Para reemplazar el entero positivo n por un número arbitrario 
usamos la función Gamma.
Ésta nos da un significado para p! y para (p-n)! en (4), cuando p y n no sean números naturales. La función Gamma fue introducida por Euler en el siglo XVIII para generalizar la noción de z! para valores no enteros de z. Su definición es
Podemos ahora arreglar (4)
que tiene sentido si n no es entero, de manera que podríamos escribir
Dada cualquier función que pueda ser expandida en serie de Taylor en potencias de x.
Si asumimos que podemos derivar término a término, obtendremos
Esta expresión obtenida es una candidata a constituir una definición de la derivada fraccionaria de una amplia variedad de funciones, aquéllas que pueden ser expandidas en serie de Taylor en potencias de x. Sin embargo, pronto veremos que conduce a contradicciones.
5. Una misteriosa contradicción
Comparemos ahora (7) con (6) para ver si armonizan. De la serie de Taylor se sabe que
pero (7) y (8) no pueden armonizar a menos que 
sea un número entero
. Si 
es un número entero la parte derecha de (8) será la serie de ex, con diferente indexado. Sin embargo, si
no es un número entero tenemos dos funciones completamente diferentes. Hemos descubierto una contradicción que históricamente causó grandes problemas. Tal parece que nuestra expresión (1) para la derivada fraccionaria de la exponencial es inconsistente con nuestra fórmula (6) para la derivada fraccionaria de una potencia.
En este momento podríamos preguntarnos ¿qué hacemos ahora? El misterio se resolverá más tarde. Mantengámonos sintonizados…..
6. Integrales iteradas
Hemos estado tratando con derivadas repetidas. Las integrales también pueden repetirse. Pudiéramos escribir
Pero la integral no tiene límites. En lugar de eso, escribiremos
La región de integración es el triángulo de la figura 1. Si intercambiamos el orden de integración, la parte derecha de la figura 1 muestra que
Usando el mismo procedimiento podemos demostrar que
Ahora, como hemos hecho antes, cambiemos –n por una arbitraria y el factorial por la función gamma. Obtenemos
A esta integral llegó Liouville y por eso recibe su nombre.
Riemann, siendo estudiante, modifica o generaliza la Integral de Liouville cambiando el límite 0 por b, dando paso a la Integral de Riemann – Liouville
Pero, esta expresión sólo permite calcular integrales fraccionarias, no derivadas. Riemann plantea primero aplicar la Integral fraccionaria y luego derivar de forma entera, es decir,
Que significa encontrar la derivada de orden con los límites de b a x. Ésta constituye la primera expresión para la derivada fraccionaria de orden real.
7. Se resuelve el misterio
¡La derivada fraccionaria tiene límites, pues resulta de una integral!
Ahora comenzaremos a ver qué hicimos mal. No nos sorprende que la integral fraccionaria contenga límites de integración, nadie espera que la derivada fraccionaria contenga límites.
Pensamos en la derivada como una propiedad de la función. La derivada fraccionaria, simbolizada por D incorpora ambas: derivadas ( positiva) e integrales ( negativa). Las integrales tienen límites. Esto quiere decir que la derivada fraccionaria tiene también límites.
La razón de la contradicción es que se usaron dos límites diferentes. Ahora podemos resolver el misterio.
Cuáles son los límites que trabajarán para la exponencial en (1). Recordemos que queremos obtener
¿Qué valor de b nos permitirá obtener esa respuesta? Dado que la integral (11) es realmente una integral
8. Derivada fraccionaria según Grunwald-Letnikov
En 1868, Grunwald-Letnikov dieron otra definición de Derivada Fraccionaria partiendo de la definición formal de derivada entera.
Por suerte se puede probar que los resultados de Riemann Liouville y Grunwald-Letnikov son equivalentes.
9. Derivada fraccionaria según Caputo (1967).
Caputo invierte el orden de la derivación en el resultado de Riemann – Liouville y aparece otra alternativa para la derivada fraccionaria
10. Media derivada de una función simple
Como hemos visto, se pudiera calcular la derivada de
Obtengamos la primera derivada repitiendo este proceso
11. Derivada fraccionaria de una constante
Pudiéramos encontrar, por ejemplo, la derivada fraccionaria de f(x) = 1.
Derivada de una constante C
12. Transformada de Laplace de la derivada fraccionaria de una función
Las transformadas de Fourier y Laplace, que permiten transformar del dominio tiempo al dominio frecuencia, pueden ser usadas para obtener generalizaciones de la derivada válida para funciones que siguen tales transformaciones.
La Transformada de Laplace se define según
Y la Transformada Inversa
Un resultado muy interesante, pues aparece una nueva expresión para la derivada fraccionaria de una función f(t).
Teniendo en cuenta el resultado de la derivada fraccionaria de la exponencial
Transformada de Laplace de la derivada fraccionaria de una función con condiciones iniciales no nulas
Habíamos escrito
13. Transformada fraccionaria de Fourier
Se conoce que la transformada entera de Fourier tiene la forma
Esta transformada tiene una propiedad análoga para la n – ésima derivada
Se pudiera demostrar esta nueva definición de la Derivada Fraccionaria de la misma forma que con la transformada de Laplace.
En estas dos generalizaciones se pueden determinar los límites de la derivada. En el caso de la Transformada de Laplace se trata de una derivada generalizada de Riemann – Liouville con el límite inferior 0. Mientras en el caso de la transformada de Fourier se trata de una derivada fraccionaria de Weyl.
Esas nuevas definiciones de la derivada generalizada permiten hacer los cálculos más cómodamente. Un ejemplo donde esto se muestra es el cálculo de las derivadas fraccionarias de orden 0, 0.1, 0.2,…. 4 de la función conocida como Campana de Gaus realizado en Matlab y que constituye el Anexo # 1.
14. Convolución
Lo visto hasta ahora sugiere que la derivada fraccionaria sea formulada en términos de convolución. El siguiente desarrollo muestra cómo, después de todo, la derivada fraccionaria de una función es su convolución con cierta función
Esto permite encontrar resultados de forma muy simple. Por ejemplo, si se quiere encontrar
Y, como la transformada de Laplace de la convolución de dos funciones es el producto de las transformadas de Laplace de estas dos funciones, en el caso de que f(x) cumple los requerimientos conocidos, pudiéramos encontrar, de otra forma, la expresión de la derivada fraccionaria de una función f(x).
La Fórmula de Cauchy es una integral de Convolución donde el núcleo de la convolución es
16. Derivada fraccionaria de funciones continuas temporales
En lugar de partir de una definición de la derivada fraccionaria vamos a invertir el problema y tomar la Transformada de Laplace como punto de partida. Intentaremos extender la secuencia:
Para obtener la diferintegración de una función dada sólo tenemos que establecer la convolución de ésta con la función presentada en cada fila.
Esto equivale a decir que la diferintegración de orden n (n entero) está dada por
Y la solución sería
– Propiedad de la generalización de la fórmula de Cauchy
Ésta es la fórmula de Leibnitz para la diferintegración del producto de dos funciones.
Hasta ahora hemos considerado diferintegración de funciones con Transformada de Laplace donde se excluyen, por ejemplo, la sinusoide definida en todo el tiempo u otras señales similares que tienen transformada de Fourier, pero no de Laplace.
Esta fórmula puede ser considerada como el significado aritmético de la diferintegración causal y anticausal si extendemos su región de convergencia de manera que incluya el eje imaginario.
17. Derivada fraccionaria de funciones periódicas
Enfrentemos el problema de la derivada fraccionaria de una función periódica x p (t) . Estas funciones no tienen Transformada de Laplace, pero si tienen Transformada de Fourier. Una función periódica dada, con período T, puede ser considerada como una suma de la forma básica con versiones con diferentes atrasos. La expresión matemática sería
Lo que nos conduce a
Generalizando así la serie ordinaria de Fourier.
18. La función de Mittag – Leffler
Una función M-L que nos interesa es
19. Derivada fraccionaria de la exponencial causal
Este caso es excepcionalmente importante, pues aparece en el cálculo de las respuestas a impulso y escalón de sistemas lineales causales (no consideraremos el caso de derivación entera). Tenemos que
Sea la serie
Anexos
Anexo 1
Anexo 2
Anexo 3
Autor:
Dr. Pedro Arafet Padilla
MSc. Hugo Domínguez Abreu
Dr. Francisco Chang Mumañ
Facultad de Ing. Eléctrica
Universidad de Oriente
Mayo 2008
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