Lógica matemática y álgebra de Boole (página 2)

PROPOSICIONES SIMPLES Y SENTIDO COMÚN.

Una proposición es una aserción o enunciado expresado en lenguaje natural escrito o hablado, mediante una expresión declarativa; que puede ser cierta o falsa, pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática..

La proposición puede ser simple o compuesta y se denotan generalmente por las ultimas letras del alfabeto (p, q, r, s,…,z)

Una proposición es simple, cuando no puede parirse en partes constitutivas que sean a su vez proposiciones. Como ejemplos de proposiciones simples podemos señalar, las siguientes:

• Esta lloviendo
• Cometí una equivocación al matricular este curso

Las proposiciones simples deben ser enunciados simples del español, pero debemos recordar que el español usual es un lenguaje informal, o sea que es un lenguaje cuya gramática está sujeta a modificación de estilo y la manera en la cual una verdad puede ser expresada correctamente en algo que depende en mucho de la opinión de cada quien. Debe tenerse cuidado de emplear ambigüedades de las que surgen en la conversación ordinaria y cuidarse del lenguaje ambiguo que se usa deliberadamente en los discursos políticos.

Para ilustrar la necesidad de definiciones cuidadosas, consideraremos la proposición "las ventas están bajas". Antes de que podamos determinar si esta proposición es verdadera o falsa, debemos precisar el significado de "baja"., definiendo que "baja" significa por ejemplo "menos del promedio diario". Sino tenemos definiciones precisas para todas nuestras palabras y frases, entonces tendremos sólo un lenguaje informal que puede dar lugar a ambigüedades. De ahora en adelante supondremos que todos los enunciados considerados son proposiciones y tomaremos en cuenta su contenido para determinar su validez, antes de poder determinar si son falsas o verdaderas. Por ejemplo, sea:

• p= la tierra es plana
• q= -17+38= 21
• r= x ≥ y-9
• s= Herrera será campeón de béisbol en el presente campeonato.
• t= Hola ¿cómo estás?
• w= pásame el libro por favor

Obsérvese, que las proposiciones p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones válidas. La proposición r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor signado a las variables x y y en determinado momento. La proposición s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falso o verdadera se tendría que esperar a que termine el presente campeonato. Sin embargo las proposiciones t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un criterio de verdad (falso o verdadero), el primero, t, es un saludo y el otro, w, es una orden o solicitud.

PROPOSICIONES COMPUESTAS Y CONECTIVOS LÓGICOS.

Una proposición es compuesta si se puede partir en partes constitutivas que son a su vez proposiciones simples y están unidas por conectivos lógicos.

Comenzamos por hacer abstracciones de ciertas propiedades del lenguaje informal. En particular hacemos abstracción de las propiedades lógicas de las conectivas con las cuales combinamos proposiciones simples para formar proposiciones compuestas. Tenemos que hacer reglas precisas sobre el modo como estas conectivas combinan proposiciones y, para construir un álgebra necesitamos tener una manera simbólica de representar las proposiciones simples y también las conectivas.

No debemos olvidar que dentro de la esfera de la lógica tradicional, calcada sobre un gramaticismo un tanto confuso y discutible, el lenguaje corriente presenta ambigüedades. Por eso, en la lógica moderna se trata de simplificar y de purificar el lenguaje lógico de todo elemento que se preste a confusiones y de que, por la tanto, de lugar a malentendidos. Veamos por ejemplo, como ejemplo, lo siguiente:

Si quisiéramos expresar en términos de lógica simbólica la siguiente expresión

• Lenguaje natural: "Pancho es un artista de cine y María se enojó"
• Se traduciría en lenguaje simbólico en "p ^ q", en donde:

p = Pancho es un artista de cine

q = María se enojo

^ = conjunción conectiva "y"

Por lo pronto vamos a considerar las siguientes conectivas (conectores lógicos), signos de importancia para el manejo de las traducciones al simbolismo lógico, así como para la determinación de verdad o falsedad de las proposiciones. El término "conectivas" se refiere a ciertas conjunciones lógicas que gobiernan las distintas fórmulas lógicas. Recordemos lo siguiente, según Moisés Chong: "llamamos proposiciones coligativas a aquellas proposiciones compuestas, es decir, son proposiciones que consisten en la unión de dos o más proposiciones", Y así, como se vio en el ejemplo anterior, la unión de las proposiciones componentes se efectúa mediante las conjunciones. La característica fundamental de toda proposición coligativa es que su verdad depende de la verdad de las proposiciones coligadas. He aquí las conectivas más corrientes:

1. La negación
2. La conjunción
3. La disyunción inclusiva
4. La disyunción exclusiva
5. La condicional
6. La bicondicional

CONECTIVOS LÓGICOS Y TABLA DE VERDAD.

A partir de los conectores u operadores lógicos, listado anteriormente, es posible formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones simples y conectadas entre sí por los conectores lógicos), sin embargo los criterios de verdad resultantes de los operadores lógicos están regidos por determinadas reglas de la lógica booleana que señalaremos a en forma posterior.

Pero para ser más preciso es necesario tener en cuenta que las proposiciones simples están determinadas por condiciones dialécticas de tiempo y espacio. Por ejemplo si se señala "llueve y no tengo paraguas", al construir la tabla de verdad es necesario resolver ¿en dónde? y ¿cuándo? La afirmación "llueve" se entiende en que es en ese momento y ese lugar y con una simple mirada al cielo sabemos si es cierto o falso. Hechas estas observaciones pasamos a revisar las reglas específicas que rigen a cada conector lógico.

• LA NEGACIÓN

La negación se simboliza, generalmente por el signo "~". Este signo puede ser traducido en palabras, así: "no es el caso que" o, más brevemente, "no".

A partir de la teoría de conjuntos, establecimos si un elemento pertenece o no a un conjunto y se señaló que si no es elemento del conjunto, entonces es elemento del conjunto complemento. Por tanto la negación se refiere al conjunto complemento.

Se establece el siguiente principio para la negación lógica: la negación de un enunciado verdadero es falsa; la negación de un enunciado falso es verdadero. Lo que equivale a decir que la negación de la negación de una proposición verdadera es verdadera; y la negación de la negación de una proposición falsa es falsa. Además la conectiva no es la única de tipo singular del listado de conectores lógicos señalado anteriormente.

• LA CONJUNCIÓN.

La conjunción es el operador correspondiente al término "y", siendo su símbolo más corriente el siguiente, "^", se le conoce como la multiplicación lógica. Expresado en el lenguaje matemático, la conjunción está regida por la ley asociativa , "(pq)r" equivale a decir "pqr". Pero también es de carácter conmutativo: "pq" y "qp" son irrelevantes en su orden.

La regla para establecer los criterios de verdad de la conectiva lógica conjunción es la siguiente:

• Una conjunción de enunciados en los cuales todos son verdaderos, es verdadera
• Una conjunción de enunciados en donde no todos son verdaderos es falsa.

• Lo que equivale a decir que basta que uno de sus componentes sea falsa para que toda la proposición sea falsa y sólo será verdadera en el caso de que ambos componentes lo sean.

La expresado anteriormente se resumen simbólicamente de la siguiente manera:

Ejemplo:

Sea el siguiente enunciado "el auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente en la batería"

Sean:

p= tiene gasolina el tanque

q = tiene corriente la batería

r = el auto enciende = p ^ q

La conclusión resultante es que para que el auto encienda se debe tener gasolina en el tanque y corriente en la batería, sino se tiene una de estas dos condiciones el auto no arrancará.

• LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA

La disyunción inclusiva, llamada también, alternación, expresada ordinariamente mediante la palabra "o", simbólicamente se le representa por medio de la letra "v", colocada entre dos proposiciones. Sin embargo, la "o" en este caso no tiene carácter de encrucijada o de dilema, y se puede interpretar como " o uno u otro o ambos". Por ciertas analogías con el álgebra se le llama también suma lógica. La alternación posee, igualmente, la propiedad asociativa que consiste en la no importancia de la agrupación en relación con la verdad o la falsedad de una proposición dada. También es afectada por la ley conmutativa de que el orden de las alternativas no afecta a la alternación.

La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:

• Una disyunción inclusiva es verdadera cuando por lo menos una de sus alternativas es verdadera; solamente será falsa si las dos lo son.

La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue:

Ejemplo:

Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra boleto u obtiene un pase"

Sean:

p= compra boleto

q = obtiene un pase

r = una persona entra al cine = p v q

La conclusión resultante es obvia, puesto que para entrar al cine es necesario tener por lo menos una de las dos condiciones: comprar un boleto o tener un pase, si se tiene ambas también se puede entrar, si no tengo ninguna de las dos alternativas entonces no se puede entrar al cine.

• LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

La disyunción exclusiva se simboliza pro el signo "v", corresponde a la expresión " o uno u otro, pero no ambos a la vez". Una de las propiedades de esta conectiva es la de ser conmutativa y la de poseer el carácter asociativo. Se puede mostrar la equivalencia de los esquemas proposicionales así como establecer que es inesencial la agrupación por la cual optemos. Ejemplos de expresiones afines a esta conectiva son " a menos que…" o "salvo que…"

La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:

• Una disyunción exclusiva es verdadera cuando una de sus alternativas es verdadera; y será falsa si las dos alternativas son falsas o verdaderas.

La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue:

• LA CONDICIONAL

La condicional, expresada por la frase "si,… entonces", se simboliza mediante el signo "→" colocado entre las dos proposiciones.. La primera proposición lleva el nombre de antecedente y la segunda proposición la de consecuente. Algunos lógicos la denominan "proposición hipotética" o "proposición implicativa". La importancia de esta clase de proposiciones es la de que la utiliza frecuentemente en el lenguaje de las ciencias, particularmente en la ciencia de la física y en la matemática. El condicional, según veremos, es una conectiva para la cual importa el orden de las cláusulas, esto es, se trata de un conector no conmutativo. En este caso el antecedente es una condición suficiente respecto del consecuente y el consecuente es una condición necesaria respecto del antecedente.

La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:

• La condicional será falsa sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los demás caso será verdadera.

La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue:

Ejemplo:

Si se tiene lo proposición "Si un cuerpo se calienta, entonces se dilata", se observa que estamos diciendo es que la primera proposición "si el cuerpo se calienta" implica a la segunda proposición " entonces se dilata", pero no se afirma que el antecedente es verdadero, ni el consecuente es verdadero, puede ser que el cuerpo no se calentó y el cuerpo se dilato por causa de otros factores ajenos a la temperatura, un golpe

• LA BICONDICIONAL

La bicondicional, expresada por la frase "si y solo sí…", denotada por el signo"↔", significa una relación bidireccional en donde ambas proposiciones se necesitan entre sí.

La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:

• La conectiva bicondicional será verdadera solamente si y solo si las dos sentencias que la componen son a la vez verdaderas o si son ambas falsas.

La expresado anteriormente se resumen simbólicamente de la siguiente manera:

TRADUCIENDO DEL LENGUAJE NATURAL AL LENGUAJE SIMBÓLICO

El analista económico para entender el mundo circundante (la sociedad y sus relaciones económicas) debe ser capaz de hacer abstracciones para encontrar las partes esenciales y sus relaciones a fin de poder tener indicios del porque del comportamiento.

A continuación le presentaremos algunos ejemplos de traduccciónlógica:

Ejemplo #1:

Se tiene la siguiente proposición compuesta:"Hoy es domingo y tengo que estudiar estadística o no aprobare el curso"

Al separar la proposición en sus partes esenciales se tiene lo siguiente:

Sea p= Hoy es domingo

q= tengo que estudiar estadística

r= aprobare el curso,

~r = no aprobare el curso

Lo que en lenguaje simbólico equivale a

p ^ q v ~r

Ejemplo #2:

Se tiene la siguiente frase: "Si no pago la luz, entonces me cortaran la corriente eléctrica. Y si pago la luz, entonces me quedare sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si y solo si soy desorganizado"

Donde:

• p = pago la luz
• q = me contarán la corriente eléctrica
• r = me quedare sin dinero
• s = pediré prestado
• t = pagar la deuda
• w = soy desorganizado

Lo que en lenguaje simbólico equivale a:

(~p → q) ^ [ p → (r ^ s)] ↔ t

TABLAS DE VERDAD PARA PROPOSICIONES COMPLEJAS

Se tiene el siguiente enunciado lógico (p v ~q) ^ r, encuentre su tabla de verdad:

Obsérvese que en este caso aparecen involucrados en la proposición compleja tres proposiciones simples, p, q, y r. Para poder determinar la cantidad de criterios de verdad a considerar al construir la tabla, se aplica la siguiente fórmula:

No. de líneas = 2n, donde n= número de variables distintas.

Ejemplos:

1. p

   V

   F

2. Se tiene una sola variable p, entonces n=1 y 21=2, luego:

   p	q
   V	V
   V	F
   F	V
   F	F

3. Se tienen dos variables p y q, entonces n=2 y 22=4, luego:
4. 3- Se tienen tres variables p, q y r, entonces n=3 y 23=8, luego:

En el caso en consideración tenemos tres variable (p,q,r) y aplican las reglas algebraicas de solución de los paréntesis (de adentro hacia afuera) por tanto se resuelve de la siguiente manera

Pasos utilizados al construir la tabla de verdad resultante:

1. Se anotaron los criterio de verdad elementales de cada variable
2. Se resolvió la negación de q (~q).
3. Se resolvió el paréntesis ( p v ~q)
4. Se resolvió la conectiva final "y" (^)

Nota: obsérvese que la tabla final resultante esta en negritas en la columna denotada abajo 4.

LABORATORIO

(Resolver y entregar en grupos de tres estudiantes, equivalen a nota de un parcial)

Problema #1:

Anote las siguientes expresiones expresadas en lenguaje natural en notación simbólica.

• Si usted invierte en el mercado de valores, se hará rico y entonces será feliz
• Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso
• Los precios de los artículos de primera necesidad están altos y encareciéndose
• Pasare este curso, si y solo si, estudio y me esfuerzo al máximo
• .Si asisto a clases, todos los días entonces aprobare y no fracasare en la vida.

Problema #2:

Se tienen las siguientes proposiciones:

p = los precios de los artículos de primera necesidad están altos

q = están encareciéndose

r = sobreviviré

Traduzca al lenguaje natural las siguientes expresiones lógicas.

• p ^ q
• ~p → r
• p ^ ~q
• ~p v ~q
• (~p ^ ~q) ↔ r

Problema #3:

Encuentre la tabla de verdad de las siguientes expresiones lógicas

• p → (q v r)

• (p v r) ^ (p → q)

• (p v q) ↔ (q v p)

• p ^ ~p

• (p → p) v (p → ~p)

• ( p ^ ~q) ^ r

• [p → (q → r)] → [(p → q) → (p → r)]

BIBLIOGRAFÍA

Chong, Moisés Lecciones de Lógica e Introducción al Método Científico.

The Open University LÓGICA I- ALGEBRA DE BOOLE

Curso básico de matemáticas. Unidad II

McGraw-Hill. 1971

Jiménez Murillo Lógica Matemática. Ilustrados.com

José Alfredo y otra autora.

Autor:

Francisco Antonio Cabrera González

Datos del Autor:

Graduado en mayo de 1980 de Economista-Organizador de la Producción Agrícola y Master en Ciencias Económicas en la Academia Agrícola K. A. Timiriazev de Moscú –Rusia.

Profesor de la Universidad de Panamá desde 1981. Ha ejercido la docencia universitaria en los Centros Regionales de Azuero (Chitré), Los Santos, Veraguas, Coclé y San Miguelito. Catedrático (Profesor Regular) desde 1991 del Departamento de Estadística Económica y Social de la Facultad de Economía.

En su vida universitaria, como docente, ha sido representante de los profesores del CRU-Azuero (Chitré) ante el Consejo General Universitario -CGU (1990-1992), Vicepresidente de la Asociación de Profesores de la Universidad de Panamá –APUDEP (1991-1993), Presidente de la APUDEP (1993-1995), Director del Centro Regional Universitario de San Miguelito –CRUSAM (1995-2000) y en la actualidad es docente investigador de la Universidad de Panamá.

UNIVERSIDAD DE PANAMÁ

CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE SAN MIGUELITO

FACULTAD DE ECONOMÍA

DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA ECONÓMICO Y SOCIAL

Curso: "Estadística Económica II".