Matemagia: Magia y Matemática (página 2)

Hay un truco que suele ser conocido por mucha gente del público, pero que es posible modificar para dejar más asombrados a los que creen que lo saben.

Básicamente es lo siguiente. Tomamos 9 cartas cualesquiera y se las muestra a una persona del público, mientras vamos montando con ellas tres montones para que, sin decírnoslo, elija una de las 9 cartas. Al acabar, nos indica en qué montón ha quedado su carta elegida; el mago coloca los montones uno sobre otro y vuelve a repartir en tres montones enseñándolo al público y al acabar le indican en que montón ha quedado ahora la carta. El mago coloca los montones uno sobre otro y puede decir cuál es la carta que el espectador había elegido.

Si se tienen 21 o 27 cartas es necesario realizar una vez más el reparto en tres montones, para colocar en su lugar el sitio buscado.

En general, el truco se enseña de forma que el mago coloca en cada ocasión el montón donde está la carta elegida entre los otros dos, de esa manera, la carta queda al final en el centro del mazo.

Yo prefiero utilizar sólo nueve cartas, porque así el truco es más rápido y además, modificando el orden en que se colocan los mazos, se puede conseguir que la carta quede en el lugar que se quiera. En el siguiente cuadro vemos cómo colocar el montón donde está la carta buscada en cada reparto, según el lugar donde queramos que quede.

Por ejemplo, si queremos que la carta quede en el lugar 8, como colocamos uno sobre otro los tres montones que hemos hecho, necesitamos que la carta quede la penúltima del último montón que coloquemos en ese reparto. Para quedar la penúltima en el reparto, y como hay tres, quiere decir que queda la segunda, tiene que provenir del segundo montón colocado en el primer reparto.

Conseguir esto mismo con 21 ó 27 cartas también es posible, pero mucho más complicado ver el orden en que hay que colocar los montones en cada reparto.

d) Completar a 10.

Para este truco se necesita una baraja española de 48 cartas (con 8 y 9) o una baraja francesa de 52 cartas.

Supongamos que lo hacemos con la francesa. Se barajan las cartas y se colocan boca abajo sobre la mesa 12 cartas. Se le pide a un espectador que vuelva boca arriba cuatro de esas cartas. Las restantes se recogen y se colocan debajo del mazo.

A continuación, se van a completar con cartas del mazo las cartas que están sobre la mesa. Se colocan frente a cada una de las cuatro cartas, tantas cartas del mazo como hagan falta para completar desde el número de esa carta hasta

10 (las figuras se consideran que valen 10). Una vez realizado, se suman los valores de las cuatro cartas que hay sobre la mesa, y se sacan del mazo tantas cartas como el resultado de esa suma. Sin mirarla, el mago dice en voz alta qué carta es la última que ha puesto sobre la mesa.

El truco consiste en que una vez colocadas sobre la mesa las 12 cartas, el mago debe mirar sin que se note, qué carta hay al final del mazo. Esa es la carta que va a descubrir al final. El fundamento matemático es que cuando reparte las 12 cartas sobre la mesa, le quedan en el mazo 40 cartas, luego la carta vista es la número 40. Si ahora por cada carta primero completamos a 10 y después quitamos tantas cartas como indica el valor, realmente estamos quitando del mazo en total 10 cartas por cada una de la mesa, es decir, en total quitamos 40 cartas.

Ahora asignaremos los siguientes valores numéricos a los palos de las cartas de una baraja:

Del mismo modo, cada carta tiene un valor numérico indicado por su número, donde la sota vale 8, el caballo 9 y el rey 10.

Ahora se pide que alguien piense en una carta y realice las siguientes operaciones cabalísticas:

1. Multiplicar el valor numérico de su palo por dos.

2. Sumarle tres.

3. Multiplicar por 5.

4. Sumar el valor de su número.

¿Cómo podemos ahora saber el valor y el palo de la carta? Sugerimos realizar el experimento con un ejemplo e inferir la ley que regula el resultado.

Adivinación de tres tiradas de un dado

Se pide a un espectador que realice las siguientes operaciones:

1. Lanzar un dado tres veces.

2. Multiplicar el primer resultado por dos.

3. Sumarle cinco.

4. Multiplicarlo por cinco.

5. Sumarle el segundo resultado.

6. Multiplicar por 10.

7. Sumarle el tercer resultado.

Al nombrar el resultado final, el matemago es capaz de saber los resultados obtenidos en los tres dados.

Si queremos saber cuáles son los valores obtenidos en cada una de las tiradas, basta resolver la ecuación que se plantea con las operaciones anteriores. ¿Por qué es suficiente restar 250 al resultado final?

Suma constante

Se muestra un reloj de bolsillo y se pide a un espectador que piense una hora cualquiera, de la una a las doce. A continuación, el mago empieza a dar golpecitos en la esfera del reloj con un lápiz sin orden aparente. A cada golpecito el espectador debe ir contando de uno en uno, en silencio y empezando por el número previamente pensado. Así, si pensó en el siete, al primer golpe contará siete, al segundo ocho, y así sucesivamente.

En el momento en que llegue a veinte, debe parar e indicarlo. Casualmente, o debido a los poderes magnéticos de la magia, el lápiz en ese momento está apuntando a la hora pensada al principio.

El método es elemental: si quieres descubrirlo, piensa simplemente que el número de golpes dados será igual a la diferencia entre 21 y el número pensado. Esa diferencia será como mínimo de nueve. Se trata pues de asegurar que, a partir de nueve, la suma entre el número de golpes dados y la hora señalada sea también veintiuno.

Par o impar

Se indica a un espectador que saque unas cuantas monedas de su bolsillo y las esconda en su puño. A continuación el mago saca también unas monedas de su bolsillo y muestra su puño cerrado.

El mago entonces anuncia que, a pesar de no saber la cantidad de monedas que tiene el espectador en su mano, es capaz de predecir lo siguiente:

"Si el número de monedas en la mano del espectador es par, al juntarlas con las del mago, el total de monedas será impar; si, por el contrario, el número de monedas del espectador es impar, la suma de sus monedas con las del mago será par."

Al hacer la comprobación se observa la exactitud de la predicción del mago.

Para que la predicción sea correcta, el mago debe sacar una cantidad impar de monedas. La suma de dos cantidades impares es par y la suma de un número par y otro impar es impar.

Curiosidades aritméticas

Algunos hechos curiosos también pueden presentarse como efectos mágicos. Es bastante conocido el siguiente:

Se pide a alguien que elija su número preferido de una cifra, llamémosle N. A continuación se le pide que multiplique el número 12345679 por 9N.

La sorpresa que produce el resultado (el número preferido repetido nueve veces) puede achacarse a la numerología pero la belleza del resultado es consecuencia de la divisibilidad de

111111111 por 9.

Hay muchísimos trucos de magia con cartas que usan, de una forma u otra, alguna propiedad matemática, a veces tan simple que parece mentira que el truco pueda pasar desapercibido.

Uno de los más famosos es el que sigue a continuación:

El juego de las 21 cartas

Se comienza por separar 21 cartas de una baraja. Un espectador coge la baraja, elige una carta, la devuelve al mazo y mezcla. El mago toma la baraja y coloca las cartas sobre la mesa, boca arriba, en tres montones, la primera carta es la primera del primer montón, la segunda será la primera del segundo montón, la tercera en el tercer montón, la cuarta sobre el primer montón, la quinta sobre el segundo, y así sucesivamente. Una vez colocadas todas las cartas, el espectador debe indicar únicamente el montón en donde está su carta. Después se recogen todas las cartas, tal como están pero colocando el montón de la carta elegida entre los otros dos montones.

Se vuelve a repetir el proceso anterior una segunda vez y, por último, una tercera vez, siempre de la misma forma y preguntando cada vez en qué montón está la carta elegida.

Después de todo lo anterior, el mago es capaz de anunciar la carta elegida por el espectador.

Como el resultado final es siempre el mismo, para descubrir el método basta con realizar las operaciones indicadas y buscar el lugar que ocupa la carta elegida. Casualmente, o quizá debido a cierta ley matemática, la carta elegida ocupará el lugar undécimo a partir de cualquier extremo.

La pregunta es: ¿Por qué funciona siempre el truco?

Y otra pregunta, un poco más general: ¿Podría hacerse el mismo truco cambiando el número de cartas o el número de montones?

Voltea y corta

Bob Hummer fue un famoso mago estadounidense de principios del siglo XX que descubrió interesantes propiedades matemáticas en una gran variedad de efectos mágicos.

Ilustraremos aquí una de dichas propiedades, la conocida por el principio de Hummer, con el siguiente juego:

De una baraja francesa se separa un grupo par de cartas, de modo que tengan sus colores alternados, roja-negra, roja-negra,…, y se entregan a un espectador. Se le pide que realice las siguientes operaciones:

1 Voltear las dos cartas superiores del paquete.

2 Cortar el paquete por cualquier lugar.

3 Repetir los pasos 1 y 2 cuantas veces desee.

De este modo habrá en el paquete algunas cartas cara arriba y otra cara abajo pero aparentemente no hay ningún control sobre el número ni la posición de las cartas cara arriba. El espectador entrega entonces el paquete al mago. Este debe separar el paquete en dos montones sobre la mesa: deja la primera carta a la izquierda, la segunda a la derecha, la tercera sobre la primera, la cuarta sobre la segunda, y así sucesivamente, las pares en un montón y las impares en el otro. Por último reúne ambos montones pero después de dar una vuelta completa a uno de ellos.

Pues bien, a pesar del aparente desorden de las cartas, en este momento habrá tantas cartas cara arriba como cartas cara abajo. Además, en una dirección estarán todas las cartas negras y en la otra todas las cartas rojas. La sorpresa entre el público será mayor si este anuncio se hace antes de empezar el juego. Puede incluso mejorar la presentación del efecto si el manejo final de las cartas por el mago se realiza de forma secreta, bien en la espalda del mago, bien bajo la mesa.

El manejo que acabamos de explicar es la base del principio de Hummer: si tenemos una cantidad par de cartas alternadas (ya sea por colores, por palos o por cualquier otro criterio), al girar dos cartas consecutivas y colocarlas nuevamente, el orden previo se ha alterado pero el cambio se manifiesta por el giro de las cartas. No importa cuántas veces se realiza la operación anterior: cada carta invertida representa una alteración del orden inicial. La operación final de invertir sólo las cartas que ocupan el lugar par hace que queden en un sentido uno de los grupos de cartas y en el otro sentido el otro grupo.

Muchos otros juegos y presentaciones diversas se basan en este principio, que no es fácil de descubrir sin un detenido análisis.

Predicción cartomágica

El mago escribe una predicción en una hoja de papel y entrega al espectador un paquete de cartas, con las que debe realizar las siguientes operaciones:

1) Colocar la carta superior en la parte inferior del paquete.

2) Retirar la siguiente carta.

3) Repetir los pasos 1) y 2) hasta que sólo quede una carta en el paquete.

Se muestra ahora el contenido de la predicción y se confirma que coincide con la única carta que ha quedado en el proceso de eliminación.

El secreto está en saber de antemano qué carta quedará después de realizar el proceso anterior y verla sin que nadie lo advierta. Para ello debe conocerse la expresión binaria del número de cartas del paquete inicial y colocar la primera cifra de la izquierda, siempre un uno, a la derecha del número. La carta que ocupa el lugar indicado por este último número, empezando por arriba, será la elegida.

Por ejemplo, si se utiliza toda la baraja española de 40 cartas, como su representación binaria es 101000, la carta a predecir será la decimoséptima, pues 010001(2) = 17(10).

Un buen ejercicio consiste en demostrar la validez de esta fórmula.

Como complemento, si se conoce una relación de posibles combinaciones, puede repetirse el efecto con grupos de distinto número de cartas. Por ejemplo, para paquetes con un número de cartas igual a una potencia de dos, la carta final será siempre la carta superior de la baraja.

Como no siempre es sencilla, al menos mentalmente, la operación que nos indica el lugar de la carta que debemos predecir, mostraremos otro método más simple:

Supongamos que n es el número de cartas con que se realizará el experimento. En primer lugar, debemos ver la carta superior de la baraja. Después haremos mentalmente la multiplicación por dos de la diferencia entre n y la mayor potencia de dos que sea menor que n.

Por ejemplo, si n = 25, entonces 2 x (25 – 16) = 18. La diferencia 25 – 18 = 7 indica el número de cartas que han de pasarse de arriba abajo para que la carta superior (ya conocida) quede en el lugar idóneo para aparecer al final del proceso. En este caso, la carta ocupará el lugar

19 desde la parte superior, lo que coincide con la fórmula inicial:

25(10) = 11001(2) y 19(10) = 10011(2).

A vista de pájaro

Un ejercicio de supuesta rapidez visual es el siguiente.

Se muestran seis tarjetas o cartulinas, cada una de ellas conteniendo los números que se indican. Se pide a un espectador que piense un número y que separe las tarjetas que contienen dicho número. El matemago, con un simple vistazo a dichas tarjetas, nombra rápidamente el número pensado.

El método es muy sencillo: basta sumar los primeros números de las tarjetas que contienen el número pensado. Con toda seguridad, la prueba de la validez de este método es mucho más interesante para alguien interesado en las matemáticas. Dicha prueba se vuelve sencilla después de observar con detalle las tarjetas: si escribimos la representación binaria de los números involucrados, en la tarjeta 1 están todos los números cuya última cifra es un uno, en la tarjeta 2, aquellos cuya penúltima cifra es un uno, y así sucesivamente. El primer número de cada tarjeta indica el valor decimal de cada una de las cifras del número. Así que su suma nos dará el número pensado.

Puzzles geométricos

Las siguientes ilustraciones muestran algunas paradojas geométricas que se observan recortando figuras planas y reconstruyéndolas de otra forma. En algunos ejemplos el error es fácilmente detectable pero en otros puede ser más sutil. Invitamos a pensar en ellos.

Ejemplo 1. En una hoja de papel se dibujan diez líneas paralelas, como en la figura de la izquierda; se recorta la hoja por la diagonal y se desplaza la mitad superior como indica la figura de la derecha. ¿Por qué ahora sólo hay nueve líneas? ¿Dónde está la décima?

Ejemplo 2. En el tablero de ajedrez de la izquierda se sombrean los 15 cuadros indicados. Sise recorta por la línea marcada y se desplaza la mitad superior como se ilustra en la figura de la derecha, el número de cuadros sombreados es ahora 14 (donde el triángulo que sobresale en el extremo superior derecho se traslada al extremo inferior izquierdo). ¿Quién se ha llevado el cuadro que falta? Si el tablero original tenía 8 x 8 = 64 cuadros, ahora sólo tiene 9 x 7=63 cuadros.

Ejemplo 3. El rectángulo de la figura se construye uniendo las piezas A, B, C y D. Es evidente que el área de dicho rectángulo es 30 unidades.

Sin embargo, si colocamos las mismas piezas como se indica a continuación, la figura que resulta tiene área 20 + 12 unidades. ¿Desde cuándo el área de una región depende de su disposición?

Ejemplo 4. El rectángulo de la figura superior está formado por las cinco piezas A, B, C, D y E. Ahora bien, si recolocamos las piezas como se indica en la figura inferior, falta un cuadro para completar el rectángulo. ¿Cómo ha podido perderse?

Ejemplo 5. Similar al caso anterior es el del triángulo (llamado triángulo de Curry) que se muestra a continuación. Con la primera disposición de las piezas se llena el triángulo pero, al disponerlos como se muestra a la derecha, se han perdido dos cuadros. ¿Hay alguna propiedad geométrica que regule esta situación?

Ejemplo 6. La siguiente construcción es también muy intrigante. Se forma el cuadrado de la izquierda y se llama la atención sobre los cuadrados pequeños, numerados del uno al cinco.

Al deshacer la figura y volverla a construir en la forma indicada por la figura de la derecha, se observa que uno de los cuadrados ha desaparecido. Con un poco de habilidad puedes hacer aparecer el cuadrado que falta en algún lugar inesperado.

Estos ejemplos y muchos más pueden convertirse en originales efectos de magia con una adecuada puesta en escena. La sorpresa inicial que produce cualquiera de estas situaciones hace pensar en que el mago posee algún tipo de habilidad manual o conoce alguna técnica desconocida, por no decir que puede llegar a poseer ciertos poderes mágicos.

Por otra parte, no podemos desdeñar el aspecto matemático de estos divertimentos pues es importante distinguir estos trucos de verdaderas demostraciones matemáticas. Por ejemplo, algunas de las múltiples demostraciones del teorema de Pitágoras consisten precisamente en recortar papel. Mostramos a continuación una de ellas.

Se dibujan sobre los catetos del triángulo rectángulo dos cuadrados y se recorta el de lado el cateto mayor en cuatro partes iguales, trazando desde el centro del cuadrado una recta paralela a la hipotenusa. A continuación, estas piezas, junto con el cuadrado de lado el cateto menor, se trasladan como se muestra en la figura para formar el cuadrado de lado la hipotenusa del triángulo.

La banda de Möbius

Es bastante popular y conocida la banda de Möbius, una superficie no orientada pues sólo posee una cara y una arista. Surgió alrededor de 1.858 en un trabajo de Möbius y Listing y ya en 1.890 se usó como truco de magia, antes de que el conocimiento de sus propiedades se extendiera a ámbitos no científicos.

Su construcción es muy sencilla: se juntan los extremos de una cinta pero, antes de unirlos, se da un giro de 180º a uno de los extremos. Al recorrer la banda que se forma de esta manera, para llegar al punto de partida se deben recorrer los dos lados de la cinta original. Una aplicación ingeniosa de este hecho se encuentra en los carretes de cinta en las máquinas de escribir o en las cintas de impresora, lo que permite utilizar la tinta de ambos lados antes de agotar el carrete. Este principio permite a los magos realizar experimentos donde se oculta el hecho de que se esté utilizando una banda de Möbius pero, también, proporciona otras propiedades que no son tan conocidas.

Veamos algunos hechos sorprendentes:

1) Como prueba de habilidad el mago anuncia que es capaz de cortar una banda de papel por la mitad sin separarla. Para ello prepara la banda de Möbius como se ha indicado y recórtala longitudinalmente por el centro de la cinta. El resultado final muestra una banda el doble de larga que la original, en vez de dos bandas, como cabía esperar.

2) Para aumentar la sorpresa, se puede intentar otro experimento más difícil todavía. Se prepara una nueva banda de Möbius pero esta vez se corta longitudinalmente pero siempre a un tercio de la distancia al borde. ¿Qué figura se obtiene? ¿Cómo ha salido otra banda enlazada a la primera?

3) Prepara otra banda con una cinta pero, antes de unir los extremos, haz un doble giro a uno de ellos. Recorta nuevamente la banda a lo largo de su línea central. ¡Una nueva sorpresa! ¡Dos bandas de la misma longitud enlazadas!

4) Recorta cada una de las bandas obtenidas en el experimento anterior. Ahora saldrán cuatro bandas, todas enlazadas.

Parecen evidentes las ventajas que estas experiencias representan para conseguir motivar a los estudiantes en el estudio de las matemáticas.

El cuadro que aparece y desaparece

Vamos a dejar los números y vamos a ver un truco geométrico. Está adjudicado a Sam Loyd, uno de los mayores creadores de acertijos y pasatiempos de todos los tiempos. Desde mediados del siglo XIX, primero Sam

Loyd padre, y posteriormente su hijo, estuvieron encargados de una sección de pasatiempos en una revista americana, y en ella plantearon multitud de acertijos famosos.

En este truco geométrico partimos de un cuadrado de 64 unidades de superficie, dividido de la siguiente forma.

Lo cortamos primeramente en dos rectángulos, uno de 3×8 y otro de 5×8.

El pequeño se divide a su vez por la diagonal, y el mayor de la forma que aparece en el dibujo.

Si ahora reconstruimos con las cuatro piezas una nueva figura, podemos conseguir el rectángulo siguiente, que como puede apreciarse tiene 5×13=65 cuadrados de superficie.

Pero si las cuatro piezas iniciales se colocan de distinta forma, como en la nueva imagen, obtendremos ahora una superficie de sólo 63 cuadraditos.

Este truco puede hacerse dibujando en transparencias las cuatro partes y proyectando los movimientos o incluso haciendo construir en cartulina el cuadrado original y dividiendo en cuatro partes, según los cortes previos.

Yo poseo un juego publicitario de mediados de los años 60 del pasado siglo, basado en este rompecabezas.

El fundamento del truco consiste en que cuando se construye el rectángulo de

5×13, la diagonal no coincide exactamente, a lo largo de ella aparece un romboide, pero tan fino que es difícil observarlo a simple vista. Por eso puede aparecer un cuadrado más.

Cuando se pasa a la última figura, las líneas sobre la diagonal se montan unas sobre otras de forma inobservable, pero consiguiendo que la superficie correspondiente a un cuadradito desaparezca.

Bibliografía

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————————————-: Guía para la preparación de los alumnos para los concursos provinciales, Folleto digital.

Autor:

Wilmer Valle Castañeda