Análisis de sensibilidad, árboles de decisión, punto de equilibrio

El análisis de sensibilidad es utilizado para evaluar alternativas y utilizar diversas herramientas que permiten hacer el análisis económico de proyectos, evaluando su factibilidad, nivel de confianza, aplicabilidad, etc. Queda de parte del analista económico elegir la técnica de análisis que le brinde la información mas precisa para la toma de decisiones. En el presente trabajo se desarrollarán las siguientes técnicas: El análisis de sensibilidad, el árbol de decisiones y el punto de equilibrio.

El análisis económico utiliza estimaciones de sucesos futuros para ayudar a quienes toman decisiones. Dado que las estimaciones futuras siempre tienen alguna medida de error, hay imprecisión en las proyecciones económicas. El efecto de la variación puede determinase mediante el análisis de sensibilidad. Algunos de los parámetros o factores comunes para hallar la sensibilidad son la TMAR, las tasas de interés, las estimaciones de vida, los periodos recuperación para fines tributarios, todo tipo de costos, ventas y muchos otros factores. Generalmente, se varía un factor a la vez y se supone que hay independencia con otros factores. Este supuesto no es correcto por completo en situaciones del mundo real, pero es práctico puesto que en general no es posible para considerar en forma precisa las dependencias reales.

Análisis de sensibilidad

El análisis de sensibilidad, en sí mismo es un estudio realizado en general en unión con el estudio de ingeniería económica; determina la forma como una medida de valor (VP, VA, TR o B/C) y la alternativa seleccionada se verán alteradas si un factor particular o parámetro varía dentro de un rango establecido de valores. Por ejemplo, la variación en un parámetro como la TMAR no alteraría la decisión de seleccionar una alternativa cuando todas las alternativas comparadas retornan más de la TMAR; así, la decisión es relativamente insensible a dicho parámetro. Sin embargo, la variación en el valor de n puede indicar que la selección de alternativas es muy sensible a la estimación de la vida del activo.

Generalmente, las variaciones en la vida, en los costos anuales y recaudos resultan de variaciones en el precio de venta, de operación a diferentes niveles de capacidad, de inflación, etc. Por ejemplo, si un nivel de operación del 90% de la capacidad de sillas de una aerolínea se compara con el 50% en una ruta internacional nueva, el costo de operación y recaudo por milla de pasajero aumentará, pero es probable que la vida anticipada disminuya solo ligeramente. De ordinario, para aprender cómo afecta el análisis económico la incertidumbre de las estimaciones, se estudian diversos parámetros importantes.

La graficación del VP, VA o TR versus el (los) parámetro(s) estudiado(s) es muy útil. Dos alternativas pueden compararse con respecto a un parámetro dado y calcularse el punto de equilibrio. Este es un valor al cual las dos alternativas son equivalentes en términos económicos. Sin embargo, el diagrama del punto de equilibrio comúnmente representa solo un parámetro por diagrama. Por tanto, se construyen diversos diagramas y se supone independencia de cada parámetro.

En usos anteriores del análisis del punto de equilibrio, se calculó la medida de valor para dos valores de un parámetro solamente y se conectaron los puntos con una línea recta. No obstante, si los resultados son sensibles al valor de un parámetro, deben utilizarse diversos puntos intermedios para evaluar mejor la sensibilidad, en especial si las relaciones no son lineales.

Cuando se estudian diversos parámetros, un estudio de sensibilidad puede resultar bastante complejo. Este puede realizarse utilizando un parámetro a la vez mediante un sistema hoja de cálculo, un programa de computador preparado especialmente, o cálculos manuales. El computador facilita la comparación de múltiples parámetros y múltiples medidas de valor y el software puede representar gráficamente de manera rápida los resultados.

Determinación de sensibilidad de estimaciones de parámetros

Al mencionar el término parámetro nos referimos a cualquier variable o factor para el que es necesario un valor estimado o determinado. Como ejemplos podemos citar al costo inicial, valor de salvamento, COA, vida estimada, tasa de producción, costos de materiales, etcétera.

El análisis económico emplea estimaciones de valores futuros de un parámetro para ayudar a quienes toman decisiones. Puesto que las estimaciones futuras siempre tienen algún nivel de error, existe imprecisión en las proyecciones económicas. El efecto de la variación puede determinarse mediante el análisis de sensibilidad.

Al realizar un estudio de análisis de sensibilidad se puede seguir este procedimiento general, cuyos pasos son:

1. Determine cuál parámetro o parámetros de interés podrían variar con respecto al valor estimado más probable.

2. Seleccione el rango probable de variación y su incremento para cada parámetro.

3. Seleccione la medida de valor que será calculada.

4. Calcule los resultados para cada parámetro utilizando la medida de valor como base.

5. Para interpretar mejor los resultados, ilustre gráficamente el parámetro versus la medida de valor.

Este procedimiento del análisis de sensibilidad debe indicar cuáles parámetros justifican un estudio más detenido o requieren la consecución de información adicional. Cuando hay dos alternativas o más, es mejor utilizar una medida de valor de tipo monetario (VP o VA) en el paso 3. Si se utiliza la TR, se requieren esfuerzos adicionales de análisis incremental entre alternativas. El siguiente ejemplo ilustra el análisis de sensibilidad para un proyecto.

Problema Práctico

Bocacho Soft, Inc., está considerando la compra de un nuevo activo para el manejo automatizado del arroz. Las estimaciones más probables son un costo inicial de $80.000 valor de salvamento de cero y una relación de flujo de efectivo antes de impuestos de la forma FEN = $27.000, 2.000 ton anual (t=1, 2,3,…..n). La TMAR de la compañía varía entre el 10% y el 25% anual para los tipos diferentes de inversiones en activos. La vida económica de maquinaria similar varía entre 8 y 12 años. Evalúe la sensibilidad de VP y VA variando (a) el parámetro TMAR, a la vez que supone un valor n constante de 10 años y (b) el parámetro n, mientras la TMAR es constante al 15% anual.

a) Parámetro TMAR, a la vez que supone un valor n constante de 10 años.

Paso 1. La TMAR, i, es el parámetro de interés.

Paso 2. Seleccione incrementos del 5% para evaluar la sensibilidad a la TMAR; el rango para i es del 10% al 25%.

Paso 3. Las medidas de valor son VP y VA.

Paso 4. Establezca las relaciones VP y VA. Por ejemplo, para i = 10%, utilice valores k de 1 a 10 para el flujo de efectivo.

VP = –80.000 + 25.000(P/A,10%,10)—2.000(P/G, l0%,10)

= $27.830

VA = P(A/P 10%,10)= $4.529

Las medidas de valor para los cuatro valores de i en el intervalos del 5% son:

Paso 5. Representación gráfica de la TMAR versus el VA. La pendiente negativa pronunciada indica que la decisión de aceptar la propuesta con base en VA es bastante sensible en variaciones en la TMAR. De manera que si se establece la TMAR en el extremo superior del rango la inversión no es atractiva.

b) El parámetro n, mientras la TMAR es constante al 15% anual.

Paso 1. El parámetro es la vida n del activo.

Paso 2. Seleccione incrementos de 2 años para evaluar la sensibilidad a n durante el rango de 8 a 12 años.

Paso 3. Las medidas de valor son VP y VA.

Paso 4. Establezca las mismas relaciones VP y VA que en la parte (a) para i =15%

Paso 5. Representación gráfica no lineal de VA versus n. Como quiera que las medidas VP y VA son positivas para todos de n, la decisión de invertir no se ve afectada en forma sustancial por la vida estimada.

Cuando se considera la sensibilidad de diversos parámetros para una alternativa una sola medida de valor, es útil elaborar gráficas del cambio porcentual para parámetro versus la medida de valor. La figura ilustra el valor del capital versus cuatro parámetros diferentes para una alternativa. La variación en cada parámetro se indica como una desviación de la estimación más probable en el eje horizontal. Para utilizar la gráfica se puede seleccionar un parámetro. Si la curva de respuesta del valor del capital es plana y se acerca a horizonte el rango de la variación total graficada, hay poca sensibilidad del valor del capital al parámetro.

Si se comparan dos alternativas y se busca la sensibilidad a un parámetro, la gráfica puede mostrar resultados marcadamente no lineales. Observe la forma general de las gráficas sensibilidad en la figura. Las curvas se muestran como segmentos lineales entre puntos de cálculo específicos. No se realizarán los cálculos reales en este caso. La gráfica indica que el VP de cada plan es una función no lineal de las horas de operación. El plan A es muy sensible en el rango de 0 a 100 horas, pero es comparativamente insensible por encima de 150 horas. El plan B es más atractivo debido a su insensibilidad relativa, siempre que ambos planes A y B se justifiquen, es decir, la medida de valor seleccionada indica la justificación económica. Este hecho indica la necesidad de representar gráficamente los parámetros versus la medida de valor en puntos intermedios más frecuentes para entender mejor la naturaleza de la sensibilidad.

Análisis de sensibilidad utilizando tres estimaciones

Es posible examinar a cabalidad las ventajas y desventajas económicas entre dos alternativas o más tomando en préstamo, del campo de la programación de proyectos, el concepto de elaborar tres estimaciones para cada parámetro: una estimación pesimista, una muy probable y una optimista. El lector debe darse cuenta de que, dependiendo de la naturaleza de un parámetro, la estimación pesimista puede ser el valor más bajo (la vida de la alternativa es un ejemplo) o el valor más grande (como el costo inicial de un activo).

Esto nos permite estudiar la sensibilidad de la selección de las medidas de valor y de las alternativas dentro de un rango pre establecido de variación para cada parámetro. En general, cuando se calcula la medida de valor para un parámetro o alternativa particular se utiliza la estimación más probable para todos los demás parámetros.

Problema Práctico

Usted es un ingeniero que está evaluando tres alternativas para las cuales un equipo de gerencia ha hecho tres estimaciones de estrategia, una pesimista (P), una muy probable (MP) y una optimista (O), para la vida, el valor de salvamento y los costos anuales de operación. Las estimaciones se presentan en la siguiente tabla a un nivel de alternativa por alternativa. Por ejemplo, la alternativa B tiene estimaciones pesimistas de VS = $500, CAO = $4000 y n=2 años. Los costos iniciales se conocen, de manera que ellos tienen el mismo valor para todas las estrategias. Realice un análisis de sensibilidad para tratar de determinar la alternativa más económica utilizando el análisis VA y una TMAR del 12%.

Para la descripción de cada alternativa en la tabla se calcula el VA de los costos. Por ejemplo la relación VA para la estimación pesimista de la alternativa A es:

VA =–20.000(A/P,12%,3)–11.000 =$–19.327

Como en la mayoría de los estudios de sensibilidad una hoja de cálculo que utiliza los valores de los parámetros P, PM y O reducirá significativamente el tiempo de cálculo.

Esta figura es una representación gráfica de VA versus las tres estimaciones. La siguiente tabla presenta todos los valores VA.

Evaluación de alternativas utilizando árboles de decisión

La evaluación de alternativas puede requerir una serie de decisiones en las cuales el resultado de una etapa es importante para la siguiente etapa en la toma de decisiones. Cuando es posible definir claramente cada alternativa económica y se desea considerar explícitamente el riesgo, es útil realizar la evaluación utilizando un árbol de decisiones, el cual incluye:

• Más de una etapa de selección de alternativas.

• La selección de una alternativa en una etapa conduce a otra etapa.

• Resultados esperados de una decisión en cada etapa.

• Estimaciones de probabilidad para cada resultado.

• Estimaciones del valor económico (costo o ingreso) para cada resultado.

• Medida del valor como criterio de selección, tal como E(VP)

El árbol de decisiones se construye de izquierda a derecha e incluye cada decisión y resultado posible. Un cuadrado representa un nodo de decisiones y las alternativas posibles se indican en las ramas que salen del nodo de decisión. Un círculo representa un nodo de probabilidad con resultados posibles y probabilidades estimadas en las ramas. Dado que los resultados siempre siguen a las decisiones, se obtiene la estructura en forma de árbol a medida que se define la situación completa.

Generalmente, cada rama de un árbol de decisión tiene algún valor económico asociado en términos de costos o de ingresos o beneficios (al cual se hace referencia frecuentemente como reintegro). Estos flujos de efectivo están expresados en términos de valores VP, VA o VF y se muestran a la derecha de cada rama de resultados finales. Los valores del flujo de efectivo y de probabilidad en cada rama de resultados se utilizan para calcular el valor económico esperado de cada rama de decisión. Este proceso, llamado solución del árbol o desdoblamiento.

Para utilizar el árbol de decisiones a fin de evaluar y seleccionar alternativas, es preciso

estimar la siguiente información adicional para cada rama:

•Probabilidad estimada de que cada resultado pueda ocurrir. Estas probabilidades deben sumar 1.0 para cada conjunto de resultados (ramas) que resultan de una decisión.

•Información económica para cada alternativa de decisión y resultado posible, tal como, inversión inicial y flujos de efectivo anuales.

Las decisiones se toman a partir de la estimación de probabilidad y la estimación del valor económico para cada rama de resultados. El procedimiento general para resolver el árbol mediante análisis VP es:

1. Empiece en la parte superior derecha del árbol. Determinar el valor VP para cada rama de resultado considerando el valor del dinero en el tiempo.

2. Calcule el valor esperado para cada alternativa de decisión.

E(decisión) = ( (estimación de resultado) P (resultado) [19.

Donde la sumatoria incluye todos los resultados posibles para cada alternativa de decisión.

3. En cada nodo de decisión, seleccione el mejor valor E (de decisión), el costo mínimo para una situación de costos solamente, o el reintegro máximo si se estiman los ingresos y los costos.

4. Continúe moviéndose a la izquierda del árbol hacia la decisión de las raíces con el fin de seleccionar la mejor alternativa.

5. Trace el mejor camino de decisiones de regreso a través del árbol.

Problema Práctico

Dorothy Duff se desempeña como gerente general de una procesadora de alimentos Duff Products and Services. En la actualidad fue contactada cor una comercializadora internacional de supermercados que desea el mercadeo, dentro del país, de su propia marca de cenas congeladas para microondas. La oferta hecha a Duff por la corporación del supermercado exige que se tome una serie de dos decisiones, ahora y dentro de 2 años. La decisión actual comprende dos alternativas: 1) Arrendar las instalaciones de la cadena de supermercados en los Estados Unidos de América (U.S.A.) que se había acordado convertir en una instalación de procesamiento actual para uso inmediato de la compañía de Duff, o 2) Construir y adquirir una instalación de procesamiento y empaque en U.S.A. Los resultados posibles de esta primera etapa de decisión son un buen o mal mercado, dependiendo de la propuesta del público.

Las alternativas de decisión, 2 años a partir de ahora, dependen de la decisión de arrendar o adquirir que se tome ahora. Si Duff decide arrendar, una buena respuesta del mercado significa que las alternativas de decisión futuras son producir el doble, lo mismo o la mitad del volumen original. Esta será una decisión mutua entre la cadena de supermercados y la compañía de Dorothy. Una mala respuesta del mercado indicará la mitad del nivel de producción o el retiro completo del mercado de U.S.A. Los resultados para decisiones futuras son, nuevamente, buenas y malas respuestas del mercado.

Como acordó la compañía de supermercados, la decisión actual para Dorothy de adquirir la instalación le permitirá fijar el nivel de producción dentro de dos años. Si la respuesta del mercado es buena, las alternativas de decisión son cuatro veces y el doble de los niveles originales. La reacción a una mala respuesta del mercado será la producción al mismo nivel o ninguna producción en absoluto.

Construya el árbol de decisiones y señale los resultados para Duff Products and Services.

El árbol representa dos etapas con las posibles alternativas ahora y dentro de dos años. Se debe identificar los nodos y las ramas de decisión iniciales y lego se debe desarrollar el árbol utilizando las ramas y los resultados de mercado bueno y malo para cada decisión. La figura anterior detalla las etapas de decisión y las ramas de resultados.

Decisión ahora:

Llámela D1

Alternativas: arrendar (L) y adquirir (O)

Resultados: buenos y malos mercados

Decisiones dentro de 2 años:

Llámela D2 a D5

Resultados: buen mercado, mal mercado y fuera del negocio

Selección de niveles de producción para D2 hasta D5:

Cuadruplique la producción (4X); duplique la producción (2X); nivel de producción (1X); la mitad de la producción (0.5X); suspenda la producción (0X)

Las alternativas para futuros niveles de producción (D2 hasta D5) se agregan al árbol seguidas de las buenas y malas respuestas del mercado. Si se toma la decisión de suspender la producción (0X) en D3 o D5, el único resultado es salir del negocio.

Problema Práctico

Se requiere bien sea para mercadear o para vender un nuevo invento. Si el producto es mercadeado la siguiente decisión es hacerlo a nivel nacional o internacional. Suponga que los detalles de las ramas de resultados producen el árbol de decisiones que se muestra en la figura. Para cada resultado se indican las probabilidades y el VP de los costos y beneficios (reintegro en $ millones). Determinar la mejor decisión en el nodo de decisiones D1.

• 1. En este caso se ofrece el valor presente de reintegro.

• 2. Se calcula el reintegro VP esperado para alternativas de los nodos D2 y D3

E(decisión internacional) = 12(0.5) + 16(0.5) = 14

E(decisión nacional) = 4(0.4) – 3(0.4) –1(0.2) = 0.2

Los reintegros VP esperados de 4.2 y 2 para D3 se calculan en forma similar.

• 3. Se selecciona el reintegro esperado más grande en cada nodo de decisión. Estos son 14 (internacional) en D2 y 4.2 (internacional) en D3.

• 4. Se calcula el reintegro esperado para las dos ramas D1.

El valor esperado para la decisión de vender es simple puesto que el único resultado tiene un reintegro de 9. La alternativa nodal D1de vender genera el reintegro esperado mas grande de 9.

E(decisión de mercado) = 14(0.2) + 4.2(0.8) = 6.16

E(decisión nacional) = 9(1.0) = 9

• 5. El camino de reintegro VP esperado mas grande es seleccionar la rama de venta en D1 para obtener $9.000.000 garantizado.

Punto de equilibrio

El análisis del punto de equilibrio se enfoca en determinar el valor de una variable o un parámetro de un proyecto o alternativa que iguala dos elementos, como por ejemplo, el volumen de ventas que igualará ingresos y costos. Un estudio de punto de equilibrio se lleva a cabo para dos alternativas con la finalidad de determinar cuando una alternativa es igualmente aceptable; digamos, el valor de reemplazo del defensor en un estudio de reemplazo, que iguala al retador como una buena opción. El análisis de punto de equilibrio casi siempre se aplica en decisiones de hacer o comprar cuando las corporaciones y los negocios deben decidir respecto de la fuente de los elementos fabricados, servicios de toda clase, etcétera.

Los estudios de punto de equilibrio se valen de estimaciones que se consideran ciertas; es decir; si se espera que los valores estimados varíen suficientemente como para que influyan muy probablemente en el resultado, se requerirá otro análisis de punto de equilibrio con diferentes cálculos. Esto nos lleva a la observación de que el análisis de punto de equilibrio forma parte del más amplio esquema de análisis de sensibilidad. Si se permite que varíe la variable de interés en un análisis de punto de equilibrio, es necesario adoptar los enfoques del análisis de sensibilidad. Además si se toman en cuenta la probabilidad y evaluación con riesgo, se pueden aplicar las herramientas de simulación para complementar la naturaleza estática de un estudio de punto de equilibrio.

VALOR DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

Con frecuencia es necesario determinar la cantidad de una variable a la cual los ingresos y los costos son iguales con el fin de estimar la cantidad de utilidad o pérdida. Esta cantidad, denominada equilibrio, QPE se determina utilizando las relaciones para la estimación de ingresos y de costos como función de cantidades diferentes Q de una variable particular. El tamaño de Q puede estar expresado en unidades por año, porcentaje de capacidad, horas por mes y muchas otras dimensiones. En general, aquí se utilizan, unidades por año, como ilustración.

En la figura se presentan diferentes formas de la relación de ingresos, identificadas como R.

Con frecuencia se supone una relación de ingresos lineal, pero algunas veces es más realista una relación no lineal, puesto que ésta puede modelar un ingreso unitario creciente para los volúmenes más grandes: curva no lineal 1 en la figura 16. la. También, un R no lineal puede reconocer que, aunque los ingresos adicionales son posibles, generalmente, predominan precios unitarios decrecientes para las cantidades más altas: curva no lineal 2.

Los costos, que pueden ser lineales o no lineales, se componen generalmente, de dos

elementos —fijos y variables— como lo indica la figura 16.lb.

Costos fijos (CF). Incluyen costos tales como edificios, seguro, gastos generales o costos

indirectos, algún nivel mínimo de mano de obra y recuperación de capital.

Costos variables (CV). Incluyen costos tales como mano de obra directa, materiales, mano de obra indirecta y de apoyo, contratistas, mercadeo, publicidad y garantías.

Generalmente, el componente de costo fijo es constante para todos los valores de la variable, de manera que éste no varía con niveles de producción diferentes o con el tamaño de la fuerza laboral. Aun si no se producen unidades, se incurre en costos fijos, porque la planta debe tener un mantenimiento y algunos empleados deben ser pagados. Por supuesto, esta situación no podría durar mucho antes de que la planta tuviera que cerrarse para reducir los costos fijos. Éstos se reducen a través de una mejor utilización del equipo, del sistema de información y de la fuerza laboral, paquetes menos costosos de prestaciones sociales, subcontratación de algunas funciones, etc.

Los costos variables cambian con el nivel de producción, el tamaño de la fuerza laboral y otras variables. Generalmente, es posible disminuir los costos variables mediante un mejor diseño del producto, eficiencia en la fabricación y en el volumen de ventas.

Con frecuencia, la relación entre los componentes CF y CV es predecible. Por ejemplo, un producto fabricado en equipo desactualizado y en instalaciones anticuadas puede tener un costo fijo grande debido a los altos costos de mantenimiento, procesos ineficaces y pérdida en tiempo de producción. También, el costo variable puede ser alto debido a altas tasas de desperdicio; mal uso del tiempo de los empleados; e incapacidad del proceso en utilizar mejores insumos materiales, sistemas de software y técnicas de trabajo.

Cuando se agregan CF y CV, ellos forman una relación de costo total, CT. La figura ilustra la relación CT para costos fijos variables y variables lineales. La figura muestra una curva CT general para el CV no lineal, en la cual los costos variables unitarios disminuyen a medida que el nivel de la cantidad aumenta.

Para alguna cantidad de la variable, las relaciones de ingreso y de costo total se intersecarán para identificar el punto de equilibrio, QPE,. Si Q > QPE hay una utilidad predecible, pero si Q < QPE, hay una pérdida, siempre y cuando las relaciones se continúen estimando correctamente a medida que el valor de Q cambia. Si el costo variable por unidad disminuye, la línea CT también lo hará y el punto de equilibrio se reducirá en términos de valor; es decir, se requerirá menos para estar en equilibrio. Esta es una ventaja porque cuanto menor sea el valor de QPE más alta será la utilidad para un monto dado de ingreso. Para los modelos lineales de R y CV, cuanto más alta sea la cantidad real vendida, mayor será la utilidad como lo ilustra la siguiente figura.

Si se utilizan modelos no lineales para R o CT, puede haber más de un punto de equilibrio. La siguiente figura presenta esta situación para dos puntos de equilibrio. La utilidad máxima se obtiene ahora operando a una cantidad QPE que ocurre entre los dos puntos de equilibrio y cuando la distancia entre las relaciones R y CT es mayor.

Problema Práctico

Una línea de manufactura de componentes para frenos de disco de camión ha operado históricamente en alrededor del 80% de la capacidad de línea con una producción de 14.000 unidades al mes. La demanda internacional en descenso ha reducido la producción a 8.000 unidades por mes para el futuro previsible. Utilizar la siguiente información para (a) determinar el lugar donde el nivel reducido (8.000 unidades por mes) ubicará la producción en términos relativos al punto de equilibrio lineal y a la utilidad y (b) para estimar el costo variable por cada freno, v, necesario para lograr un equilibrio al nivel unitario de 8.000 unidades, si el ingreso por unidad, r , y los costos fijos permanecen constantes.

Costos Fijos: $75.000 por mes

Costo Variable: $2,50 por unidad

Ingreso: $8 por unidad

Primero, se desarrollan relaciones lineales para el ingreso R y el costo total CT. Sea Q la cantidad en unidades por mes.

R = rQ = 8(Q) ($ por mes)

CV= vQ = 2,50(Q) ($ por mes)

CT= CF + CV = 75.000 + 2,50(Q) ($ por mes)

Para determinar el punto de equilibrio Q=QPE, se define ingreso igual a costo total, es decir R=CT y se resuelve para QPE.

rQ = CF + CV = CF + vQ

QPE= CF/(r-v)

Resolviendo la ecuación anterior

La figura indica que a 14.000 unidades (80% de la capacidad) esta planta ha estado produciendo justo por encima del equilibrio, el cual ocurre al 78% de la capacidad. (Este es un requisito de producción muy alto para alcanzar el punto de equilibrio)

PUNTO DE EQUILIBRIO ENTRE DOS ALTERNATIVAS

En la mayoría de los análisis económicos, uno o más de los componentes del costo varían como función del número de unidades. Comúnmente, las relaciones de costo se expresan en términos de la cantidad (u otra variable), y se calcula el valor al cual las alternativas quedan en equilibrio. Para encontrar el punto de equilibrio, la variable debe ser común a ambas alternativas, tanto como costo de operación como costo de producción. La figura ilustra este concepto para dos alternativas con relaciones de costo lineales. El costo fijo, CF, de la alternativa 2, que puede ser el valor anual de la inversión inicial, es mayor que el de la alternativa 1. Sin embargo, la alternativa 2 tiene un costo variable menor, como lo indica su endiente más baja. La intersección de las dos líneas CT localiza el punto de equilibrio. Por tanto, si se espera que el número de unidades de la variable común sea mayor que la cantidad de equilibrio, se selecciona la alternativa 2, puesto que el costo total de la operación será mas bajo. En forma opuesta, un nivel anticipado de operación por debajo del punto de equilibrio favorece la alternativa 1.

En lugar de representar gráficamente los costos totales de cada alternativa y estimar el unto de equilibrio en términos gráficos, puede ser más fácil calcular el punto de equilibrio numéricamente utilizando expresiones de ingeniería económica para el VP o VA. Aunque el costo total puede expresarse como VP o VA, en general se prefiere este último, cuando las unidades variables están expresadas en una base anual. Además los cálculos VA son más simples cuando las alternativas bajo consideración tienen vidas diferentes. Para determinar el punto de equilibrio y seleccionar una alternativa pueden utilizarse los siguientes pasos:

1. Defina claramente la variable común y establezca sus unidades dimensionales.

2. Utilice el análisis VA o VP para expresar el costo total de cada alternativa como función de la variable común.

3. Iguale las dos relaciones de costos y resuelva para el valor de equilibrio de la variable.

• 4. Si el nivel anticipado de la variable está por debajo del valor del equilibrio, seleccione la alternativa con el costo variable más alto (la mayor pendiente). Si el nivel está por encima del punto de equilibrio, seleccione la alternativa con el costo variable más bajo.

Problema Práctico

Una pequeña compañía aeroespacial está evaluando dos alternativas: la compra de una máquina de alimentación automática y una máquina de alimentación manual para un proceso de acabado de un producto. La máquina de alimentación automática tiene un costo inicial de $23.000, un valor de salvamento estimado de $4.000 y una vida proyectada de 10 años. Una persona manejará la máquina a un costo de $12 la hora. La producción esperada es de 8 toneladas por hora. Se espera que el costo anual de mantenimiento y operación sea de $3.500.

La máquina alternativa de alimentación manual tiene un costo inicial de $8.000, no tiene un valor de salvamento esperado, una vida de 5 años y una producción de 6 toneladas por hora. Sin embargo se requerirán tres trabajadores a $8 la hora cada uno. La máquina tendrá un costo anual de mantenimiento y operaciones de $1.500. Se espera que todo el capital invertido genere un retorno de mercado del 10% anual antes de impuestos.

¿Cuántas toneladas por año deben terminarse con el fin de justificar el mayor costo de compra de la máquina de alimentación automática?

Si se anticipa un requerimiento de terminar 2.000 toneladas por año, ¿cuál máquina debe comprarse?

a) Se utilizan los pasos descritos anteriormente para calcular el punto de equilibrio.

Sea x el número de toneladas anuales terminadas

Para la máquina de alimentación automática el costo variable anual es:

El CV se desarrolla en dólares por año, como lo exige el análisis VA. La expresión VA para la máquina de alimentación automática es:

VAauto = –23.000(A/P,10%,10)+4.000(A/F,10%,10)–3.500–1,5x

VAauto = $–6992–1,5x

En forma similar, el costo variable anual y VA para la máquina de alimentación manual son:

VAanual = –8.000(A/P,10%,5)–1.500–4x

VAanual = –3.610–4x

Se igualan las dos relaciones de costos y se resuelve para x, la cantidad de equilibrio en toneladas por año.

VAautomática = VAmanual

–6992–1,5x = –3610–4x

x =1353 toneladas por año

Si se espera que la producción exceda 1.353 toneladas por año, compre la máquina de alimentación automática pues su pendiente CV es menor.

b) Se selecciona la máquina de alimentación automática puesto que 2.000>1.353 de acuerdo con la parte (a). Si el punto de equilibrio no hubiera sido determinado, sería aún posible seleccionar una alternativa sustituyendo el nivel de producción esperada de 2.000 toneladas por años en las relaciones VA anteriores. Los resultados son VAautomática=$–9.992 y VAmanual=$–11.610. La compra de la máquina de alimentación automática se justifica por su valor VA numéricamente mas grande.

Problema Práctico

Una empresa manufacturera nacional dedicada a los aparatos domésticos para el cuidado de la salud. Se enfrenta a la disyuntiva de hacer o comprar. Se puede instalar un elevador mecánico novedoso en la cajuela de un automóvil para subir y bajar una silla de ruedas. El brazo de acero del elevador puede comprarse a $0.60 por unidad y construirse en la empresa. Si se fabrica en la compañía, se requerirán dos máquinas. Se calcula que la máquina A tendrá un costo de $ 18000, una vida útil de 6 años y un valor de salvamento de $2000; la máquina B tendrá un costo de $12000, una vida útil de 4 años y un valor de salvamento de $ -500 (costo por que se la lleven). La máquina A requerirá una revisión general después de 3 años, cuyo costo sería de $3000. Se espera que el costo anual de operación de la máquina A sea de $6000 anuales y el de la máquina B de $5000 anuales. Se requerirá un total de cuatro operadores con u salario de $12.5 por hora cada uno para las dos máquinas. En una jornada normal de 8 horas, los operadores y las dos máquinas pueden producir suficientes partes para la fabricación de 1000 unidades. Aplique una TMAR del 15 % anual para determinar lo siguiente.

• a) Número de unidades por fabricar cada año para justificar la opción de fabricación en la empresa.

• b) El máximo de gastos de capital justificable para adquirir la máquina A, suponiendo que los demás cálculos para las máquinas A y B son los que se han establecido. La compañía espera producir anualmente 125000 und.

Solución

a)