Una introducción al cálculo fraccionario

Cálculo fraccionario

Introducción

Estamos familiarizados con la idea de las derivadas. La notación usual

se comprende fácilmente. Estamos también familiarizados con propiedades tales como:

Muchos lectores no se han encontrado con derivadas de orden ½ antes, porque no existe aún en los textos comunes.

En 1695 L"Hôpital le preguntó a Leibnitz: -¿Qué ocurre si el orden es ½?-.

Leibnitz responde -"De esta paradoja se extraerán, algún día, consecuencias muy útiles"-.

Lacroix, en 1819, menciona, por primera vez la derivada de orden arbitrario. Más tarde Euler y Fourier trataron el tema, pero sin aplicaciones. En 1823, Abel lo aplicó a la ecuación integral relacionada con el problema de las isócronas. Esto motivó a Liouville (1832) al primer gran intento de una definición formal y consistente de la derivada fraccionaria.

En 1847 Riemann escribió un artículo modificando la definición de Liouville del operador fraccionario que se conoce hoy como la Integral de Riemann – Liouville.

En 1868 A. V. Letnikov escribió el artículo "Theory of differentiation of fractional order".

Desde 1695 – 1974 muchos científicos han contribuido: Lagrange, Laplace, de Morgan, Heaveside, Riesz, Weyl.

En 1974 aparece el primer texto dedicado al cálculo fraccionario: K. B. Oldham and J. Spanier, The Fractional Calculus, Academic Press, 1974.

Hoy existe una vasta literatura sobre el tema llamado Cálculo Fraccionario, Cálculo Fraccional o Cálculo Generalizado (Fractional Calculus, Diferintegral Calculus). Muchos artículos científicos aparecen día a día en el mundo mostrando las más variadas aplicaciones. Las aplicaciones más comunes actualmente se encuentran en Reología, Biología Cuántica, Electroquímica, Teoría de la Dispersión, Difusión, Teoría del Transporte, Probabilidad y Estadística, Teoría del Potencial, Elasticidad, Viscosidad y Teoría de Control Automático. Ya existen paquetes en Matlab para el cálculo fraccionario y para el control automático fraccionario (este último, llamado Ninteger, gratis en internet)

Es el propósito de estas notas introducirnos en el cálculo fraccionario de la misma forma que fue "apareciendo" históricamente.

Antes de usar algunas definiciones formales o teoremas exploraremos la idea de la derivada fraccionaria echando una ojeada a algunos ejemplos de derivadas bien conocidas, de orden n, tales como Dn eax = a n eax y cambiaremos el número natural n por otros números, por ejemplo, ½. En este sentido, como detectives, trataremos de ver qué estructura matemática se esconde en esta idea. Evitaremos una definición formal de la derivada fraccionaria mientras no exploremos las posibilidades de varias aproximaciones a esta noción.

Derivada fraccionaria de la función exponencial

Comencemos examinando las derivadas de la función exponencial eax debido a su simplicidad.

Arriesguémonos y escribamos

Notemos que aún no hemos dado una definición para la derivada fraccionaria de una función general. Pero, si esta definición se encuentra, querríamos comprobarla en la función exponencial. Es bueno comentar que Liouville comenzó por ahí.

Funciones trigonométricas: seno y coseno

También estamos familiarizados con las derivadas de la función seno:

Reemplacemos el entero positivo n por un número arbitrario. Así, obtendremos una

expresión de la derivada general de la función seno y, de manera similar, podríamos tratar el coseno.

Después de ver esto, es natural preguntarnos si lo que hemos hecho es consistente con el resultado que obtuvimos para la exponencial. Para esto consultaremos Euler,

y usando (1) podemos calcular

que corrobora (2).

Veamos ahora las derivadas de las potencias de x. Comencemos con x p (p entero).

Multiplicando numerador y denominador de (3) por (p-n)! se obtiene