Intuición geométrica
Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.
Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta especie de "loncha" sería A(x+h) – A(x).
Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.
Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) – A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ˜ A(x+h) – A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.
Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene
Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A"(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.
Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A"(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la anti derivada de la función original.
Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.
Primer teorema fundamental del cálculo
Dada una función f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por . Si fes continua en, entonces F es derivable en
y F'(c) = f(c).
Integrales definidas: Regla de Barrow
Si una función f(x) es continua en el intervalo [a,b] y F(x) es una función primitiva de f(x) en [a,b], entonces:
Ejemplo:
Para resolver integrales de este tipo, aplicaremos los métodos vistos anteriormente junto con la regla de Barrow.
1. Integración por partes:
Ejemplo:
Integración de funciones algebraicas irracionales
Deberemos tener en cuenta, que con un cambio de variable, se modifican también los extremos de integración.
Ejemplo:
· Integrales más frecuentes en Ecuaciones Diferenciales
INTEGRAL DEFINIDA
Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
La integral definida se representa por
? es el signo de integración.
A límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
F(x) es el integrando o función a integrar.
Dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
FUNCIÓN INTEGRAL
Sea f (t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:
que depende del límite superior de integración.
Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.
Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.
A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de
Ejemplos
La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.
Ejemplos
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INTEGRAL INDEFINIDA
Función integral indefinida
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ? f(x) dx.
Se lee: integral de f de x diferencial de x.
? es el signo de integración.
F(x) es el integrando o función a integrar.
Dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
? f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar
Primera propiedad
Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la función
F(x) + C es otra primitiva de f(x).
Demostración:
Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.
(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)
Ejercicio: primitivas de una función
ð Encontrar tres primitivas de la función cos x.
Resolución:
ð Se sabe que sen x es una primitiva de cos x.
ð Tres primitivas de cos x son, por ejemplo,
Segunda propiedad
Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas.
Demostración:
Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar
a C.
Tercera propiedad
Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, si F(x) y G(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) – G(x) = C = cte.
Demostración:
Hay que recordar que si una función f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función f(x) es constante. Es decir, si f'(x) = 0, entonces f(x) = C.
Pues bien, si F(x) es una primitiva de f(x), F'(x) = f(x);
si G(x) es otra primitiva de f(x), G'(x) = f(x).
Restando miembro a miembro, F'(x) – G'(x) = (F(x) – G(x))' = f(x) – f(x) = 0, de donde se deduce que F(x) – G(x) = C.
INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNC.
Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza
Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».
Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),
Donde C representa una constante llamada constante de integración.
Ejercicio: cálculo de primitivas
Resolución:
ð Puesto que una primitiva de cos x es sen x,
Resolución:
Por consiguiente,
Resolución:
INTEGRALES INMEDIATAS
De la derivación de funciones elementales se deducen sus correspondientes integrales llamadas inmediatas. Es necesario aprender estos resultados si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales menos sencillas.
Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas
Resolución:
ð Es una integral inmediata perteneciente al segundo caso, en el que m = 4.
Resolución:
Resolución:
ð Por la propiedad del producto de potencias de la misma base,
Por tanto,
Resolución:
ð Es una integral inmediata perteneciente al cuarto caso en el que a = 3.
ð Comprobar la veracidad del vigésimo caso de integral inmediata.
Resolución:
ð Hay que probar la certeza de la igualdad
Basta demostrar que la derivada de la función
Cociente,
Así,
Se concluye que
Por consiguiente,
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN (I)
Integración por descomposición
Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de las integrales:
ð Primera propiedad de las integrales
La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual a la suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones.
Esto es,
Demostración:
Entonces, F(x) + G(x) es una primitiva de f(x) + g(x) y F(x) – G(x) es una primitiva de
f(x) – g(x), ya que:
(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)
(F(x) – G(x))' = F'(x) – G'(x) = f(x) – g(x)
Por tanto,
Análogamente,
ð SEGUNDA PROPIEDAD DE LAS INTEGRALES
La integral del producto de una constante por una función, es igual al producto de la constante por la integral de la función.
Es decir,
Demostración:
Pero (k · F(x))' = k · F'(x) = k · f(x), lo que indica que k · F(x) es una primitiva de
k · f(x). Por tanto,
Ejercicio: cálculo de integrales aplicando el método por descomposición
Resolución:
son integrales inmediatas pertenecientes al segundo caso.
En la primera, m = 2, y en la segunda, m = 1.
Así,
Por consiguiente,
Resolución:
= – cos x – 3 In |cos x| + C
Resolución:
ð Desarrollando por la fórmula del cuadrado de un binomio:
ð Así,
Resolución:
(Obsérvese que ahora la variable es t y no x. Conviene acostumbrarse al manejo de cualquier variable aunque la más utilizada sea la x.)
ð Aplicando la propiedad distributiva del producto:
ð Entonces,
Resolución:
ð Descomponiendo la fracción en suma de fracciones:
ð Por tanto,
Resolución:
Integración por cambio de variable (o sustitución)
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente.
Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), x ? u(x) ? u(x)m , la regla de la cadena
Por tanto,
Como se ve, se ha escrito u en lugar de u(x) por simplificar la notación.
Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas por cambio de variable
Resolución:
Resolución:
ð Sin embargo, en la integral no se tiene 2x sino x. Este contratiempo se 
Por la constante (en este caso 2) que falta.
Resolución:
Resolución:
ð Se multiplica y se divide por 3:
Si en lugar de x se tuviese una función de x, u(x), la derivada de ln | u(x) |, por la regla de
Ejercicio: cálculo de integrales por cambio de variable
Resolución:
ð Se multiplica y se divide por 6:
Resolución:
Por tanto,
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN (II)
Ejercicio: cálculo de integrales mediante cambio de variable
Resolución:
Ð En primer lugar se saca de la integral la constante 5.
Ð Se multiplica y se divide por 3:
Resolución:
Ð Se multiplica y se divide por – 1.
Resolución:
Ð Se multiplica y se divide por 2:
Haciendo un estudio análogo a los anteriores, se deduce que
La derivada de – cos x es sen x. Por la regla de la cadena, la derivada de – cos u es
u' · sen u. Análogamente, la derivada de sen u es u' · cos u.
Así se tienen
Ejercicio: cálculo de integrales
Resolución:
La primera de ellas significa sen (x · x · x), mientras que la segunda es (sen x) · (sen x) · (sen x).
Ð Se saca el factor 5 de la integral.
Ð Se multiplica y se divide por 3.
Ð Como en casos anteriores es sencillo demostrar que:
Ejercicio: cálculo de integrales
Resolución:
Ð Se saca de la integral la constante 13.
Ð Se multiplica y se divide por 50:
Resolución:
Ð Se multiplica y se divide por 3.
Resolución:
ð Se extrae la constante 3 de la integral.
Por la derivada de un cociente,
Si u es una función de x, derivando por la regla de la cadena la función sec u, se obtiene u' · sec u · tg u. Análogamente, la derivada de la función – cosec u es u' · cosec u · cotg u. Por tanto,
Ejercicio: cálculo de integrales
Resolución:
ÐSe multiplica y se divide por 2:
Resolución:
ð Se multiplica y se divide por 2:
Resolución:
ð De los casos 14, 15 y 16 de integrales inmediatas se deducen, de forma similar a como se ha hecho en los casos anteriores, las siguientes integrales inmediatas por cambio de variable:
Ejercicio: cálculo de integrales
Resolución:
Así, se ve claro que el cambio que se ha de efectuar es:
Resolución:
Ð Se multiplica y se divide por 3:
Resolución:
Ð Esta integral, aparentemente, no pertenece a ninguno de los tres casos, aunque tiene cierto parecido a una integral del primer caso.
La técnica utilizada para resolver esta integral es de uso frecuente en el cálculo de integrales de cualquiera de estos tres modelos que se están estudiando.
Resolución:
ð Siguiendo los pasos del anterior ejercicio:
Ð Esta integral pertenece al segundo de los dos casos. El cambio que se
Resolución:
Lugar a una integral del tercer caso:
Por tanto, es necesario multiplicar y dividir por 3.
Ð De los casos 17, 18, 19, y 20 de integrales inmediatas se obtienen las siguientes integrales inmediatas por cambio de variable:
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN (III)
Ejercicio: cálculo de integrales
Resolución:
ð Esta integral pertenece al tercero de los casos. Basta escribir 6×2 – 1 de forma adecuada: 6×2 – 1 = (
x)2 – 1
Resolución:
Ð Escribiendo 25 x2 en la forma (5x)2, el cambio a efectuar es u = 5x; u' = 5.
Ð Se multiplica y se divide por 5.
Resolución:
Ð Transformando adecuadamente 4 – x2, esta integral es del cuarto tipo:
Se estudia aquí está integral por resolverse mediante un cambio de variable y por su frecuente uso en el cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales definidas, que se estudiarán más adelante.
Se hace uso del cambio de variable, x = a · sen t.
Diferenciando, dx = a · cos t dt.
Así,
Por trigonometría se sabe que:
En consecuencia,
Recordando que sen 2 t = 2 sen t · cos t,
Se llega, finalmente, a la siguiente igualdad:
Ejercicio: cálculo de integrales
Resolución:
Ð Cambio de variable:
x = 3 sen t
dx = 3 cos t dt
Ð Se deshace el cambio:
Resolución:
ð En este caso se aplicará directamente el resultado al que se llegó:
http://www.vitutor.com/integrales/definidas/regla_barrow.html
https://www.google.com.pe/search?q=metodo+de+integrales+inmediatas+de+la+regla+de+barrow&hl=es-419&gbv=2&revid=227678210&oq=&gs_l=
https://www.google.com.pe/search?q=+metoro+de+integracion+de+la+regla+de+barrow&hl=es-419&gbv=2&revid=227678210&oq=&gs_l=
Dedicatoria
Dedicamos este trabajo aquellas personas que nos enseñaron
Que la mejor libertad del ser humano es la superación
Personal e intelectual, con su apoyo para culminar con éxito y
Responsabilidad el presente trabajo de investigación
Autor:
Huamani Quintanilla Miquias
Depaz Rodriguez, Raúl
Carrera : Ingeniería De Sistemas
Ciclo : I
Materia : Análisis Matemático II
Docente : Quispe Taya Raúl
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
2015