Los principales objetivos de este artículo son:
(1) Exponer las características básicas de los sistemas modales epistémicos basados en estructuras de Kripke.
(2) Mostrar mediante un ejemplo imaginario, cómo podría representarse a través de estas estructuras el conocimiento que los miembros de un determinado grupo (un grupo de agentes), tienen acerca de alguna situación, de sí mismos o de otros sujetos. (2.3. Sistemas multi-agente: El caso del detective).
(3) Relacionar estos ejemplos con algunos enigmas lógicos propuestos por R. Smullyan u otros autores así como algunas variantes del dilema del prisionero o teorías filosóficas acerca de la inteligencia artificial.
PALABRAS CLAVE: Lógica modal epistémica, sistemas multi-agente, modelos de Kripke.
Los diseños de sistemas multi-agente basados en la lógica modal epistémica pueden estar fundamentados en estructuras de Kripke (o Modelos de Kripke), denominadas así en honor a S. Kripke, cuyos trabajos han constituido la base de las aportaciones posteriores relativas a la lógica modal. (cfr. S.Kripke, 1959, 1963a, 1963b, 1965).
Estas estructuras, nos permiten representar el razonamiento de uno o varios agentes acerca del conocimiento de otro u otros agentes o incluso de su propio conocimiento, (en cuyo caso podríamos representar una situación de introspección).
A través de estas estructuras podemos representar además, no sólo el conocimiento particular de cada agente, sino también el conocimiento de grupo, común o distribuido de un determinado grupo de agentes que pertenecen al conjunto de agentes que han sido asociados al modelo sobre el que estemos trabajando. Los primeros trabajos sobre razonamiento acerca del conocimiento fueron escritos por von Wright (1951), pero fue J.Hintikka (1962) quien puso de manifiesto por primera vez la relevancia de la lógica epistémica. Sin duda estas dos aportaciones, junto con las de Kripke han constituido una fuente de referencia para los trabajos posteriores sobre lógica modal epistémica. Pero debemos recordar también a Lewis (1969), un autor en el que otros como Halpern y Moses (1990) vieron un precedente de su desarrollo formal sobre la noción de conocimiento común (implicit Knowledge) y conocimiento distribuido.
Todas estas cuestiones han sido recogidas en trabajos más recientes como R.Fagin, J.Y.Halpern, Y.Moses, M.Y.Vardi (1995) y Huth, M., Ryan, M. (2000).
A través del ejemplo que aquí planteamos, intentamos mostrar de un modo general cómo se pueden expresar todas estas ideas mediante los modelos lógico-epistémicos basados en estructuras de Kripke y cómo esto puede constituir un punto de partida para representar otras situaciones de interacción entre agentes, en las que podamos comprobar el conocimiento que cada uno tiene acerca del conocimiento de los demás o acerca de su entorno.
- INTRODUCCIÓN
- LÓGICA MODAL EPISTÉMICA
2.1. Sintaxis y semántica
Los sistemas modales epistémicos son variantes de los sistemas modales y por tanto, están basados en los mismos principios y reglas que los sistemas de lógica clásica, con la diferencia de que permiten el uso de nuevos conectores monádicos para los que en otros sistemas modales se utilizan signos como estos '[]' o '<>' y que aquí corresponden a los siguientes: ‘K’,’E’,‘C’,’D’. La diferencia entre la lógica modal epistémica y otras variantes modales, estriba principalmente en la interpretación de estos conectores y en las aplicaciones de los mismos.
Si interpretamos ‘[]’ como necesidad, tal vez no se requiera utilizar algunas fórmulas que sí podríamos utilizar al interpretar el mismo signo como conocimiento y aplicarlo al diseño de modelos capaces de representar el conocimiento. Hay que señalar sin embargo, que algunas fórmulas son sintácticamente válidas en todas las variantes lógicas modales, como la fórmula K (denominada así en honor a Kripke), que podemos expresar de estas dos maneras:
[] (pà q) & [] p à [] q
O bien así
[] (p à q) à ([] p à [] q)
En este caso, utilizaremos el conector 'K' en lugar de ‘[]’ para expresar la idea de "conocimiento", 'E' para expresar la idea de "conocimiento de grupo", 'C' para expresar la de "conocimiento común" y 'D' para expresar la de "conocimiento distribuido".
De este modo, podemos interpretar la proposición Kip, como: "El agente i conoce p", donde p es una variable que puede ser interpretada como un enunciado acerca de una situación cualquiera o el conocimiento sobre algo.
Desde un punto de vista semántico, la noción de verdad en los modelos de Kripke (o estructuras de mundos posibles) adquiere un carácter local, ya que cada fórmula únicamente es verdadera en un "mundo", exceptuando las fórmulas válidas que tendrían un carácter universal. Para entender esta idea, podemos definir la noción de estructura de Kripke como sigue:
Una estructura o modelo de Kripke cuenta con una serie de mundos (S) (que en sistemas multi-agente podemos interpretar como las diferentes situaciones en las que se puede encontrar o puede imaginarse un agente), un conjunto de relaciones entre mundos (K1,….Kn) ( estas relaciones determinan el acceso que cada agente tiene a la verdad de determinadas proposiciones, es decir, determinan el conocimiento de cada agente) y una función a través de la que podemos asignar a cada fórmula un valor de verdad "local" dentro de cada mundo.
Formalmente la definición de modelo de Kripke sería, M = (S, , (K1… K n)). Podemos interpretar la idea de verdad local de este modo: Si un mundo s del conjunto de mundos S de un modelo M satisface (' |= ') una fórmula p, entonces se cumple que (M,s ) |= p.
Esta definición nos facilita la tarea de comprobar que una fórmula es verdadera en un mundo, pero ¿cómo comprobamos la verdad del conocimiento de cada agente acerca de esa fórmula? Intuitivamente podríamos pensar que aunque una proposición p fuera verdadera el agente no tendría porqué conocerla y por tanto Kip no sería una proposición verdadera.
Podemos entender la idea de conocimiento verdadero recurriendo a la idea de accesibilidad (Cfr. Huth y Ryan (2000, cap.5)). Así, podemos entender que el conocimiento que un agente tiene acerca de algo refiere a su acceso a un tipo de información verdadera que consiste en lo siguiente: Un agente sólo puede conocer algo cuando en todos los mundos m1, m2, m3,…, m n a los que tiene acceso desde un determinado mundo m, esa fórmula es verdadera.
Es importante tener en cuenta que el conocimiento de cada agente se evalúa tomando como referencia algún mundo. Por tanto, si desde un mundo s un agente i tiene acceso a otros mundos t y z a través de la relación Ki, podemos decir, que el agente conoce una proposición p solo si, esa proposición se satisface en todos los mundos a los que el agente tiene acceso desde s (esto es, si p se satisface en t y en z). Formalmente podríamos expresar esta idea así:
(M, s) |= Kip, sii -si y solo si- para cada t S, hay una relación R(s,t) = Ki. Como resultado t |= p.
A partir de la definición de conocimiento podemos expresar la de creencia, como ¬Ki¬ p o ¬ Kip. La primera fórmula serviría para expresar la idea de que agente i no sabe que p no sea cierto, es decir, que cree que pueda ser verdadero. La segunda expresaría la idea de que el agente i no sabe que p es cierto. Pero también podría interpretarse como que cree que lo es. Otro caso sería, que el agente supiera (estuviera convencido) de que algo no es cierto, en cuyo caso tendríamos que utilizar esta otra fórmula: Ki ¬ p (El agente sabe que p no es cierto).
La definición de verdad de las funciones propias de la lógica clásica como la negación, la conjunción, la disyunción, la implicación o la equivalencia sería como sigue:
Comencemos por las variables simples. ¿Cuando son verdaderas?
(M, s) |= p sii (si y solo si) p (s) (si con la función hemos asignado la fórmula p al mundo s)
Prosigamos con las funciones
(M, s) |= ¬ p sii (M,s) ||-/- p
(M, s) |= (p & q) , sii ((M,s) |= p) y ((M,s) |= q)
(M, s) |= (p v q), sii ((M,s) |= p) o ((M,s) |= q)
(M, s) |= (p à q) , sii ((M,s) |= q), siempre que ((M,s) |= p)
(M, s) |= (p ß à q), sii (M,s |= p) sii ((M,s) |= q).
Otras definiciones propiamente modales además de la de conocimiento de un agente serían las de conocimiento de grupo, común o distribuido entre varios agentes:
CONOCIMIENTO DE GRUPO
(M,s) |= EG p sii (M,s) |= Kip, para cada i G
Algo es conocimiento de grupo cuando todos los miembros de un grupo lo conocen
CONOCIMIENTO COMÚN
(M,s) |= CG p sii (M,s) |= EGkp, for k=1, 2, 3…
Intuitivamente el conocimiento común sería una reiteración del conocimiento de grupo. Consistiría en la idea de que todos los miembros de un grupo saben que los demás saben que ellos saben…..algo. Se basa en la idea de que el conocimiento de algo puede ser alcanzado después de un número finito (k) de pasos.
CONOCIMIENTO DISTRIBUÍDO
(M, s) |= DG p sii (M, t) |= p para cada t, tal que (s, t) Intersection i GKi
El conocimiento distribuido equivale a la dispersión del conocimiento entre un grupo de sujetos. De este modo, la única manera de obtener un conocimiento completo de alguna situación sería que todos pusieran en común lo que saben acerca de algo.
2.2. Relaciones entre mundos
Es importante tener en cuenta que el tipo de relaciones mediante las que vinculemos los mundos de nuestros modelos, determinan la verdad de una serie de fórmulas. En el ejemplo propuesto, las relaciones entre mundos serían de equivalencia, esto es, reflexivas, simétricas y transitivas, que informalmente podríamos definir como sigue:
— Una relación es reflexiva cuando para cada mundo s S, tenemos una relación R (s,s).
— Una relación es simétrica cuando para cada mundo s y t S, se cumple que si R(s,t) entonces R(t,s)
— Una relación es transitiva cuando para cada s, t, z S, se cumple que si R(s,t) y R(s,z) entonces R(s,z).
Este tipo de relaciones convierte en verdaderas estas fórmulas:
a) (M,s) |= Kip à p (si un agente conoce p desde un mundo s entonces p es verdadero en ese mundo)
b) (M,s) |= p à Ki ¬ Ki¬ p (Si p es verdadero en un mundo al que el agente tenga acceso, entonces el agente sabe que no tiene conocimiento de que p no sea verdadero, esto no quiere decir que sepa que p es verdadero, pero al menos lo cree)
c) Kip à Ki Kip (Esta fórmula correspondería a un acto de introspección positiva, mediante el cual el agente analiza su propio conocimiento. Si sabe algo, también sabe que lo sabe).
d) ¬ Kip à Ki ¬ Kip (Es opuesta a la anterior. Corresponde a un acto de introspección negativa. Si el agente no sabe algo, también sabe que no lo sabe).
2.3. Sistemas multi-agente: El caso del detective
Imaginemos una situación policíaca como las que se describen en las novelas en las que aparece el personaje Sherlok Holmes. En este caso el detective está tratando de llegar a una conclusión acerca de lo que ocurrió el día X y para ello, necesita reflexionar sobre lo que saben tres de los personajes con los que ha hablado: A, B y C. A partir de lo que le han contado y de que su hipótesis es que s representa la situación real (lo que sucedió realmente) intuye que A sabe que ocurrió p, pero B cree que pudo suceder p o q mientras que C no sabe lo que ocurrió aunque B y A creen que sospecha que pudo suceder p o q. El detective podría construir un esquema gráfico similar al que aquí presentamos basándose en un modelo de Kripke para representar el conocimiento (en este caso las convicciones) de cada uno. Hagamos primeramente una descripción explícita de los elementos con que podemos contar:
//Contamos con tres mundos
S = {s, t, z}
//en cada mundo, una de estas proposiciones es verdadera
= s |= p = V
= t |= q = V
= z |= p = V
//El conocimiento de cada agente está determinado por las relaciones Ki
Ka = {(s,z),(s,s),(z,z),(z,s)}
Kb = {(s,t),(t,s),(s,s),(t,t)}
Kc = {(t,z),(z,t),(t,t),(z,z)}
¿Qué afirmaciones podría hacer el detective teniendo en cuenta este modelo? Supongamos que desde su punto de vista, la situación correcta fuera s. En este caso,
CONOCIMIENTO DE CADA AGENTE ACERCA DE LA SITUACION:
1.- B duda entre p y q, no esta convencido de ninguna de las dos posibilidades porque (M,s) |= ¬ KB p dado que (M,t) |= ¬ p. Por la misma razón (M,s) |= ¬Kb q
2.- A sí sabe que ocurrió p, porque en los dos mundos a los que tiene acceso desde s, se satisface p. ((M,s) |= p y (M,z) |= p. Por tanto, (M,s) |= Ka p)
3.- C no tiene acceso a s y por tanto, no sabe lo que ocurrió. (M,s) |= ¬Kc p & ¬Kcq
CONOCIMIENTO ACERCA DEL CONOCIMIENTO DE LOS DEMÁS
¿Qué podríamos decir acerca de lo que cada uno sospecha que saben los demás?
4. A cree C y B no saben que ocurrió p, porque (M,s) |= ¬ Ka[¬ Kbp v ¬Kbq) & (¬Kcp v ¬Kcq)]
5. B cree que A sabe que ocurrió p porque (M,s) |= ¬Kb ¬Ka p y también cree que C no lo sabe porque (M,s) |= ¬Kb Kcp.
6. C no sabe lo que saben A ni B, pero tanto A como B creen que C cree que A sabe lo que ocurrió y que B no está seguro, porque (M,s) |= (¬Kb¬KcKbp) & (¬Ka¬Kc¬Kap)
CONOCIMIENTO DE GRUPO
El detective podría incluso hacer afirmaciones acerca de determinados conocimientos de grupo, por ejemplo:
7. A cree que tanto B como C creen que A sabe que ocurrió p porque (M,s) |= ¬Ka ¬Kb Kap & ¬Ka ¬Kc Kap. Por tanto (M,s)|= ¬Ka ¬Eb,cKap
8. Tanto A como B creen que C cree que A sabe que ocurrió p porque (M,s) |= ¬Ka ¬Kc Kap & ¬Kb ¬Kc Kap,.Por tanto, ¬Ea,b¬KcKap
CONOCIMIENTO DISTRIBUIDO
El conocimiento distribuido sería el que tiene el detective, que juzga la situación desde fuera. Si ponemos en común el conocimiento de A y de B que son los que tienen acceso a s y nos quedamos con la intersección de su conocimiento, obtenemos p.
El detective podría quizás llegar a nuevas conclusiones si además tuviese en cuenta las creencias o convicciones de otros personajes acerca de lo que ocurrió o acerca de lo que estos personajes dicen que saben.
2.4. Aplicaciones
Los diseños lógico-epistémicos basados en estructuras de Kripke, podrían ser utilizadas como punto de partida para la representación de situaciones enigmáticas similares a las que se describen en diferentes libros de ejercicios de lógica (cfr.R.Smullyan (1978)).Por ejemplo los referentes a las adivinanzas sobre caballeros y escuderos (op.cit. 37-44)
También podrían servir como fundamento de teorías de juegos relativas a las variantes del dilema del prisionero (cfr. M.Resnik (trad. 1998) o W.Poundstone (trad.1992)) o incluso para el desarrollo de teorías sobre inteligencia artificial como los programas que se diseñaron con objeto de superar el test de Turing (cfr. M.Garrido, 1974: 375-391).
Variantes de programas como Eliza (Weizenbaum, 1965) que imitaba a un psicoanalista rogeriano, o STUDENT podrían ser diseñadas a partir de las nociones lógico-epistémicas. En todos estos ejemplos hay una idea central que permanece latente, a saber, la idea de interacción entre agentes (máquina-humano, máquina-máquina, o entre sujetos virtuales).
A pesar de que la lógica epistémica basada en estructuras de Kripke cuenta con los mismos principios y reglas que la lógica clásica y por tanto, no podría considerarse una lógica alternativa e independiente de la misma y sería discutible si constituye una extensión de la lógica clásica estándar debido a que muchas fórmulas modales epistémicas podrían ser traducidas al lenguaje clásico, sin embargo, en mi opinión, el aspecto más interesante que se podría destacar de estos modelos, es la posibilidad de representar el conocimiento de diferentes agentes desde una perspectiva más intuitiva, posibilitada por las estructuras de Kripke lo que constituye la principal ventaja de este tipo de lógica con respecto a la clásica.
Garrido, M.(1974) Lógica simbólica, Madrid, Tecnos, 1995
Fagin, R., Halpern,J.Y., Moses, Y., Vardi,M.Y., (1995). Reasoning about Knowledge, The Mit
Press, Cambridge
Hintikka, J., (1962) Knowledge and Belief, Ithaca, N.Y.:Cornell University Press
Huth, M. Ryan,M., (2000). Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning about Systems,
University Press, Cambridge
Kripke, S. (1959) A completeness theorem in modal logic. Journal of Symbolic Logic 24, 1-14
Kripke, S. (1963a) A semantical analysis of modal logic I:normal modal propositional calculi. Zeischrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 9,67-96. Announced in (1959) Journal of Symbolic Logic 24,323
Kripke, S. (1963b) Semantical considerations on modal logic. Acta Philosophica Fennica 24,83-94
Kripke, S. (1965) Asemantical analysis of modal logic II: non-normal propositional calculi. In L. Henkin and A.Tarski (Eds.) The theory of Models, 206-220. Amsterdam: North-Holland.
Lewis, C.I. (1969) Convention, A Philosophical Study. Cambridge, Mass.: Harvard University Press.
Poundstone, William. El dilema del prisionero. Alianza Editorial. 1992.
Resnik, M. D. Elecciones: una introducción a la teoría de la decisión [trad. Stella Villarmea y Blanca Rodríguez] Barcelona: Gedisa, 1998.
Smullyan, R.M. (1978) ¿Cómo se llama este libro? (C.García Trevijano, trad.), Madrid: Cátedra, 1997
Wright G.H., von (1951) An essay in Modal Logic. Amsterdan: North-Holland
Susana Ballestín Pérez
Licenciada en Filosofía