Tasa de interés de rendimiento

Introducción

La tasa interna de retorno, también conocida con otros nombres como lo son La tasa de rendimiento (TR), Tasa interna de rendimiento (TIR), retorno sobre la inversión (RSI) e índice de rentabilidad (IR), sólo por mencionar algunos, es la tasa a pagar sobre el saldo no pagado del dinero obtenido en préstamo o la tasa ganada sobre el saldo no recuperado de una inversión, de forma que el pago final iguala el saldo exactamente a cero con el interés considerado. La tasa de interés de retorno se calcula mediante una ecuación en función del valor presente y/o valor anual, las cuales deben tomarse algunas precauciones para no cometer errores en el cálculo. Así mismo hay un número máximo de posibles tasas de interés para una serie de flujos de efectivo específica. También se calcula una tasa de rendimiento compuesta utilizando una tasa de inversión determinada. Así como también una tasa de interés nominal y efectiva para una inversión de bonos.

El proceso de toma de decisiones económicas

Supóngase que una persona posee una cantidad razonable de dinero, al cual se considera como la riqueza de esta persona, y no sabe exactamente qué hacer con su capital.

Tiene varias opciones: la primera opción es gastarlo, consumiendo cualquier bien o servicio; la segunda opción es invertirlo para especular, tal como comprar oro, adquirir acciones en la bolsa de valores, etc.; la tercera opción es invertir en la instalación o adquisición de una empresa productora de algún artículo.

Si decide invertir, su decisión estará basada en que, al dejar de consumir en el presente, podrá consumir más en el futuro. Su decisión es no consumir hoy, con la certeza de consumir más en el futuro, y esto lo podrá realizar si su riqueza es mayor, en términos reales, en el futuro que en el presente. Toda la teoría de la utilidad y la teoría de juegos de Newman y Morgersten aceptan esta conducta económica como "racional". Al inversionista siempre le interesará maximizar su riqueza o su ganancia en el futuro.

Así, la primera regla para tomar decisiones de inversión, como individuo y como empresa, es que siempre se buscará la mayor ganancia o maximizar la riqueza de los accionistas.

En términos de ganancia, esto significa que se debe invertir en todos los proyectos de inversión de los cuales se obtenga un rendimiento superior al mínimo vigente en el mercado. ¿Cuál es el rendimiento mínimo del mercado? Existe una referencia muy clara para esta determinación. En cualquier país, el gobierno emite deuda a diferentes plazos. Por ejemplo, en Estados Unidos, el gobierno emite Billetes de Tesoro (T-bills) con vencimiento de un año; también emite Notas del Tesoro (T-notes) con vencimiento de dos a cinco años y Bonos del Tesoro (T-bonds), con vencimiento de entre 20 y 30 años entre otros.

Si al momento de analizar un proyecto un inversionista determina que el rendimiento esperado es menor que el que obtendría al invertir en cualquiera de los instrumentos de inversión gubernamentales vigentes en el país, según el plazo de su inversión, entonces sería mejor invertir con el gobierno, pues ésta es una inversión de riesgo cero. Obtener una tasa de ganancias mayor implica incrementar la riqueza del inversionista. Para tomar la decisión de inversión correcta sólo es necesario determinar todos los flujos de efectivo que se esperan del proyecto, así como los ingresos y costos. También es preciso seleccionar adecuadamente la tasa de rendimiento que se desea ganar, que debe ser superior a la tasa mínima vigente en el mercado, ya que se considera sin riesgo. Cualquier otra forma de inversión, ya sea especulativa o en la industria, implica un riesgo que puede ser muy elevado.

La tasa mínima aceptable de rendimiento (TMAR)

Antes de tomar cualquier decisión, todo inversionista, ya sea persona física, empresa, gobierno, o cualquier otro, tiene el objetivo de obtener un beneficio por el desembolso que va a realizar.

Se ha partido del hecho de que todo inversionista deberá tener una tasa de referencia sobre la cual basarse para hacer sus inversiones. La tasa de referencia es la base de la comparación y el cálculo en las evaluaciones económicas que haga. Si no se obtiene cuando menos esa tasa de rendimiento, se rechazará la inversión.

Todo inversionista espera que su dinero crezca en términos reales. Como en todos los países hay inflación, aunque su valor sea pequeño, crecer en ténninos reales significa ganar un rendimiento superior a la inflación, ya que si se gana un rendimiento igual a la inflación el dinero no crece, sino que mantiene su poder adquisitivo. Es ésta la razón por la cual no debe tomarse como referencia la tasa de rendimiento que ofrecen los bancos, pues es bien sabido que la tasa bancaria de rendimiento es siempre menor a la inflación. Si los bancos ofrecieran una tasa igualo mayor a la inflación implicaría que, o no ganan nada o que transfieren sus ganancias al ahorrador, haciéndolo rico y descapitalizando al propio banco, lo cual nunca va a suceder.

Por lo tanto, la TMAR se puede definir como:

TMAR = tasa de inflación + premio al riesgo

El premio al riesgo significa el verdadero crecimiento del dinero, y se le llama así porque el inversionista siempre arriesga su dinero (siempre que no invierta en el banco) y por arriesgarlo merece una ganancia adicional sobre la inflación. Como el premio es por arriesgar, significa que a mayor riesgo se merece una mayor ganancia.

Métodos de análisis

El método de análisis que se utilice para tomar la decisión de inversión debe tener varias características deseables: ser capaz de seleccionar la mejor opción de entre un conjunto de opciones mutuamente exclusivas, entendiéndose como tal al hecho de tener n alternativas de inversión y, al tomar una de ellas, las demás quedan eliminadas automáticamente.

El mejor método de análisis también debe tomar en cuenta todos los flujos de efectivo que genere los proyectos (positivos y negativos) y no sólo algunos de ellos. Por último, tiene que ser consistente en los supuestos teóricos que le dieron origen.

Periodo de recuperación

Supóngase los siguientes flujos de efectivo de dos alternativas mutuamente exclusivas.

El periodo de planeación y análisis es de seis años (tabla 3.1):

Tabla 3.1

El periodo de recuperación de una inversión es el número de años que tomará el proyecto para recuperar la inversión inicial. Según este método debería seleccionarse A, puesto que en dos años se recupera la inversión inicial; en tanto que B tomaría 3.5 años. La deficiencia más evidente del método es que no está tomando en cuenta todos los flujos de efectivo del proyecto. Si se observan los flujos de efectivo de los seis años, claramente B es superior a A, independientemente de que en el análisis se considere una TMAR.

Entonces cabe la pregunta ¿por qué no se toma A sólo por tres años, se desecha y entonces se toma B o cualquier otro proyecto?. Si se requiere de un proyecto productivo vigente seis años y se tomara A sólo por tres años, ¿qué proyecto se tomaría para los últimos tres años?, ¿el proyecto B o cualquier otro? En realidad, al momento de tomar la decisión en el tiempo cero no se tienen bases para esta determinación. Recuérdese que la decisión debe tomarse en ese momento y debe ser una decisión con vigencia de seis años. Por lo tanto, el método de periodo de recuperación se desecha como método de análisis porque no toma en cuenta todos los flujos de efectivo del proyecto, que es una característica deseable de un buen método de análisis para tomar decisiones.

El valor presente neto (VPN o VP)

Definicion1:

El valor presente simplemente significa traer del futuro al presente cantidades monetarias a su valor equivalente. En términos formales de evaluación económica, cuando se trasladan cantidades del presente al futuro se dice que se utiliza una tasa de interés, pero cuando se trasladan cantidades del futuro al presente, como en el cálculo del VPN, se dice que se utiliza una tasa de descuento; por ello, a los flujos de efectivo ya trasladados al presente se les llamaflujos descontados.

EJEMPLO 3.1 Supóngase que se ha hecho cierto estudio que tomó en cuenta la posibilidad de invertir en una industria metalmecánica. Se calculó una inversión inicial de $1 000 con la posibilidad de obtener las ganancias de fin de año que se muestran en la gráfica 3.1.

Grafica 3.1

La pregunta que se hacen los inversionistas es, ¿conviene invertir en este proyecto dado las expectativas de ganancia e inversión? Para responder a esta pregunta se puede utilizar el VPN como criterio de selección.¿ Para calcularlo, sólo traslade los flujos de los años futuros al tiempo presente y réstese la inversión inicial que ya está en tiempo presente. Los flujos se descuentan a una tasaque corresponde a la TMAR, de acuerdo con la siguiente fórmula:

En donde:

FNEn = flujo neto de efectivo del año n, que corresponde a la ganancia neta después de impuestos en el año n.

p = inversión inicial en el año cero.

i = tasa de referencia que corresponde a la TMAR.

Como ya se mencionó, el inversionista fija la TMAR con base en el riesgo que, él mismo considera, que tiene la inversión que pretende realizar. El análisis de riesgo puede ser cualitativo, es decir, que el inversionista lo determina a partir de su experiencia, o bien, puede ser cuantitativo. Como quiera que sea, supóngase que hay seis diferentes inversionistas que desean poner su capital en la industria metalmecánica del ejemplo 3.1. Cada uno tiene una percepción del riesgo muy diferente, es decir, han asignado una TMAR distinta a la inversión y, por lo tanto, cada uno de ellos obtuvo un VPN diferente. En la tabla 3.2 se muestran los resultados:

Tabla 3.2

La primera pregunta es: ¿cuál de todos los inversionistas ganará más? Si se observa la forma en que está calculado el VPN, el resultado está expresado en dinero. El inversionista 1 podría decir que el resultado que obtuvo es equivalente a que él invierta $1 000, gane 5% cada año durante cinco años (que es el horizonte de análisis) y que además el banco o sitio donde invirtió le diera $538.62 al momento de hacer la inversión. El inversionista 4 diría que a pesar de que su resultado es equivalente a ganar 20% sobre su inversión cada año, durante cinco años, al momento de invertir sólo le darían $18.76 extra. Por último, los inversionistas 5 y 6 dirían que en vez de ganar, ellos perderían, dado el resultado obtenido en su VPN.

Obsérvese que se utilizó la expresión su resultado es equivalente a, y lo cierto es que todos están ganando lo mismo. Entonces, ¿qué interpretación debe darse a los VPN obtenidos?

El VPN, tal y como se calcula, simplemente indica si el inversionista está ganando un aproximado del porcentaje de ganancia que él mismo fijó como mínimo aceptable. Esto significa que para los inversionistas 1, 2, 3 Y4, que solicitaron una ganancia de al menos 20% para aceptar invertir, el proyecto del ejemplo 3.1 definitivamente ofrece un rendimiento superior a 20%. En el caso de los inversionistas 5 y 6, no es que pierdan si invierten, sino que la interpretación es que el proyecto no proporcionará la ganancia que ellos están solicitando como mínima para realizar la inversión, es decir, el proyecto no rinde 25% y menos 30%. Por tal razón, los criterios para tomar una decisión con el VPN son:

• Si VPN > 0, es conveniente aceptar la inversión, ya que se estaría ganando más del rendimiento solicitado.

• Si VPN < 0, se debe rechazar la inversión porque no se estaría ganando el rendimiento mínimo solicitado.

Grafica 3.2

Otra manera de visualizar el cálculo del valor de VP: Para determinar la tasa de rendimiento en una serie de flujo de efectivo se utiliza la ecuación TR con relaciones de VP o VA. El valor presente de los costos o desembolsos VPD se iguala al valor presente de los ingresos o recaudación VPR. En forma equivalente, ambos pueden restarse e igualarse a cero. Es decir, se resuelve para i usando.

VPD= VPR

0= -VPD + VPR

El enfoque de valor anual utiliza los valores VA en la misma forma para resolver i.(las mismas ecuaciones anteriores)

El valor de i que hace que estas ecuaciones numéricas sean correctas se llama i*, Es la raíz de la relación TR. Para determinar si la serie de flujo de efectivo de la alternativa es viable, compare i* con la TMAR establecida.

Si i* =TMAR, acepte la alternativa como económicamente viable.

Si i* < TMAR, la alternativa no es económicamente viable.

Hay dos formas para determinar i* una vez que se ha establecido la relación VP: la solución manual a través del método de ensayo y error, y la solución por computadora. La segunda es más rápida aunque la primera ayuda a entender la manera en que funcionan los cálculos TR.

i* utilizando ensayo y error manual. El procedimiento general de emplear una ecuación basada en VP es el siguiente:

1. Trace un diagrama de flujo de efectivo.

2. Formule la ecuación de la tasa de rendimiento en la forma de la ecuación.

3. Seleccione valores de i mediante ensayo y error hasta que esté equilibrada la ecuación.

Al utilizar el método de ensayo y error para determinar i*, es conveniente que en el paso 3 se acerque bastante a la respuesta correcta en el primer ensayo. Si se combinan los flujos de efectivo, de tal manera que el ingreso y los desembolsos pueden representarse por un solo factor como PIF o PIA, es posible buscar la tasa de interés

(En las tablas que aparecen al final del libro de Ing. Económica de Tarquín) correspondiente al valor de ese factor para n años. El problema, entonces, es combinar los flujos de efectivo en el formato de uno solo de los factores, lo cual se realiza con el siguiente procedimiento:

1. Convierta todos los desembolsos en cantidades ya sea únicas (P o F) o cantidades uniformes (A), al ignorarse el valor del dinero en el tiempo. Por ejemplo, si se desea convertir un valor A en un valor F, simplemente multiplique por A el número de años n. El esquema elegido para el movimiento de los flujos de efectivo debería ser aquel que minimiza el error causado por ignorar el valor del dinero en el tiempo. Es decir, si la mayoría de los flujos de efectivo son una A y sólo una pequeña cantidad es F, la F se debe convertir en una A en lugar de hacerlo al revés.

2. Convierta todos los ingresos en valores únicos o uniformes.

3. Después de haber combinado los desembolsos y los ingresos, de manera que se aplique el formato P/F, P/A o A/F, se deben utilizar las tablas de interés para encontrar la tasa de interés aproximada a la cual se satisface el valor P/F, P/A o A/F. La tasa obtenida es una buena cifra aproximada para el primer ensayo.

Es importante reconocer que la tasa de rendimiento obtenida en esta forma es tan sólo una estimación de la tasa de rendimiento real, ya que ignora el valor del dinero en el tiempo.

La tasa interna de rendimiento (TIR)

La ganancia anual que tiene cada inversionista se puede expresar como una tasa de rendimiento o de ganancia anual llamada tasa interna de rendimiento. En la gráfica 3.2 se observa que, dado que la tasa de interés, que en este caso es la TMAR, es fijada por el inversionista, conforme ésta aumenta el VPN se vuelve más pequeño, hasta que en determinado valor se convierte en cero, y es precisamente en ese punto donde se encuentra la TIR.

Definición I

TIR es la tasa de descuento que hace el VPN = O.

Ecuación 3.3

Al igualar el VPN a cero, la única incógnita que queda es la i. Esta tasa se obtiene por iteración o de manera gráfica. Obsérvese de la gráfica 3.2 quela curva cruza el eje horizontal a un valor aproximado a 21 %. El valor de la TIR para el ejemplo 3.1 es exactamente 20.76006331%.

Definición 2

TIR es la tasa de descuento que hace que la suma de los flujos descontados sea igual a la inversión inicial.

Ecuación 3.4

Aunque esta definición es un simple despeje de P de la fórmula 3.4, lo que establece es que la tasa de ganancia que genera la inversión es aquella que iguala, a su valor equivalente, las suma de las ganancias a la inversión que les dio origen.

Definición 3

La TIR es la tasa de interés que iguala el valor futuro de la inversión con la suma de los valores futuros equivalente de las ganancias, comparando el dinero al final del periodo de análisis.

Ecuación 3.5

En esta definición se aprovecha la facultad que tiene el dinero para ser comparado en forma válida con su valor equivalente y en el mismo instante de tiempo, lo cual significa que si en la ecuación 3.5 se sustituye i = 0.2076006331, casi se cumplirá la igualdad. El casi se debe a que todavía es posible agregar más dígitos al resultado para hacer que la igualdad se cumpla directamente.

Cuando el VPN = O en realidad no significa que se gane o que se pierda, ocurre todo lo contrario. Cuando el VPN = O se está teniendo una ganancia equivalente a la que tuvieron los seis inversionistas del ejemplo 3.1, es decir, si se invierten $1 000 es lo mismo tener una ganancia anual de 20.76006331 % cada año durante cinco años, que ganar 5% sobre la inversión cada año más $538.32 al momento de hacer la inversión. Como la TMAR es fijada por el inversionista y se supone que 20.76% fue determinado por el inversionista, entonces cuando el VPN = O se debe aceptar el proyecto, ya que se estaría ganando exactamente la TMAR, por eso se le llama tasa mínima aceptable. Por lo tanto, el criterio para tomar decisiones utilizando el VPN consiste en aceptar la inversión cuando VPN;:: O.

Por otro lado, mientras el VPN cumpla esta condición de ser mayor o al menos igual a cero, se sabe que se estará ganando más, o al menos la tasa que se fijó como mínima aceptable. De esta manera, el criterio para tomar decisiones con la TIR es el siguiente:

Si TMAR = TIR es recomendable aceptar la inversión

Si TMAR < TIR es preciso rechazar la inversión

Dicho de forma simple, si el rendimiento que genera el proyecto por sí mismo es mayor, o al menos igual a la tasa de ganancia que está solicitando el inversionista, se debe invertir; en caso contrario, es decir, cuando el proyecto no genera ni siquiera el mínimo de ganancia que se está solicitando, entonces se deberá rechazar la inversión.

De esto se deduce que el punto crítico al tomar decisiones de inversión no es el cálculo en sí mismo, sino la correcta determinación de la TMAR. De acuerdo con el ejemplo 3.1, incluso al invertir en una misma empresa, un inversionista puede percibir menor riesgo si conoce el ramo y ya tiene cierta experiencia produciendo y comercializando productos similares; en tanto, el mismo proyecto puede parecer muy riesgoso para un inversionista que por primera vez incursiona en tal sector del mercado. Por lo tanto, cada inversionista podría asignar una TMAR muy distinta. Asimismo, con respecto a los flujos de efectivo del ejemplo, suponiendo que fueran reales, son sólo expectativas de ganancia y nada garantiza que se va a obtener exactamente la cantidad determinada y en el periodo establecido. Por ello, otro aspecto muy importante de la toma de decisiones es la forma en que se realizan las estimaciones de ganancia para el futuro de la inversión.

La ganancia esperada, ya sea que se exprese como VPN o como TIR, se obtendrá sólo si la inversión y la operación de las instalaciones se realizan exactamente como se planearon. También es necesario que los métodos de planeación sean los adecuados en el tipo y la forma de aplicarse. No obstante, los valores de VPN y TIR siguen siendo sólo una expectativa de ganancia.

Definición 4 (interpretación de una tasa de rendimiento).

Desde la perspectiva de una persona que ha recibido un dinero en préstamo, la tasa de interés se aplica al saldo no pagado, de manera que la cantidad prestada y el interés total se pagan en su totalidad con el último pago del préstamo. Desde la perspectiva de quien otorga el préstamo, existe un saldo no recuperado en cada periodo de tiempo. La tasa de interés es el rendimiento sobre este saldo no recuperado, de manera que la cantidad total prestada y el interés se recuperan en forma exacta con el último pago. La tasa de rendimiento define ambas situaciones.

Tasa de rendimiento (TR) es la tasa pagada sobre el saldo no pagado del dinero obtenido en préstamo, o la tasa ganada sobre el saldo no recuperado de una inversión, de forma que el pago o entrada final iguala el saldo exactamente a cero con el interés considerado.

La tasa de rendimiento está expresada como un porcentaje por periodo, por ejemplo i = 10% anual. Ésta se expresa como un porcentaje positivo; no se considera el hecho de que el interés pagado sobre un préstamo sea en realidad una tasa de rendimiento negativa desde la perspectiva del prestatario. El valor numérico de i puede oscilar en un rango entre -100% hasta el infinito, es decir, -100% < i < En términos de una inversión, un rendimiento de i = – 100% significa que se ha perdido la cantidad completa. La definición anterior no establece que la tasa de rendimiento sea sobre la cantidad inicial de la inversión, sino más bien sobre el saldo no recuperado, el cual varía con cada periodo de tiempo.

Desventajas en el uso de la TIR como método de análisis

a) Por la forma en que se calculan, tanto la TIR como el VPN suponen implícitamente que todas las ganancias anuales (los FNE) se reinvierten totalmente en la propia empresa, lo cual es falso. Esta práctica podría darse en algunos años, pero no en todos. En un año cualquiera en que se repartan dividendos, una práctica común en las empresas, ya no es posible alcanzar la TIR predicha en el cálculo. Precisamente, el nombre de tasa interna de rendimiento viene de la consideración de que es un rendimiento generado sólo por la reinversión interna de todas las ganancias que se hace en la empresa.

b) La fórmula para calcular la TIR es un polinomio de grado n. La obtención de las raíces de cualquier polinomio está regida por la regla de los signos de Descartes que dice: "Un polinomio puede tener tantas raíces como cambios de signo tenga el polinomio." Como el cálculo de la TIR es, de hecho, la obtención de la raíz del polinomio planteado, significa que si éste tiene dos cambios de signo, se pueden obtener hasta dos raíces, lo cual equivale a obtener dos TIR que no tienen interpretación económica. Por lo general, sólo existe un cambio de signo, la inversión inicial con signo negativo y los demás miembros del polinomio son positivos, pero interpretados como ganancias iguales. Si en cualquier práctica empresarial, durante un año dado, en vez de obtener ganancias hay pérdidas o una inversión adicional que hace que los costos superen a las ganancias, se producirá un segundo signo negativo. Cuando se presenta esta situación, por ejemplo, en el año tres, la ecuación de cálculo aparecería como:

En la cual, con estos tres cambios de signo se puede producir una triple raíz y, por lo tanto, una doble TIR. Cuando se dan este tipo de casos, el método de la TIR no es útil para tomar decisiones.

c) Al decidir la inversión en un solo proyecto, los métodos de VPN y TIR siempre arrojan el mismo resultado. Pero cuando se comparan dos o más proyectos pueden resultar decisiones contrarias. En estos casos es preferible utilizar el VPN para tomar la decisión, debido a la desventaja que presenta la TIR, como se mostrará en el siguiente apartado.

Situaciones donde la TIR y el VPN conducen a decisiones contrarias

Ejemplo 3.2 Una persona tiene dos alternativas de inversión, ambas de $15000. Sin embargo, la primera ofrece un pago de $5500 al final a cada uno de los próximos cuatro años; por otra parte, la segunda alternativa ofrece un pago único de $27500 al final de los cuatro años. Si la TMAR = 15%, decida cuál alternativa debe seleccionarse (tabla 3.3).

Tabla 3.3

Solución. Como no se pide un método de análisis específico, se utilizan ambos métodos de análisis para las dos alternativas:

VPNA = -15000 + 5500(P/A, 15%,4) = $702.5

VPNB = -15000 + 27400(P/F, 15%,4) = $724.5 Seleccione B

TIRA = 15000 + 5500(P/A,'i, 4) TIRA = 17.29% Seleccione A

TIRB = 15000 + 27500(P/F, i, 4) TIRA = 16.36%

Los métodos VPN y TIR nos dan resultados ¡distintos! No se olvide que de dos alternativas, hay que elegir aquella con mayor ganancia en cualquier sentido, es decir, se elige la de mayor VPN o la de mayor TIR. La explicación para este resultado tan extraño es que se utilizan tres tasas distintas para descontar los flujos: 15, 16.36 y 17.4%; por esta razón, los resultados de traerlos a valor presente son contrarios a lo esperado. Obsérvese que en la alternativa A hay una serie de flujos que se reinvierten en su totalidad año con año. En cambio, en la alternativa B no hay una situación similar de reinversión debido a que la ganancia es una sola cantidad al final del horizonte de análisis.

La suposición implícita de la TIR es que todas las ganancias se pueden reinvertir al valor de la TIR, ya que todos los flujos de efectivo del proyecto se descuentan a esa tasa. No existe una base real para suponer que en el proyecto A, todas las ganancias de cada año se reinviertan a una tasa de 17.29%. En el proyecto B ni siquiera existe una oportunidad de reinversión, dado que toda la ganancia del proyecto se presenta hasta el periodo cuatro, que es el último año del proyecto. Por lo tanto, la TIR no cumple con la característica deseable de un método para tomar decisiones de inversión, tampoco es posible seleccionar la mejor alternativa dentro de un conjunto de ellas. Para obtener un resultado un resultado válido en su totalidad, se debe utilizar una sola tasa de descuento para analizar dos o más alternativas a la vez. En este caso, la única tasa que funciona es la TMAR, ya que es una tasa de referencia. Así, cuando se descuentan los flujos a tasas diferentes a ésta, el resultado puede ser tan contradictorio como el obtenido en el ejemplo.

De lo anterior se concluye que, en situaciones donde se eligen dos o más opciones, el método de la TIR no es aplicable debido a que descuenta los flujos a tasas distintas a la de referencia. El único método válido en estos casos es el VPN. Por lo tanto, en el ejemplo 3.2 elíjase la alternativa B. Debe enfatizarse que, cuando se analiza una sola alternativa, las decisiones tomadas bajo el criterio de VPN y TIR son absolutamente congruentes.

En resumen y para simplificar el contenido se puede decir que la evaluación económica para cualquier tipo de inversiones existen dos métodos básicos que son el VPN y la TIR. En su utilización, se cuenta con una tasa de referencia llamada tasa mínima aceptable de rendimiento.

Los criterios de decisión al usar estos métodos son:

Análisis de una sola alternativa

Precauciones cuando usa el método TR

El método de tasa de rendimiento, por lo general, se utiliza en contextos de ingeniería y negocios para evaluar un proyecto, como se analiza en este capítulo, y para seleccionar una alternativa entre dos o más. Cuando se aplica correctamente, la técnica de la TR siempre resultará en una buena decisión, de hecho, la misma que con un análisis VP o VA (o VF).

Sin embargo, existen algunas suposiciones y dificultades con el análisis de TR que deben considerarse cuando se calcula i* y al interpretar su significado en el mundo real para un proyecto específico.

• Múltiples valores de i*. Dependiendo de la secuencia del flujo de efectivo neto de desembolsos e ingresos, pueden existir más de una raíz real para la ecuación TR, lo cual resulta en más de un valor i*. Tal dificultad se examina en la siguiente sección.

• Reinversión a la tasa i*. Los métodos VP y VA suponen que cualquier inversión positiva neta (es decir, flujos de efectivo positivos netos una vez que se considera el valor del dinero en el tiempo) se reinvierte a la TMAR. Pero el método TR supone reinversión a la tasa i*. Cuando i* no está cerca de la TMAR (por ejemplo, cuando i* es sustancialmente mayor que la TMAR), se trata de una suposición irreal. En tales casos, el valor i* no es una buena base para la toma de decisiones. Aunque con mayor contenido computacional que VP o VA a la TMAR, existe un procedimiento para emplear el método TR y obtener aun un valor único de i*.

• Procedimiento especial para múltiples alternativas. Utilizar correctamente el método TR, para elegir entre dos o más alternativas mutuamente excluyentes, requiere un procedimiento de análisis significativamente diferente del que se usó en VP y VA. En el capítulo 8 se explica tal procedimiento.

Los métodos de valor anual o valor presente a una TMAR establecida deberían usarse en vez del método TR. Sin embargo, existe cierta ventaja con el método TR, pues los valores de tasa de rendimiento se citan muy frecuentemente. Y es fácil comparar el rendimiento de un proyecto propuesto con el de un proyecto en marcha. Cuando se trabaja con dos o más opciones, y cuando es importante conocer el valor exacto de i*, un buen enfoque es determinar VP o VA a la TMAR, y luego realizar un seguimiento con la i';' específica para la alternativa elegida.

Valores múltiples de la tasa de rendimiento

En las series de flujo de efectivo presentadas hasta ahora, los signos algebraicos en los flujos de efectivo netos sólo cambian una vez, generalmente de menos en el año 0 a más en algún momento durante la serie, lo cual se conoce como serie de flujo efectivo convencional (o simple). Sin embargo, para muchas series, los flujos de efectivo netos cambian entre positivo y negativo de un año al siguiente, de manera que existe más de un cambio de signo. A tal serie se le llama no convencional (no simple). Como se muestra en la tabla 7.3, cada serie de signos positivos o negativos puede tener una longitud de uno o más. Cuando hay más de un cambio del signo en el flujo de efectivo neto, es posible que haya valores múltiples de i* en el rango de menos 100% a más infinito. Existen dos pruebas que se realizan en secuencia sobre las series no convencionales, para determinar si existen sólo uno o múltiples valores de i* que sean números reales. La primera prueba es la regla de los signos (de Descartes), la cual establece que el número total de raíces reales siempre es menor o igual al número de cambios de signos en la serie. Dicha regla se deriva del hecho que para encontrar i* es un polinomio de grado n. (Es posible que valores imaginarios o el infinito también satisfagan la ecuación.)

La segunda y más discriminante prueba determina si existe un valor real positivo de i*. Ésta es la prueba del signo del flujo de efectivo acumulado, también conocida como criterio de Norstrom. En ella se establece que sólo un cambio de signo en la serie de flujos de efectivo acumulados que comienzan negativamente, indica que existe una raíz positiva para la relación polinomial. Para efectuar esta prueba, determine la serie

SI = flujos de efectivo acumulados hasta el periodo t

Observe el signo de S0 y cuente los cambios de signo en la serie S0, s1……Sn. Sólo si S<0 y el signo cambia una vez en la serie, existe un único número real positivo i*. Con los resultados de estas dos pruebas, la relación TR se resuelve o para un valor único i* o para múltiples valores de i*, usando ensayo y error a mano, o por computadora con la función TIR que incorpora la opción "estimado".

Tasa de rendimiento compuesta: eliminación de valores múltiples

Cualquier método que tome en consideración el valor del dinero en el tiempo es útil para calcular una tasa de equilibrio. Como VP, VA o VF. La tasa de interés obtenida a partir de tales cálculos se conoce como tasa interna de rendimiento (TIR). Los fondos que permanecen sin recuperar están aún dentro de la inversión, de ahí el nombre de tasa interna de rendimiento. Los términos generales, tasa de rendimiento y tasa de interés, implican en general la tasa interna de rendimiento.

El concepto de saldo no recuperado adquiere importancia cuando se generan (se arrojan) flujos de efectivo netos positivos antes del final de un proyecto. Un flujo de efectivo neto positivo, una vez generado, se libera como fondo externo al proyecto, y no se considera más en el cálculo de la tasa interna de rendimiento.

Tales flujos de efectivo netos positivos pueden ocasionar una secuencia de flujo de efectivo no convencional y valores múltiples de i*. Sin embargo, existe un método para considerar explícitamente estos fondos, como se plantea más adelante. Adicionalmente, se elimina el dilema de raíces múltiples de i*. se debe Determinar la tasa de rendimiento para el flujo de efectivo estimado cuando existen múltiples valores i* indicados por las reglas de los signos tanto del flujo de efectivo como del flujo de efectivo acumulado, y que los flujos de efectivo positivos netos del proyecto ganarán a una tasa establecida que es diferente de cualquier valor i* múltiple.

Si no es necesaria la tasa de rendimiento exacta para el flujo de efectivo estimado de un proyecto, resulta mucho más simple, e igualmente correcto, utilizar un análisis VP o VAa la TMAR para determinar si el proyecto es financieramente viable.

La tasa de ganancias utilizada para los fondos liberados se llama la tasa de reinversión, o tasa externa de rendimiento y se simboliza por c. Dicha tasa, establecida por fuera del flujo de efectivo estimado (externa al proyecto) que se está evaluando, depende de la tasa disponible en el mercado para inversiones. Por definición; La tasa de rendimiento compuesta i' es la tasa de rendimiento única para un proyecto que supone que los flujos de efectivo netos positivos, que representan dinero no requerido inmediatamente por el proyecto, se reinvierten a la tasa de reinversión c.

El término compuesto se utiliza aquí para describir dicha tasa de rendimiento porque ésta se obtiene utilizando otra tasa de interés, a saber, la tasa e de reinversión. Si e resulta ser igual a cualquier otro de los valores i*, entonces la tasa compuesta * será igual a ese valor de i*. La TRC se conoce también como rendimiento sobre el capital invertido (RCI). Una vez que se determina la única, se compara con la TMAR para decidir sobre la viabilidad financiera del proyecto.

El procedimiento correcto para determinar se denomina procedimiento de inversión neta. La técnica permite encontrar el valor futuro de la cantidad de inversión neta en un año al futuro. Calcule el valor F+ de la inversión neta del proyecto en el año t a partir de Ft_" utilizando el factor para un año a la tasa de reinversión c, si la inversión neta anterior Ft_, es positiva (dinero extra generado por el proyecto), o a la tasa TRC i' si Fi.; es negativa (el proyecto utilizó todos los fondos disponibles). Matemáticamente, para cada año t establezca la relación:

El procedimiento para encontrar i' se resume de la siguiente manera:

1) Elabore un diagrama de flujo de efectivo de la serie de flujo de efectivo neto original.

2) Desarrolle la serie de inversiones netas y el valor c.

El resultado es la expresión Fn en términos de i',

3) Defina Fn = O y encuentre el valor i' que satisface la ecuación.

Relaciones entre e, i' e i*;

Conclusiones

La tasa de rendimiento, o tasa de interés, es un término de uso muy común entendido casi por todos. Sin embargo, la mayoría de la gente puede tener gran dificultad para calcular correctamente una tasa de rendimiento para todas las secuencias de un flujo de efectivo. Para algunos tipos de series es posible más de una posibilidad de TR. La tasa interna de retorno también es conocida como la tasa de rentabilidad producto de la reinversión de los flujos netos de efectivo dentro de la operación propia del negocio y se expresa en porcentaje. También es conocida como Tasa crítica de rentabilidad cuando se compara con la tasa mínima de rendimiento requerida (tasa de descuento) para un proyecto de inversión específico.

La evaluación de los proyectos de inversión cuando se hace con base en la Tasa Interna de Retorno, toman como referencia la tasa de descuento. Si la Tasa Interna de Retorno es mayor que la tasa de descuento, el proyecto se debe aceptar pues estima un rendimiento mayor al mínimo requerido, siempre y cuando se reinviertan los flujos netos de efectivo. Por el contrario, si la Tasa Interna de Retorno es menor que la tasa de descuento, el proyecto se debe rechazar pues estima un rendimiento menor al mínimo requerido

Bibliografía

TARQUIN, Anthony. Ingeniería Económica. 6ª ed. México: Mcgraw-Hill Interamericana, 2006.

Baca Urbina, Gabriel. Fundamentos de Ingeniería Económica. 2da ed. México: Macgraw Hill, 2001