El modelo de un sistema, como representación de sus aspectos fundamentales en la forma más conveniente para la finalidad a que está destinado, puede quedar expresado en forma de un conjunto de ecuaciones, tablas, gráficos o incluso de reglas que describen su operación.
Respecto al orden del modelo existen dos alternativas: imponer el orden o dejarlo libre a determinar.
Identificación experimental según las mediciones a procesar:
1.- Utilizando la respuesta ante señales de ensayo sobre el sistema.
2.- Procesando mediciones históricas de funcionamiento de la planta.
3.- Identificación en línea. Su aplicación es posible sin perturbar significativamente las condiciones de trabajo del sistema.
4.- Identificación en tiempo real.
Se puede establecer una clasificación según las características del modelo que se pretende obtener:
1.- De modelo paramétrico. Se pretenden obtener los valores de los coeficientes de las funciones o matrices de transferencia, o los elementos de las matrices de representación en el espacio de estado.
2.-De modelo no paramétrico. Sería el caso de las gráficas de módulo y fase en las respuestas frecuenciales, en los cuales se usarían los diagramas de Bode, Nyquist, Nichols y las respuestas a impulso o escalón.
En todo caso nótese que, a partir de un modelo paramétrico es muy fácil y rápido obtener respuestas en frecuencia y que un modelo no paramétrico puede parametrizarse empleando coeficientes tales como márgenes de fase y de ganancia, ancho de banda, etc.
Otra clasificación muy conocida es la de métodos frecuenciales y temporales, dependiendo del dominio (frecuencial o temporal) que se utilice.
Métodos frecuenciales Se sabe que, si el sistema es lineal, la respuesta a una sinusoide es una sinusoide de la misma frecuencia y, en general, de diferente amplitud y fase a estado estacionario.
Excitando el sistema con sinusoides de diferentes frecuencias, especialmente en el rango de trabajo del sistema, podemos obtener las características de amplitud y fase y conocemos las contribuciones de los términos s, (1 + ts), (s2 + as + b), en que pueden descomponerse el numerador y el denominador.
Otra clasificación posible, según el procesamiento de las mediciones, es la de métodos gráficos y analíticos.
En los métodos gráficos se obtienen los parámetros del sistema de manera gráfica, mientras que en los analíticos se obtienen producto de cálculos numéricos.
Es bueno destacar que con el desarrollo de la computación, muchos de estos métodos gráficos han pasado a ser analíticos, pero gráficos en su esencia.
Precisemos algunos conceptos:
¿Qué es la identificación experimental de sistemas? La identificación de sistemas consiste en la determinación de un modelo que represente lo más fielmente posible al sistema dinámico, a partir del conocimiento previo sobre éste y de los datos medidos.
¿Cómo se hace esto? Esencialmente ajustando los parámetros obtenidos hasta que la salida del modelo coincida, lo mejor posible, con la salida medida.
¿Cómo saber si un modelo es bueno? Una buena prueba es comparar la salida del modelo con datos medidos que no se usaron en la estimación de los parámetros.
¿Tenemos que asumir un modelo particular? Para modelos paramétricos tenemos que asumir una estructura. Si asumimos que el sistema es lineal, podemos estimar directamente la respuesta a impulso o a escalón usando análisis de correlación o su respuesta frecuencial usando análisis espectral. Se usan mucho para comparar con otros modelos.
¿Es una gran limitación trabajar sólo con modelos lineales? No, actualmente no. Generalmente se estiman los parámetros de las partes lineales y haciendo uso de la pericia física se le añaden al modelo las no linealidades.
Finalmente debemos entender que el modelo obtenido es un reflejo alejado de la realidad, pero que, sorprendentemente, es suficiente para tomar las decisiones necesarias.
Estos métodos se caracterizan por determinar los parámetros del modelo de una forma gráfica, y por mucho tiempo se utilizaron de esta forma a pesar de las imprecisiones a que conllevan.
No obstante, con la ayuda de la computadora, muchos métodos gráficos se han programado mediante algoritmos analíticos.
2.1 Métodos basados en la respuesta a escalón.
El escalón es la señal de prueba más utilizada, en la práctica sólo puede lograrse de forma aproximada ya que es imposible lograr un cambio brusco de una variable en un tiempo infinitesimal, no obstante se considera válido si la constante de tiempo de la señal real es menor que la décima parte de la menor constante de tiempo que se quiere determinar en la identificación.
El uso de esta señal tiene la ventaja de la sencillez en su generación y que el tiempo de experimentación es corto. Como desventaja se puede mencionar la introducción de una alteración relativamente grande en el comportamiento del sistema, lo cual no siempre es permisible.
El procedimiento para obtener los parámetros del modelo estará en dependencia del modelo propuesto para la identificación, a partir de la respuesta del sistema a esta señal de estímulo.
2.1.1 Modelo de primer orden.
Para un sistema del tipo
se necesitan estimar la ganancia (K) y la constante de tiempo(t).
Para mayor generalidad, se excita al sistema con un escalón a la entrada de amplitud r1-r, a partir de cualquier estado estacionario del sistema, obteniéndose una respuesta como se muestra en la figura 2.1.
La ganancia (K) se calcula como
y la constante de tiempo t se calcula gráficamente como se muestra o tomando el valor de t para el cual k = c + 0.63?c , o sea, que la respuesta c(t) ha alcanzado el 63.2% de su variación total.
2.1.2 Método de Oldenbourg – Sartorius Se usa para sistemas de segundo orden no oscilatorio. La ganancia se calcula igual al caso de primer orden:
Suponemos:
Para calcular las constantes de tiempo T1 y T2 se usan las relaciones entre los tiempos TA y TC, definidos cuando se traza una tangente por el punto de inflexión de la curva que representa la respuesta de un sistema de segundo orden a un escalón, según muestra la Fig.
2.2
los valores de TA y TC se determinan gráficamente de la representación de la respuesta del sistema a un escalón.
La solución analítica de las ecuaciones resultantes al sustituir TA y TC en las expresiones (2.3) y (2.4) es muy compleja, por lo que resulta más conveniente aplicar un procedimiento gráfico.
Estas expresiones pueden escribirse como:
De la primera ecuación se puede obtener la siguiente tabla:
Representamos ambas en una gráfica como se muestra en la fig. 2.3 .
Obteniéndose las constantes de tiempo en las intersecciones de ambas curvas.
Es importante señalar que si TC/TA = 0.736, la recta que representa la expresión es tangente a la curva, lo que significa que T1 y T2 son iguales. Si la relación TC/TA < 0.736 no hay intersección entre la recta y la curva y significa que estamos en presencia de un sistema de orden superior al segundo, caso para el cual este método no es aplicable.
Uno de los más graves problemas de estos métodos es el trazado de la tangente. Sin embargo esto se puede, hoy en día, simplificar usando Matlab.
En el Departamento de Informática de la Facultad de Ingeniería Eléctrica se elaboró un programa que resuelve el problema con el siguiente algoritmo:
Fig. 2.4 Algoritmo de solución por Matlab Se elaboró el programa os que se presenta en el anexo # 1.
2.1.3 Método de Anderson. Segundo orden
Fig. 2.5 Representación gráfica del Método de Anderson y como T1 y T2 son reales, C(t) es no oscilatoria y CL(t) es positiva.
Como T2 > T1, el primer término de CL(t) disminuye más rápidamente que el segundo, luego, para valores altos de t, se puede decir que:
Para la determinación de la otra constante de tiempo, obsérvese que:
En resumen, se deben de seguir los siguientes pasos:
• Se traza la curva correspondiente a la diferencia del valor a estado estacionario y el transitorio de la respuesta del sistema a un escalón en función del tiempo, en un papel semilogarítmico, situando en el eje lineal los valores del tiempo.
• Se prolonga la parte recta de la curva anterior, correspondiente a los valores altos de t, hasta intersecar el eje vertical (K2).
• Se determina la mayor constante de tiempo como el valor del tiempo donde la recta anterior alcanza el 0.368 de su valor inicial.
• Se repite el procedimiento anterior para los valores resultantes de la diferencia entre la curva original CL(t) y la recta que corresponde a valores altos de t, con lo que se determina la menor constante de tiempo.
Aunque teóricamente este método se puede utilizar para sistemas de orden superior, dado su carácter gráfico, en la práctica no se pueden determinar más de dos constantes de tiempo.
2.1.4 Respuesta a escalón para sistemas oscilatorios.
Es conocido que la función de transferencia de un sistema oscilatorio de segundo orden tiene la forma:
estos sistemas se pueden identificar determinando gráficamente los valores del pico de sobrepaso M p y del período de las oscilaciones amortiguadas d, de su respuesta ante una señal escalón en su entrada, Fig. 2.6.
Para obtener la frecuencia natural no amortiguada ?n se emplean las expresiones:
siendo Mp el pico de sobrepaso y d el período de oscilación amortiguada.
Para este método se confeccionó un programa Matlab y se probó con un ejemplo en Simulink.
Los parámetros de la simulación fueron los siguientes: Un escalón unitario a la entrada Un paso fijo de 0.15 unidades de tiempo Tiempo de simulación 25 unidades de tiempo Método de solución: ode5 (Dormand-Prince)
Fig. 2.8 Esquema de simulación
Fig. 2.9 Resultado de la identificación La precisión pudo haber sido mejor si se hubiera disminuido el tiempo de muestreo, que en nuestro caso fue de 0.15 unidades de tiempo.
El listado del programa se encuentra en el anexo # 2 2.1.5 Método de Strejc. Modelo de orden n.
Se usa para modelos del tipo:
La relación entre TL y TA es una función creciente de n, y TA y TL son proporcionales a T, los factores de proporcionalidad dependen de n, como se observa en la Tabla 2.1.
Se debe tener en cuenta que cuando TL/TA está entre dos valores de n, se toma el menor.
2.1.6 Modelos con retraso de transporte Es característico en control de procesos la presencia de retrasos puros o retrasos de transporte (L), por lo que es importante la consideración de éstos en los modelos propuestos:
El proceso de identificación consta de dos partes:
– Determinación del retraso de transporte L.
– Determinación de los restantes parámetros por los métodos descritos.
Para determinar L es posible:
a) Tomar el tiempo para el cual se obtiene 0.05?c, es decir, el 5% de ?c.
b) Se traza la tangente en el punto de inflexión y se levanta una perpendicular en A hasta C, de manera que AC = 2.718 AB. Por C se traza una paralela a la tangente hasta encontrar D. Desde 0 hasta D es el retraso de transporte.
2.1.7 Método del retraso puro efectivo o tiempo muerto efectivo Es frecuente en la identificación de procesos químicos la existencia de sistemas cuya respuesta a un estímulo escalón tiene generalmente la forma de S. En estos casos un método bastante efectivo y simple consiste en descomponer dicha respuesta en un retraso puro y un sistema de primer orden.
La constante de tiempo T se obtiene gráficamente de la tangente al punto de inflexión como se muestra en la Fig. 2.12.
2.2 Métodos basados en la respuesta a un pulso La utilización de un pulso como señal de prueba en la identificación de sistemas, permite lograr tiempos de experimentación cortos sin introducir grandes perturbaciones en el comportamiento del sistema objeto de estudio, a expensas de mayores exigencias en la exactitud de las mediciones a realizar.
2.2.1 Método de pulso para obtener la respuesta a escalón Si se aplica a un sistema un pulso rectangular de duración Tp y se registra la respuesta a dicho pulso, desplazando éste muchas veces un tiempo igual a Tp y sumando las respuestas resultantes, se obtiene la respuesta del sistema a un escalón; lo cual es posible ya que si se considera el sistema lineal se cumple el principio de superposición.
Obsérvese que se obtiene la respuesta del sistema a un escalón sin necesidad de aplicar esta señal a su entrada, por lo que el sistema a identificar sólo sufre la perturbación correspondiente al pulso rectangular.
Este método es de los llamados no paramétricos, pues lo que se obtiene es la respuesta a escalón en lugar de los parámetros del modelo. En el Departamento de Informática de la Facultad de Ing. Eléctrica de la Universidad de Oriente existe un programa para este método.
Se confeccionó un programa Matlab (anexo # 3) y se probó con un ejemplo en Simulink.
Fig. 2.14 Esquema confeccionado en Simulink Los parámetros de simulación fueron los siguientes: Un pulso unitario de duración 2 unidades de tiempo. Tiempo de simulación: 40 unidades de tiempo.
Paso fijo de 0.01 unidades de tiempo. Método de solución ode5 (Dormand-Prince)
Los métodos analíticos son los más comunes y existe una gran variedad en la literatura. A continuación se presenta una muestra de ellos.
3.1 Método de pulso para obtener la respuesta frecuencial
El algoritmo de solución es evidente.
3.2 Método de correlación. Forma continua Estos métodos, no paramétricos, se basan en la aplicación de señales aleatorias a la entrada y tienen una gran importancia en la actualidad.
Se deben conocer dos conceptos importantes:
• La función de correlación cruzada entre dos variables aleatorias r(t) y c(t) se designa por:
Se sabe que si r(t) y c(t) son las variables de entrada y salida de un sistema, cuya respuesta a un impulso o función pesante es g(t), se puede plantear que:
En sistemas industriales es posible, a veces, usar las propias perturbaciones aleatorias que sufren las variables de entrada o generarlas.
3.3 Método de correlación cruzada. Forma discreta Considérese un sistema con secuencia de ponderación g(j) sometido a ruidos aditivos a la salida. En este caso puede escribirse:
EL PRESENTE TEXTO ES SOLO UNA SELECCION DEL TRABAJO ORIGINAL. PARA CONSULTAR LA MONOGRAFIA COMPLETA SELECCIONAR LA OPCION DESCARGAR DEL MENU SUPERIOR.
| Página siguiente |