Análisis Experimental

Introducción

Potter / wiggert

A menudo el Ingeniero tiene que hacer frente a la necesidad de llegar a resultados prácticos en situaciones que, por diversas razones, los fenómenos físicos no poseen soluciones matemáticas que describan su comportamiento; y por ello es necesario recurrir a un experimento para determinar incluso las características físicas principales del flujo. Al diseñar tales experimentos e interpretar sus resultados, el Análisis Dimensional puede resultar de gran utilidad.

Hay muy pocos problemas de interés en el campo de la mecánica de fluidos que se resuelven utilizando únicamente el método matemático (las ecuaciones diferenciales e integrales). En casi todos los casos es necesario recurrir a métodos experimentales para establecer relaciones entre las variables de interés.

Debido a que los estudios experimentales suelen ser muy costosos, es necesario reducir al mínimo la experimentación requerida. Esto se hace empleando una técnica denominada análisis dimensional, que se basa en el concepto de homogeneidad dimensional, que responde a lo siguiente: todos los términos de una ecuación deben tener las mismas dimensiones. Por ejemplo : la ecuación de Bernoulli en la forma de

En esta forma la ecuación de Bernoulli todos los términos son adimensionales.

El análisis dimensional es un procedimiento analítico que ayuda a organizar información empírica sobre el flujo de un fluido. Con base en el principio de homogeneidad dimensional, es posible simplificar de alguna forma la relación existente entre las cosas que se desea conocer sobre un flujo y las restricciones que a ésta se le imponen.

El principio de homogeneidad dimensional no es capaz de producir nueva información si no que permite apreciar como reordenar la información que se dispone para proporcionar una idea clara de las relaciones fenomenológicas.

Massey

análisis dimensional. Aunque no produce soluciones analíticas a los problemas, proporciona información acerca de la forma de las relaciones que conectan entre sí las variables pertinentes, y sugiere el modo más efectivo de agrupar a estas variables entre sí.

En relación cercana al análisis dimensional, se encuentra el concepto de la similitud física, y el principal propósito de este capítulo, es el estudio de la aplicación de este concepto a la mecánica de los fluidos.>

Durante mas de 100 años, los ingenieros han utilizado modelos a pequeña escala de las estructuras de la ingeniería a fin de obtener información que haga que sus diseños resulten más eficaces : flujos sobre diques y presas, aliviaderos de presas; interacciones de olas con muelles y rompeolas; flujos alrededor de submarinos y barcos; flujos subsónicos y supersónicos alrededor de aviones; flujos alrededor de estadios y edificios; flujos a través de bombas y turbinas de gran tamaño y flujos alrededor de automóviles y camiones. Con frecuencia, el modelado físico de estos flujos realizados en un Laboratorio es un paso necesario del diseño de dispositivos en tamaño real.

El análisis dimensional proporciona al ingeniero una herramienta que le permite diseñar, dirigir y analizar los resultados de las pruebas del modelo, así como predecir las importantes propiedades del flujo que se encontrarán en la estructura en el tamaño real.

El uso de modelos más pequeños que el prototipo o dispositivo real se justifica debido a que si se realizan experimentos con objetos de grandes dimensiones, resultaría un costo elevado

También hay flujos de interés en los que intervienen dimensiones más bien pequeñas como el flujo alrededor de un álabe de turbina, el flujo en un tubo capilar, el flujo alrededor de un microorganismo, el flujo a través de una válvula de control pequeña, y el flujo alrededor y dentro de una gota de agua que cae. Estos flujos requerirán un modelo más grande que el prototipo, a fin de poder hacer observaciones con un grado de exactitud aceptable.

El análisis experimental o empírico busca que formular leyes del comportamiento de un fenómeno físico en base a mediciones experimentales en laboratorio. Por lo que el uso de los modelos ha de permitir simular el comportamiento del fenómeno físico respetando márgenes de credibilidad y economía. El uso de modelos requiere definir la similitud de flujos y las leyes que la gobiernan.

La similitud es el estudio de la predicción de las condiciones de prototipos a partir de observaciones en, modelos. La similitud implica el uso de los parámetros adimensionales que se obtienen del análisis dimensional. Estos parámetros adimensionales son los que van a permitir extrapolar los resultados obtenidos en los ensayos, de los modelos, al prototipo

En este capítulo se muestra:

• Como el análisis dimensional puede aplicarse a cualquier problema en el que intervenga el flujo de un fluido y utilizarse para simplificar la expresión de la dependencia entre las propiedades importantes del flujo mediante las variables del flujo.

• El método de producto de potencias. En el estudio sobre la resistencia al avance sobre cuerpos sumergidos en un flujo.

• El uso del teorema de Buckingham. Para obtener una función adimensional a partir de partir de la ecuación dimensional.

• Como deducir información útil a partir de los experimentos con el modelo.

• Un estudio de las fuerzas ascensionales o de sustentación que obran sobre los cuerpos sumergidos en un flujo

Análisis dimensional y números adimensionales

La generación y uso de los números adimensionales proporciona una herramienta útil y poderosa para:

• Convertir datos de un sistema de unidades a otro

• Establecer y desarrollar ecuaciones

• Reducir el número de variables requerido para un programa de experimentación.

Otra útil herramienta de la mecánica de fluidos moderna, que está cercanamente relacionada con el principio de similitud, es el campo de las matemáticas conocido como análisis dimensional – las matemáticas de las dimensiones de las cantidades. Aunque se puede argumentar con éxito que la similitud y el análisis dimensional son de hecho idénticos, ya que implican las mismas cosas y con frecuencia conducen a los mismos resultados, sus métodos son lo suficientemente diferentes para justificar el tratamiento de los mismos como tópicos diferentes. Después de desarrollar cierta facilidad con ambos, el estudiante llegará a familiarizarse con la interrelación de los mismos, y aprenderá a pensar en términos de ambos tópicos al atacar nuevos problemas.

Los métodos del análisis dimensional se basan sobre el principio de la homogeneidad dimensional de Fourier (1822), el cual establece que una ecuación que expresa una relación física entre cantidades debe- ser dimensionalmente homogénea; esto es, las dimensiones de cada lado de la ecuación deben ser las mismas. Este principio se utilizó en el Capítulo 1 para obtener las dimensiones de la densidad y de la viscosidad cinemática. y se recomendó como un medio valioso para comprobar los cálculos de ingeniería.

Aunque no se puede esperar que las manipulaciones dimensionales produzcan soluciones analíticas de los problemas de física, el análisis dimensional provee una poderosa herramienta en la formulación de problemas que desafían la solución analítica y que deben ser resueltos experimentalmente. En este caso, el análisis dimensional entra en su propiedad señalando el camino hacia un máximo de información, a partir de un mínimo de experimentación. Logra lo anterior por medio de la formación de grupos adimensionalas, algunos de los cuales son idénticos con las relaciones de fuerzas desarrolladas con el principio de similitud.

Antes de examinar los métodos del análisis dimensional, recuérdese que existen dos diferentes sistemas por medio de los cuales se pueden expresar las dimensiones de las cantidades físicas. Estos sistemas son el de fuerza-longitud-tiempo–temperatura (FLT( ), y el de masa-longitud-tiempo-temperatura (MLT ( ). El sistema fuerza-longitud-tiempo-temperatura, generalmente preferido por los ingenieros, llega a ser el sistema newton-metro-segundo-grado kelvin cuando se expresa en unidades principales; el sistema masa-longitud-tiempo-temperatura llega a ser el sistema kilogramo-metro-segundo-grado kelvin.

En el cuadro Nº 4.1 se da un resumen de las cantidades fundamentales de la mecánica de fluidos y de sus dimensiones y unidades en los varios sistemas, siguiéndose el sistema convencional de letras mayúsculas para indicar las dimensiones de las cantidades.

De los problemas anteriores, tomando en cuenta que la temperatura se mantiene constante, parece que en el análisis dimensional (de problemas de mecánica) sólo se pueden escribir tres ecuaciones, ya que sólo existen tres dimensiones fundamentales independientes: M, L y T. Este hecho limita la plenitud con la que se puede resolver un problema de más de tres incógnitas, pero no limita la utilidad del análisis dimensional para obtener la forma de los términos de la ecuación.

PRODUCTO DE POTENCIAS

UNA APLICACIÓN DE GRAN UTILIDAD: CUERPOS SUMERGIDOS

El análisis de la resistencia de cuerpos sumergidos es una de las áreas más débiles de la teoría moderna de la Mecánica de Fluidos. Si se exceptúan algunos cálculos aislados mediante calculador, no existe ninguna teoría para la determinación de la resistencia de un cilindro o de una esfera salvo en el caso de movimientos lentos, donde Re < 1,0.

Son casos de interés cuerpos sumergidos en aire: aterrizaje y despegue de aviones, automóviles, trenes, camiones, cohetes, paracaidistas, edificios, tanques de agua. Cuerpos sumergidos en agua: submarinos, torpedos, boyas

Cuando una corriente fluida actúa sobre un cuerpo aparecen una fuerza que trata de mover al cuerpo en la dirección de la corriente fluida, ésta fuerza se denomina fuerza de arrastre (FA); una fuerza de sustentación (FS) perpendicular a la corriente fluida y hacia arriba; y un momento de volteo (M). El cálculo de estas cargas se requiere para estimar la potencia para mover al cuerpo a determinada velocidad.

PRODUCTO DE POTENCIAS

EJEMPLO 4.01:

Usando el método de producto de potencias, establecer una relación para la fuerza de arrastre del cuerpo sumergido.

SOLUCIÓN

Como la ecuación es dimensionalmente homogénea, en la representación dimensional basta con incluir el primer término.

El coeficiente de fuerza es variado y depende de la elección de la variable independiente que se elija: a, b, c, d.

La forma [a] es la que se utiliza mayormente; la forma [b] se utiliza mucho en movimientos lentos o movimientos muy viscosos, donde es una constante; en la forma [c], se observa que la fuerza de arrastre se hace adimensional usando únicamente las propiedades del fluido.

Figura. E4.06

El coeficiente de arrastre CA es determinado experimentalmente, mediante los ensayos en el laboratorio. En la figura E4.06, los cilindros son lisos y largos.

Si se incluyen la rugosidad y la longitud del cilindro como variables del análisis dimensional, se obtiene una función más complicada con tres parámetros.

Para describir adecuadamente esta función se requerirá más de 100 experimentos. Si embargo, es costumbre explorar los efectos de la longitud y rugosidad por separado para establecer tendencias.

La tabla que se añade a la figura E4.06, muestra el efecto de la longitud del cilindro con rugosidad de la pared nula. Cuando la longitud decrece, la resistencia decrece más del 50%. Esto se debe a que la sobre presión cae en los extremos, ya que allí la corriente puede rodearlos en lugar de deflectarse hacia arriba y hacia abajo del cuerpo.

La figura E4.06 (continuación), muestra el efecto de la rugosidad en un cilindro infinito. La caída brusca de la resistencia ocurre Re, mas bajo cuando la rugosidad aumenta a causa de que la capa límite se hace antes turbulenta. La rugosidad produce el mismo efecto en la resistencia de una esfera, un hecho que se explota en deportes como el golf, donde los hoyuelos de las pelotas les proporciona una menor resistencia en su movimiento Re ( 10 5

Figura E4.06 (continuación)

Las dos figuras anteriores corresponden a un análisis experimental típico, con ayuda del análisis, de un problema de mecánica de fluidos. Cuando el tiempo, dinero y demanda lo permiten, la relación tri-paramétrica podría ampliarse con más experimentos.

EJEMPLO 4.02:

SOLUCIÓN

El peso de la esfera (que es constante) hace que la velocidad de la esfera aumente. Se oponen al peso de la esfera (W), la fuerza de empuje (FE), la fuerza de arrastre (FA).

FE es constante.

FA es variable con el cuadrado de la velocidad de caída de la esfera.

La velocidad máxima de caída o velocidad límite de la esfera se alcanza cuando el peso es equilibrado por la acción de la fuerza de arrastre y empuje. La condición matemática está dado por: W = FA + FE

Una manera de resolver esta situación, es asumir un valor de velocidad ( Va = 2,157 m / s ); se reemplaza éste valor en la ecuación (2) para obtener el número de Reynolds ( Re = 1,08 x 10 5 ); del gráfico se obtiene el coeficiente de arrastre ( CA = 1,16 ), se reemplaza este valor de coeficiente de arrastre en la ecuación (1) y se tiene el valor de la velocidad ( Vc = 2,16 m / s ); luego se verifica si Vc es igual al valor de la velocidad asumida Va. De no ser así, hay que continuar iterando hasta lograr la aproximación deseada.

Es evidente que hay que realizar una serie de iteraciones hasta llegar a la solución V = 2,16 m / s. Para simplificar el cálculo puede prepararse una hoja de cálculo o un nuevo gráfico, haciendo uso de los resultados experimentales anteriores.

De los resultados del ejemplo anterior :

Estableciendo una igualdad entre la forma [ a ] y la forma [ c ] :

Para un valor de Re = 10 :

De la figura E4.06 se obtiene el valor de CA = 3,5

Con el nuevo gráfico, de la ecuación ( o ) :

Esta técnica usada (originada por Lord Rayleigh) se conoce también como el método del análisis dimensional de Rayleigh.

El método del análisis dimensional de Rayleigh fue mejorado por Buckingham con una amplia generalización que se conoce como el Teorema-(. Buckíngham

Cuerpos completamente sumergidos

4.05 : Considere un cuerpo en caída libre cerca de la superficie de la Tierra. Se cree que el tiempo t de descenso depende de la altura h de la caída, del peso w y de la aceleración g de la gravedad. ¿Cuál es la experimentación mínima necesaria para encontrar el tiempo t? Suponga que g es una constante.

4.06 : La ley de Stokes (veáse la ecuación (A.I.29) del apéndice) establece que para una esfera pequeña de radio R el arrastre F causado por un flujo lento permanente alrededor de la esfera está dado por

¿Cómo se llegaría a esta ecuación con el mínimo de experimentación, conociendo las variables involucradas?

4.07 : El empuje producido por la hélice de un avión es función de las variables siguientes:

Encuentre los grupos adimensionales que caracterizan el proceso. Trabájelos para obtener:

4.08 : El arrastre D sobre una campana sumergible depende de las variables siguientes:

4.10 : considere el flujo alrededor de un cilindro teniendo en cuenta transferencia de calor. Se sabe que en ciertas condiciones el coeficiente h de transferencia de calor depende de las siguientes variables:

¿Cuál es un conjunto de grupos adimensionales para este proceso?. Las dimensiones de h y k son

4.1.2 TEOREMA DE BUCKINGHAM – VASCHY

Sea el conjunto de n variables fundamentales

EJEMPLO 4.03: Se está entregando agua a 10ºC hacia un tanque sobre el techo de un edificio, como se muestra en la figura. ¿Qué presión indica un manómetro en el punto A para que se entreguen 200 L / min de agua?.

Sugerencia: use la información adicional adjunta.

Tabla i : Dimensiones de tubos de acero. Calibre 40

Tabla ii : Rugosidad de conducto. Valores de diseño.

Tabla iii : Resistencia en válvulas y junturas expresada como longitud equivalente en diámetros de conducto

Tabla iv : Propiedades del agua. Unidades SI.

SOLUCION

• 1. Método Matemático:

• 2. Método Experimental:

• Cálculo de la pérdida primaria

Ecuación dimensional que caracteriza el problema. Contiene 13 variables.

Se pueden volver a agrupar en dos categorías:

• Variables superfluas:

• Variables fundamentales, que caracterizan el problema fluido dinámico:

TEOREMA DE BUCKINGHAM

1. La matriz dimensional:

5. Los cuatro parámetros adimensionales:

• 6. La función adimensional :

• 7. Redefiniendo los parámetros pi :

8. Como la función no está definida:

Ecuación cualitativa

ENSAYOS EN EL LABORATORIO

Se hace circular el flujo de agua:

Se repite el procedimiento para otros valores de flujo volumétrico y los resultados pueden presentarse mediante gráficos, uno de ellos es el Diagrama de Moody.

Para nuestro problema:

Luego:

Rugosidad promedio de tubos comerciales

• Cálculo de la pérdida secundaria

De manera análoga al cálculo de la perdida primaria se puede establecer un procedimiento para el cálculo de las pérdidas secundarias.

Para nuestro problema :

El cuadro siguiente muestra las dimensiones de algunas variables que se utilizan en la mecánica de fluidos. Esta información ayuda en la construcción de la matriz dimensional.

Cuerpos parcialmente sumergidos en líquidos

EJEMPLO 4.04:

SOLUCION

• 0. La función dimensional : n = 7 variables

• 1. La matriz dimensional:

2. El rango de la matriz: k = 3

• 5. Los cuatro parámetros adimensionales :

• 8. La función adimensional:

• 9. Redefiniendo los parámetros pi:

8. Como la función no está definida:

Tabla i :

Modelado de bombas centrífugas

EJEMPLO 4.05:

SOLUCION

5. Los cinco parámetros adimensionales:

6. La función adimensional:

EJEMPLO : 4.06:

SOLUCIÓN

6. Parámetros adimensionales:

Los números adimensionales obtenidos tienen nombre propio y son:

Número de Froude, Mach, Weber, Reynolds y Euler respectivamente. La Ecuación Adimensional que caracteriza al flujo es:

EJEMPLO : 4.07:

Demostrar mediante la aplicación del análisis dimensional la siguiente relación :

SOLUCIÓN

6. Parámetros adimensionales:

El teorema de Buckingham ofrece considerable ventaja sobre el estudio de Rayleigh en que, muestra antes del análisis cuántos grupos pueden esperarse y permite al ingeniero mayor flexibilidad en la formulación de los mismos (en particular si ya se sabe que ciertos grupos, por ejemplo, las relaciones entre fuerzas, son pertinentes).

J. Sifuentes

En el estudio de un fenómeno fluido-dinámico se sugiere el siguiente procedimiento:

• Hacer un listado de las variables que intervienen en el problema fluidodinámico.

• Identificar las variables superfluas de las fundamentales.

• Establecer la ecuación dimensional.

• Utilizar el Teorema de los números de Buckingham-Vaschy, el que a partir de la ecuación dimensional se obtiene la ecuación adimensional que caracteriza al problema.

• La variable que nos interesa, se separa de la función adimensional y se establece la ecuación cualitativa. La cual establece la relación de la variable de estudio con el resto de variables y con una función aún no definida.

• Se procede a organizar el ensayo que permita definir la función no definida en la ecuación cualitativa; y así obtener la ecuación cuantitativa de la variable de estudio.

• Se aplican las ecuaciones o expresiones obtenidas en la solución del problema fluidodinámico; si los resultados no concuerdan con la realidad o no son obtenidos con la exactitud requerida, se arbitra a fin de revisar el estudio, utilizar el prototipo como modelo, recabar información experimental y de allí con un tratamiento matemático obtener factores de corrección pertinentes.

Problemas resueltos

Autor:

Jorge Sifuentes Sancho