Resumen
Hasta ahora la única noción que tenemos de una primitiva de integral en tres dimensiones (3D) en el espacio R3, es el teorema de Stokes para campos vectoriales conservativos (gradientes), cuya integral da como resultado un campo escalar (potencial). De manera que la física adolece de una herramienta matemática para hallar primitivas de campos escalares y sus respectivas aplicaciones en 3D. La inclusión de algunas simetrías en el planteamiento del proceso de integración, da como resultado nuevas fórmulas de integración y la posibilidad de obtener primitivas de algunas funciones escalares de tres dimensiones. Además de un nuevo e insospechable poder de cálculo. En este ensayo presentaremos dos ejemplos sencillos asociados a dos diferentes tipos de expansión de las variables, ligados también al tipo de simetría, que llamaremos base triangular y base circular-elíptica.
Integrals in Symmetry on 3D (physical integration)
Abstract:
Until now the only notion which we have of a primitive of three dimensions (3D) integral in R3, is the Stoke"s theorem for conservatives vectorial fields (gradients), whose integral turn out a scalar field (potential). So that the physics lack of mathematical tool to find primitive of scalar fields and its applications in 3D. The inclusion of some symmetries in the exposition of the integration process, gives as result new formulas of integration and the possibility to obtaining primitive from some scalar functions of three dimensions. In addition to new and a powerful skill to be able to calculation. In this test we will display two simple examples associate so two different types of expansion of variables, related also from the type of symmetry, that we will call triangular and circular-elliptical bases.
Introducción
Como es sabido la integral múltiple por su definición es una integral definida, de modo que hasta ahora hemos carecido de primitivas para el espacio R3. El objetivo de este trabajo es presentar por vez primera Primitivas para integrales en tres dimensiones, obtenidas a través de un algoritmo que denominamos "Integración Simétrica" o "integral física". Un concepto nuevo que constituye una conexión entre el concepto físico de simetría y el cálculo matemático, y que pone de manifiesto que la ausencia de primitivas en el espacio R3, es consecuencia de la incapacidad de visualizar simetrías tridimensionales. Inversamente, la percepción de simetrías implica mayor capacidad en el poder de cálculo, como lo demostraremos en algunos ejemplos que resaltan el inmenso contraste de este nuevo procedimiento, con el procedimiento tradicional de la integral múltiple.
Integrales de Simetría: El proceso que define la integración matemática, tal cual lo conocemos hasta ahora, ha estado subyugado al plano bidimensional (2D), sin embargo la inclusión del concepto físico de simetría al proceso de integración permite ampliar la definición del cálculo integral por encima de la capacidad y limitaciones inherentes de la visión humana (Teorema de Valor Medio). Esto trae como resultado un nuevo enfoque de una teoría de un Cálculo Integral de varias variables independientes en R3 (Integrales de Simetría), cuyo mayor beneficio, que nos otorga, es el acceso a primitivas en otras dimensiones, a través de un procedimiento por demás sencillo y natural. Que como veremos, se hace posible, si escogemos un patrón de expansión para dichas variables, lo cual constituye una especie de ligaduras entre ellas, pero que unívocamente define un valor numérico para la simetría. Así, como pronto veremos, para la expansión triangular y circular corresponden valores 3 y 2, respectivamente, en la simetría.
Algoritmo de Integración simétrica: Llamaremos así al procedimiento a priori de hallar una primitiva de una función "Identidad" a través del área bajo su curva. Cuyo cálculo visualizamos por su simetría sobre una figura que sirve de patrón, y cuya área es conocida en forma analítica. Por ejemplo en el cálculo tradicional 2D (ver figura 1.a) definimos la función identidad I(x): f(x) = x, la figura que sirve de patrón es el rectángulo cuya área es b.h. En el mismo orden de ideas la función identidad tiene simetría 2 dentro de la figura del rectángulo. La primitiva es entonces la expresión analítica que resulta del área del rectángulo (b.h) entre la simetría de la función que es 2:
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