Integrales de Simetría (Integral Física) en 3D (página 2)

Figura 1.a

Hipótesis de integración simétrica:

La simetría del área bajo la curva de una potencia de la función identidad, en relación al área de la figura elegida como patrón, aumenta en la misma cantidad que incrementa el exponente de la potencia. Es decir, si queremos hallar ahora la primitiva de In(x) = f(x) = xn, (figura 1.b), el incremento del exponente con respecto a la función identidad I(x) = f(x) = x, es n – 1, y por tanto este es el incremento en el denominador por la simetría.

Entonces la primitiva F(x), de f(x) = xn:

Aunque parezca muy trivial, este desglose nos permitirá tener un procedimiento general que aplicaremos para hallar primitivas en 3D.

Consideraciones para primitivas de integrales de tres dimensiones:

1) La base en la integración 3D (a diferencia de 2D) debe escogerse de entre un sinnúmero de formas. Aquí consideraremos dos: base triangular y base circular-elíptica.

2) El Diferencial dxy que usamos como notación no representa un rectángulo infinitesimal, como en la integral doble de 2D, más bien representa una porción del área de la base independiente del sistema de coordenadas.

3) Los Límites de integración para evaluar la primitiva, son las distintas ecuaciones de las superficies que delimitan el volumen a calcular.

4) La Constante de integración C puede ser una función y será omitida en el procedimiento.

5) Esta teoría no pretende sustituir las integrales múltiples.

6) Las aplicaciones físicas requieren redefinir los conceptos y principios de las leyes de la física en el campo n dimensional donde se define la integral de simetría. Por ejemplo ¿cómo definimos la distancia en una integral de simetría de 3D? Obviamente tendríamos que definirla como una función de dos variables independientes (velocidad y tiempo independientes una del otro), y su interpretación geométrica ya no sería un área sino un volumen. Sin embargo parece muy conveniente para aplicaciones en relatividad.

Integración Simétrica en 3D

Queremos ahora aplicar tanto el proceso de integración simétrica, como su hipótesis de simetría, en el espacio R3. Pero primero debemos superar el inconveniente mencionado en las consideraciones anteriores, sobre la escogencia de una base de integración ante la multivariedad de formas que pueden tomar estas en el plano xy. Inconveniente que no se presenta en R2 debido a que la base de integración, que en este caso es un segmento, sólo tiene una única forma, y si acaso sólo podemos cambiar su orientación (orden de integración). Una segunda dificultad surge también por la elección que debemos hacer, en el espacio R3, de la función identidad, que a diferencia de R2, donde dicha función identidad es única I(x) = x. En R3 tenemos muchas posibilidades de estimar una función como "función identidad". Por ejemplo: Tanto z = x + y como z = pueden ser consideradas como funciones identidad. Esta ambigüedad se supera automáticamente con la solución del inconveniente anterior. Es decir, ambos obstáculos a una son salvados al hacer una sola elección, lo cual implica inequívocamente una función identidad diferente y única para cada base, o tipo de expansión de las variables (ver apéndice B). Es decir escoger una base de integración forzosamente fija la función identidad. Resaltamos que este es el único medio en que podemos conseguir primitivas en R3. En este trabajo presentaremos el desarrollo de la base triangular y circular cuyas funciones identidad son I(x,y) = x + y ; I(x,y) = respectivamente.

Integral de Base Triangular

Como su nombre indica consiste en tomar como base de integración un triángulo, que para simplificar, elegimos rectángulo, cuyos catetos valen la unidad y coinciden con los ejes x, y (como muestra la figura 2 en rojo). Sobre ella graficamos (en azul) la función "identidad", apropiada para esta base f(x,y) = x + y. La figura patrón sobre la cual se define la simetría es un paralelepípedo. El resultado es un prisma inscrito en un cubo con simetría 3, dentro del mismo.

Aplicamos ahora el algoritmo de integración simétrica, anteriormente descrito, para obtener la primitiva de la función identidad I(x,y) = f(x,y) = x + y, como lo hicimos para f(x) = x en 2D. Tomando en cuenta que la base b, es ahora el área de la base del cubo, b = x.y, con su altura h = f(x,y). La primitiva F(x,y), es el volumen del cubo entre la simetría de la función identidad que es 3:

¡Eureka!

De esta manera obtenemos la primera primitiva de una función escalar de 3D.

Aplicando ahora la hipótesis de la integración simétrica, tenemos la primitiva para cualquier potencia de la función identidad (x + y)n:

Generalizando para un binomio con coeficientes a y b, resulta:

Ilustremos ahora el poder de cálculo de esta integral, con un Ejemplo:

Hallar el volumen bajo la superficie de la función ,

comprendida entre los planos 2x + 3y = 3, 2x + 3y = 2. En la figura 3 graficamos lo que queremos hallar

Aplicando la fórmula 1) la primitiva es

Los límites de integración para evaluar esta primitiva, son las distintas ecuaciones de superficie, las cuales agrupamos a manera de parámetros b) y a) como en la integral tradicional:

b) x = 3/2, y = 1, 2x + 3y = 3 a) x = 1, y = 2/3, 2x + 3y = 2

Introducimos estos parámetros en la primitiva hallada en la forma F(b) – F(a):

Este mismo resultado puede verificarse por el método tradicional de la integral múltiple, originándose integrales nada fáciles de resolver, además de que se hace necesario dividir la región en dos partes:

Base circular elíptica

Podemos ahora aplicar el mismo procedimiento anterior para esta nueva base (ver figura 4), donde la función identidad es el paraboloide:

f(x,y) = x2 + y2, que divide al cilindro (figura patrón) en dos volúmenes iguales (simetría s = 2) y cuya área de base es p(x2 + y2). Aplicando directamente la hipótesis de integración simétrica para esta base. La primitiva es el volumen del cilindro cuya nueva altura es (x2 + y2)n, y

cuya base es p(x2 + y2), entre la simetría s = 2, más el incremento simetría n – 1:

Generalizando para un binomio con coeficientes a2 y b2 (base elíptica) y por cambio de variables, tenemos:

Ejemplo: Ilustremos también el poder de esta integral para calcular el volumen de una semiesfera de radio a, y ecuación

, interceptada con un cilindro de radio r, x2 + y2 = r2 ver Fig. 5

Para hallar la primitiva de f(x,y) procedemos como estamos acostumbrados en el cálculo tradicional, por cambio de variable d(a2 – x2 – y2) = – dxy, y aplicando la fórmula 2).

Ahora insertamos en esta primitiva obtenida, los límites de integración de las superficies cilíndricas

Y el resultado es finalmente

En la tabla II mostramos también algunas primitivas de las funciones más relevantes.

Deducción tampoco fácil de obtener por el proceso tradicional de la integral múltiple, que además requiere cambiar a coordenadas a polares.

Conclusiones

Los resultados en 3D redundan en lo que ya se ha derivado de 2D. Sin embargo tenemos un procedimiento mucho más resumido, y un mayor poder de cálculo. Además se abre un nuevo horizonte de aplicaciones, si consideramos todas las herramientas afines al cálculo: La derivada 3D para cada tipo de base, ecuaciones diferenciales, series de potencias, polinomios etc. a las cuales habría que aplicarles este nuevo concepto, sobre el enfoque de un cálculo para dos o más variables independientes.

Aparte de esto, el revelar la conexión entre la simetría y el cálculo, posibilita desglosar en tres los elementos que definen el cálculo: la base o patrón de expansión de las variables con su correspondiente función identidad, la figura patrón, y la métrica sobre la cuál se define la simetría. Esto permite no sólo incursionar aplicaciones en simetrías semienteras, sino que debido a su expresión matemática invariante al sistema de coordenadas, también generaliza un procedimiento de cálculo para el análisis multidimensional con el fin de generar primitivas en espacios Euclídeos y no Euclídeos n dimensional. Por supuesto conforme la disponibilidad y capacidad de percibir una simetría particularizada a un modo de expansión de las variables, característico también de la base de integración y del volumen patrón escogido. En tal sentido proponemos la siguiente expresión para una primitiva k dimensional:

Glosario

Simetría: Propiedad de ciertos objetos físicos y/o figuras geométricas de permanecer inalterables ante cierta "transformación lineal" ya sea de traslación o de rotación.

Función identidad: Es la función de Rn sobre la cual se percibe físicamente una simetría respecto a alguna figura geométrica, previamente escogida y de aspecto regular.

Patrón de expansión: Es la forma como se expanden las variables dentro del dominio de integración. En R3, el modo como crece el área, trapezoidalmente en el caso triangular y concéntricamente en el caso circular.

Apéndice

APÉNDICE A

Tablas de Primitivas de Integrales en 3D

Tabla I

APÉNDICE B

Tipos de Expansión de las variables xy (bases)

Expansión Triangular

A continuación ilustramos la expansión triangular, note que paralelamente sobre la expansión de la base en el plano xy (en rojo) cabalga la función z = x + y, la cual representa la función identidad apropiada para este tipo de base.

Expansión Circular

De la misma manera podemos notar como el cono z = es una función que se acopla a la expansión circular, y por tanto una candidata a Función Identidad.

APÉNDICE B (continuación)

Modos de Expansión de las variables xy

Base Cuadrada

A continuación ilustramos los distintos modos en que se puede expandir una base. Tomando como ejemplo la base cuadrada. También para este tipo de base puede usarse la función identidad z = x + y

Estos mismos modos de expansión pueden aplicarse a las otras bases triangular y circular.

APÉNDICE C

Aplicación Matemática de las Integrales de Simetría

¿Por qué no existe la primitiva de

Queremos ahora presentar una aplicación de este nuevo enfoque de la teoría de integración, para mostrar por vez primera un argumento simple pero válido, que justifique en su dialéctica, el por qué no podemos hallar una primitiva de o una combinación finita de operaciones sobre funciones conocidas con el mismo propósito de hallar la integral).

Procedemos al absurdo:

Supongamos que tal primitiva existe y llamémosla O (x) (en realidad esta función sólo existiría en el cálculo numérico computacional) entonces:

Consideremos también la misma función primitiva pero en otra variable, digamos y:

Y construyamos ahora la función Tal que F(x,y) = O (x). O (y)

Es decir la función F(x,y) de R3, es el resultado del producto de la misma primitiva R2, una en la variable x, otra en y. Sustituyendo por sus respectivas integrales tenemos:

Dado que suponemos que tanto x como y son finitos y es continua y acotada en dicho intervalo, ambas funciones son integrables en dichos intervalos, tanto en x como en y, y por lo tanto podemos asociar el producto de estas integrales en una integral reiterada[1](o integral iterada) sobre una región del plano que llamaos R:

APÉNDICE C (continuación)

Ahora expresamos esta integral iterada en una integral doble[2]sobre la misma región R del plano xy (marcada en azul en el gráfico):

La presente gráfica de z = F(x,y) ilustra materialmente lo que queremos mostrar:

Podemos expresar también esta integral en forma de Integral de Simetría con el correspondiente lenguaje diferencial dxy, y conviniendo ahora la notación R como base rectangular.

Ahora en base a la teoría de Integral de Simetría esta integral no puede existir, puesto que no hay simetría visible ni perceptible para la función del argumento (función "identidad") x2 + y2 sobre una base rectangular (marcada en azul en la gráfica), como sí hay simetría

APÉNDICE C (continuación)

perceptible para la base circular (marcada en rojo discontinuo en la gráfica. Y ni siquiera menos podemos esperar hallar la primitiva término a término de la expansión en serie de en base rectangular. Por tanto no existe tal función F(x,y) primitiva (combinación finita de operaciones sobre funciones conocidas), y tampoco existen las hipotéticas primitivas O(x), O (y). O dicho de otra manera no existe tal primitiva en R3, puesto que la expansión del argumento es circular y la base de integración es rectangular. Por lo cual queda demostrado, bajo las premisas de esta teoría, que definitivamente no existe la primitiva de Y ni siquiera como una combinación finita de operaciones sobre ella misma o sobre alguna otra función trascendente. La demostración es también válida para cualquier función trascendente con argumento x2.

Sin embargo, como también lo señalamos en la tabla I, sí existe la primitiva de ex + y para una base triangular, como también la podemos verificar para la base rectangular, ya que la función "identidad" x + y sí posee simetría perceptible sobre la base triangular y rectangular.

En conclusión la demostración se ha basado en que la función de R2 es parte o componente de una función más general perteneciente a R3, y cuya primitiva (sobre una base rectangular) en tal espacio R3, es necesariamente el producto de ambas primitivas de R2, y hemos demostrado que esta primitiva de R3 no existe, para la base rectangular y por ende tampoco el producto, y en consecuencia no existen las componentes O (x), O (y).

He aquí por tanto la ventaja de tener primitivas en R3 y una teoría que las sustente. En definitiva la capacidad que tenemos para distinguir simetrías es, al fin y al cabo, lo que permite relacionar una sumatoria infinita, representativa de un área bajo una curva (en el caso bidimensional 2D), o de un volumen bajo una superficie (caso 3D), con funciones conocidas o combinaciones de operaciones sobre ellas (que llamamos primitivas), las cuales evaluamos por inserción de parámetros adecuados en ellas.

APÉNDICE D

Constantes de Integración en 3D

Hasta ahora hemos evadido el tema de la constante de Integración que desde un principio habíamos hecho mención en las consideraciones sobre primitivas en 3D, como funciones de x e y. No ha sido pues casualidad que hayamos postergado su tratamiento para el final de este trabajo, en referencia a las complicaciones que requieren su estudio. Sin embargo es precisamente aquí donde radican las principales virtudes de la integral de simetría, pues son las constantes de integración las que le dan a la primitiva obtenida el carácter de una función de dos variables independientes.

Comenzaremos por la base triangular: Note que como ahora tenemos más variables en consideración estas pueden combinarse de tal manera que bajo la influencia de la expansión, los incrementos de cada variable sean iguales y opuestos, dando un resultado total nulo, para el caso en que la expansión sea simétrica o no.

Notamos enseguida que cualquier potencia del binomio (x – y) permanece invariable al patrón de expansión de las variables. Luego la constante de integración será Cj(x – y)j , usando la notación tensorial. Lo mismo acontece para cualquier potencia del binomio que contenga potencias de los monomios, es decir:

Cij(xi – xi)j

De la misma forma para binomios con coeficientes la primitiva para la base triangular adquiere la forma más general:

Base circular

Debido a que el "epicentro" de la expansión circular la ubicamos en el centro de coordenadas, notamos enseguida que las variables x e y, son por sí mismas constantes de integración. Ya que su contribución (al ser la expansión simétrica en estos ejes) resulta en un incremento positivo en una dirección y el mismo incremento en la dirección opuesta, pero negativo. Lo mismo acontece para potencias impares de estas y para los productos cruzados que contengan también potencias par e impar simultáneamente.

La constante de integración resulta entonces:

Donde j y k son enteros (j,k ? Z), y no pueden ser impar o par a la vez.

APÉNDICE E

Base Mixta Lineal

Hasta ahora hemos construido primitivas de funciones de R3 a través de potencias de binomios cuyos argumentos x,y son homogéneos (igual potencia). Sin embargo el algoritmo de integración simétrica se aplica sorprendentemente al caso no homogéneo, tomando como figura patrón un paralelepípedo. Comencemos con el primer caso cuando uno de los argumentos (digamos x) es lineal y el otro es cualquier potencia entera positiva. Por comodidad omitiremos la constante de integración.

Tomemos por ejemplo z = x + y3, entonces aplicando el algoritmo de Integración Simétrica la primitiva de la integral es:

Calculemos el volumen del paralelepípedo con la ayuda de la siguiente gráfica

Hallando este volumen a través del método clásico de integrales múltiples o por simple parametrización, hallamos que s = 7/3.

En general se comprueba que:

Ahora sobre este resultado podemos aplicar la hipótesis de integración simétrica para hallar la primitiva de cualquier potencia n:

Podemos generalizar este resultado a un formato multidimensional, digamos con variables: x, y, ?, …, ?

APÉNDICE F

Base Mixta no Lineal

Un caso muy interesante tiene lugar cuando la menor potencia de las variables es diferente de uno, decimos entonces que la base no es lineal. Nosotros sólo presentaremos la situación en que esta menor potencia tiene exponente dos, Base Mixta Cuadrática.

Tomemos el siguiente ejemplo z = x2 + y3. Comprobaremos una vez más que, salvo una constante que debemos considerar ahora, se mantiene el principio de Integración Simétrica. Esta constante la denominaremos "factor de forma" y la denotaremos con la letra griega ?. (pi mayúscula). La cual coincide con p en la eventualidad que "y" tenga también el mismo exponente dos, es decir para el caso en que z = x2 + y2 (circunferencia).

Apliquemos pues el algoritmo de Integración Simétrica a la función z = x2 + y3

Mostremos este volumen del paralelepípedo con la siguiente gráfica:

En este caso no es posible resolver la integral por parametrización. No obstante por integración clásica se comprueba la siguiente fórmula:

En este caso la constante ? = 0,7010909

Podemos generalizar este resultado para cualquier potencia n:

Podemos también generalizar este resultado a un formato multidimensional con variables

x, y, ?, …, ? y exponentes 2, m, k,…,p respectivamente.

Agradecimientos:

A Dios quien da la ciencia y la sabiduría. Daniel 2:20-22.

A mi esposa Josefina por su constante ánimo y asistencia para llevar a cabo este ensayo.

Autor:

Adolfo Acosta

Universidad Simón Bolívar, Venezuela.

[1] Tom M Apostol, Análisis Matemático, Edit. Reverté, 2ª edición, 1979, pag. 475

[2] Tom M Apostol, Análisis Matemático, Edit. Reverté, 2ª edición, 1979, pag. 471