construcción de3 sistemas formales (formalización), piedra angular de la lógica matemática, permite eliminar la arbitrariedad en la elección de los axiomas y definir explicita y exhaustivamente las reglas de la deducción matemática.

ÁLGEBRA DE BOOLE

George Boole (1815-1864), hace más de 100 años logro traducir, utilizando un procedimiento formal, la lógica de los términos a una teoría de ecuaciones, por lo cual es conocido como el Padre de la Lógica Moderna. Afirma Moisés Chong en su citada obra que "el aporte de la obra de Boole, conocido como Algebra Booleana, consiste en un vasto movimiento de formalización del lenguaje lógico y, por consiguiente, el intento de que la validez de toda aseveración esté en función matemática, dando lugar a la lógica simbólica, que ha venido a servir como procedimiento fructífero en el campo de la investigación y la demostración científica. El simbolismo lógico se ha llegado a convertir en una especie de culminación, formalizadora, permitiendo, así, que la lógica sea tratada como un calculo, pudiéndose de este modo analizar sus posibilidades, formas, etc, con la misma objetividad y precisión, orden y claridad que hasta hace mucho parecían patrimonio del matemático."

De esta conclusión, puede afirmarse entonces, que el aporte de Boole. contribuyó a simplificar el lenguaje corriente natural de los pueblos (español, inglés, ruso, etc), a quedarse tan sólo con el esqueleto lógico de una o varias expresiones dadas, sin que haya lugar a la menor suposición psicológica, y eliminando así todo contenido anímico que pudiera deformar las expresiones en su contenido conceptual. Desde este punto de vista, la lógica simbólica busca la superación de todos los defectos tradicionales del lenguaje. A su vez, se desinteresa del requisito de la verdad de lo que se afirma, en el sentido de que no se preocupa de decirle a uno qué afirmaciones son verdaderas, sino que simplemente propone darnos criterios que garanticen hasta donde sea posible, la verdad de determinadas proposiciones si algunas otras lo son, llegando así a establecer reglas generales, las cuales no se ocupan de una determinada demostración, sino que se refiere a conjuntos enteros sin interesarse por el contenido fáctico de si, por ejemplo, es verdad que "los cuadrúpedos son animales" o si "Euclides fue un gran matemático"

Dentro de estas orientaciones, existen términos que no poseen significado propio, signo que desempeñan una determinada función y que establecen siempre conexiones o bien, precisión al ámbito a que se refieren a otros términos de una proposición. Se trata de los conectores o conectivas tales como "algunos", "y", "o", "no", "pero", "si,…entonces", etc. Ahora bien dentro de una proposición dada sucede que ciertos nombres, categorématicos en este caso, podemos reemplazarlos por "variables", esto es, por letras y que dan lugar a expresiones que no designan o señalan nada determinado y que pueden volver a indicar algo cuando sus variables son reemplazadas de nuevo por nombres.

Afirma el filosofo panameño Moisés Chong en su obra ya citada anteriormente lo siguiente: "igualmente sabemos que la introducción de símbolos constantes y bien determinados en lugar de expresiones sincategoremáticas como "y", "no", "o", etc., no modifica sustancialmente del procedimiento formal pero, en cambio, nos lleva a prescindir aún más de los contenidos. Cuando se introducen, como veremos más adelante, símbolos, se ofrecen ventajas básicas que nos convencen más todavía de la importancia y valor de su uso. Sin embargo, no hay que confundir formalismo y simbolismo, puesto que es posible, y en efecto así lo es, que un sistema formal no sea simbólico, de la misma manera que podemos tener entre nosotros una escritura puramente simbólica que no represente o implique necesariamente una formalización. Lo que si es cierto es que el simbolismo aparece como resultado de todo el milenario esfuerzo de la llamada lógica formal.0."

A partir de estas concepciones teóricas la lógica simbólica o algebra booleana permitió traducir las expresiones en lenguaje natural a símbolos matemáticos y estableció así las bases para el posterior desarrollo de la informática y las computadoras.