Todo lo expresado hasta aquí tiene un único objetivo, conocer la información disponible para realizar estimaciones (Journel y Huijbregts, 1978; David, 1977; Armstrong y Carignan, 1997), es decir, estimar valores desconocidos a partir, no sólo de los conocidos, sino también de su estructura de continuidad espacial. A diferencia de otra gran variedad de métodos de interpolación que no utilizan estas características y que se emplean actualmente con diferentes fines. Sin pretender hacer una comparación profunda de las características y ventajas de éstos métodos, veamos algunos ejemplos.
Este método consiste en ajustar un plano que pase por las tres muestras más cercanas y adyacentes a la localización que se desea estimar.
La ecuación del plano es:
Z = a x + b y + c
Cada muestra tiene coordenadas (x, y) y z representa el valor muestreado.
Con el objetivo de obtener la ecuación del plano que pase por las tres muestras se construye el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
a x1 + b y1 + c = z1
a x2 + b y2 + c = z2
a x3 + b y3 + c = z3
y así obtenemos los coeficientes a, b y c, entonces el valor de z en cualquier localización dentro del triángulo correspondiente se puede obtener sustituyendo sus coordenadas en la ecuación de Z.
- Triangulación
Este método se basa en una combinación lineal dada por: Z*(x) = å l i Z(xi)
En la que l i son los pesos proporcionales al inverso de la distancia euclidiana entre las localizaciones muestreadas y la que se desea estimar, éstos pesos son calculados por:
l i = (1/doi)/ å 1/doj
donde: doi es la distancia entre la localización a estimar y la localización de la muestra i.
Generalizando obtenemos:
Z*(x) = [å i+1,n 1/doi Z(xi)] / å i=1,n1/doj
Se pueden obtener distintos estimadores si escribimos la ecuación anterior como:
Z*(x) = [å i=1,n (1/doi)w Z(xi)] / å i=1,n(1/doj)w
Note que si w = 1 se obtiene la ecuación anterior.
Estas dos técnicas de estimación utilizan directamente los valores muestreados en el proceso de estimación y refieren pesos de acuerdo a las distancias entre los datos, sin tener en cuenta la continuidad espacial de la información disponible. Veamos ahora el krigeaje, interpolador de la geoestadística, que sí utiliza los resultados que discutidos del análisis estructural.
Inicialmente, Matheron denominó a esta técnica Krigeage (en francés) que en ingles se convierte en Kriging y en español se escribe Krigeaje. Este término que tiene su origen en el apellido de D.G. Krige, reconociendo de esta forma su aporte. El krigeaje es una técnica de estimación que proporciona el mejor estimador lineal imparcial (BLUE, en ingles, Best Linear Unbiased Estimator), (Schaug et al.,1993; Christensen et al.,1993; Abasov et al., 1990), y que además proporciona una error de estimación conocido como varianza de krigeaje que depende del modelo de variograma obtenido y de las localizaciones de los datos originales (Armstrong y Carignan, 1997; Journel y Huijbregts, 1978; David, 1977; Abasov et al., 1990). Esto brinda la posibilidad de hacer análisis sobre la calidad de las estimaciones (Weerts y Bierkens, 1993; Haas, 1992).
- Inverso de la distancia
Como resultado de los trabajos de búsqueda y exploración de yacimientos minerales, se obtiene información del análisis químico de los testigos de perforación y/o rocas de afloramiento. Cualquiera sea la forma en que se organice esta información, debe ser regularizada, de modo que se obtengan los valores de la característica estudiada (contenido mineral en el caso minero), acompañadas de las coordenadas de las localizaciones correspondientes.
En términos mineros, el problema de krigeaje consiste en encontrar la mejor estimación lineal posible del contenido mineral de un panel, teniendo en cuenta la información disponible, mediciones que han sido obtenidas tanto en el interior como externamente al panel que se desea estimar. El krigeaje consiste en efectuar una ponderación, es decir, atribuir un peso a cada valor observado, los pesos son calculados de manera que minimice la varianza de estimación resultante, teniendo en cuenta las características geométricas del problema (Matheron, 1970). Al minimizar la varianza de estimación se garantiza el uso óptimo de la información disponible (Zhang, 1996).
Se dispone de los valores muestreados Z(xi), i=1,…,n, y deseamos estimar un valor de la característica observada en el panel Z(v) por una combinación lineal de Z(xi).
Z*(v) = å l i Z(xi)
donde Z*(v) es el valor estimado y l i son los peso de krigeaje, de modo que los l i sean obtenidos de tal forma que proporcione un estimador: insesgado E[Z*(v) – Z(v)] = 0 y de varianza mínima Var[Z*(v) – Z(v)]
La geoestadística exige como primera etapa y fundamental el conocimiento del comportamiento estructural de la información, es decir, se debe contar además, con el modelo de semivariograma teórico que refleje fielmente las características de variabilidad y correlación espacial de la información disponible, discutido anteriormente. En el caso minero, particularmente, por la forma en que se presenta la información, de estar condicionada en una dirección por diversos parámetros (Rivoirard y Guiblin, 1997), se debe obtener modelos de variogramas verticales y horizontales, el primero, que caracteriza la correlación espacial en esta dirección, es decir a través de los estratos, y el segundo en los estratos, obteniéndose un modelo conjunto para la estimación de bloques (Pan y Arik, 1993; Armstrong y Carignan, 1997). Los bloques a estimar son definidos con dimensiones convenientes a la unidad de selección minera, teniendo en cuenta el espaciamiento entre muestras y el alcance estructural, es decir, la distancia hasta la cual las muestras se encuentran correlacionadas espacialmente. Las ecuaciones del krigeaje se obtienen entonces de acuerdo las hipótesis de la geoestadística que deben ser asumidas y verificadas como ya se indicó.
Teniendo en cuenta las hipótesis de la geoestadística se pueden obtener las ecuaciones del krigeaje para los siguientes casos: función aleatoria estacionaria de esperanza nula o conocida, método conocido como Krigeaje Simple, para una función aleatoria estacionaria de esperanza desconocida, y una función aleatoria intrínseca, método conocido para los dos últimos casos como Krigeaje Ordinario.
A continuación se presenta el sistema krigeaje para estos casos:
- Ecuaciones del krigeaje
En términos de la covarianza
Estimador: Z*(v) = å l i Z(xi)
Sistema: å l i C(xi, xj) – m = C(xj, v) i,j = 1,…,n
å l i = 1
Varianza de krigeaje: s 2 = C(v,v) – å l i C(xi, v) + m
En términos del semivariograma
Estimador: Z*(v) = å l i Z(xi)
Sistema: å l i g (xi, xj) + m = g (xj, v) j = 1,…,n
å l i = 1
Varianza de krigeaje: s 2 = å l i (xi, v) – g (v,v) + m
En todos los casos el sistema puede ser escrito matricialmente de la forma: K l = C
Al sistema krigeaje es necesario hacer algunas observaciones según Journel y Huijbregts (1978):
1.- El sistema krigeaje tiene solución única si y solo sí la matriz de K es definida estrictamente positiva, es decir:
å i=1,nå j=1,n l il j C(xi, xj) ³ 0
o en términos de variograma:
– å i=1,nå j=1,n l il j g (xi, xj) ³ 0
y no existen datos con las mismas coordenadas.
2.- El krigeaje, el cual es un estimador imparcial, es también un interpolador exacto, es decir, para iguales soportes de observación va (a =1,…,n) y de estimación V, Los valores real Za y estimado Z* son iguales, además de que la varianza de krigeaje s 2k es cero.
3.- Las expresiones del sistema krigeaje y de la varianza de krigeaje son completamente generales, es decir, son aplicables cualquiera sean los soportes de observación y estimación y el modelo estructural empleado.
4.- El sistema krigeaje y la varianza de krigeaje dependen sólo: del modelo estructural C(h) o g (h) obtenido y de la geometría del soporte de observación. Esta característica da la posibilidad de que la varianza de krigeaje sea usada cuidadosa y convenientemente para el estudio de redes y la clasificación de recursos.
En el proceso de krigeaje, la matriz que se obtiene tiene dimensiones de hasta (N+1) x (N+1), cuando existen muchos datos en el área de influencia definido por los alcances esta matriz es grande, lo que implica tiempo para la solución del sistema, sin embargo (Myers, 1991c), excepto para las localizaciones vecinas de la localización a estimar, los pesos son ceros o próximos a cero, conocido como el efecto pantalla del krigeaje. En la práctica, se establece una vecindad de búsqueda para evitar el trabajo con grandes sistemas, el cual es recomendado en la totalidad de la literatura básica de geoestadística. Todos los sistemas que implementan la estimación por krigeaje, permiten la definición de una vecindad de búsqueda, la cual debe ser obtenida con reducciones proporcionales en cada unos de los alcances, o la estimación por cuadrantes u octantes, limitando el número de muestras a usar en el proceso de krigeaje. De modo que los pesos asignados a las muestras más lejanas a la localización a estimar y dentro de la vecindad de búsqueda no sean negativos, nulos o próximos a cero. En ocasiones por esta razón se realizan compensaciones por el sistema de krigeaje que pueden arrojar pesos negativos y por consiguiente valores negativos en la estimación.
- Planteamiento del problema del krigeaje
- El caso no estacionario, Krigeaje Universal (KU)
Uno de los problemas encontrados al modelar semivariogramas según Krajewski y Gibbs (1993) y ASCE Task (1990) es la existencia de tendencia en los datos, es decir, que los valores medidos aumentan o diminuyen en alguna dirección en el área de estudio. Este es el caso de un fenómeno no estacionario, lo que hace imposible la aplicación del krigeaje presentado hasta aquí. Con el objetivo de solucionar este problema Matheron propuso dos aproximaciones, primero el Krigeaje Universal (KU) (Matheron, 1970), que consiste en extraer de la variable original Z(x) la parte no estacionaria por medio de una componente determinística m(x) que representa la deriva, hasta encontrar la parte estacionaria del fenómeno, obteniéndose un componente estocástico R(x) relacionados por la siguiente expresión:
Z(x) = m(x) + R(x).
Para el componente determinístico se sugiere utilizar una función polinomial de las coordenadas para modelar la tendencia, es decir:
donde al son coeficientes y fl es la función que describe la tendencia. Así pueden obtenerse derivas simples, lineales, cuadráticas, etc., (Jones y Vecchia, 1993; Maisonneuve, 1998). Para una deriva simple el KU se reduce al Krigeaje Ordinario (Christensen, 1993; Renard, 1998).
Obteniéndose finalmente el sistema Krigeaje Universal.
Con varianza de estimación.
Una variante de krigeaje que tiene en cuenta esta situación, fue desarrollada por Goldberger, A, S. en 1962 y descrita por Matheron en 1969, para tratamiento de datos débilmente estacionarios y con tendencia. La aplicación de KU puede resultar difícil por la indeterminación de la tendencia y del semivariograma (Carr, 1990; Armstrong y Carignan, 1997; Renard, 1998).
Una aproximación más general es el estudio del modelo de Funciones Aleatorias Intrínsecas de orden K, la cual consiste en construir incrementos de orden creciente hasta alcanzar un orden K para el cual dichos incrementos son estacionarios (Christensen, 1990).
- Estimación
Los conceptos presentados hasta aquí, extendidos a más de una variable, se denominan Geoestadística Multivariada (Wackernagel, 1995). Es posible encontrar casos de variables de interés que están insuficientemente muestreadas, pero que se conoce su correlación con otras variables en la zona de interés. Utilizando esta correlación es posible estimar una variable de interés a partir de la información de la propia variable además de las correlacionadas con ellas (Journel y Huijbregts, 1978; David, 1977; Myers, 1991a; Wackernagel, 1995; Myers, 1991d; ASCE Task, 1990; Christakos y Bogaert, 1996; Almeida y Jounel, 1994; Carr y Mao, 1993). Esto es, el Co-Krigeaje, una extensión o generalización del krigeaje cuando más de una de las variables disponibles guardan relación entre sí. En este caso, se requiere conocimiento no sólo del modelo de semivariograma de cada una de las variables, sino además, del semivariograma cruzado entre las variables (Zhang et al.,1992; Myers, 1991a; D'Agostino y Zelenka, 1992; Pawlowsky et al.,1994; Myers, 1992; ASCE Task, 1990; Myers, 1991a; Carr y Myers, 1990; Wackernagel, 1994). Existen variantes de Co-Krigeaje más generales para la integración de datos (Almeida y Jounel, 1994)
En este proceso, se pueden distinguir las siguientes situaciones (Wackernagel, 1995 y 1998):
Isotopía: Se produce cuando todas las variables poseen valores medidos en todas las localizaciones. En este caso no es de interés aplicar el procedimiento multivariado, porque el Co-Krigeaje en este caso puede resultar equivalente al krigeaje, se dice variables autokrigeables.
Heterotopía total: Cuando las variables poseen valores medidos en localizaciones diferentes. En este caso no es de interés tampoco aplicar procedimiento multivariado, además, de que no es posible obtener el semivariograma cruzado experimental.
Heterotopía parcial: Esta situación se produce cuando algunas (la mayor parte) de las localizaciones muestreadas poseen valores medidos de todas las variables, un caso importante es cuando las muestras de la variable de interés están incluidas como un subconjunto de las demás variables. En este caso pueden ser calculados los semivariogramas cruzados y resulta ventajoso utilizar el procedimiento Co-Krigeaje.
El semivariograma cruzado se obtiene por la ecuación:
donde ZA y ZB son variables correlacionadas, ZA la variable de interés y ZB la variable auxiliar o secundaria.
Los criterios para el cálculo del semivariograma cruzado son análogos al caso univariado, mientras el semivariograma directo toma sólo valores positivos, el cruzado puede tomar valores negativos, lo que indica correlación inversa entre las variables. Un aspecto importante en el modelado de los semivariogramas cruzados es que deben satisfacer la desigualdad de Cauchy – Schwarz (Wackernagel, 1995):
Una forma de modelar los semivariogramas cruzados consiste en ajustar independientemente los semivariogramas de las variables ZA, ZB y el de la suma ZA + ZB, los cuales están relacionados por la siguiente expresión.
En Issaks y Srivastava (1989) se presentan elementos para el cálculo y ajuste de los semivariogramas en el caso multivariado, además del Modelo Lineal de Corregionalización como procedimiento para modelar semivariogramas directos y cruzados.
- Semivariogramas cruzados
El sistema Co-Krigeaje Simple se presenta a continuación.
La varianza es:
El sistema Co-Krigeaje Ordinario es:
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donde:
y la varianza es:
- Co-Krigeaje.
Este procedimiento es un simple y eficiente algoritmo para incorporar una segunda variable Y(x) en la estimación de una primaria Z(x) (Deutsch y Journel, 1998). Consiste en una extensión del Krigeaje con Modelo de Tendencia o Krigeaje Universal que integra condiciones de universalidad suplementarias relativas a una o varias variables externas Yi(x) i = 1, …, N medidas de forma exhaustiva en todo el dominio donde se desea estimar la variable de interés (Wackernagel, 1993). Si la variable Y(x) que llamaremos secundaria tiene un comportamiento lineal con la variable de interés Z(x) que llamaremos primaria, es decir, si se cumple la relación:
u otra relación polinomial con sentido físico, es posible incorporar ésta en el sistema de krigeaje, integrado dos fuentes de información con diferente grado de conocimiento. Obteniéndose el siguiente sistema:
= 
o en notación matricial
El estimador es:
y la varianza de estimación:
donde: T como superíndice denota matriz transpuesta,
: covarianza de la variable primaria entre las localizaciones i y j. - Krigeaje con Deriva Externa
- Co-Krigeaje con Variable Colocalizada (Collocated CoKriging)
Otro modelo que incorpora una o varias variable externa para al estimación de una primaria consiste en una forma reducida de sistema de Co-Krigeaje (Deutsch y Journel, 1998), que incluye a la variable de interés y la variable secundaria conocida en todo el dominio donde será estimada la variable primaria.
El sistema de Collocated Cokriging es
= 
o en notación matricial:
El estimador es:
la varianza de estimación es:
Donde:
es el valor colocado de la variable secundaria en la localización a estimar 
.
(i = 1,…,N): pesos asignados a los datos experimentales de la variable primaria.
: peso asignado a la variable secundaria.
: esperanza matemática de la variable secundaria.
: esperanza matemática de la variable primaria.
: covarianza de la variable secundaria entre las localizaciones i y j.
: covarianza cruzada entre la variable primaria y secundaria en las localizaciones iyj.
y lo mismo para la variable primaria.
y 
: multiplicadores de Lagrange.Los valores
pueden aproximarse por la expresión = B 
, donde:B =
, 
, 
son las varianzas de las variables Z y Y, 
es el coeficiente de correlación entre las variables Z y Y. - Geoestadística Multivariada
En ocasiones nos encontramos situaciones con características que las técnicas lineales no permiten modelar, datos con alta asimetría por ejemplo. En estos casos se pueden realizar transformación a los datos, y obtener configuraciones de estos que si pueden ser explicados por el krigeaje, para lo que se han adoptado variantes como el Krigeaje Lognormal, Krigeaje de Indicadores, El Krigeaje Disyuntivo (Carr y Mao, 1993), El Krigeaje de Probabilidades (Carr, 1994; Carr y Mao, 1993), etc. La idea de estos procedimientos es realizar transformaciones en los datos originales hasta encontrar homogeneidad en la información, utilizar la técnica Krigeaje descritas hasta aquí y posteriormente realizar la transformación inversa. Un estudio más detallado en este sentido puede ser encontrado en Chica (1987), Deutsch y Journel (1998), Rivoirard (1991), entre otros.
- Geoestadística no Lineal
La estimación en Geoestadística por el Krigeaje, como todo proceso de interpolación, ofrece una imagen suave o lisa de la realidad, existiendo aplicaciones en la que interesa algo más que simplemente obtener valores aproximados a una realidad desconocida, es decir, resultaría útil una representación que pueda sustituir la realidad. Con tal intención se propone, la Simulación Geoestadística, a través de la cual se obtienen realizaciones con igual comportamiento espacial que la información observada en las localizaciones muestreadas. La cual puede ser útil para obtener una representación de una de las posibles realizaciones de la realidad de un yacimiento (Lantuéjoul, 1998; Rivoirard, 1998). Esto da la posibilidad de sustituir un yacimiento real por uno simulado y realizar estudio de simulación de explotación, estudio de redes, etc, Un estudio más detallado puede ser encontrado en Lantuejoul (1995), Deutsch y Journel (1998), Cuador et al. (2000), Cuador y Quintero (2001), entre otros.
- La Simulación Geoestadística
- Conclusiones
Hasta aquí hemos expuesto los elementos fundamentales de la geoestadística, ciencia aplicada que surge como solución a problemas concretos en la estimación de reservas minerales y que toma auge en otros campos de las Ciencias de la Tierra. Es importante destacar que la estimación a través del krigeaje, se hace buscando y utilizando las características de continuidad espacial del fenómeno estudiado, características que constituyen la contribución fundamental de la geoestadística a través de las diferentes variantes de interpolación que propone. Además de las referencias bibliográficas utilizadas, quedarían por citar las magnificas contribuciones de otros autores.
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Dr. C. José Quintín CUADOR GIL
Departamento de Informática
Universidad de Pinar del Río
Cuba
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